Teorema Limit Barisan

BAB BAB II

TEOREMA

TEOREMA

_‐‐

TEOREMATEOREMA LIMITLIMIT BARISANBARISAN

Definisi

Definisi :: BarisanBarisan bilanganbilangan realreal XX == (x(xnn)) dikatakandikatakan terbatasterbatas  jika jika adaada bilanganbilangan realreal MM >> 00 sedemikiansedemikian

sehingga

sehingga||xxnn||≤≤MM untukuntuk semuasemua nn∈∈N.N.

Catatan

Catatan :: XX == (x(xnn)) terbatasterbatas jika jika dandan hanyahanya jika jika himpunanhimpunan daridari sukusuku‐‐sukusuku barisanbarisan tersebut,tersebut,

yaitu

yaitu {x{xnn||nn∈∈N}N} terbatasterbatas didi RR

Teorema Teorema 1.11.1:: Barisan

Barisan bilanganbilangan realreal yangyang konvergenkonvergen adalahadalah barisanbarisan terbatas.terbatas.

Bukti Bukti:: X

X == (x(xnn)) merupakanmerupakan barisanbarisan konvergenkonvergen artinyaartinya ……

Jika

Jika diambildiambilεε_{== 1,1, makamaka akanakan diperolehdiperoleh K(1)K(1)∈∈NN∋∋ ∀∀nn}≥≥_{K(1)K(1) makamaka ……}

Oleh

Oleh karenakarena itu,itu, untukuntuk nn≥≥_{KK diperolehdiperoleh||xxnn|| << ||xx||+1.+1.}

Jika

Jika kitakita tetapkantetapkan MM == supsup {{||xx11||,,||xx22||,,||xx33||,, …,…,||xxK+1K+1||,,||xx||++ 1}1} makamaka||xxnn||≤≤M,M,∀∀nn∈∈N.N.

Teorema Teorema 1.21.2

(a)

(a) XX == (x(xnn)) dandan YY == (y(ynn)) marupakanmarupakan barisanbarisan‐‐barisanbarisan bilanganbilangan realreal yangyang masingmasing‐‐masingmasing konvergenkonvergen keke

xx dandan y.y. cc∈∈R.R. Maka

Maka akanakan diperolehdiperoleh barisanbarisan‐‐_{barisanbarisan ::}

1) 1) XX ++ YY konvergenkonvergen keke xx ++ yy 2) 2) XX – – YY konvergenkonvergen keke xx‐‐_yy 3) 3) XYXY konvergenkonvergen keke xyxy 4) 4) cXcX konvergenkonvergen keke cxcx (b)

(b) JikaJika XX == (x(xnn)) konvergenkonvergen keke xx dandan ZZ == (z(znn)) barisanbarisan bilanganbilangan realreal tidaktidak nolnol yangyang konvergenkonvergen keke z,z, dandan zz ≠ ≠_{0,0, makamaka}   konvergenkonvergen keke   Bukti Bukti::

(a) 1) Untuk menunjukkan bahwa barisan X + Y konvergen ke x + y, maka kita harus menunjukkan bahwa∀ε_>0,∃K(ε_{)∈N∋ ∀n}≥_K(ε_{)→ |(X + Y) – (x + y)| <}ε

Kita tahu bahwa |(X + Y)  – (x + y)| =|(X  – x) + (Y  – y)| ≤ _|X‐ _{x| +|Y}‐ _{y| yang harus kita tunjukkan}

nilainya kurang dariε

Untuk itu kita kembali pada fakta bahwa barisan‐_{barisan X = (xn) konvergen ke x dan}

Y = (yn) konvergen ke Y

X = (x

n

) konvergen ke x : ∀

ε

> 0, ∃ K 

1

∈ N ∋ ∀ n

≥

K 

1

→ |X– x| <



_

, dan

Y = (y

n

) konvergen ke y : ∀

ε

> 0, ∃ K 

2

∈ N ∋ ∀ n

≥

K 

2

→ |Y– y| <





(mengapa?)

Oleh karena itu, jika kita ambil K(

ε

_{) = sup {K} 

₁

_{, K} 

₂

_{} (?), maka akan diperoleh :}

|(X + Y) – (x + y)|≤_|X‐_x|+|Y‐_{y| <} 





 =ε

1) Buktikan : X – Y konvergen ke x – y !

2) Dengan cara yang sama akan ditunjukkan XY = (x

n

y

n

) konvergen ke xy

Untuk menunjukkan barisan XY = (x

n

y

n

) konvergen ke xy, harus ditunjukkan bahwa :

∀

ε

_{> 0, ∃ K(}

ε

_{) ∈ N ∋ ∀ n}

≥

_K(

ε

_{) → | x}

_n

_y

_n

_{– xy| <}

ε

| x

n

y

n

– xy|= | x

n

y

n

– x

n

y + x

n

y - xy|

= …

≤

_…

, dan harus ditunjukkan bahwa |XY –xy| <

ε

_.

Barisan X konvergen, berarti X terbatas, sehingga ∃ M ∈ R, M > 0, ∋|x

n

|

≤

M, ∀ n ∈ N

Sehingga,

|x

n

y

n

– xy|

≤

M |y

n

- y| + |y||x

n

- x|, perhatikan bahwa M dan |y| merupakan

 bilangan-bilangan real yang berbeda, sehingga dengan mengambil M

1

∈R, dan

M

1

= sup{M,|y|}akan diperoleh |x

n

y

n

– xy|

≤

… , yang nilainya harus lebih kecil dari

ε

.

Kembali kita perhatikan X = (x

n

) dan Y = (y

n

) adalah barisan-barisan yang konvergen ke

x dan y, sehingga dengan menggunakan definisi barisan konvergen dan mengambil K(

ε

₎

= …, akan dapat dibuktikan bahwa |XY –xy| <

ε

_{atau dengan kata lain XY= (x}

_n

_y

_n

₎

konvergen ke xy

Tunjukkan bahwa cX = (cx

n

) konvergen ke cx ! (Pembuktian dengan menentukan barisan

Y sebagai barisan konstan (c, c, c, …) )

(b) Ambil Z = (zn) merupakan barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, z≠0, maka

barisan





) akan konvergen ke

 .

Apabila ditetapkanα₌

|z|, makaα>0, sehingga bisa kita ambilε=α, sehingga|zn ‐z| <α.

Dengan menggunakan teorema Ketidaksamaan Segitiga diperoleh :‐α ≤ ‐|_{zn – z}|≤|_zn|‐|_z|

∀n≥K₁(?)

Oleh karena itu :

|z|=|z|‐ α ≤|zn|,∀n≥K1↔

 ||≤



||,∀n≥K1 Karena akan ditunjukkan bahwa





) konvergen ke



, maka harus ditunjukkan bahwa ∀n≥_{K1 :|}  



 | <ε |_ 



 |=|    |= …. ≤_…,∀n≥_K1

Z = (zn) konvergen ke z , jika diambil sembarangε>0,∃K2∈N,∋ ∀n≥K2maka …

Oleh karena itu, jika diambil K(ε_{) = sup{K1,K2}, akan diperoleh …}

Karena pengambilan sembarangε>0, maka dapat disimpulkan lim





) =   Untuk membuktikan   konvergen ke 

, dilakukan dengan menggunakan perkalian barisan X yang konvergen ke x dan Y =





) barisan yang tidak nol dan konvergen ke



, sehingga X.Y konvergen ke



Catatan:

Apabila A = (an), B = (bn), C = (Cn), …, Z = (zn) merupakan barisan‐barisan bilangan real yang konvergen,

maka :

(1) A + B + C + … + Z = (a

n

+ b

n

+ c

n

+ … + z

n

) merupakan barisan yang konvergen, dan

lim(a

n

+ b

n

+ c

n

+ … + z

n

) = lim(a

n

) + lim(b

n

) + lim(c

n

) + … + lim(z

n

)

(2) A x B x C x … x Z = (a

n

. b

n

. c

n

. … .z

n

) merupakan barisan konvergen, dan

lim (a

n

. b

n

. c

n

. … .z

n

) = lim(a

n

). lim(b

n

).lim(c

n

). … . lim(z

n

)

Teorema 1.3

Jika X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen, dan xn ≥0,∀n∈N, maka

x = lim(xn)≥0

Bukti:

Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?) Andaikan x<0, makaε₌‐_x>0.

Karena X konvergen ke x, maka untuk sembarangε_{>0,∃K∈N∋x}‐ ε_{<x<x +}ε_,∀n≥_K ε₌‐_{x, sehingga diperoleh xk}<_…

Hal tersebut kontradiksi dengan …, sehingga terbukti bahwa x≥₀

Teorema 1.4

Jika X = (xn) dan Y = (yn) barisan‐barisan bilangan real yang konvergen dan jika xn ≤yn,∀n∈N

, maka lim(xn)≤lim(yn)

Bukti:

xn ≤yn,∀n∈N, sehingga jika zn= yn ‐xn, maka …

Apabila Z = (zn), maka Z = … dan …

Dari teorema 1.2 dan 1.3 diperoleh …, sehingga lim(xn)≤lim(yn)

Teorema 1.5

X = (xn) barisan bilangan real yang konvergen, dan jika a≤xn ≤b,∀n∈N; maka a≤lim(xn)≤b

Bukti :

Langkah 1 : Ambil Y = (a, a, a, …) dan X = (xn) yang konvergen ke x, jika … maka …

Langkah 2 : Ambil Y = (b, b, b, …) dan X = (xn) yang konvergen ke x, jika … maka …

Teorema 1.6 (Teorema Squeeze/Teorema Apit)

X = (xn), Y = (yn), dan Z = (zn)adalah barisan‐barisan bilangan real sedemikian hingga

xn ≤yn ≤zn,∀n∈N; dan lim(xn) = lim(zn).

Maka Y = (yn) merupakan barisan konvergen dan lim(xn) = lim(yn) = lim(zn).

Bukti:

Misalkan lim(xn) = lim(zn) = w. Artinya : …

Dengan demikian∃K∈N, sehingga∀n≥_{K diperoleh : … dan …}

Diketahui bahwa : xn ≤yn ≤zn,∀n∈N,↔xn – w≤yn – w≤zn – w ,∀n∈N

Akibatnya diperoleh : ‐ε_{<yn – w<}ε_,∀n≥_{K, hal ini membuktikan bahwa lim(yn) = w (??)}

Contoh

‐

contoh

1. Barisan (n) divergen, buktikan!

Bukti :

Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?)

Perhatikan, barisan X = (n), andaikan X barisan konvergen, maka X merupakan barisan

terbatas, artinya … Hal tersebut kontradiksi dengan …

Kontradiksi terjadi karena kita mengandaikan bahwa X = (n) barisan konvergen. Artinya

…

2. Barisan ((-1)

n

) divergen, buktikan!

Bukti :

Barisan ((-1)

n

) merupakan barisan terbatas, dengan M = 1, kita tidak dapat langsung

mengatakan barisan tersebut konvergen (??). Andaikan barisan tersebut konvergen, dan

lim X = b, ada.

Jika diambil

ε

= 1, maka ∃ K ∈ N, ∋ |(-1)

n

– a| < 1

Untuk n ganjil, diperoleh ….

Untuk n genap, diperoleh …

Kontradiksi terjadi karena pengandaian bahwa X = ((-1)

n

) merupakan barisan konvergen,

sehingga kesimpulannya adalah …

3. lim (



_

) = 2. Buktikan!

Bukti :

Jika diambil X = (2n + 1) dan Y =(n), maka tampak bahwa barisan-barisan tersebut

nerupakan barisan divergen, sehingga teorema 1.2 tidak bisa digunakan. Agar kita dapat

menggunakan teorema tersebut, maka ditetapkan X = (2) dan Y = (







, karena





=2 +





Dengan demikian (



_

) = (2) + (



_



, sehingga lim(



_

) = lim(2) + lim(



_



= 2 + 0 = 2.

4. lim (



_



= 2. Buktikan!

5. lim(



_

 

0, buktikan!

Teorema 1.2 tidak dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran limit tersebut

(mengapa?)

Akan digunakan teorema 1.6 untuk membuktikannya, yaitu dengan memperhatikan :

-1

≤

_{sin n}

≤

₁

_→





≤





≤





, ∀n∈ N, dengan mengaplikasikan teorema

apit, maka diperoleh

…

≤

_…

≤

_{… ↔ …}

≤

_…

≤

_…

Jadi dapat disimpulkan bahwa …

Teorema 1.7

X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x,maka (|xn|) akan konvergen ke|x|.

Jika x = lim (xn), maka|x|= lim (|xn|)

Bukti :

Dengan menggunakan definisi barisan konvergen, yaitu dengan mengambil sembarangε>_{0, kita harus}

dapat menentukan K∈N,∋ ∀n≥_{K, maka||xn|}‐_{|x|| <}ε

Perhatikan juga bahwa x = lim (xn), artinya : …

Gunakan teorema Ketidaksamaan segitiga,∋ ||xn|‐|x||≤… , dengan mengambil K = ? maka terbukti

bahwa (|xn|) konvergen ke|x|.

X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan anggap xn ≥0. Maka barisan (

 

) yaitu

akar positifnya konvergen dan lim(

 

_) =

√ 

Bukti :

X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan xn ≥0,∀n∈N, maka …

Sehingga terdapat 2 kasus, yaitu (i) x = 0 dan (ii) x>0.

(i) Untuk x = 0, ambil sembarang

ε

_{> 0, karena (x}

_n

_{) konvergen ke 0, maka ∃K ∈ N, ∋ ∀ n}

≥

_K 

diperoleh : 0

≤

_x

_n

_{= x}

_n

_{– 0 <}

ε2

_{→ … ∀ n}

≥

_K 

Karenaε_{diambil sembarang, maka dapat disimpulkan bahwa (}

 

_{) konvergen ke 0}

(ii) Untuk x>0, maka

√ 

>0

 

‐

√ 

_{= …} =     √  ,

  

 +

√ 

≥

√ 

_{>0, maka} |

 

_‐

√ 

_|≤_… X konvergen ke x, artinya …

Sehingga, dengan mengambil K(ε) = …, maka|

 

_‐

√ 

| <εdan dapat disimpulkan

bahwa (

 

_) konvergen ke

√ 

Teorema 1.9

X = (xn) adalah barisan bilangan real positif, sedemikian hingga L =

lim 







ada.

Jika L<1, maka (xn) konvergen dan lim(xn) = 0

Bukti :

L≥_{0 (mengapa?)}

Tetapkanε_{= r – L, maka∃K∈N,∋ ∀n}≥_{K diperoleh : |}



‐_{L| <}ε

Sehingga untuk n≥_{K akan diperoleh :}

 <… = …

Oleh karena itu, untuk n≥_{K : 0<xn + 1<xnr<xn – 1r}2_<…<xKrn – K + 1

Jika ditetapkan bahwa C =

, maka 0<xn + 1<C rn + 1,∀n≥K. Karena 0<r<1, dan …, maka terbukti

bahwa lim(xn) = 0

Latihan 1

1. Tunjukkan apakah barisan X = (x

n

) konvergen / divergen, jika :

a. x

n

=

_



b. x

n

=







c. x

n

=









d. x

n

= (-1)

n

n

2

2. Jika X dan Y adalah barisan-barisan bilangan real, sedemikian sehingga X dan X + Y

merupakan barisan konvergen, tunjukkan Y konvergen

3. Tentukan nilai limit dari barisan-barisan berikut :

a. ((2 +



_

)

2

)

b. (

√   

√   

)

c. (

√   1

-

√ 

)

4. Jika a dan b memenuhi pertidaksamaan 0 < a < 1, dan b > 1, tentukan apakah

barisan- berikut konvergen/divergen (gunakan teorema 1.9)