III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET

III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET

Deskripsi Permasalahan

Misalkan investasi aset di dalam rekening anuitas variabel dipisah menjadi dua sub-rekening, yaitu sub-rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset berisiko. Dalam karya ilmiah ini dimodelkan suatu strategi keputusan dalam mengoptimalkan alokasi aset di dalam kontrak anuitas variabel sehingga diperoleh hasil yang maksimal saat retirement.

Formulasi Model

Tahap optimalisasi alokasi aset di dalam kontrak anuitas variabel, yaitu :

1. Alokasi aset sebelum retirement 2. Pendapatan dari anuitas saat retirement 3. Alokasi aset saat retirement.

3.1 Alokasi Aset Sebelum Retirement Diasumsikan seorang individu memulai suatu kontrak anuitas variabel dengan investasi awal sebesar . Investasi aset di dalam rekening anuitas variabel kemudian disimpan sampai waktu T (retirement). Arus simpanan baru yang masuk ke dalam rekening anuitas variabel diasumsikan sebesar

0

W

s dt, dengan . Selama tahap pengumpulan/ pengakumulasian aset, seluruh dividen, bunga, dan keuntungan modal yang didapat diinvestasikan kembali ke dalam rekening, dan seluruh pajak ditangguhkan sampai tahap penerimaan pendapatan dimulai ketika retirement. Pada saat retirement tahap pengumpulan aset berakhir dan tahap penerimaan pendapatan dari anuitas segera dimulai.

0 s≥

Dalam rekening anuitas variabel, investasi aset dipisah menjadi dua sub-rekening, yaitu rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset berisiko. Investasi aset di dalam sub-rekening bebas risiko akan berupa anuitas tetap yang akan menghasilkan rangkaian pendapatan dengan jumlah yang tetap setiap periode. Investasi aset di dalam sub-rekening berisiko akan berupa anuitas variabel yang akan menghasilkan pembayaran pendapatan tidak tetap (naik atau turun) setiap periode, bergantung pada fluktuasi harga saham di pasar bursa.

Proporsi alokasi aset pada sub-rekening aset berisiko diasumsikan sebesar α dan _t proporsi untuk sub-rekening aset bebas risiko

sebesar

(

1−α_t

)

. Proporsi kedua sub-rekening itu dialokasikan pada waktu t. Jumlah nominal W_t

(

1−α_t

)

dialokasikan ke dalam aset bebas risiko, dengan tingkat imbal hasil konstan sebesar r per periode. Sisa dari alokasi aset bebas risiko dimasukkan ke dalam sub-rekening aset berisiko sejumlah W_tα , _t

dengan tingkat imbal hasil yang diharapkan sebesar μ dan volatilitasnya sebesar σ per periode.

Akumulasi aset/kekayaan pada rekening anuitas variabel mengikuti persamaan diferensial stokastik 1-dimensi:

(

)

(

1

)

t t t t t t dW =W α µ+ −α r dt s dt+ +α σW dB_t (1) dengan: 0≤ ≤α 1, 0 t T≤ < t

B : gerak Brown 1-dimensi.

Volatilitas σ menyatakan tingkat keacakan harga saham, dan adalah bagian yang mengandung keacakan/ketidakpastian dari harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.

t

dB

Setiap individu akan mengoptimalkan alokasi aset pada tahap sebelum retirement dalam kontrak anuitas variabel untuk memaksimalkan kepuasan yang diharapkan atas kekayaan saat retirement (T). Fungsi kepuasan dalam hal ini diasumsikan sebagai tipe Constant relative risk aversion (CRRA) dalam bentuk persamaan berikut:

1 1 ( ) = ( ) 1 T U W W γ γ − − , γ > 0 dan γ ≠1,

dengan γ merupakan koefisien dari constant relative risk aversion.

Nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal sebelum retirement direpresentasikan dalam bentuk:

1 1 max 1 t WT γ α Ε ⎢⎡ _−γ − ⎤⎥ ⎣ ⎦. (2)

Dari Persamaan (2) diperoleh alokasi optimal untuk aset berisiko:

* 2 min μ r,1 α γσ ⎡ − ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦. (3)

(

μ r

)

Premi risiko ditunjukkan dengan −

yang selalu bernilai positif dan γ > 0, sehingga dijamin nilai α*≥0.

3.2 Pendapatan dari Anuitas Saat

Retirement

Diasumsikan pada saat retirement seluruh aset yang terkumpul dialokasikan kembali ke dalam bentuk anuitas. Pada saat retirement tahap pengakumulasian aset berakhir, dan tahap penerimaan dari anuitas segera dimulai. Pada tahap penerimaan dari anuitas, investasi aset yang terkumpul di dalam sub-rekening bebas risiko akan menghasilkan pembayaran anuitas tetap segera dan investasi aset di dalam sub-rekening berisiko akan menghasilkan pembayaran anuitas variabel segera.

3.2.1 Anuitas Tetap Segera (ATS)

Anuitas tetap segera adalah rangkaian penerimaan pendapatan dengan jumlah yang tetap pada setiap akhir periode. Diasumsikan pada saat retirement seseorang berusia x memiliki kekayaan sebesar W. Jika seluruh kekayaan W digunakan untuk memperoleh anuitas tetap segera, maka individu tersebut akan menerima pendapatan konstan seumur hidup per tahun sebesar:

r ( ) x W a r 0 ( ) rt( ) x t x a r e p dt ∞ − =

∫

t c = (4)

dengan didefinisikan sebagai anuitas tetap segera: ( ) x r a (5) dengan:

r : tingkat bunga bebas risiko

tpx : peluang individu berumur x akan mencapai usia x t+ .

Anuitas tetap segera a merupakan nilai sekarang dari rangkaian pembayaran setiap akhir tahun dengan faktor bunga sebesar dan fungsi indikator bertahan hidup individu dinyatakan dengan _t .

( ) x r rt e− x p

Didefinisikan percepatan kematian:

( )

ln 1 d G t dt = − ⎡_⎣ − ⎤_⎦

(

x η (6) dengan

Peluang seorang berumur x akan mencapai usia x t+ diperoleh melalui penurunan persamaan (6) dan didapat:

0

exp t tpx = ⎛⎜− ηsds⎞⎟

⎝

∫

⎠. (7)

Bukti: lihat Lampiran 2.

Jumlah pendapatan periodik seumur hidup juga bergantung pada sebaran sisa hidup individu. Dalam karya tulis ini hanya akan dibahas kasus ketika sisa hidup individu menyebar secara eksponen.

3.2.1.1 ATS Ketika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen

Jika sisa hidup diasumsikan menyebar secara eksponen, maka percepatan kematian:

( )

(

)

[

]

[ ]

ln 1 ln 1 1 ln − − = − ⎡_⎣ − ⎤_⎦ ⎡ ⎤ = − _⎣ − − . ⎦ ⎡ ⎤ = − _{⎣ ⎦} = − − = x t t d G t dt d e dt d _e dt d t dt d _t dt λ λ η λ λ ( ) =λ (8) Persamaan (7) menjadi:

)

G t merupakan fungsi sebaran yang menyatakan peluang seseorang berumur x meninggal dalam kurun waktu t tahun.

0 0 . t ds t x s t s t p e e e λ λ λ − s = − − = = =

∫

(9) =

Anuitas tetap segera pada Persamaan (5) menjadi: ( )

(

)

( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 , ∞ − ∞ − − ∞ − + =∞ − + = = = = = − + = +

∫

∫

∫

rt x t x r t t t r t t r t a r e p dt e e dt e dt e r r λ λ λ λ λ 0 (10) dengan: λ>

( )

(

)

( )

0 x e =E T x =

∫

t g t dt .

Nilai harapan hidup individu yang berumur x didefinisikan:

( )

g

dengan t merupakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak T.

Pada kasus sisa hidup menyebar secara eksponen, fungsi kepekatan peluang g t

( )

menjadi:

( )

t g t =

λ

e−λ sehingga: 0 t e ∞t eλ −λdt

∫

t u t du dt dv λe−λdt = = = x = . Misalkan: t v= −e−λ maka: 0 0 ₀ 0 0 0 0 0 1 1 ∞ ₋ ∞ ∞ ∞ =∞ − − = ∞ − =∞ − = = = − ⎛ ⎞ = − −_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ = + = − =

∫

∫

∫

∫

t x t t t t t t t t e t e dt uv v du te e dt e dt e λ λ λ λ λ λ λ λ (11)

Dari Persamaan (4) dan (10) pendapatan konstan seumur hidup dari anuitas tetap segera pada waktu t menjadi:

r t W c = ( ) ( ) . x a r r W λ = + (12)

Persamaan (8), (11) dan (12) dapat menerangkan bahwa semakin tinggi percepatan kematian akan berakibat pada penurunan harapan hidup dan pendapatan konstan seumur hidup akan mengalami peningkatan.

3.2.2 Anuitas Variabel Segera (AVS)

Pilihan lain dari anuitas tetap segera adalah anuitas variabel segera. Anuitas variabel segera adalah anuitas variabel yang segera dicairkan pada tiap akhir periode setelah tahap pengakumulasian dana berakhir. Anuitas variabel segera menghasilkan jumlah pendapatan berfluktuasi bergantung harga saham di pasar bursa. Suatu investasi awal sebesar W yang dialokasikan untuk

mendapatkan anuitas variabel segera akan menghasilkan penerimaan seumur hidup per tahun sebesar: ( ) x a h t t W cμ = ( ) x a h 0 ( ) ht( ) x t x a h =

∫

∞ −e p dt ( ) h r tpx 1 , (13) dengan didefinisikan sebagai anuitas

variabel segera:

, (14) dengan h adalah tingkat diskon. Diasumsikan tingkat diskon h berubah-ubah tetapi masih dalam kisaran r disebut assumed interest rate (AIR). Anuitas variabel segera a

merupakan nilai sekarang dari rangkaian pembayaran setiap akhir tahun dengan faktor bunga sebesar dan fungsi indikator bertahan hidup individu dinyatakan dengan . Untuk setiap pendapatan dari AVS, individu akan memperoleh pendapatan variabel (acak) yang bergantung pada tingkat imbal hasil dari aset berisiko yang dipilih. Jika tingkat imbal hasil pada aset berisiko dalam periode tertentu lebih rendah daripada AIR, maka pendapatan variabel akan menurun. Sebaliknya, tingkat imbal hasil dari aset berisiko lebih besar daripada AIR, pendapatan variabel akan meningkat.

ht

e−

Misalkan alokasi aset seluruhnya masuk ke dalam aset berisiko

(

sehinggaα =

)

dengan tingkat diskon sebesar , di mana dinamika harganya mengikuti Persamaan (1):

h

(

)

t t dW = W µ h dt− +σW dB W_{t t}; ₀=W (15)

(

)

t t t dW µ h dt dB W = − +σ .

Pengintegralan kedua ruas menjadi:

(

)

(

0

)

0 = − + , =0

∫

t s t s dW µ h t B B W σ (16)

Penyelesaian sisi kiri dari Persamaan (16) menggunakan Teorema Formula Ito 1-Dimensi. Misalkan:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 2 1 _{, ,} 2 t t t g _{t W dW} w ∂ + ∂ , ln ; 0 , ln , , t t t t t t t g t w w w Y g t W Y W g g dY t W dt t W dW t w = > = = ∂ ∂ = + ∂ ∂

sehingga:

(

)

(

)

(

)

(

_{) ( )}

(

)

2 2 2 2 2 ln ln ln ln 1 2 1 1 t t t t t t t t t W W d W dt dW t w W dW w dW dW W W ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ + ∂ ⎛ ⎞ = + −⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ t t t t 2 2 t (17) dari Persamaan (15):

(

)

t t t dW = W µ h dt− +σW dB

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 t t t t t t t t dW W µ h dt W dB W µ h dt W dB W µ h dt W dB σ σ σ = − + = − + + −

(

)

(

(

)

)

( ) (

) ( )

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 t t t t t t t dW W µ h dt W dB W µ h W dtdB W dt σ σ σ = − + + − = dengan: 0 , . t t t t dt dt⋅ = ⋅dt dB =dB dt⋅ = dB dB⋅ =dt

Sehingga Persamaan (17) menjadi:

(

)

2 2 2 2 1 1 ln 2 1 2 t t t t t t d W dW W d W W dW dt W σ σ = − = − t t atau:

(

_ln

)

1 2 2 t t t dW d W d W = + σ t

Pengintegralan kedua ruas menjadi:

2 0 ₀ 1 ln 2 = +

∫

t s t s dW W t W W σ . (18)

Dari Persamaan (16) dan Persamaan (18) didapat persamaan:

(

)

(

)

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 exp 2 1 exp . 2 + = − + = − − + ⎛ ⎞ =_⎜ − − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎛⎛ ⎞ ⎞ = _⎜⎜ − − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎛⎛ ⎞ = _⎜⎜ − − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ t t t t t t t t t W t µ h t B W W µ h t t B W W µ h t B W W µ h t B W W W µ h t B σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ t Karena investasi awal maka investasi aset berisiko pada saat menjadi:

0 W =W t 2 1 exp . 2 t W =W ⎛⎛_⎜⎜µ h− − σ ⎞_⎟t+σB ⎝ ⎠ ⎝

Persamaan (19) menunjukkan bahwa investasi aset berisiko dipengaruhi volatilitas σ yang menyatakan tingkat keacakan harga saham dari aset pokok yang dipilih, dan adalah bagian yang mengandung keacakan/ ketidakpastian dari harga saham. Dengan menggunakan nilai dari Persamaan (19), maka pendapatan dari anuitas variabel segera pada Persamaan (13) menjadi:

t dB t W 2 exp ( ) 2 t t x W c h h μ ₌ ⎛_⎜⎛_{⎜μ− −}σ ⎞_⎟t+σB ⎞ ⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ a ⎟. (20)

3.2.2.1 AVS Ketika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen

Anuitas variabel segera ketika sisa hidup menyebar secara eksponen pada Persamaan (14) menjadi: ( )

(

)

( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 . ht x t x ht t t h t t h t h e P dt e e dt e dt e h h λ λ λ λ λ ∞ − ∞ − − ∞ − + =∞ − + = = = = = − + = +

∫

∫

∫

a (21)

Arus pendapatan seumur hidup dari anuitas variabel segera pada Persamaan (20) menjadi:

2 ( ) exp 2 t t cμ = λ+h W _⎜⎜⎛⎜⎛_⎜μ− −h σ _⎟⎞⎟t+σB _⎟⎞. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ W (22) Jika AIR sama dengan tingkat bebas risiko,

sehingga h = r, dan aset yang ada merupakan aset bebas risiko, maka μ = r dan σ = 0, sehingga total pendapatan per periode akan sama dengan kasus anuitas tetap segera sebesar: . Tingkat imbal hasil yang diharapkan

( ) r

c = λ+r

μ yang semakin rendah akan menurunkan penerimaan pendapatan seumur hidup.

3.3 Alokasi Aset Saat Retirement

t ⎞ ⎟

⎠ (19)

Pada saat retirement keputusan memilih antara aliran pembayaran tetap dan variabel bukanlah pilihan mudah. Individu dapat memilih kombinasi apapun dari aliran pembayaran tetap dan variabel. Jika α menunjukkan proporsi alokasi pada aset berisiko dan

(

1−α

)

sebagai proporsi alokasi

aset bebas risiko, maka pembayaran anuitas segera pada saat retirement merupakan suatu kombinasi imbal hasil dari kedua anuitas tersebut. Pemilihan AIR dari anuitas variabel segera pada tingkat bebas risiko akan menghasilkan aliran kombinasi anuitas dengan pendapatan seumur hidup yang direpresentasikan pada Persamaan (23).

2 exp . ( ) 2 t t x W c r t r σ α μ ασ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = ⎜_⎜ ⎜_⎜ − − ⎟_⎟ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a B ⎟ (23) Persamaan (23) diperoleh melalui

penyelesaian persamaan:

(

1

)

r t t r t t t dc dc dc c c c μ μ α α = + − t _{. (24)}

Bukti: lihat Lampiran 3.

Pada Persamaan (24), dapat dilihat bahwa merupakan fungsi dari

t

c

α

, yang menunjukkan bagian dari keseluruhan tingkat aliran uang dalam waktu kontinu yang masuk ke dalam anuitas variabel segera. Hal ini dapat menegaskan bahwa ketika α =1, aliran pendapatan menjadi variabel seluruhnya. Pada saat α =0 pendapatan dari anuitas akan menjadi tetap. Nilai apapun dari

α

yang mungkin terjadi di antara nol dan satu, akan menghasilkan berbagai tingkat variasi kombinasi alokasi aset antara keduanya.

Pada tahap konsumsi, individu akan memaksimalkan harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon, dimana fungsi kepuasan diasumsikan dalam bentuk CRRA:

1

( ) (1/(1 ))

u c _{= −}γ c−γ _{dengan faktor diskon} t

e−ρ . Kepuasan konsumsi yang telah didiskon merupakan peubah acak, sehingga fungsi

kepuasan konsumsi yang telah didiskon dapat dituliskan dalam persamaan:

1 0 1 ( ) 1 T _t t U α e ρ c γ γ − − = −

∫

dt

dengan ρ γ, ,danc_t seperti yang didefinisikan sebelumnya. Nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon menjadi:

1 0 1 ( ) 1 T _t t EU α E e ρ c γdt γ − − ⎡ ⎤ = ⎢ ₋ ⎥ ⎣

∫

⎦ dengan:

{ }

0 0 0 ( ) ( )1 ( )( ) . T t t _{T t} t t x E g B dt E g B dt E g B p dt ∞ > ∞ ⎡ ⎤₌ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢_⎣ ⎥_⎦

∫

∫

∫

(25)

Persamaan (25) menunjukkan bahwa T tidak bergantung pada , sebagai contoh pergerakan harga saham tidak mempengaruhi kesehatan individu, dan 1 menunjukkan fungsi indikator dari kejadian kematian yang terjadi setelah t, sehingga:

t B

{ }

T t> 1 0 1 ( ) ( ) . 1 t t t x EU α E e ρ c γ p dt γ ∞ − − ⎡ ⎤ = ⎢ ₋ ⎥ ⎣

∫

⎦ (26)

3.3.1 Alokasi Optimal Ketika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen

Dengan menggunakan nilai c dari Persamaan (23) dan nilai a dari Persamaan (10), maka nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon pada kasus sisa hidup menyebar secara eksponen direpresentasikan pada Persamaan (27).

t ( ) x r

(

)

1 1 2 1 0 1 ( ) exp 1 2 t t t EU E e e r W t r B dt γ γ γ ρ λ ασ α λ α μ α σ γ − − ∞ _{− − −} ⎡ _{⎛ ⎛ ⎞⎞} ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ _{⎜ ⎟} ⎥ = _⎢ + _⎜ ⎜ ⎜_{⎜ ⎜} − − ⎟_⎟+ _{⎟ ⎥} − _{⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎠} ⎢ ⎥ ⎣

∫

⎟⎟ ⎦ . (27) Penyederhanaan Persamaan (27):

(

)

(

)

(

)

1 1 2 ₂ ( ) 1 (1 ) (1 ) _{2 2} (1 ) r W EU r γ γ λ α ασ γ λ ρ γ α μ γ ασ − − + = ⎛ ⎞ − _⎜ + − − − − − − _⎟ ⎝ ⎠ (28) dengan: 0≤ ≤α 1 ; γ > 0 dan γ ≠1

(

2

)

₁

(

(

)

)

2 (1 ) r ασ _{2 2} 1 0 r λ ρ+ − −γ α μ− − − −γ ασ > ⇔ < + +μ λ ρ . Bukti: lihat Lampiran 4.

Persamaan (28) memberikan nilai harapan kepuasan konsumsi sebagai suatu fungsi dari variable α dengan 0≤ ≤α 1 yang menunjukkan pilihan untuk memperoleh anuitas tetap segera dan anuitas variabel segera. Kepuasan konsumsi yang maksimal

dari EU( )α , diperoleh dengan menurunkan

( )

EU α terhadap α dan menyetarakan

dengan nilai nol, EU'( ) α = 0. Dari penurunan EU( )α pada Persamaaan (28)

maka diperoleh Persamaaan (29).

(

)

( )

1 ₂ ' 2 2 ₂ ) ( ) ( ) 1 (1 ) _{2 2}((1 ) ) r W r EU r γ λ μ γασ α ασ λ ρ γ α μ γ ασ − + − − = ⎛ _{+ − −} ⎛_{⎜ − −} ⎞_{⎟− −} ⎞ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ (29) dengan: 0≤ ≤α 1 ; γ > 0 dan γ ≠ 1 r μ λ ρ< + + . Bukti: lihat Lampiran 5.

Nilai α yang optimal dicapai saat '( ) 0 EU α = , dan diperoleh: 2 − = μ r α γσ , (30)

Bukti : lihat Lampiran 6.

karena 0≤ ≤α 1, sehingga kepuasan konsumsi yang maksimal tercapai saat:

** 2 min μ r,1 α γσ ⎡ − ⎤ = _⎢ ⎣ ⎦⎥ . (31)

Persamaan (31) menjelaskan alokasi aset optimal saat retirement tidak bergantung pada

tingkat diskon ρ maupun faktor kematian λ . Hal ini analog dengan alokasi aset optimal sebelum retirement yang ditunjukkan pada Persamaan (3).

Uji turunan kedua dari nilai harapan kepuasan konsumsi yang telah didiskon

( )

EU α diperoleh:

"₍ **_{) 0}

EU α < , (32)

Bukti: lihat Lampiran 7.

sehingga α merupakan nilai yang optimal ** untuk EU( )α .

IV CONTOH PENERAPAN

4.1 Contoh Penerapan Sebelum Retirement Diasumsikan proporsi alokasi aset berisiko sebesar α dan proporsi alokasi aset bebas risiko sebesar

(

1−α

)

.

Misalkan:

• koefisien CRRA γ =2.5 • volatilitas σ =20%

• tingkat imbal hasil yang diharapkan

10%

μ=

• tingkat imbal hasil konstan r=5%. Pengaruh peningkatan γ , σ , μ , dan terhadap

r α dapat dilihat pada Tabel 1, 2, 3 dan 4.

Tabel 1. Pengaruh koefisien CRRA γ terhadap α

10% ,r 5% μ= = dan σ =20% γ _{2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75} α 0.500 0.455 0.417 0.385 0.357 0.333 0.313 0.294 0.278 0.263 γ _{5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25} α 0.250 0.238 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.172