PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE
SATU
SATU
TRAYEKTORI
TRAYEKTORI
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE N
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE N
DENGAN OPERATOR D
DENGAN OPERATOR D
TRANSFORMASI LAPLACE
TRANSFORMASI LAPLACE
Adapted dari Kalkulus Diferensial. pdf
Kalkulus Diferensial
Kalkulus Diferensial
TTopik utama opik utama dalam pembelajaran dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalahkalkulus diferensial adalah turunanturunan.. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat
Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real
Untuk fungsi yang bernilai real dengan vdengan variabel real ariabel real tunggal, turunantunggal, turunan pada sebuah titik sama
pada sebuah titik sama dengan kemirindengan kemiringan dari garis singgung grafikgan dari garis singgung grafik fungsi pada titik te
fungsi pada titik tersebut.rsebut.
Secara umum, turunan suatu fungsi
Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukanpada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Proses pencarian turunan disebut
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialanpendiferensialan ((differentiationdifferentiation).).
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa
pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari
Persamaan diferential
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-turunannya.
Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
Persamaan diferential
Persamaan diferensial
adalah hubungan antara sekelompok
fungsi dengan turunan-turunannya.Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan
parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial
Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:
Teorema nilai purata
Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika f ( x ) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah
bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a,f (a)) dan (b,f (b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgung
Teorema nilai purata
Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal.
Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa
kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu garis singgung di f . Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki
kemiringan yang bernilai nol.
CONTOH-CONTOH PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA BERORDE 1, 2, 3
+2 sin = 0
+ 3
2 = 0
+
= 0
1. Persamaan Linear Orde Pertama
Suatu persamaan yang mengandung satu atau
beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak
diketahui kita sebut
persamaan diferensial.
Khususnya, suatu persamaan berbentuk: (Varberg,
Purcell)
,,
, … . . ,
= 0
Dengan
menyatakan turunan
terhadap
yang ke-
, disebut
persamaan diferensial biasa
berorde n.
Persamaan Linear Orde Pertama yang
Umum
Persamaan-persamaan yang sering kita pandang
dapat dibuat dalam bentuk
+ = ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu dapat
diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan kedua
ruas dengan
faktor integral
Yang menghasilkan
+
=
()
Persamaan Linear Orde Pertama yang
Umum
Persamaan yang digunakan adalah
+ = ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu
dapat diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan
kedua ruas dengan
faktor integral
Yang menghasilkan
+
=
()
Pengerjaan Pers. Diferensial
Cara Pengerjaan.
Tentukan faktor Integral nya terlebih dahulu dari
persamaan diferensial tsb.
Kemudian kedua ruas persamaan dikalikan dengan
faktor integral tsb.
Ruas kiri yaitu
+
dikenal sebagai turunan dari
=
,
Lanjutan cara pengerjaan
= Q(x)
Pengintegralan kedua ruas menghasilkan
=
Q(x)
sehingga
Telaah Ulang Konsep
1.
Persamaan diferensial linier orde pertama yang
umum mempunyai bentuk
+
= .
Faktor integral untuk persamaan ini adalah
______
2. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan
diferensial orde pertama dalam Pertanyaan 1
dengan faktor integral membuat ruas kiri
Telaah Ulang Konsep (2)
Faktor Integral untuk
(1 ) =
adalah
=
−
=
;
= 1
Untuk mendapatkan faktor integral
Gunakan tabel formula atau rumus integral
diadaptasi di buku Kalkulus Edisi ke 2 Purcell.
Dapat dipelajari juga pada bab Integral Tak Wajar
pada materi matematika 2. Rumusan Integral yang
digunakan dalam pengerjaan tugas yaitu rumus no
Tambahan Penjelasan Integral Lipat
Dalam pengerjaan atau perhitungan Luas daerah
ataupun luas permukaan, volume, diperlukan sketsa
grafik persamaan.
Penjelasan selengkapnya tentang menggambarkan
grafik suatu persamaan dibahas di Matematika 1.
Pada slide berikut terdapat sedikit redaksional
Prosedur tiga langkah (penggambaran
grafik)
Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik
yang memenuhi persamaan
Langkah 2 : Plotlah titik-titik tersebut pada bidang
Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah
kurva mulus.
Contoh 1. pp 25. Gambarkan grafik persamaan
=
3
Penyelesaian :
1. Buatlah tabel nilai
2. Plot titik
–titik tersebut
PERSAMAAN HOMOGEN
ORDE KEDUA
Matematika 3
Definisi
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
18
Suatu persamaan diferensial linear orde kedua mempunyai
bentuk
′′+
′+
= ()
Dalam sub bab ini, kita membuat dua anggapan
1.
dan
adalah konstanta
2.
()
secara identik adalah nol (kasus homogen)
Jadi tugas kita menyelesaikan
"+
′+
= 0
Dalam kenyataannya, suatu persamaan linier homogen orde
kedua selalu mempunyai dua penyelesaian mendasar
()
dan
()
yang saling bebas satu sama lain (yakni fungsi
yang satu bukan kelipatan fungsi yang lain)
Persamaan Bantu
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
19
Dari kelinieran operator
+
+
Persamaan Bantu
(
) =
1.
+
+
= 0
+
+
=
(
) +
D(
) +
=
+
+
=
(
+
+
)
Ekspresi yang terakhir adalah nol, asalkan
2.
+
+
= 0, persamaan 2 adalah persamaan bantu (persamaan kuadrat biasa yang bisa diselesaikan dengan pemfaktoran atau jika perlu dengan rumus kuadrat)Diadaptasi dari Kalkulus Jilid 2 pp 612, Penyelesaian dari
persamaan diferensial dengan menggunakan persamaan
bantu.
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
Penyelesaian dari persamaan diferensial dengan menggunakan
persamaan bantu diselesaikan dengan Rumus Kuadrat
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
Tugas tambahan
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
Pengerjaan lanjutan di no. 4
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
Contoh soal pengerjaan jika persamaan bantu menpunyai akar-akar kompleks Pp 614 Kalkulus. Jilid 2
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T
Persamaan Orde Lebih Tinggi
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T 27 Melihat contoh 5
Selesaikan
4
4
20
Persamaan Linier Tak Homogen Umum Dengan
Koefisien Konstan
11/12/2015 By Martheana Kencanawati, M.T 28 Persamaan dasarnya :
+
−+ ⋯ . +
−
′+
=
Persamaan ini dapat direduksi menjadi 3 langkah
1.
Tentukan penyelesaian umum
ℎ=
+
+……+
2.
