13 13
BAB 3
BAB 3
KARDINALI
KARDINALITA
TAS
S (URUTA
(URUTAN)
N)
3
3..11.. KKEESSAAMMAAAAN DN DUUA A HHIIMMPPUUNNAANN
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adala
setiap anggota B adalah anggota A.h anggota A.
atau atau
Defini
Definisi di si di atas sangat berguna untuk membuatas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunaktikan bahwa dua himpunann A A dan dan B B adalah adalah sam
sama. a. PerPertamatama, , bukbuktiktikan an dahdahuluulu A A adalah subadalah subhimhimpunpunanan B B, , kemkemudiudian buktian buktikan bahwkan bahwaa B B adalah subhimpunan
adalah subhimpunan A A..
3
3..22.. KKAARRDDIINNAALLIITTAASS
ardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang ardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang d
diikkaanndduunng g oolleeh h hhiimmppuunnaan n tteerrsseebbuutt. . BBaannyyaakknnyya a eelleemmeen n hhiimmppuunnaann !
!apel apel ,, jeruk jeruk ,,manggamangga,, pisang pisang " adalah #. Himpunan !" adalah #. Himpunan ! p,,q pq,,r r ,, s s" juga memiliki elemen sejumlah #." juga memiliki elemen sejumlah #. Be
Berararti rti kekedudua a hihimpmpununan an tetersersebubut t ekeki$i$alealen n satsatu u samsama a lalainin, , ataatau u didikakatatakakan n memmemiliilikiki kardinalitas yang sama.
kardinalitas yang sama.
3
3..33.. KKOONNSSEP EP KKAARRDDIINNAALLIITTAASS
Bila A ekui$alen dengan B, yaitu A % B maka
Bila A ekui$alen dengan B, yaitu A % B maka dikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangandikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.
kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.
&ntuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis '(A). *adi '(A) + '(B) bila dan hanya bila &ntuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis '(A). *adi '(A) + '(B) bila dan hanya bila A % B. Bila A B maka dikatakan A mempunyai kardinalitas lebih ke-il dari B atau A % B. Bila A B maka dikatakan A mempunyai kardinalitas lebih ke-il dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain
kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain '(A) '(B) bila
'(A) '(B) bila dan hanya bila A Bdan hanya bila A B '(A) / '(B) bila
'(A) / '(B) bila dan hanya bila Adan hanya bila A ≤≤ B B 0lustrasi
0lustrasi Du
Dua a bubuah ah hihimpmpununanan A A d daann B B memmemilikiliki i karkardindinalitalitas as yanyang g samsama, a, jikjika a terterdapdapat at funfungsigsi koresp
korespondenondensi si satusatsatusatu u yang memetakayang memetakann A A pa padada B B. arena dengan mudah kita membuat. arena dengan mudah kita membuat fungsi
fungsi yang yang memetakan memetakan satusatu
satu dan kepada himpunan
satu dan kepada himpunan A A ke ke B B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
1# 3.4. HIMPUNAN DENUMERABEL
*ika sebuah himpunan eki$alen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. ardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satusatu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
3.5. HIMPUNAN BERHINGGA
*ika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
3.6. HIMPUNAN TERCACAH
Himpunan disebut ter-a-ah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel. 3.7. HIMPUNAN NON-DENUMERABEL
Himpunan yang tidak ter-a-ah disebut himpunan nondenumerabel. 2ontoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. ardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam inter$al (,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satusatu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang
salah satunya adalah .
3.8. POSET ( P!"#$$% O!&'!'& S'" ) . HIMPUNAN TERURUT PARSIAL
Definisi
4uatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive,antisymmetric, dan
transitive.
Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi ≤ dan ≥ pada himpunan 5 dan 6. &ntuk alasan ini, ketika berbi-ara se-ara umum tentang sebuah pengurutan parsial 6 pada himpunan A kita akan sering menggunakan symbol ≤ atau ≥ untuk 6.
Dengan kata lain,
6elasi ≤ dalam himpunan A disebut terurut parsial pada himpunan A bila dan hanya bila untuk setiap a, b, - ∈ A berlaku
(#) a ≤ a
(##) Bila a≤ b dan b ≤ a maka a + b. (###) Bila a≤ b dan b ≤ - maka a ≤ -.
17
Himpunan A dengan terurut parsial dilambangkan dengan (A, ≤). Ilustrasi I:
8unjukan bahwa relasi 9:; merupakan relasi terurut pada 5 <
arena a ≤ a untuk setiap a ∈ 5, maka relasi 9≤; bersifat refleksi. *ikaa : b dan b : a berarti a +a. *adi relasi 9:; bersifat antisimetri. *ikaa : b dan b : c berarti a : c.*adi relasi 9:; bersifat transitif. Dengan demikian relasi 9:; merupakan relasi terurut pada 5. Ilustrasi II
=isalkan A sebuah himpunan bilangan bulat positif dan 6 sebuah relasi biner pada A sedemikian rupa sehingga ( a,b ) ada di dalam 6 jika a membagi habis b.
arena jika a membagi habis b berarti b tidak membagi habis a ke-uali a + b, 6 adalah sebuah relasi antisymmetri-.
arena setiap bilangan bulat membagi habis dirinya sendiri, 6 merupakan suatu relasi refle>i$e.
arena jika a membagi habis b, dan b membagi habis -, maka a membagi habis -, 6 adalah sebuah relasi transiti$e.
Dengan demikian 6 adalah sebuah relasi pengurutan parsial.
4e-ara intuitif, didalam suatu relasi pengurutan parsial, dua benda saling berhubungan. *ika salah satunya lebih ke-il ( lebih besar ) daripada atau lebih pendek ( lebih tinggi ) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.
=emang istilah pengurutan (ordering ) berarti bahwa bendabenda di dalam himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tak dapat membandingkan keduanya dan tidak mengidentifikasi mana yang lebih ke-il atau lebih rendah. 0tulah alasannya digunakan istilah “ pengurutan parsial ( partial ordering ) ”.
HimpunanS bersamasama dengan suatu relasi pengurutan parsial R pada A dinamakan himpunan terurut parsial ( Partially Ordered Set ) atau disingkat sebagai P'", dilambangkan dengan ( S* R ).
C+", 3.1
1. Himpunan 5? adalah himpunan bilangan bulat positif. 6elasi ≤ (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order pada 5? . Hal ini berlaku pula untuk relasi ≥. *awab Bila (a,b) ada didalam 6 jika a ≤ b.
arena setiap bilangan bulat + dirinya sendiri refleksi$e arena a≤ b dan b ≤ a ke-uali a + b antisymmetris *ika a≤ b dan b ≤ - maka a ≤ - transiti$e.
2. 6elasi himpunan bagian ⊂ adalah terurut parsial didalam suatu kelas dari himpunan himpunan, karena
a d - b e 1@
Bila A ⊂ B dan B ⊂ A, maka A + B antisymmetris
Bila A ⊂ B dan B ⊂ 2, maka A ⊂ 2 transiti$e.
Bila a ≤ b didalam himpunan terurut, maka dikatakan bahwa a pendahulu atau lebih ke-il
dari b, dan b disebut pengikut atau penguasa atau lebih besar dari a. a b, bila a ≤ b tetapi a≠ b.
4uatu himpunan terurut bagian A disebut terurut total (terurut linear) bila setiap a, b ∈ A maka a ≤ b atau b ≤ a. 2ontohnya adalah himpunan bilangan real 6 dengan urutan natural
> ≤ y.
Bila suatu relasi 6 dalam himpunan A adalah terurut parsial, maka relasi in$ers R−1 juga terurut parsial dan disebut urutan in$ers.
. HIMPUNAN BAGIAN DARI HIMPUNAN TERURUT.
=isal A adalah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial , maka di dalam , A adalah terurut dengan ketentuan
Bila a, b ∈ A maka a≤ b sebagai unsurunsur dalam A bila dan hanya bila a ≤ b sebagai unsurunsur di dalam .
Bila 6 terurut parsial dalam , maka relasi R A = R∩( AxA), disebut restriksi 6 pada A
adalah terurut parsial dalam A. Himpunan terurut ( A, R A) disebut himpunan bagian dari
himpunan terurut (, 6).
C+", 3.2
=isal terurut parsial dalam + !a, b. -, d, e" didefinisikan oleh diagram berikut
Himpunanhimpunan !a, -, d" dan !b, e" adalah himpunanhimpunan bagian terurut total.
a b -d e a b -d e 1C
. ELEMEN PERTAMA DAN TERAKHIR.
=isal adalah himpunan terurut. 4uatu elemen a ∈ adalah elemen pertama atau
elemen terke-il dari bila dan hanya bila a ≤ >, untuk semua > ∈ . 4uatu elemen b ∈
adalah elemen terakhir atau elemen terbesar dari bila dan hanya bila > ≤ b, untuk
semua > ∈ .
C+", 3.3 /
1. Bilangan bulat positif dengan urutan biasa mempunyai elemen pertama 1.
Himpunan semua bilangan bulat B dengan urutan biasa tak mempunyai elemen terke-il dan terbesar.
=isal + !a, b, -, d, e" terurut seperti diagram berikut
Dari gambar diatas, diperoleh bahwa a adalah elemen terakhir, karena a merupakan unsur berikutnya dari tiap unsur yang lain. tidak mempunyai elemen pertama. d bukan
elemen pertama karena d tak mendahului e.
&. ELEMEN MAKSIMAL DAN MINIMAL
=isal adalah himpunan terurut, suatu elemen a ∈ adalah maksimal bila dan hanya
bila a ≤ > maka > + a, yaitu bila tidak ada elemen berikutnya dari a ke-uali elemen itu
sendiri. 4uatu elemen b ∈ adalah minimal bila dan hanya bila > ≤ b maka > + b, yaitu
bila tidak ada elemen yang mendahului b ke-uali elemen itu sendiri.
C+", 3.4/
-d e
f g
a b
1E
=aka d dan e adalah elemenelemen minimal, sedangkan a adalah elemen maksimal. F. =isal A+!a1, aF, a3, ...., am" adalah himpunan terhingga yang terurut total. =aka A
mempunyai tepat satu elemen minimal dan satu elemen maksimal yang berturut+turut ditulis oleh min!a1,aF,a3, ... ,am" dan maks !a1, aF,a3,...,am".
'. BATAS ATAS DAN BATAS BA0AH
=isal A himpunan bagian dari terurut parsial . Glemen m ∈ adalah batas bawah dari
A bila dan hanya bila m ≤ >, untuk semua > ∈ A. aitu bila m mendahului tiaptiap
elemen dalam A. Bila sebarang batas bawah dari A didahului oleh setiap batas bawah dari A, maka batas bawah tersebut disebut batas bawah terbesar dari A atau infimum dari A, ditulis 0nf (A).
Glemen = ∈ adalah batas atas dari A bila dan hanya bila > ≤ =, untuk semua > ∈ A,
yaitu bila = didahului oleh tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas atas dari A mendahului oleh setiap batas dari A, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil dari A atausupremum dari A ditulis sup(A).
A disebut terbatas di atas bila A mempunyai batas atas dan A disebut terbatas di bawah
bila A mempunyai batas bawah. Bila A mempunyai batas atas dan batas bawah maka A disebut"'!".
C+", 3.5 /
1. =isal +!a, b, -, d, e, f, g" adalah terurut oleh diagram berikut
=isal B+!-,d,e", maka a, b dan - adalah batasbatas atas dari B, dan f adalah batas bawah dari B, sedangkan g bukan batas bawah dari B karena g tidak mendahului d.
4elanjutnya - + 4up (B) termasuk kedalam B dan f +0nf (B) bukan anggota dari B. F. =isal I adalah himpunan semua bilangan rasional dan
