KALKULUS 2 TEKNIK ELEKTRO SEMESTER 2 UNI

(1)

(2)

DAFTAR ISI

BAB 1. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Dasar bilangan kompleks

Penjumlahan dan pengurangan Perkalian bilangan kompleks

1.4 Kesamaan bilangan kompleks 1.5 Bilangan kompleks secara grafis 1.6 Bilangan kompleks bentuk kutub BAB 2. DETERMINAN

2.1 Sifat-sifat determinan

2.2 Perhitungan nilai determinan 2.3 Determinan 3 variabel BAB 3. DIFERENSIAL

3.1 Diferensial Baku

3.2 Fungsi dari Suatu Fungsi 3.3 Perkalian Dua Fungsi 3.4 Pembagian Dua Fungsi 3.5 Diferensial Logaritmik 3.6 Diferensial Fungsi Implisit BAB 4. INTEGRAL

4.1 Integral Baku

4.2 Fungsi dari Suatu Fungsi Linier 4.3 Bentuk Integral

(3)

Buku Ajar Kalkulus II - 1 -

I. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

Tujuan :

1. Mahasiswa dapat memahami asal bilangan kopleks dan pangkat j

2. Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompeks kedalam bentuk grafis 3. Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk bilangan komples

4. Mahasiswa mampu mengoperasikan persamaan bilangan kompeks pada operator penjumlahan dan pengurangan.

Dasar bilangan kompleks

Bilangan komplek merupakan bilangan yang banyak digunakan dalam teknik elektro untuk menyelesaikan berbagai persoalan analitik. Banyak pemecahan masalah ke teknik elektro yang mampu diselesaikan dengan menggunakan bilangan kompels. Bilangan komplek berasal dari akar-akar persamaan kuadrat yang tidak dapat di definisikan lebih lanjut. Biasanya akar-akar persamaan kuadrat pada kondisi tersebut dikatakan sebagai bilangan imajiner atau bilangan khayal. Bilangan khayal merupakan kesepakatan para ahli matematika untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki akar –1 atau 1

Dari mana munculnya 1? Akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan mengunakan rumus abc. Rumus abc :

2 1 2

4. . ,

2.

b b a c x x

a

  



Perhatikan soal berikut : x2+4x+3 =0

Akar-akar persamaan kuadratnya adalah :

1 2

2 16 4.1.3 2 16 4.1.3

2.1 2.1

2 4 2 4

2 2

1 1 1 1

x atau x

x x

     

 

   

 

     

Pada prinsipnya akar-akar persamaan kuadrat tidak dapat diselesaikan. Bilangan yang muncul dari akar-akar imajiner persamaan kuadrat tersebut bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang terbentuk biasa ditulis dengan notasi sebagai berikut :

x= a + j b atau x = a – j b

(4)

jadi bilangan komplek adalah penggabungan antara bilangan real dan bilangan imajiner. j merupakan simbole dari 1 atau  1 j

Hasil dari persolan diatas adalah :

1 1 2 1

x    j x    j

kenapa hasilnya dua ?

Dikatakan bahwa x1 memiliki konjugasi bilangan yaitu x2.

Maka bilangan kompleks terdiri dari bagian real dan imajiner, dalam pernyataan seperti ; x = 3 + j5.

3 disebut bagian real dari x 5 disebut bagian imajiner dari x

Dengan mengingat bahwa j menyatakan 1, beberapa pangkat dari j. j = 1

j2 = -1

j3 = (j2)j = -1 . j = -j j4 = (j2)2 = (-1)2 = 1

Dengan cara yang sama berapa nilai j6, j9, j15.

Penjumlahan dan pengurangan

Contoh 1.

(4 + j5) + (3 – j2) = 4 + j5 + 3 – j2 = (4 + 3) + j(5 – 2) = 7 + j3

Contoh 2.

(4 + j5) - (3 – j2) = 4 + j5 - 3 + j2 = (4 - 3) + j(5 + 2) = 1 + j7

Jadi secara umum, (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) Sekarang kerjakan :

(5)

Perkalian bilangan kompleks

Perkalian dikerjakan dengan cara yang sama seperti kita menghitung perkalian, dengan cara :

(i) kedua suku yang kiri (ii) kedua suku yang dalam (iii) kedua suku yang luar (iv) kedua suku yang kanan

Contoh 1.

(5 + j6) (3 – j4) = 15 + j18 – j20 – j2 24 = 15 – j2 + 24

= 39 – j2

Contoh 2.

(4 + j5) (3 + j2) = 12 + j15 + j8 + j2 10 = 12 + j23 - 10 = 2 + j23

Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap.

Contoh

(4 + j5) (3 + j2) (2 - j) = (12 + j15 + j8 + j2 10) (2 - j) = (12 + j23 – 10) (2 - j) = (2 + j23) (2 - j) = ...

Jika ada perkalian dua bilangan komplek yang tanda didalam operasinya saling meniadakan disebut bilangan kompleks konjugat dan hasil bilangannya selalu riil.

Contoh.

(5 + j8) (5 – j8) = 25 + j40 – j40 – j2 64 = 25 + 64 = 89

(6)

33 , 1 67 , 1 3 4 3

5 3

4 5

j j

j

 

  

Tetapi jika penyebut dan pembilangnya sama dengan faktornya maka caranya adalah :













48 , 1 64

, 0 25 37 25

16

25 37 16

9 16

12 37

28 3

4 3 4

3 4

4 7

3 4

4 7

j j

 

  

 

 

 

 

1.4 Kesamaan bilangan kompleks

Jika dua buah bilangan kompleks sama, maka : (i) kedua bagian riilnya sama (ii) kedua bagian imajinernya sama

Sebagai contoh, jika x + jy = 5 + j4, maka kita ketahui nilai x = 5 dan y = 4. Jangan lupa menyertakan juga tandanya.

Sekarang bagaimana kalau ada permasalahan berikut : Jika (a + b) + j(a – b) = 7 + j2, tentukan harga a dan b.

Karena :

a + b = 7 dan a – b = 2 maka 2a = 9 → a = 4,5

2b = 5 → b = 2,5

Sekarang kerjakan soal berikut dengan cara diatas : (i) (a + b) + j(a – b) = 9 + j3

(ii) (a - b) + j(a + b) = 4 + j8 (iii) (a + b) - j(a – b) = 2 - j3

(7)

Buku Ajar Kalkulus II - 5 - Y

Y1

X

X1 0

3 -3

j3

-j3

Baiklah kita nyatakan kedua garis acuan diatas dengan xx1 dan yy1 seperti biasa, maka akan kita dapatkan :

(i) Skala sepanjang sumbu x menyatakan bilangan riil, karena itu xx1 disebut sumbu riil.

(ii) Skala sepanjang sumbu y menyatakan bilangan imajiner, karena itu yy1 disebut sumbu imajiner.

Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand

Contoh.

(i). Z1 = 2 + j3 (ii). Z1 = 4 - j3

Jawab.

0 4 x

-3

2 3

(8)

1.6 Bilangan kompleks bentuk kutub

Kadang-kadang lebih memudahkan menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, karena z = a + jb maka bentuk kutub (polar) dapat ditulis :

2 2

2

b

a

r

b

a

r











a b a

b 1

t an

t an    



sin

cos

dan b r

r

a



Contoh.

Nyatakanlah Z = 4 + j3 dalam bentuk kutub. Jawab.

5 25

3

42 2

2 2

2

 

 

r r

b a

r

' 0

52 36

75 , 0 t an

4 3 t an

  



Maka 5(cos36052' sin36052')

j

z  

Latihan soal.

1. Nyatakan dalam bentuk a + jb (i) (4 – j7)(2 + j3)

(ii)

j j

 

2

3 4

(iii) 5(cos 2250 + j sin2250) (iv)

3300

4

2. Nyatakan dalam bentuk kutub (i) 3 + j5

(ii) -4 - j5

(9)

BAB 2 DETERMINAN

Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur dalam sebuah bujur sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal serta mempunyai satu harga tertentu.

2.1 Sifat-sifat determinan

a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama dengan nol, maka harga determinan = 0

D =

0 0 0

5 3 2

1 4 2

 = 0 D =

2 0 5

1 0 3

4 0 2

= 0

b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

D = 3 2

1 1

= 1 D =

3 1

2 1

= 1

c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

D = 3 2

1 1

= 1 → ditukar baris D = 1 1

3 2

= –1

→ ditukar kolom D =

2 3

1 1

= –1

d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama (identik), maka harga determinan itu = 0

D =

6 5 3

4 2 1

= 0 D =

6 4 4

5 2 2

3 1 1

= 0

Ada 2 baris yang sama Ada 2 kolom yang sama

(10)

Buku Ajar Kalkulus II - 8 - D =

3 2

1 1

= 1 ↔ baris 1 dikalikan 2 → D = 3 2

2 2

= 6 – 4 = 2

↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =

3 4

1 2

= 6 – 4 = 2 f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang baris atau kolom

dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris (kolom) yang lain.

D = 4 3

2 1

= –2 ↔ ekspansi baris H21 (-2) D = 4 3

2 1

=

D = 0 1

2 1

= –2

↔ ekspansi kolom K21 (-1) D = 1 3

1 1

= –2

2.2 Perhitungan nilai determinan

a) Metode Sarrus

Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde tiga saja.

D =

32 22 12

31 21 11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a

D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) – (a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)

Contoh soal:

[A] =

1 4 2

1 3 1

4 2 1 

 

→ →

1 4 2

1 3 1

4 2 1 

 

2 1 1  4

3 2 

= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1) = (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2

(11)

b) Metode Chio

Harus dibuat MSA

A =               1 4 2 1 3 1 4 2 1             7 0 0 3 1 0 4 2 1

= Harga determinannya menjadi = 1.1.(– 7) = – 7 (Kalikan diagonal

utamanya) Contoh soal: A =                  2 0 3 1 1 1 5 3 1 4 4 2 0 3 2 1                 2 3 1 0 1 10 1 0 1 2 0 0 0 3 2 1

Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a22 maka diadakan pertukaran baris dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)

Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan (–1).

(–1)

                2 3 1 0 1 2 0 0 1 10 1 0 0 3 2 1

→ → (–1)

               1 13 0 0 1 2 0 0 1 10 1 0 0 3 2 1

(–1)

               1 13 0 0 1 2 0 0 1 10 1 0 0 3 2 1

→ → (–1)

              2 15 0 0 0 1 2 0 0 1 10 1 0 0 3 2 1

[A] = (–1) . 1 . (–1) . 2 . 152 = 15.

c) Metode minor (ekspansi)

Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1), simbol yang ditulis Mij.

Contoh soal:

H21 (1) ~ H31 (-2)

H21 (2) ~ H31 (3)

~ H41 (–1)

H42 (–1) ~

(12)

Buku Ajar Kalkulus II - 10 - 1). A =

   

 

   

 

 



2 0 3 1

1 1 5 3

1 4 4 2

0 3 2 1

→ → Minor (M23) =

    

    

 



2 3 1

1 5 3

0 2 1

→ → Minor (M41) =

    

    

 

1 1 5

1 4 4

0 3 2

2). D =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

Harga determinannya adalah:

D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] – [(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)] = [a11(a22 . a33– a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +

[a13 (a21 . a32– a22 . a31)] = a11

33 32

23 22

a a

– a12

33 31

23 21

a a

+ a13

32 31

22 21

a a

= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)

d) Metode Eliminasi

Bagaimana menyelesaikan pasangan persamaan simultan dengan cara eliminasi, misalnya ;

2x + 3y + 2 = 0 ……..(i) 3x + 4y + 6 = 0 ……..(ii)

kita dapat mengeliminasi y dahulu untuk memperoleh harga x. maka :

2x + 3y + 2 = 0 x4 8x + 12y + 8 = 0 3x + 4y + 6 = 0 x3 9x + 12y +18 = 0

maka diperoleh :

(13)

e) Metode Determinan

Jika persamaan diatas kita selesaikan dalam bentuk determinan maka persamaan tersebut kita sederhanakan menjadi ;

0 0 2 2 2 1 1 1       d y b x a d y b x a , 2 2 1 1     b a b a

disebut determinan orde dua (karena ada dua baris dan dua kolom)

dan bentuk ini mewakili bentuk

a

₁

.

b

₂



a

₂

.

b

₁

.

Kita dapat mengingat dengan mudah dengan + , -

contoh. 1). 4.3 5.2 12 10 2 3 5 2 4         

2). 7.3 6.4 21 24 3 3 6 4 7          

Dalam memecahkan persamaan :

0 0 2 2 2 1 1 1       d y b x a d y b x a

Kita peroleh bahwa :

1 2 2 1 1 2 2 1 . . . . b a b a d b d b x    _          1 2 2 1 1 2 2 1 . . . . b a b a d a d a y

Bentuk determinannya :

                   2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a d a d a y dan b a b a d b d b x maka :                    2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 b a b a d a d a y dan b a b a d b d b x

(14)

Buku Ajar Kalkulus II - 12 - Tinjaulah bahwa :

                  2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 2 1 1

1 , ,

b a b a d a d a d b d b Sehingga : 0 2 1 1       y x Contoh :

1). Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan. 0 17 4 3 0 19 2 5       y x y x Penyelesaian.

₅ ₄ ₃ ₂ ₂₀ ₆ ₁₄

4 3 2 5 2 2 1 1

0     

        

 x x

b a

2 17 4 19 34 76 42

17 4 19 2 2 2 1 1

1     

        

 x x

d b

5 17 3 19 85 57 28

17 3 19 5 2 2 1 1

2     

        

 x x

d a d a 0 2 1 1       y

x _→

14 1 28 42     y x

x x 3 dan

14 42 14

1

42 

   

 14₂

28 14 1 28        y y y

2). Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan. 0 5 2 3 2 12 3 2       y x y x Penyelesaian. 0 5 2 3 2 12 3 2       y x y x → 0 5 2 3 0 2 12 3 2        y x y x → 0 5 2 3 0 14 3 2       y x y x



2 2

  

3 3 4 9 13

2 3 3 2 2 2 1 1

0      

         

 x x

b a

  

3 5 2 14



15 28 13

5 2 14 3 2 2 1 1

1       

          

 x x

d b

(15)

  

2 5 3 14



10 42 52

5 3 14 2 2 2 1 1

2      

         

 x x

d a d a 0 2 1 1       y

x _→

13 1 52

13  

  

y x

x x 1 dan

13 13 13

1

13  

    

 ₄13

52 13 1 52          y y y Latihan soal.

1. Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan. 0 2 2 3 0 20 3 4       y x y x

2. Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara determinan. 0 13 3 2 2 3 2       y x y x

2.3 Determikan 3 variabel

Sebuah determinan orde ketiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom, yaitu :

3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a

Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan MINOR nya, yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut, misalnya ;

Minor

a

₁adalah

3 3 2 2 c b c b diperoleh dari 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a

Minor

b

₁ adalah

3 3 2 2 c a c a diperoleh dari 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a

Minor

c

₁ adalah

3 3 2 2 b a b a diperoleh dari 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a

(16)

Buku Ajar Kalkulus II - 14 - 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c a b a c c a c a b c b c b a c b a c b a c b a    Contoh. 21 120 12 153 ) 24 ( 5 ) 6 ( 2 ) 51 ( 3 ) 12 36 ( 5 ) 14 8 ( 2 ) 63 12 ( 3 9 2 6 4 5 2 2 7 4 2 2 9 7 6 3 2 9 2 7 6 4 5 2 3                    

Sekarang metode ini kita perluas dengan memecahkan persamaan simultan dengan 3 (tiga anu). 0 0 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1             d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a

Jika kita cari nilai x, y, dan z dengan cara eliminasi akan kita dapatkan bahwa hasilnya dapat dinyatakan dalam bentuk determinan, yaitu :

3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 c b a c b a c b a d b a d b a d b a z d c a d c a d c a y d c b d c b d c b x     

Kita dapat menyederhanakan hasil ini dengan mudah dalam bentuk : 0 3 2 1 1         z y x Dengan :

∆1 = determinan dari semua koefisien bila suku x dihilangkan

∆2 = determinan dari semua koefisien bila suku y dihilangkan

∆3 = determinan dari semua koefisien bila suku z dihilangkan

(17)

Buku Ajar Kalkulus II - 15 - Contoh.

Carilah harga x dari persamaan

0 11 5 2 0 13 2 3 0 4 3 2            z y x z y x z y x Jawab.

Untuk memperoleh harga x maka hubungan

0 1 1    x 28 5 51 18 2 1 1 3 1 5 1 2 3 3 5 2 2 1 2 5 2 1 2 1 3 1 3 2 0               56 36 37 129 5 2 2 1 4 11 2 13 1 1 11 5 13 2 3 11 5 2 13 2 1 4 1 3 1                    Jadi : 0 1 1    x → 28 1 56    x 2 28 56   x x Latihan soal.

(i) Hitunglah

1 9 8 3 6 4 5 7 2

(ii) Carilah harga x dan z dengan cara determinan dari persamaan berikut :

0 11 5 2 0 6 3 5 0 8 2 4 3             z y x z y x z y x

(iii) Carilah harga x, y dan z dengan cara determinan dari persamaan berikut :

(18)

BAB 3

DIFERENSIAL

3.1 Diferensial Baku

) (x f y

dx dy

1

xn nxn-1

2

ex ex

3

ekx kekx

4

ax ax ln a

5

ln x

x 1 6

loga x

a x.ln

1

7

sin x cos x

8

cos x -sin x

9

tan x sec2 x

10

cot x -cosec2 x

11

sec x sec x.tan x

12

cosec x -cosec x.cot x

13

sinh x cosh x

14

cosh x sinh x

Contoh. 1). y = x5

nx 1 5x5 1 5x4 dx

dy  n   

2). y = e3x

kekx e x dx

dy 3

3

 

(19)

a a a a

dx dy x

ln . ln  5



4). y = x-4

nx 1 4x41 4x5 dx

dy n

3.2 Fungsi dari Suatu Fungsi

Sin x ádalah fungsi x karena harga sin x bergantung kepada harga sudut x. Demikian pula sin (2x + 5) adalah fungsi sudut (2x + 5).

Jadi sin (2x + 5) adalah fungsi dan fungsi x dan secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai fungsi dari suatu fungsi.

Contoh.

1). Diferensialkan y = sin (2x + 5). misalkan u = 2x + 5 , y = sin u →

dx du du dy dx dy

.

 → u

du dy

cos

 , 2

dx du

maka cos(2x5).2 2cos(2x5) dx

dy

2). Diferensialkan y = (2x + 5)4.

jawab. (2x5)4 4(2x5)3.28(2x5) dx

dy

3). Diferensialkan y = cos 2x.

jawab. x x x

dx dy

2 sin 2 2 . 2 sin 2

cos  



Latihan.

1). y = cos (x2)

2). y = ln (3 – 4 cos x) 3). y = esin 2x

4). y = sin2 x

5). y = log10 (2x – 1).

3.3 Perkalian Dua Fungsi

Untuk mendiferensiasikan suatu perkalian harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut :

(20)

Jika y = u.v, dengan u dan v adalah fungsi x, maka diferensiasinya adalah :

dx du v dx dv u dx dy

 

Contoh.

1). y = x3 . sin 3x

dimana nilai u = x3, dan v = sin 3x

 



x x x



x

x x x

x dx dy

3 sin 3 cos . 3

3 . 3 sin 3 cos 3 .

2

2 3

 

2). y = e2x ln 5x

dimana nilai u = e2x, dan v = ln 5x

 

   

   

 

x x

e

e x x

e dx dy

x

x x

5 ln 2 1

2 . 5 ln 5 . 5

1 . 2

2 2

3.4 Pembagian Dua Fungsi

Jika v u

y , dengan u dan v adalah fungsi x, maka telah kita ketahui bahwa :

2 v

dx dv u dx du v

dx

dy 



Contoh. 1).

1 3 sin

 

x x y

2 v

dx dv u dx du v

dx

dy 



2 ) 1 (

1 . 3 sin 3 cos 3 ). 1 (

 

 

x

x x

x dx dy

1 2

3 sin ) 3 cos 3 3 cos 3 (

2  

 



x x

(21)

2). _x

e x y ln₂

2 v

dx dv u dx du v

dx

dy 



x x x

e e x x e

dx dy

4 2 2

2 . ln 1 . 



x x

e x x

e

dx dy

4 2

ln 2 1

   

   

x e

x x

dx dy

2 ln 2 1

   

   

Latihan soal.

1) y = x2 tan x 2) y = e4x (5x + 1) 3) cos₂5

x x y

4)

1 2

3  

x e y

x

3.5 Diferensial Logaritmik

Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien diferensial lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai diferensiasi logaritmik. Dengan mengingat marilah kita tinjau sebuah kasus :

.

,

dengan u v danwbegitu pula yadalah fungsi x w

uv y



Pertama-tama kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e. w

v u

y ln ln ln

ln   

Kemudian kita diferensiasikan masing-masing ruas terhadap x, dengan mengingat bahwa u, v, w dan y semuanya adalah fungsi x.

dx dw

w dx

dv

v dx

du

u dx

dy

y .

1 .

1

 



Untuk memperoleh dx dy

(22)

Buku Ajar Kalkulus II - 20 -          dx dw w dx dv v dx du u w v u dx dy . 1 . 1 . 1

Bentuk ini bukanlah suatu rumus yang harus dihafalkan, tetapi langkah pengerjaannyalah yang harus diingat.

Contoh. 1). x x x y 2 cos sin 2  Tentukanlah dx dy nya. Jawab. x x x

y ln lnsin lncos2

ln  2  



   _ _         x tg x ctg x x x x dx dy x tg x ctg x x x x x x x dx dy y 2 2 2 2 cos sin 2 2 2 ) 2 sin 2 .( 2 cos 1 cos . sin 1 2 . 1 . 1 2 2

2).

y



x

4

e

3x

tg

x

Tentukanlah dx dy nya. Jawab. x tg e x

y ln ln x ln

ln  4  3 

               x tg x x x tg e x dx dy x tg x x x x tg e e x x dx dy y x x x 2 3 4 2 2 3 3 3 4 sec 3 4 sec 3 4 sec . 1 3 . 1 4 . 1 . 1

3.6 Diferensial Fungsi Implisit

(23)

Buku Ajar Kalkulus II - 21 - xy + sin y = 2.

Dalam hal semacam ini, y disebut fungsi implicit dari x, karena hubungan dalam bentuk y = f(x) tersirat di dalamnya.

Contoh.

1). y  x2  y2 2x6y5 0 Tentukanlah

dx dy

Jawab.

6 2

2 2

2 2 )

6 2

(

0 6

2 2

2 ) (

  

  

 

 

y x dx

dy

x dx

dy y

dx dy dx

dy y x

i

2). y



x2



2

xy



3

y2



4

Tentukanlah dx dy

nya. Jawab.

) 3 (

) (

) 6 2

(

) 2 2

(

) 2 2

( )

6 2

(

0 6

2 2

2

y x

y x y

x

y x

dx dy

y x

dx dy y x

dx dy y y

dx dy x x

 

 

 



 

 

 

Latihan Soal.

1. Tentukanlah dx dy

, jika x3  y3 3xy2 8

2. Diferensialkanlah terhadap x, dari fungsi y  x5 sin2xcos4x 3. Diferensialkanlah terhadap x, dari fungsi _x

e

x x

(24)

BAB 4

INTEGRAL

4.1 Integral Baku

1 _∫xn

dx _C

n xn

 



1 1

2

dx x 1

 ln x + C

3 _∫ex

dx ex + C

4

∫ekx

dx _C

k ekx



5

∫ax

dx C

a ax

 ln

6 _{∫sin x dx}

-cos x + C

7 _{∫cos x dx}

sin x + C

8 _∫sec2

x dx tan x + C

9 _{∫sinh x dx}

cosh x + C

10 _{∫cosh x dx}

sinh x + C

11

 

dx x2 1

1 

 1_x__C

sin

12

 

dx x2 1

1  

 1_x__C

cos

13

dx x2 1

1



 tan1xC

14

 

dx x 1

1 2



 1_x__C

sinh

15

 

dx x 1

1 2



 1_x__C

cosh

16

dx x2 1

1



 tanh1xC

Contoh.

1). e dx e C x

x  



(25)

Buku Ajar Kalkulus II - 23 - 2). x dx x C

7 7 6

3).  xdxx dx x C 3 2

2 3 2

1

4). dx x C

x  

5 5ln

4.2 Fungsi dari Suatu Fungsi Linier

Sebelum kita dapat menyelesaikan operasi ini, kita harus mengubah variabelnya dahulu.

Contoh.

1).  xdx xC 4

4 tan 4

sec2

2). dx x C

x 

 

 

2 ) 3 2 ln( 3

2 1

3). 



x



dx



x



C 



x



C 6

7 2 3

. 2

7 2 7

2

3 3

2

Latihan. 1). e5xdx 2). x7dx

3). cos



7x2



dx 4). e5x4dx

5). dx

x 3 4

1

 

4.3 Bentuk Integral

dx x f x f dan dx x f

x

f l

l



( ). ( )

) (

Contoh.

1).



  

 

 x dx x C

x dx

x x

) 4 ln(

2 4

3 2 4

6 3

3 2

2). dx x C

x x dx

x

x _ _ _

 





ln( 4)

3 2 4

3 3 2 4

2 3

3 2

(26)



_



_  _ dx

x x x ii dx x x i 5 4 8 4 ) 4

) ₃ ₂

2

4.4 Integral Parsial (Pembagian)

Bentuk integral ini lebih mudah diingat, tetapi bentuk sebelumnya memberikan artinya secara lebih terperinci. Cara ini dikenal dengan sebagai cara integrasi perbagian atau integrasi parsial.



 



dx

dx du v v u dx dx dv u



u dv  u v



vdu Contoh.

1).



_



          dx x x x x dx du v v u x dv dan x u misal dx x

x .1

3 1 3 ln . ln ln . 3 3 2 2

 x x



x2 dx 3

3 1 ln

3

 x x x C 3 . 3 1 ln 3 3 3

 x x ) C 3

1 (ln

3 3

2)







        

misalu x dandv e uv vdu x e e xdx dx e x x x x x . 3 2 3 . . 3 3 2 3 2 3 2





        

 x e x e e xdx x x 3 3 3 2 3 1 3 3 2 3 C e e x e

x x x x







3

9

2

9

2

3

3 3 3 2

e



x x C

x        9 2 3 2 3 2 3 Latihan.

1). e x xdx sin 3 

2).  x4e3x dx

3). _dx

x x

cosh sinh



4). dx

x x x 1 4 4 2

2  

(27)