STATISTIKA LINGKUNGAN

(1)

STATISTIKA LINGKUNGAN

TEORI PROBABILITAS

(2)

Probabilitas - pendahuluan

• Statistika deskriptif : menggambarkan data

• Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan • Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan

akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel

(3)

Konsep Probabilitas

Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan

S S

S

A

(4)

Kategori Probabilitas

• Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)

• Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas • Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas

berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen

• Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang

(5)

Contoh:

1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu yang menderita campak Jerman saat hamil?

2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan 2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan

tidak kidal?

3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk

(6)

PERANAN PROBABILITAS

• Pembuatan model, analisis matematis, simulasi komputer

banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal _model kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi

sebenarnya. sebenarnya.

• Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan pada ketidakpastian _{banyak keputusan terpaksa harus diambil:} * tanpa memandang kelengkapan informasi

(7)

PERANAN PROBABILITAS

• Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian

pengaruhnya pada perilaku dan perancangan

suatu sistem _{melibatkan konsep atau metode} suatu sistem _{melibatkan konsep atau metode} probabilitas (kemungkinan).

• Variabel acak variabel yang tidak dapat

diramalkan dengan pasti _{nilainya hanya dapat} diramalkan dengan probabilitas.

(8)

PERANAN PROBABILITAS

• Ketidakpastian yang lain pemodelan atau

penaksiran tidak sempurna _{nilai rerata tidak} akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas.

• Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli

(9)

DASAR-DASAR PROBABILITAS

• Probabilitas

mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa lain _{ada lebih dari satu kemungkinan masalah}

menjadi tidak tertentu (non deterministik).

sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain.

memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau

(10)

DASAR-DASAR PROBABILITAS

• Contoh : aerator _{taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%.}

Digunakan 3 aerator _{pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?}

Aerator 1 B B B R R R B R

Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%

Aerator 2 B B R R B R R B

(11)

ELEMEN TEORI HIMPUNAN

• Ruang sampel (sample space) gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah

probabilitas _{secara individu titik sampel.} probabilitas _{secara individu titik sampel.} • Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang

sampel.

• Ruang sampel bisa bersifat : * diskrit atau kontinu

(12)

Variabel Diskrit

Distribusi probabilitas variabel acak diskrit:

gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta probabilitas untuk terjadi.

Expected value: merupakan nilai rata-rata (µ_x)

semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau

probabilitas

12/23/2012 Dwina Roosmini

(13)

ELEMEN TEORI HIMPUNAN

• Peristiwa mustahil (impossible event) φ peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong.

himpunan kosong.

• Peristiwa tertentu (certain event) S

peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel.

• Peristiwa komplementer (complementary event) E semua titik sampel dalam S yang tidak

(14)

(15)

Pasien hipertensi

Pasien kelebihan berat

badan _{Pasien perokok}_{Pasien perokok}

(16)

Mamalia Unggas

Binatang

(17)

Independen

Peristiwa terjadi dengan bebas

Kelinci yang diinokulasi virus polio

Darah kelinci mengandung antibodi cacar Darah kelinci mengandung antibodi cacar

Kelinci yang diinokulasi virus polio

(18)

Aturan Probabilitas

1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil suatu proses atau

eksperimen/pengamatan

2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut

komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka

P(A’)=

1

- P(A)

3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan terjadi bersama adalah 12/23/2012

0

Dwina Roosmini

(19)

Aturan probabilitas (lanj.)

4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing _{P(A atau B) = P(A) + P (B)}

5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas

baik A atau B terjadi adalah P(A atauB)= P(A) + P(B) – P(A dan B)

6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)

(20)

Aturan probabilitas (lanj.)

7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B) = P(A) x P(B)

8. Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B)= P (A) x P(B/A)

12/23/2012

Dwina Roosmini 20

(21)

Aturan Penjumlahan

• Mutually Exclusive:

Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B)

• Not Mutually Exclusive:

Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B)-P(A dan B)

(22)

Contoh:

• Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel

mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb?

• Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?

(23)

Lokasi produksi mobil

Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian Jumlah Ya Tidak US 7 293 300 Non US 13 187 200 20 480 500

a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ?

b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US? c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan

perbaikan?

d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US? e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?

(24)

a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu

perbaikan/jumlah total perbaikan/jumlah total mobil baru

(25)

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas

mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan

diproduksi di USA/jumlah diproduksi di USA/jumlah total mobil baru

(26)

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas

mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?

P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan

diproduksi di USA/jumlah diproduksi di USA/jumlah total mobil baru

(27)

Mutually Exclusive

c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan?

P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak

memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1

(28)

Not Mutually Exclusive

d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di USA

P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) =

P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) = 0,626 = 62,6 %

(29)

Independen

• Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali pelemparan dadu?

(30)

Distribusi Probabilitas

Terdapat 2 kelompok:

Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu Distribusi probabilitas kontinu

(31)

Distribusi Probabilitas Diskrit • Binomial • Hypergeometrik Poisson • Normal • Binomial • Uniform Distribusi Probabilitas Kontinu • Poisson • Geometrik • Multinomial • Uniform • Log Normal • Gamma 12/23/2012 Dwina Roosmini 31

(32)

Expected Value

µ_x=E(x)=∑ Xi P(Xi)

X= Variabel acak distkrit

Xi= Hasil X pada perlakuan I

P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X

i = 1,2,3,….,n

Varians = σ_x2=∑(Xi-µ_x)2 P(Xi)

Standard Deviasi = σ_x

(33)

Contoh: Data kecelakaan lalu lintas

X Frek. Relatif P(X) 0 6 0,10 1 12 0,20 Nilai rata-rata/Expected value?

Varians dan standard deviasi? 1 12 0,20 2 27 0,45 3 9 0,15 4 3 0,05 5 3 0,05 12/23/2012 Dwina Roosmini 33 deviasi?

(34)

Expected value=µ_x= Ex= ∑ Xi P(Xi)= (0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,0 5)+(5)*(0,05)= 2 Varians= (0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (3-2)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4 Standard Deviasi= √1,4=1,18 12/23/2012 Dwina Roosmini 34

(35)

Distribusi Binomial

Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: 1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak

2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 3. Hanya ada dua kemungkinan hasil

4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya

(36)

Distribusi Binomial

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali

12/23/2012 Dwina Roosmini 36

Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b

(37)

Distribusi Binomial

x n x x n x p x n x p n p p x n p n x b − − − − = −       = (1 ) )! ( ! ! ) 1 ( ) , ; ( ) 1 ( p np − = σ 12/23/2012 Dwina Roosmini 37 Dimana x= 0,1,2,3,:n n!=n(n-1)(n-2)(n-3)::.. 0!=1 Rerata= µ=n*p Simpangan baku=

(38)

Distribusi Binomial

Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas

keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3. keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.

2646 , 0 ) 3 , 0 1 ( 3 , 0 2 4 ) 3 , 0 , 4 ; 2 ( _ 2 − 4 2 =      = − b 12/23/2012 Dwina Roosmini 38

(39)

Tabel Distribusi Binomial

n x p 0,05 0,1 0,5 16 0 1 0,8108 1 0,8108 2 0,9571 3 0,9930 ) , ; 1 ( ) , ; ( ) , ; (x n p B x n p B x n p b = − − 12/23/2012 Dwina Roosmini 39

(40)

Distribusi Hipergeometris

• Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali

• Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak • Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N

• Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:

1. a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan 2. (a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak

• Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h

(41)

Distribusi hipergeometrik

) ( ) , , ; ( − − = =                                   n N x n a N x a x P N a n x h ) 1 ( 2 ) )( ( . 2 ) / ( ,... 2 , 1 , 0 ) ( ) ( dan : dimana − − − = = = − = − ≤ − ≤     N N n N a N a n N a n rata Rata n x a N x n a x n σ µ 12/23/2012 Dwina Roosmini 41

(42)

Distribusi Hipergeometrik

Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan

memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan

suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat

(43)

Distribusi Poisson

• Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll

• Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan • Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan

p<< _{n.p ≤10} • Batasan:

1. µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang

2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang adalah 0

3. peristiwa satu dengan lainnya independen

(44)

Distribusi Poisson

s peristiwa rata -rata ,... 3 , 2 , 1 , 0 untuk ! ) ; ( λ µ µ µ µ = = = − = x x x e x P 12/23/2012 Dwina Roosmini 44

Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil sebagai berikut:

3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb

Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?

(45)

Distribusi Geometris

• Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x percobaan, gagal= x-1.

• Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1) • Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1)

pada percobaan (x-1) adalah g

p dengan x p p x P p x g / 1 1 ) 1 ( ) ( ) ; ( = − − = = µ 12/23/2012 Dwina Roosmini 45

(46)

Distribusi Multinomial

Sampel n bersifat bebas

Semua hasil merupakan mutually exclusive

Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D xk pk x p x p xk x x x n xk x x x m 1 1 2 2... ! !... 3 ! 2 ! 1 ! ) ,..., 3 , 2 , 1 ( = = 12/23/2012 Dwina Roosmini 46