Minggu 12. MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Minggu 12

Simulasi

Model adalah himpunan formula yang

mendeskripsikan hasil pengamatan dari suatu

percobaan atau fenomena dunia nyata yang dapat digunakan untuk melakukan perkiraan/ramalan. Apabila pengamatan tidak dapat dilakukan (sulit, memakan waktu lama, mahal, berbahaya), dapat digunakan simulasi komputer, atau menggunakan program komputer untuk meniru kenyataan.

Simulasi Digunakan Jika…

• Percobaan sebenarnya tidak mungkin

dilakukan (studi Efek Rumah Kaca)

• Percobaan berbiaya tinggi, memakan waktu

lama, atau berbahaya (studi reaksi nuklir)

• Sistem belum ada (pembangunan pesawat

udara)

• Ingin dicoba berbagai alternatif kejadian

(prediksi angin topan)

Kekurangan Simulasi Komputer

• Pembuatan simulasi dapat memakan waktu yang lama atau biaya yang mahal.

• Karena tidak mungkin menguji semua alternatif, kita bisa memperoleh solusi yang baik, namun bukan yang terbaik.

• Solusi sulit diverifikasi Karena data real tidak tersedia.

• Ketika simulasi bersifat probabilistik, kita harus berhati-hati dengan kesimpulan kita.

Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo

adalah suatu model

Deterministik vs Probabilistik

Deterministik Probabilistik

Semua data diketahui sebelumnya.

Setelah sistem dimulai, kita tahu pasti apa yang akan terjadi

Melibatkan unsur kemungkinan.

Kita tahu peluang suatu

kejadian akan terjadi, tapi kita tidak tahu kapan kejadian

tersebut terjadi. Contoh:

Memperkirakan jumlah uang dalam rekening bank.

Contoh:

Melempar dadu sampai muncul angka “5”.

Asal Mula Simulasi Monte Carlo

John von Neumann (1903-1957) Stanislaw Ulam • Game theory • Quantum mechanics • Economics • Cellular automata • Nuclear weapons

• Computer science (“von Neumann bottleneck”)

Random Number

Random number

adalah bilangan yang dipilih

dengan mempergunakan peluang yang

muncul dari suatu distribusi.

Himpunan random number dengan

kardinalitas besar akan merepresentasikan

distribusi yang digunakan tersebut.

(Pseudo) Random Number

“True randomness is rare” (terjadi di alam seperti dalam perubahan cuaca atau terjadinya petir)

random.org

Kita dapat meniru perilaku random melalui proses yang deterministik.

Linear congruential method menggunakan operasi modulo untuk membangkitkan barisan r

r₀ = 10

Linear Congruential Method

Secara umum:

r₀ = seed

r_n = (multiplier * r_{n -1} + increment) mod modulus, for n > 0

Penelitian banyak dilakukan untuk membuat barisan ini sulit diprediksi (misalnya, untuk codebreaking).

Perioda (panjang sebelum pengulangan) harus sebesar mungkin.

Selang dan Tipe Random Numbers

Kita dapat membatasi selang dan memperoleh bilangan real atau bilangan bulat

Modulus memberikan nilai maksimum sehingga dapat dilakukan pembagian untuk memperoleh bilangan real dalam selang [0,1].

Dapat juga dilakukan penskalaan ulang untuk memperoleh maksimum dan minimum yang baru:

s = (max – min) * rand + min

Selain itu, dapat ditentukan random number yang merupakan bilangan bulat:

9.3 Menghitung Luas Daerah

dengan Simulasi Monte Carlo

Pendahuluan

Dalam Metoda Numerik, dipelajari metoda

deterministik untuk menghampiri luas daerah

yang dibatasi oleh suatu kurva (Riemann,

trapesium, atau Simpson).

Kita dapat juga melakukan hampiran dengan

menggunakan random number (probabilistik).

Anggap kita melempar banyak dart secara

random pada suatu daerah, kemudian

menghitung bagian yang berada di bawah

kurva.

x

f

(x

x

f

(x

Hampiran Luas Daerah

Luas daerah dapat diestimasi dengan:

(area of enclosing rectangle) * (# below) / (# darts)

Area of enclosing rectangle = 2*1.5 = 3.0

Menentukan Apakah Suatu Titik Terletak

di Atas atau di Bawah f(x)

Setiap “dart” memiliki kordinat (x, y) Substitusikan x ke dalam fungsi

Jika f(x) > y maka dart berada di bawah fungsi; dan sebaliknya, berada di atas fungsi.

x f (x ) x, y

Contoh

(0.2, 0.5)

x f (x ) x, y

Contoh

5 . 0 4002 . 1 1 ) 2 . 0 ( cos ) 2 . 0 (  2    f

Hampiran yang Lebih Baik

Hampiran yang lebih baik dapat dilakukan

dengan melemparkan lebih banyak dart.

Ini dapat dilakukan dengan:

• Mendefinisikan banyaknya dart sebagai

bilangan yang besar, atau

• Melakukan simulasi beberapa kali dan

kemudian menghitung rata-ratanya.

9.4 Random Number dengan

Berbagai Distribusi

Distribusi

Distribusi

bilangan adalah deskripsi yang

menyatakan rata-rata peluang kemunculan setiap

kemungkinan keluaran atau selang keluaran.

Histogram

merupakan penggambaran dari suatu

distribusi.

Dalam suatu

distribusi uniform

semua keluaran

memiliki peluang kemunculan yang sama.

Distribusi Uniform: Simulasi Random Number

Metoda linear congruential akan menghasilkan

bilangan pseudorandom yang terdistribusi secara uniform.

Distribusi Diskrit vs Kontinu

Dalam distribusi diskrit, nilai dalam sumbu x dan y bersifat diskrit (terhitung dan berhingga).

Dalam distribusi kontinu nilai dalam sumbu x dan y bersifat kontinu (tak terhitung).

Dalam praktek, kita dapat memodelkan distribusi

kontinu secara diskrit dengan menggunakan metoda

Probability Density Function

Dalam distribusi diskrit, probability density function

(atau density function atau probability function) memberikan peluang kemunculan dari suatu

keluaran.

Dalam distribusi kontinu, PDF menunjukkan peluang suatu keluaran akan muncul dalam suatu selang.

Membangun Random Number

Berdistribusi Non-Uniform

Bayangkan suatu roda roulette untuk memilih keluaran e₁, e₂, …. e₁ e₂ e₃ e₄ e₁ 60% e₃ e₄ e₂ 8% 10% 22% .60 .68 .78 1.0

Algoritma Pembangkit Random Number

Berdistribusi Non-Uniform

Diberikan peluang p₁, p₂, …. untuk kejadian e₁, e₂, …. Generate rand, a uniform random floating-point

number in [0,1); that is, from zero up to but excluding 1. if rand < p₁ then use e₁

else if rand < p₁+p₂ then use e₂

…

else if rand < p₁+p₂+…+p_n-1+then use e_n-1

Contoh

Suppose in a simulation involving animal behavior, a lab rat presses a food lever (FOOD = 1) 15% of the time, presses a water lever (WATER = 2) 20% of the time, and does neither (NEITHER = 3) the remainder of the time.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Levy Pollack Waltz Winston Minsky Tucker Lefschetz Story Klein Plücker Gerling Gauss

Distribusi Normal (Gaussian)

Standard deviation s dari himpunan nilai adalah rata-rata beda terhadap mean m.

Dalam distribusi normal (disebut demikian karena distribusi ini seringkali muncul) 68.3% dari data

terletak dalam ±s (standar deviasi 1) dari m; 95.5% terletak dalam ±2s; dan 99.7% dalam ±3s.

Distribusi Normal (Gaussian)

Distribusi normal memiliki PDF

Pembangkit random number biasanya

menggunakan m = 0, s = 1, sehingga PDFnya menjadi

adalah konstan, sehingga grafik fungsi

ditentukan oleh ; yaitu fungsi akan mencapai maksimum di x = 0 dan mendekati 0 pada saat x membesar atau mengecil tanpa batas.

Distribusi Normal (Gaussian)

Bagaimana distribusi yang demikian dapat dibangun dari random number yang terdistribusi secara

Algoritma Box-Muller-Gauss untuk

Membangkitkan Random Number

Berdistribusi Normal dengan Mean

m

dan Standard Deviation s

• Start with two uniform random numbers: • a in [0,2p)

• rand in [0,1) • Then compute

• Obtain two normally distributed numbers • b sin(a) + m

Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial yang sering digunakan adalah distribusi yang PDFnya mengecil secara eksponensial. Distribusi ini juga disebut 1/f noise (pink noise)

• noise = random • f = frekuensi; yaitu

kejadian besar yang jarang terjadi

• pink karena distribusi

uniform sering disebut “white noise”.

Algoritma Pembangkit Random

Number Berdistribusi Eksponensial

dengan PDF re

rt

_{, t>0, r<0}

• Start with uniform random rand in [0,1) • Compute ln(rand)/r

Histogram dari 1000 random number ln(rand)/(–2)

Probability density function

Algoritma Metoda Rejection

Untuk memperoleh random number dalam interval [a,

b) yang berdistribusi f(x):

• Generate randInterval, a uniform random number in [a, b)

• Generate randUpperBound, a uniform random number in [0, upper bound for f )

• If f(randInterval) > randUpperBound then use

Random Walk

Random walk

merupakan pergerakan secara

random dari suatu objek.

Dalam simulasi dinamik, obyek bergerak dalam

sel suatu

matriks

. Pada setiap waktu, obyek dapat

bergerak, mungkin dengan memenuhi

persyaratan tertentu, secara random ke sel

tetangga.

Cellular Automata

Cellular automata adalah model komputasi dinamik yang diskrit di dalam ruang, keadaan, dan waktu. Ruang dimodelkan sebagai array satu, dua, atau tiga dimensi.

Setiap sel dalam array memiliki keadaan, dan banyaknya keadaan yang mungkin hingga.

Aturan transisi memberikan relasi dan bagaimana sel akan berubah dari keadaan yang satu ke keadaan yang lain, yang akan

menentukan perilaku sistem.

Salah satu keuntungan adalah kita dapat memvisualisasikan

perubahan setiap waktu melalui animasi yang informatif. Misalkan kita dapat melihat simuasi pergerakan semut ke sumber makanan, penyebaran api, atau pergerakan molekul gas dalam suatu wadah.

Aplikasi

Random walk dapat memodelkan Brownian motion, yang merupakan perilaku molekul dalam larutan.

Pada tahun 1827, Robert Brown mengamati bahwa pergerakan random serbuk sari dalam larutan tidak terjadi karena kehidupan di dalam serbuk sari

tersebut.

Maxwell, Clausius, dan Einstein kemudian menjelaskan bahwa partikel larutan (yang tidak terlihat) menabrak partikel serbuk sari (yang terlihat), sehingga mengakibatkan pergerakan-pergerakan kecil.

Karena difusi dalam banyak hal, seperti polutan di atmosfir, kalsium dalam jaringan tulang, menunjukkan Brownian motion, simulasi yang menggunakan random walk dapat digunakan untuk memodelkan fenomena tersebut.

Dalam genetika, random walks digunakan untuk mensimulasikan mutase gen. Peneliti menggunakan metoda polymerase chain reaction (PCR) untuk

membuat banyak salinan dari suatu DNA. Untaian DNA memuat barisan dari empat basis A, T, C, and G. Dengan menggunakan teknik simulasi random walk, dapat ditentukan proporsi yang baik dari basis tersebut untuk mempercepat penggandaan DNA.

Jarak Tempuh Rata-Rata

Buatlah algoritma randomWalkDistance berdasarkan algoritma

randomWalkPoints, yang merupakan fungsi dengan parameter n, yang

akan memberikan keluaran jarak antara titik pertama dan terakhir dari random walk dengan n langkah.

Bagaimana dengan meanRandomWalkDistance yang memberikan keluaran jarak rata-rata?

Contoh Soal

1. Perform a simulation of Brownian motion of a pollen grain suspended in a liquid by generating a 3D random walk. Using documentation for your computational tool, investigate how to plot 3D graphics points and lines and create a 3D graphic of the walk.

2. A hiker without a compass trying to find the way in the dark can step in any of eight directions (N, NE, E, SE, S, SW, W, NW) with each step. Studies show that people tend to veer to the right under such circumstances.

Initially, the hiker is facing north. Suppose at each step probabilities of going in the indicated directions are as follows: N, 19%; NE, 24%; E, 17%; SE, 10%; S, 2%; SW, 3%; W, 10%; NW, 15%. Develop a simulation to trace a path of a hiker, and run the simulation a number of times. Describe the results. (Note that other than at the initial step, this simulation simplifies the problem by ignoring the direction in which the hiker faces.)