STATISTICS. Confidence Intervals (Rentang Keyakinan) Confidence Intervals (1)

STATISTICS

STATISTICS

Confidence Intervals

Confidence Intervals

(Rentang Keyakinan)

(Rentang Keyakinan)

Confidence Intervals

Confidence Intervals

(1)(1)

•

•

Estimasi Parameter

Estimasi Parameter

–

– Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter.Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. –

– Parameter-Parameter-parameter tsb umumnya tak diketahui.parameter tsb umumnya tak diketahui. –

– Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasiestimasi- -kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari

kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.

pengolahan data. –

– EstimasiEstimasi

•

• Estimasi tunggal (Estimasi tunggal (point estimatespoint estimates)) •

Statistika Confidence Intervals 3

Confidence Intervals

Confidence Intervals

(2)(2)

•

•

Estimasi Tunggal

Estimasi Tunggal

–

– ContohContoh

•

• Nilai rata-Nilai rata-rata sampel sbg estimasi nilai ratarata sampel sbg estimasi nilai rata--rata populasi.rata populasi.

•

• Nilai simpangan baku sampel sbg estimasi nilai simpangan Nilai simpangan baku sampel sbg estimasi nilai simpangan baku populasi. baku populasi.

μ

→

X

X X s →σ

Confidence Intervals

Confidence Intervals

(3)(3)

•

•

Estimasi parameter

Estimasi parameter

θ

θ

{

{

parameter estimasi

ˆ

_→

_θ

θ

Dicari suatu interval [

Dicari suatu interval [LL,,UU] yang memiliki probabilitas (1 –] yang memiliki probabilitas (1 –α) α) bahwa interval tsb mengandung

bahwa interval tsb mengandung θθ..

prob(L < θ < U) = (1 – α)

L

L= batas bawah rentang keyakinan.= batas bawah rentang keyakinan.

U

U= batas atas rentang keyakinan.= batas atas rentang keyakinan. (1

(1 ––α) = tingkat keyakinan (α) = tingkat keyakinan (confidence levelconfidence level, , confidence coefficientconfidence coefficient).).

L

Ldan dan UU= variabel random= variabel random

Æ

Statistika Confidence Intervals 5

Confidence Intervals

Confidence Intervals

(4)(4)

•

•

Contoh

Contoh

–

– Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 menunjukkan bahwa debit rata

menunjukkan bahwa debit rata--rata adalah 77 mrata adalah 77 m33_/s./s.

•

• Kita dapat memperkirakan debit rata-Kita dapat memperkirakan debit rata-rata Sungai A adalah rata Sungai A adalah 77 m

77 m33_/s./s.

•

• Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa debit dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa debit rata

rata--rata sama dengan 77 mrata sama dengan 77 m33_{/s adalah hampir tidak /s adalah hampir tidak}

mungkin terjadi: mungkin terjadi:

(

77m s

)

0 probQ = 3 =

Batas Bawah dan Atas

Batas Bawah dan Atas

(1)(1)

•

•

Metode Ostle:

Metode Ostle:

method of pivotal quantities

method of pivotal quantities

–

– Dicari variabel random Dicari variabel random VVyang merupakan fungsi yang merupakan fungsi parameter

parameter θθ (θ(θ= = unknownunknown), tetapi distribusi ), tetapi distribusi VVini ini tidak bergantung pada parameter yang tidak tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui.

diketahui. –

– Ditentukan Ditentukan vv₁₁dan dan vv₂₂sedemikian hingga:sedemikian hingga:

(

< <

)

=1−α

Statistika Confidence Intervals 7

Batas Bawah dan Atas

Batas Bawah dan Atas

(2)(2)

•

•

Metode Ostle:

Metode Ostle:

method of pivotal quantities

method of pivotal quantities

–

– Persamaan di atas diubah kedalam bentuk Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(

prob(LL< θ< θ < < UU) = 1-) = 1-αα –

– LLdan dan UUadalah variabel random dan fungsi adalah variabel random dan fungsi VV, tetapi , tetapi bukan fungsi bukan fungsi θθ..

(

< <

)

=1−α prob v₁ V v₂

Confidence interval:

Confidence interval:

µ

µ

suatu distribusi normal

suatu distribusi normal

•

•

Mencari interval [

Mencari interval [

L

L

,

,

U

U

] yang mengandung

] yang mengandung

µ

µ

,

,

prob(

prob(

L

L

<

<

µ

µ

<

<

U

U

) = 1

) = 1

–

–

α

α

•

•

Misal variabel random

Misal variabel random

V

V

:

:

–

– VVberdistribusi t dengan (berdistribusi t dengan (nn––1) degrees of fredom1) degrees of fredom –

– nnadalah jumlah sampel yang dipakai untuk adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata

menghitung nilai rata--rata sampel, rata sampel,

X

s

X

V

=

−

μ

Statistika Confidence Intervals 9 X

s

X

V

=

−

μ

Æ_{Æberdistribusi t?}berdistribusi t?

•

•

Bukti

Bukti

Distribusi t:

Distribusi t: = ν , ν=degreeof freedom U Y X

(

)

(

)

(

)

(

_{X X}

)

Y U n n X s n X n s X n s X s X V i X X X X ν ⋅ = σ − − ⋅ σ μ − = σ ⋅ σ μ − = σ σ μ − = μ − = μ − =

∑

2 2 2 2 2 2 1 1

(

)

1 , , ₂ 2 − = ν σ − = ν μ − = → U

∑

X X n n X Y i

•

•

Pers (2):

Pers (2):

(

)

_⎟⎟= −α ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ < μ − < ⇒ α − = < < 1 prob 1 prob _{1 2 1} v₂ s X v v V v X luas = (1 luas = (1 ––αα)) luas =

luas = αα_aa luas = luas = αα_bb

a t_α b t_1−α α α_aa+ + αα_bb= α= α prob( prob(tt< < vv₁₁) = ) = αα_aa prob( prob(tt> > vv₂₂) = ) = αα_bb dengan (

Statistika Confidence Intervals 11

(

+ ⋅ <μ< + ⋅

)

= −α α − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ < μ − < α − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ < μ − < − α − α − α − α 1 prob 1 prob 1 prob 1 , 1 , 1 , 1 , 2 1 X n X n n X n X s t X s t X t s X t v s X v b a b a ℓ

u

X n X n s t X u s t X b a ⋅ + = ⋅ + = − α − α 1 , 1 , l

Jadi, confidence limits: Jadi, confidence limits:

t distribusi tabel 1 , → = − α n X X a t n s s •

• Jika dikehendaki probabilitas confidence interval simetris, makaJika dikehendaki probabilitas confidence interval simetris, maka

v

v₁₁dan dan vv₂₂dipilih sedemikian hingga prob(dipilih sedemikian hingga prob(tt< < vv₁₁) = prob() = prob(tt> > vv₂₂).). •

• Karena simetri, maka Karena simetri, maka αα_aa= α= αbb= = αα/2/2

•

• Yang dicari adalah (1 Yang dicari adalah (1 ––α) = 100(1 α) = 100(1 ––α)% confidence interval α)% confidence interval ÆÆ maka: prob(

maka: prob(tt< < vv₁₁) = α) = α/2 = prob(/2 = prob(tt> > vv₂₂))

luas = (1

luas = (1 ––αα)/2)/2 luas = (1 luas = (1 ––αα)/2)/2

luas =

luas = αα/2/2 luas = luas = αα/2/2

2 1 2 −α α = t−

Statistika Confidence Intervals 13 luas = 1 luas = 1 ––αα/2/2 luas = 1 luas = 1 ––αα/2/2 luas =

luas = αα/2/2 luas = luas = αα/2/2

2 α t t_1−α2 2 α t t_1−α2 luas = 1

luas = 1 ––αα luas = luas = αα/2/2 luas = luas = αα/2/2 2 1−α − t

Distribusi t

Distribusi t

X n X n s t X u s t X ⋅ + = ⋅ − = − α − − α − 1 , 2 1 1 , 2 1 l •

• Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah:

Statistika Confidence Intervals 15 luas = 1 luas = 1 ––αα luas = 1 luas = 1 ––αα luas =

luas = αα luas = luas = αα

•

• Kadang dikehendaki probabilitas confidence interval Kadang dikehendaki probabilitas confidence interval satu sisi

satu sisi

–

– batas bawah batas bawah ÆÆ prob(prob(tt< < vv₁₁) = α) = α –

– batas atasbatas atas ÆÆ prob(prob(tt> > vv₂2) = α) = α

(

)

(

)

_⎟⎟= −α ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ < μ − ⇒ α − = < α − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ > μ − ⇒ α − = > 1 prob 1 prob 1 prob 1 prob 2 2 1 1 v s X v V v s X v V X X α t t_1−α

Distribusi t

Distribusi t

•

•

Notasi

Notasi

–

– tt_{γγ,,n n} = nilai = nilai ttsedemikian hingga probabilitas variabel sedemikian hingga probabilitas variabel random

random ttdengan dengan nndegrees of freedom adalah lebih degrees of freedom adalah lebih kecil daripada

kecil daripada γ.γ. –

– misal:misal: t

t_{0.95,500.95,50}= nilai = nilai ttsedemikian hingga prob(sedemikian hingga prob(tt< < tt_{0.95,500.95,50}) = ) = 0.95 untuk

Statistika Confidence Intervals 17

Distribusi t

Distribusi t

•

• Dapat dibaca di tabel distribusi tDapat dibaca di tabel distribusi t

–

– Tabel Distribusi tTabel Distribusi t

•

• Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcelDapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel

–

– TDIST(t,TDIST(t,νν,tails),tails)

•

• menghitung nilai prob(T > t)menghitung nilai prob(T > t)

•

• untuk menghitung nilai prob(T < t) untuk menghitung nilai prob(T < t) ÆÆ1 1 ––TDIST(t,TDIST(t,νν,tails),tails)

•

• t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinyat = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya

•

• νν= degree of freedom= degree of freedom •

• tails = 1 (onetails = 1 (one--tailed distribution) atau 2 (twotailed distribution) atau 2 (two--tailed distribution)tailed distribution)

–

– TINV(p,TINV(p,νν))

•

• mencari nilai t jika nilai p = prob(T > t) diketahuimencari nilai t jika nilai p = prob(T > t) diketahui

•

• twotwo--tailed distributiontailed distribution

•

• jika ingin mencari nilai t untuk onejika ingin mencari nilai t untuk one--tailed distribution, p diganti dengan 2ptailed distribution, p diganti dengan 2p

Distribusi t

Distribusi t

untuk 50 degrees of freedom

untuk 50 degrees of freedom

t = 1.6

prob(T < 1.6) = 1

prob(T < 1.6) = 1 ––TDIST(1.6,50,1) = 0.942TDIST(1.6,50,1) = 0.942

t = 1.6

prob(

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 1.6 < T < 1.6) = 1 ––TDIST(1.6,50,2) = 0.884TDIST(1.6,50,2) = 0.884 t = –1.6 t 0.95 0.95 prob(T < prob(T < t t ) = 0.95) = 0.95 t t= TINV(2*(1= TINV(2*(1--0.95),50) 0.95),50) ÆÆtt= 1.68= 1.68 t –t 0.95 0.95 prob( prob(--tt< T < < T < t t ) = 0.95) = 0.95 t t= TINV(1= TINV(1--0.95,50) 0.95,50) ÆÆtt= 2= 2

Statistika Confidence Intervals 19

Confidence interval:

Confidence interval:

µ

µ

suatu distribusi normal

suatu distribusi normal

•

• Apabila varian populasi diketahui, maka variabel Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random

random VVdidefinisikan sbb.:didefinisikan sbb.: n X V _{X X} X σ = σ σ μ − = , Æ

Æ VV berdistribusiberdistribusinormalnormal

Confidence interval:

Confidence interval:

µ

µ

suatu distribusi normal,

suatu distribusi normal,

σ

σ

diketahui

diketahui

•

• Confidence limitsConfidence limits

X b X a s z X u s z X ⋅ + = ⋅ + = l –

– Jika probabilitas rentang keyakinan diinginkan simetri, maka Jika probabilitas rentang keyakinan diinginkan simetri, maka confidence limits nilai rata

confidence limits nilai rata--rata populasi rata populasi µµadalah sbb:adalah sbb:

a z z_b α − 1 αb a α X X s z X u s z X ⋅ + = ⋅ − = α − α − 2 1 2 1 l − = z α − 1 α 2 2 α

Statistika Confidence Intervals 21

Confidence interval:

Confidence interval:

σ

σ

22

_{suatu distribusi normal}

_{suatu distribusi normal}

•

• Mencari interval [Mencari interval [LL,,UU] yang mengandung σ] yang mengandung σ22_{dengan dengan} peluang prob(

peluang prob(LL< σ< σ22_{< < UU) = 1 –) = 1 – αα..}

•

• Didefinisikan variabel random Didefinisikan variabel random VV::

(

)

2 2 1 X X s n V σ − = Æ

Æ V_V berdistribusi chi-berdistribusi chi-squared dengan squared dengan (

(nn––1) degrees of freedom.1) degrees of freedom.

(

)

(

)

_{= −α} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ < σ − < α − = < < 1 1 prob 1 prob 2 2 2 1 2 1 v s n v v V v X X Pilih: Pilih: 2 1 , 2 1 2 2 1 , 2 1 − α − − α χ = χ = n n v v

(

)

_{= −α} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ χ < σ − < χ_{α −} 1 _{−α −} 1 prob _{2 1}2 _{2, 1} 2 2 1 , 2 n X X n s n sehingga: sehingga: atau: atau:

(

)

(

)

_{= −α} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ χ − < σ < χ − − α − α − 1 1 1 prob ₂ 1 , 2 2 2 2 1 , 2 1 2 n X X n X n s s n

Statistika Confidence Intervals 23 Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang

Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung

mengandung σσ_XX22_{dengan tingkat keyakinan (1 –dengan tingkat keyakinan (1 – α) α)} adalah: adalah:

(

)

(

)

2 1 , 2 2 2 1 , 2 1 2 1 1 − α − α − χ − = χ − = n X n X s n u s n l •

• batas bawah:batas bawah:

•

• batas atas:batas atas:

Catatan:

Catatan: XXberdistribusi normalberdistribusi normal χ

χ22_{berdistribusi chi-berdistribusi chi-squaredsquared}

Distribusi chi

Distribusi chi--squared tidak simetris:squared tidak simetris:

2 2 X X u s s − l≠ − n

n »»→→((nn––1) »1) »→→ distribusi mendekati distribusi distribusi mendekati distribusi simetris,

simetris, s

s_XX22_{berada kira-berada kira-kira di tengahkira di tengah-} -tengah rentang [ tengah rentang [LL,,UU].]. 2 2 α χ 2 2 1−α χ α − 1

Statistika Confidence Intervals 25

One

One

-

-

sided confidence intervals

sided confidence intervals

•

•

Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan

Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan

saja

saja

–

– batas bawah saja untuk rentang keyakinan µbatas bawah saja untuk rentang keyakinan µ

–

– batas atas saja untuk rentang keyakinan µbatas atas saja untuk rentang keyakinan µ

(

)

1 _{1 , 1}

prob L<θ = −α ⇒ l =X −t _−αn−

(

)

1 _{1 , 1}