Catatan Mekanika Kuantum 1
Notasi Dirac, Operator Konjugat Hermitian, Operator Proyeksi, Degenerasi dan Keadaan Eigen Simultan, Ketidakpastian Pengukuran, Perubahan Nilai Besaran terhadap Waktu,
Limit Klasik
Acuan utama Gasiorowicz, Quantum Physics Ed. 3, Bab 6, Subbab 1, Bab 5, Subbab 3 – 5
Dua subbab pertama Bab 5 Gasiorowicz berisi rangkuman konsep mekanika kuantum yang telah dibahas dalam bab-bab sebelumnya. Di sini kita lanjutkan dengan subbab berikutnya, yaitu mulai dengan Subbab 3. Namun, sebelumnya kita loncat sedikit ke Bab 6 Subbab 1 untuk berkenalan dengan notasi Dirac.
A. Notasi Dirac
Sebelum ini kita telah banyak berurusan dengan fungsi gelombang. Kita juga telah mengenal dua ruang atau dua representasi, sehingga kita temui fungsi gelombang di ruang posisi dan fungsi gelombang di ruang momentum. Fungsi gelombang di ruang posisi dan fungsi gelombang di ruang momentum tersebut dapat saja merepresentasikan keadaan yang sama untuk sistem yang sama. Jadi, kita temui di sini ada yang disebut keadaan (state) dan ada yang disebut fungsi gelombang (wave function). Apa hubungan antar keduanya?
Fungsi gelombang suatu sistem adalah keadaan sistem itu yang ditampilkan dalam suatu rep-resentasi tertentu (disebut juga dalam suatu ruang tertentu). Contoh, sebuah partikel berada dalam keadaan bebas (free state) dengan momentum linier q, fungsi gelombangnya dalam ruang posisi adalah eiqx/~ dan fungsi gelombangnya dalam ruang momentum adalah δ(p − q). Tidak
hanya untuk fungsi gelombang, representasi juga dipakai untuk operator. Sebuah operator, misalkan operator momentum linier ˆp, dapat ditampilkan dalam representasi (ruang) posisi x, dalam contoh ini ˆp = ~
i d
dx, dapat juga ditampilkan dalam representasi (ruang) momentum,
dalam contoh ini ˆp = p.
Representasi (ruang) ada bermacam-macam, bukan hanya representasi posisi dan representasi momentum. Dalam mekanika kuantum orang juga dapat bekerja tidak dalam suatu represen-tasi (ruang) tertentu, yaitu orang bekerja bukan dengan fungsi gelombang (wave function), melainkan dengan keadaan (state), dan juga dengan operator yang tidak ditampilkan dalam suatu representasi. Dalam hal ini, orang bekerja menggunakan notasi, yang disebut notasi Dirac.
Keadaan kuantum ψ dalam notasi Dirac dinyatakan dengan |ψi, disebut ket. Dapat di-pahami bahwa ada banyak sekali keadaan kuantum. Bayangkan saja, ada berapa banyak sistem kuantum dan bahwa tiap sistem kuantum dapat menempati keadaan-keadan kuan-tum yang bervariasi. Keadaan-keadaan kuankuan-tum merupakan vektor-vektor yang berada dalam suatu ruang vektor linier, yang disebut ruang Hilbert. Untuk tiap keadaan |ψi ada pasangannya (konjugatnya), yaitu hψ|, disebut bra, yang berada dalam pasangan (konju-gat) ruang Hilbert (dual Hilbert space). Perkalian skalar sebuah bra hφ| dan sebuah ket |ψi dinyatakan sebagai sebuah bra-ket hφ|ψi. Sebaliknya, perkalian skalar bra hψ| dan ket |φi dinyatakan sebagai bra-ket hψ|φi. Bra-ket hψ|φi dan bra-ket hφ|ψi merupakan pasangan konjugat kompleks:
hψ|φi = hφ|ψi∗, hφ|ψi = hψ|φi∗. (1)
Persamaan Schr¨odinger dituliskan dalam notasi Dirac sebagai: i~d dt|ψ(t)i = H|ψ(t)i = ˆp2 2m + ˆV |ψ(t)i (2)
dan untuk keadaan tunak (stationary): H|ψi = ˆp
2
2m + ˆV
|ψi = E|ψi . (3)
Dalam notasi Dirac keadaan bebas sebuah partikel dengan momentum linier q dituliskan sebagai |qi dan operator momentum linier dituliskan sebagai ˆp, sehingga persamaan nilai eigen untuk operator momentum dituliskan sebagai:
ˆ
p|qi = q|qi . (4)
Persamaan (4) menyatakan bahwa |qi adalah keadaan eigen (eigenstate) operator mo-mentum linier ˆp dengan nilai eigen (eigenvalue) q.
Ekspansi suatu keadaan |ψi dalam |uni dituliskan sebagai:
|ψi =X
n
An|uni . (5)
Di sini |uni merupakan keadaan eigen suatu operator besaran fisika, yang nilai eigennya
diskrit, misalkan operator energi total H pada kasus partikel dalam kotak:
H|uni = En|uni . (6)
Keadaan |uni dalam hal ini berperan sebagai keadaan basis (basis state) (dalam
pemba-hasan mengenai vektor, keadaan basis itu seperti vektor satuan ˆei). Keadaan basis harus
mempunyai dua sifat, yaitu ortogonal dan komplit, sehingga sembarang keadaan dapat diekspansi atau dinyatakan dalam keadaan basis tersebut. Ortogonalitas keadaan basis |uni dinyatakan dengan:
dan sifat komplitnya dinyatakan dengan sebuah persamaan yang disebut relasi kekompli-tan (completeness relation):
X
n
|unihun| = ˆ1 . (8)
Perhatikan bahwa relasi kekomplitan merupakan operator. Dengan ortogonalitas (7) kita dapat mencari, misalkan, koefisien ekspansi An, yaitu dengan menghitung bra-ket hun|ψi
(dengan kata lain, menghitung perkalian skalar hun| dan |ψi atau memroyeksikan |ψi
pada hun| ): hun|ψi = hun| X m Am|umi = X m Amhun|umi = X m Amδnm = An. (9)
Proyeksi |uni pada hψ| memberikan konjugat kompleks An, yaitu A∗n:
hψ|uni = hun|ψi∗ = A∗n. (10)
Dengan relasi kekomplitan (8) kita dapat, misalkan, mengekspansi |ψi: |ψi = ˆ1|ψi = X n |unihun|ψi = X n |uniAn = X n An|uni . (11)
Karena relasi kekomplitan sama dengan operator ˆ1, maka dapat disisipkan di suatu tem-pat dalam suatu perhitungan. Contoh:
hψ|ψi = hψ|ˆ1|ψi = hψ|X n |unihun|ψi = X n
hψ|unihun|ψi
= X n A∗nAn = X n |An|2. (12)
Apabila keadaan basis yang dipakai |uαi merupakan keadaan eigen operator besaran fisika,
yang nilai eigennya kontinyu, yaitu α kontinyu, maka ekspansi |ψi menjadi: |ψi =
Z
Ortogonalitas keadaan basis |uαi dinyatakan dengan:
huβ|uαi = δ(β − α) (14)
dan relasi kekomplitannya diberikan sebagai berikut: Z
dα |uαihuα| = ˆ1 . (15)
Koefisien ekspansi A(α) dicari sebagai berikut: huα|ψi = huα| Z dβ A(β)|uβi = Z dβ A(β)huα|uβi = Z dβ A(β)δ(α − β) = A(α) . (16)
Proyeksi |uαi pada hψ| memberikan konjugat kompleks Aα, yaitu A∗(α):
hψ|uαi = huα|ψi∗ = A∗(α) . (17)
Dengan relasi kekomplitan (15) kita dapat mengekspansi |ψi: |ψi = ˆ1|ψi = Z dα |uαihuα|ψi = Z dα |uαiA(α) = Z dα A(α)|uαi . (18)
Contoh lain penerapan relasi kekomplitan: hψ|ψi = hψ|ˆ1|ψi = hψ| Z dα |uαihuα|ψi = Z
dα hψ|uαihuα|ψi
= Z dα A(α)∗A(α) = Z dα |A(α)|2. (19)
Fungsi gelombang ψ(x) diperoleh dengan memroyeksikan ket |ψi pada bra posisi hx|:
ψ(x) = hx|ψi . (20)
Konjugat kompleks ψ(x), yaitu ψ∗(x), diperoleh sebagai:
Ket |xi sebagai keadaan basis posisi memiliki ortogonalitas:
hx0|xi = δ(x0− x) (22)
dan relasi kekomplitan:
Z ∞
−∞
dx |xihx| = ˆ1 . (23)
Ekspansi (5) dalam ruang posisi diperoleh sebagai berikut: hx|ψi = hx|X n An|uni → ψ(x) = X n Anhx|uni → ψ(x) = X n Anun(x) . (24)
Demikian pula ekspansi (13):
hx|ψi = hx| Z dα A(α)|uαi → ψ(x) = Z dα A(α)hx|uαi → ψ(x) = Z dα A(α)uα(x) . (25)
Fungsi gelombang φ(p) diperoleh dengan memroyeksikan ket |φi pada bra momentum linier hp|:
φ(p) = hp|φi . (26)
Konjugat kompleks φ(p), yaitu φ∗(p), diperoleh sebagai:
φ∗(p) = hp|φi∗ = hφ|pi . (27)
Ket |pi sebagai keadaan basis momentum memiliki ortogonalitas:
hp0|pi = δ(p0− p) (28)
dan relasi kekomplitan:
Z ∞
−∞
dp |pihp| = ˆ1 . (29)
Ekspansi (5) dalam ruang momentum diperoleh sebagai berikut: hp|ψi = hp|X n An|uni → ψ(p) = X n Anhp|uni → ψ(p) = X n Anun(p) . (30)
Demikian pula ekspansi (13): hp|ψi = hp| Z dα A(α)|uαi → ψ(p) = Z dα A(α)hp|uαi → ψ(p) = Z dα A(α)uα(p) . (31)
Fungsi gelombang bebas dengan momentum linier q dalam ruang posisi diperoleh sebagai gelombang bidang (plane wave):
ψq(x) = hx|qi = 1 √ 2π~e iqx . (32)
Konjugat kompleksnya adalah:
ψq∗(x) = hx|qi∗ = hq|xi = √1 2π~e
−iqx
. (33)
Fungsi gelombang dalam ruang momentum untuk keadaan bebas yang sama adalah:
ψq(p) = hp|qi = δ(p − q) . (34)
Bra-ket hφ|ψi dalam ruang posisi dikerjakan sebagai: hφ|ψi = hφ|ˆ1|ψi = hφ| Z ∞ −∞ dx |xihx|ψi = Z ∞ −∞ dx hφ|xihx|ψi = Z ∞ −∞ dx φ∗(x)ψ(x) . (35)
Ini menjelaskan bahwa hφ|ψi∗ = hψ|φi: hφ|ψi∗ = Z ∞ −∞ dx φ∗(x)ψ(x) ∗ = Z ∞ −∞ dx φ(x)ψ∗(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x)φ(x) = hψ|φi . (36)
Dalam ruang momentum, bra-ket hφ|ψi dikerjakan sebagai: hφ|ψi = hφ|ˆ1|ψi = hφ| Z ∞ −∞ dp |pihp|ψi = Z ∞ −∞ dp hφ|pihp|ψi = Z ∞ −∞ dp φ∗(p)ψ(p) . (37)
Contoh berpindah ruang, dari ruang posisi ke ruang momentum, dari ψ(x) ke ψ(p): ψ(p) = hp|ψi = hp|ˆ1|ψi = Z ∞ −∞ dx hp|xihx|ψi = Z ∞ −∞ dx hx|pi∗hx|ψi = √1 2π~ Z ∞ −∞ dx e−ipxψ(x) . (38)
Sebaliknya, pindah dari ruang momentum ke ruang posisi: ψ(x) = hx|ψi = hx|ˆ1|ψi = Z ∞ −∞ dp hx|pihp|ψi = √1 2π~ Z ∞ −∞ dp eipxψ(p) . (39)
Dalam notasi Dirac, nilai ekspektasi dituliskan secara lebih ringkas:
hBi = hψ| ˆB|ψi
hψ|ψi . (40)
Apabila |ψi ternormalisasi, nilai ekspektasi itu menjadi:
hBi = hψ| ˆB|ψi . (41)
Jika ingin mendapatkan nilai ekspektasi (41) dalam ruang posisi x, kita gunakan keadaan basis posisi |xi:
hBi = hψ| ˆB|ψi = hψ|ˆ1 ˆBˆ1|ψi = Z dx0 Z dx hψ|x0ihx0| ˆB|xihx|ψi = Z dx0 Z dx ψ∗(x0) ˆB(x0, x)ψ(x) , (42) dengan ˆB(x0, x) adalah elemen matriks operator ˆB dalam ruang posisi (ingat kembali bahwa mekanika kuantum merupakan mekanika matriks, dalam hal ˆB(x0, x) = hx0| ˆB|xi, x0 menyatakan baris dan x menyatakan kolom). Jika matriks operator ˆB dalam ruang posisi bersifat diagonal (elemen nondiagonalnya nol), berarti ˆB(x0, x) = hx0| ˆB|xi = δ(x0− x) ˆB(x), sehingga: hBi = Z dx0 Z dx ψ∗(x0)δ(x0− x) ˆB(x)ψ(x)
= Z
dx ψ∗(x) ˆB(x)ψ(x) . (43)
Contoh, matriks operator momentum linier dalam ruang posisi diperoleh bersifat diago-nal, dengan: ˆ p(x) = ~ i d dx. (44)
Dengan demikian, nilai ekspektasi momentum linier dalam ruang posisi dihitung sebagai: hpi = Z dx ψ∗(x)~ i d dxψ(x) . (45)
Kita telah melihat ekspansi suatu keadaan dalam keadaan basis, contoh, persamaan (11) dan (18). Operator juga dapat diekspansi dalam keadaan basis. Satu contoh dapat kita lihat pada persamaan (42), yaitu ekspansi operator ˆB dalam keadaan basis posisi |xi:
ˆ B = ˆ1 ˆBˆ1 = Z dx0|x0ihx0| ˆB Z dx |xihx| = Z dx0 Z dx |x0ihx0| ˆB|xihx| = Z dx0 Z dx |x0i ˆB(x0, x)hx| , (46) Dengan ˆB(x0, x) = hx0| ˆB|xi. Jika matriks operator ˆB dalam ruang posisi x bersifat diagonal, maka ekspansinya menjadi:
ˆ B = Z dx0 Z dx |x0iδ(x0− x) ˆB(x)hx| = Z dx |xi ˆB(x)hx| . (47)
Apabila digunakan keadaan basis |ni, dengan n diskrit, ekspansi ˆB adalah: ˆ B = ˆ1 ˆBˆ1 = X m |mihm| ˆBX n |nihn| = X m X n |mihm| ˆB|nihn| = X m X n |mi ˆBmnhn| . (48)
Dengan ˆBmn= hm| ˆB|ni. Jika matriks operator ˆB dalam ruang n bersifat diagonal, maka
ekspansinya menjadi: ˆ B = X m X n |miδmnBˆnhn| = X n |ni ˆBnhn| . (49)
B. Operator konjugat hermitian
Ambillah sebuah operator ˆA dan anggaplah: ˆ A|ψi = |ξi . (50) Dengan demikian: hφ| ˆA|ψi∗ = hφ|ξi∗ = hξ|φi = h ˆAψ|φi . (51)
Operator konjugat hermitian dari operator ˆA, yaitu ˆA+, didefinisikan sebagai berikut:
hψ| ˆA+|φi = h ˆAψ|φi = hφ| ˆA|ψi∗. (52) Misalkan diberikan sebuah operator dalam ruang posisi sebagai berikut:
ˆ
B(x) = d
dx. (53)
Sesuai definisi di persamaan (52), operator konjugat hermitian ˆB+(x) di ruang posisi diperoleh sebagai berikut:
hψ| ˆB+|φi = h ˆBψ|φi = Z ∞ −∞ dx d dxψ(x) ∗ φ(x) = Z ∞ −∞ dx d dxψ ∗ (x) φ(x) = Z ∞ −∞ dx d dx(ψ ∗ (x)φ(x)) − ψ∗(x) d dxφ(x) = ψ∗(x)φ(x)|∞−∞− Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) d dxφ(x) = 0 − Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) d
dxφ(x) , (sesuai sifat fungsi gelombang di ujung jagad) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) − d dx φ(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) ˆB+(x)φ(x) → ˆB+(x) = − d dx (54) atau: hψ| ˆB+|φi = hφ| ˆB|ψi∗ = Z ∞ −∞ dx φ∗(x) d dxψ(x) ∗
= Z ∞ −∞ dx φ(x) d dxψ ∗ (x) = Z ∞ −∞ dx d dx(ψ ∗ (x)φ(x)) − ψ∗(x) d dxφ(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) − d dx φ(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x) ˆB+(x)φ(x) → ˆB+(x) = − d dx. (55)
Apabila ada 2 atau lebih operator, dikerjakan sebagai berikut: hφ| ˆA ˆB ˆC...|ψi∗ = h ˆA ˆB ˆC...ψ|φi = hψ|( ˆA ˆB ˆC...)+|φi (56) atau hφ| ˆA ˆB ˆC...|ψi∗ = h ˆA ˆB ˆC...ψ|φi = h ˆB ˆC...ψ| ˆA+|φi = h ˆC...ψ| ˆB+Aˆ+|φi = h...ψ| ˆC+Bˆ+Aˆ+|φi = hψ|(...)+Cˆ+Bˆ+Aˆ+|φi . (57) Dengan demikian, diperoleh relasi berikut:
( ˆA ˆB ˆC...)+ = (...)+Cˆ+Bˆ+Aˆ+. (58) Jika |ψi adalah keadaan eigen ˆA dengan nilai eigen a:
ˆ
A|ψi = a|ψi . (59)
Perhatikan bahwa:
h ˆAψ| = haψ| = a∗hψ| . (60)
Jika ˆA operator sebuah besaran fisika, maka ˆA operator hermitian, yaitu nilai eigennya dan juga nilai ekspektasinya riil:
hAi∗ = hAi → hψ| ˆA|ψi∗ = hψ| ˆA|ψi
→ hψ| ˆA+|ψi = hψ| ˆA|ψi . (61) Dengan demikian, untuk operator hermitian, operator konjugat hermitiannya sama den-gan operator itu sendiri, ˆA+ = ˆA, h ˆAψ|φi = hψ| ˆA|φi. Contoh, kita ambil operator
momentum linier di ruang posisi: ˆ
p(x) = ~ i
d
dan cari konjugat hermitiannya dengan cara seperti dalam persamaan (54): hψ|ˆp+|φi = hˆpψ|φi = Z ∞ −∞ dx ~ i d dxψ(x) ∗ φ(x) = Z ∞ −∞ dx −~ i d dxψ ∗ (x) φ(x) = Z ∞ −∞ dx −~ i d dx(ψ ∗ (x)φ(x)) + ψ∗(x)~ i d dxφ(x) = −~ i ψ ∗ (x)φ(x)|∞−∞+ Z ∞ −∞ dx ψ∗(x)~ i d dxφ(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x)~ i d dxφ(x) = Z ∞ −∞ dx ψ∗(x)ˆp+(x)φ(x) → ˆp+(x) = ~ i d dx → ˆp+ = ˆp . (63)
Persamaan Schr¨odinger untuk bra hψ(t)| diperoleh sebagai berikut: i~d dtψ(t) = hHψ(t)| = ˆp 2 2m + ˆV ψ(t) → −i~d dthψ(t)| = hψ(t)|H = hψ(t)| ˆp2 2m+ ˆV (64) dan untuk keadaan tunak:
hHψ| = ˆp 2 2m+ ˆV ψ = Ehψ| → hψ|H = hψ| ˆp 2 2m + ˆV = Ehψ| . (65)
Jika ˆA dan ˆB kedua-duanya hermitian, maka, sesuai persamaan (58): ( ˆA ˆB)+= ˆB+Aˆ+
= ˆB ˆA
= ˆA ˆB − [ ˆA, ˆB] . (66) Jika ˆA dan ˆB komut (commute), [ ˆA, ˆB] = 0 dan ( ˆA ˆB)+ = ˆA ˆB, yang berarti ˆA ˆB juga hermitian. Namun, apabila ˆA dan ˆB tidak komut, [ ˆA, ˆB] 6= 0 dan ( ˆA ˆB)+ 6= ˆA ˆB, yang berarti ˆA ˆB tidak hermitian.
Misalkan ˆO operator hermitian, |ai dan |bi adalah keadaan eigen ˆO, dengan nilai eigen masing-masing α dan β (α dan β tentu riil):
ˆ
Maka:
hb| ˆO|ai = hb|α|ai = αhb|ai (68)
dan juga:
hb| ˆO|ai = h ˆOb|ai = hβb|ai = βhb|ai . (69) Dengan demikian,
hb| ˆO|ai − hb| ˆO|ai = (α − β)hb|ai = 0 . (70) Dari persamaan (70) dapat kita simpulkan, jika |ai = |bi, maka hb|ai 6= 0 dan α = β; jika |ai 6= |bi, maka α 6= β dan hb|ai = 0. Ini menunjukkan bahwa keadaan-keadaan eigen operator hermitian saling tegak lurus.
C. Operator proyeksi
Misalkan kita ambil keadaan basis |ni, dengan ortogonalitas dan relasi kekomplitan berturut-turut sebagai berikut:
hm|ni = δmn dan
X
n
|nihn| = ˆ1 . (71)
Sebuah sembarang keadaan |ψi diekspansi dalam keadaan basis |ni sebagai berikut: |ψi = ˆ1|ψi = X n |nihn|ψi = X n An|ni , (72)
dengan An koefisien ekspansi:
An = hn|ψi . (73)
Misalkan ada sebuah operator ˆPn yang didefinisikan sebagai berikut:
ˆ
Pn= |nihn| . (74)
Apabila ˆPn bekerja pada |ψi diperoleh:
ˆ Pn|ψi = |nihn|ψi = |nihnX m Am|mi = X m |nihn|miAm = X m |niδnmAm = An|ni , (75)
yaitu ˆPn bekerja pada |ψi menghasilkan |ni, dengan amplitudo An. Operator ˆPn = |nihn|
disebut sebagai operator proyeksi. Apabila bekerja pada |ψi, operator ˆPn memroyeksikan
keadaan |ψi pada keadaan |ni, sehingga diperoleh keadaan |ni dengan amplitudo An = hn|ψi.
Dengan kata lain, operator proyeksi ˆPn mengubah keadaan |ψi menjadi salah satu keadaan
basis yang membentuk |ψi, yaitu |ni, dengan amplitudo An.
Dari relasi kekomplitan (71), diperoleh sifat operator proyeksi ˆPn berikut:
X n ˆ Pn = X n |nihn| = ˆ1 . (76)
Apabila suatu keadaan |ψi telah diproyeksikan oleh operator ˆPnke keadaan |ni,
proyeksi-proyeksi selanjutnya ke keadaan lain tidak memberikan hasil: ˆ Pn|ψi = An|ni (77) ˆ PmPˆn|ψi = AnPˆm|ni = An|mihm|ni = An|miδmn
= An|niδmn, (dibenarkan, karena ada delta Kronecker)
= δmnPˆn|ψi (78) → ˆPmPˆn= δmnPˆn (79) ˆ PkPˆmPˆn|ψi = δmnPˆkPˆn|ψi = δknδmnPˆn|ψi (80) → ˆPkPˆmPˆn= δknδmnPˆn. (81)
Sesuai sifat operator proyeksi di persamaan (79), proyeksi yang sama berkali-kali sama saja dengan proyeksi hanya sekali:
( ˆPn)2 = ˆPnPˆn= ˆPn
( ˆPn)3 = ˆPn( ˆPn)2 = ˆPnPˆn= ˆPn
→ ( ˆPn)m = ˆPn. (82)
Hal ini mengingatkan kita pada pengukuran (ingat kembali catatan di akhir pembahasan mengenai postulat ekspansi). Pengukuran membuat keadaan sistem terproyeksikan ke salah satu keadaan eigen yang mungkin. Pengukuran-pengukuran berikutnya memberikan hasil yang sama dengan pengukuran yang pertama.
Kita lihat nilai ekspektasi suatu besaran fisika, yang operatornya adalah ˆO, dan anggap bahwa |ni adalah keadaan eigen ˆO dengan nilai eigen On:
ˆ
hOi = hψ| ˆO|ψi = hψ| ˆOˆ1|ψi = hψ| ˆOX n ˆ Pn|ψi = hψ| ˆOX n An|ni = hψ|X n AnO|niˆ = hψ|X n AnOn|ni = hψ|X n OnAn|ni = hψ|X n OnPˆn|ψi . (84)
Dengan demikian, operator ˆO dapat dinyatakan sebagai: ˆ
O =X
n
OnPˆn. (85)
D. Degenerasi dan keadaan eigen simultan
Ambillah keadaan |uni, yang merupakan keadaan eigen operator ˆA, dengan nilai eigen an, dan
juga merupakan keadaan eigen operator ˆB, dengan nilai eigen bn:
ˆ
A|uni = an|uni (86)
ˆ
B|uni = bn|uni . (87)
Keadaan |uni disebut merupakan keadaan eigen simultan operator ˆA dan ˆB. Anggaplah |uni
bersifat ortogonal dan komplit, sehingga |uni dapat menjadi keadaan basis untuk menyatakan
sembarang keadaan |ψi:
|ψi =X
n
Cn|uni . (88)
Kini, kita hitung komutator ˆA dan ˆB: h ˆA, ˆBi |ψi = ˆA ˆB − ˆB ˆA X n Cn|uni = X n Cn ˆA ˆB − ˆB ˆA |uni = X n Cn ˆA ˆB|uni − ˆB ˆA|uni = X n Cn bnA|uˆ ni − anB|uˆ ni = X n Cn(anbn|uni − anbn|uni) = 0 . (89)
Dengan demikian, disimpulkan bahwa apabila operator ˆA dan ˆB memiliki keadaan eigen si-multan, yang bersifat ortogonal dan komplit, maka operator ˆA dan ˆB komut, komutatornya nol.
Kini, kita balik, kita mulai dengan diketahui bahwa operator ˆA dan ˆB komut, komutatornya nol, dan bahwa |uni keadaan eigen operator ˆA, dengan nilai eigen an. Kita akan lihat, apakah
|uni merupakan keadaan eigen simultan operator ˆA dan ˆB.
h ˆA, ˆBi |ψi = h ˆA, ˆBi X n Cn|uni = X n Cnh ˆA, ˆB i |uni = 0 →h ˆA, ˆBi|uni = ˆA ˆB|uni − ˆB ˆA|uni = 0 → ˆA ˆB|uni = ˆB ˆA|uni = anB|uˆ ni . (90)
Persamaan (90) menyatakan bahwa ˆB|uni merupakan keadaan eigen ˆA, dengan nilai eigen an
atau, dalam kalimat yang lebih panjang, operator ˆB bekerja pada keadaan |uni menghasilkan
suatu keadaan, yang merupakan keadaan eigen ˆA, dengan nilai eigen an:
ˆ
B|uni = |φni → ˆA|φni = an|φni . (91)
Pertanyaan, |φni = ˆB|uni sama dengan apa? Ada dua kasus berbeda:
1. Jika tidak ada degenerasi, yaitu keadaan eigen operator ˆA dengan nilai eigen anhanyalah
|uni, maka hanya mungkin bahwa |φni adalah sebanding dengan |uni, dengan kata lain
|φni sama dengan |uni dikalikan dengan suatu konstanta / nilai:
|φni ∝ |uni = konstanta |uni . (92)
Dengan demikian, diperoleh: ˆ
B|uni = konstanta |uni , (93)
yang merupakan persamaan nilai eigen, sehingga |uni juga keadaan eigen ˆB atau |uni
keadaan eigen simultan ˆA dan ˆB. Kita cek: ˆ
A ˆB|uni = konstanta ˆA|uni
= an konstanta |uni
2. Jika ada degenerasi, berarti keadaan eigen operator ˆA dengan nilai eigen an bukan hanya
|uni. Anggaplah ada dua keadaan eigen dengan nilai eigen an(an is two-fold degenerate),
yaitu |u(1)n i dan |u(2)n i:
ˆ
A|un(1)i = an|u(1)n i dan A|uˆ (2)n i = an|u(2)n i , (95)
maka diperoleh:
ˆ
A ˆB|u(1)n i = anB|uˆ (1)n i (96)
ˆ
A ˆB|u(2)n i = anB|uˆ (2)n i . (97)
Dalam hal ini, tidak dapat dikatakan bahwa pasti |u(1)n i dan |u(2)n i juga keadaan eigen ˆB:
ˆ
B|u(1)n i 6= konstanta1|u(1)n i dan B|uˆ (2)
n i 6= konstanta2|u(2)n i , (98)
melainkan secara umum berlaku: ˆ
B|u(1)n i = b11|u(1)n i + b12|u(2)n i (99)
ˆ
B|u(2)n i = b21|u(1)n i + b22|u(2)n i , (100)
atau dalam bentuk matriks: ˆ B |u (1) n i |u(2)n i ! = b11 b12 b21 b22 ! |u(1)n i |u(2)n i ! . (101) Kita cek: ˆ A ˆB|u(1)n i = ˆA b11|u(1)n i + b12|u(2)n i = b11A|uˆ (1)n i + b12A|uˆ (2)n i = an b11|u(1)n i + b12|u(2)n i = anB|uˆ (1)n i (102) ˆ A ˆB|u(2)n i = ˆA b21|u(1)n i + b22|u(2)n i = b21A|uˆ (1)n i + b22A|uˆ (2)n i = an b21|u(1)n i + b22|u(2)n i = anB|uˆ (2)n i . (103)
Pada kasus degenerasi kita bertemu beberapa keadaan yang tak terbedakan, karena berke-naan dengan suatu operator nilai eigennya sama. Pada contoh di atas, |u(1)n i dan |u(2)n i tak
terbedakan, karena berkenaan dengan ˆA nilai eigennya sama, yaitu an. Kemudian, kita
am-bil operator lain, ˆB, dengan harapan dapat membedakan |u(1)n i dari |u(2)n i. Namun, harapan
itu tidak terpenuhi, karena |u(1)n i dan |u(2)n i bukan keadaan eigen simultan ˆA dan ˆB, sehingga
kita punya keadaan eigen simultan ˆA dan ˆB, misalkan |vn(1)i dan |vn(2)i, maka degenerasi yang
berkenaan dengan operator ˆA: ˆ
A|v(1)n i = an|vn(1)i dan A|vˆ (2)
n i = an|vn(2)i (104)
dapat dipecahkan dengan operator ˆB: ˆ
B|v(1)n i = bn,1|vn(1)i dan B|vˆ (2)
n i = bn,2|vn(2)i . (105)
Keadaan eigen |vn(1)i dan |v(2)n i dapat dicari sebagai kombinasi linier |u(1)n i dan |u(2)n i dengan
menyelesaikan persamaan nilai eigen seperti digambarkan sebagai berikut: ˆ B |u(1)n i + λ|u(2)n i = bn |u(1)n i + λ|u (2) n i ˆ
B|u(1)n i + λ ˆB|u(2)n i = bn |u(1)n i + λ|u (2) n i b11|u(1)n i + b12|u(2)n i + λ b21|u(1)n i + b22|u(2)n i = bn |u(1)n i + λ|u (2) n i (b11+ λb21) |u(1)n i + (b12+ λb22) |u(2)n i = bn |u(1)n i + λ|u (2) n i (106) → b11+ λb21= bn (107) → b12+ λb22= λbn = λ (b11+ λb21) = λb11+ λ2b21 (108) → λ2b 21+ (b11− b22) λ − b12= 0 . (109)
Persamaan kuadrat (109) memberikan dua nilai λ, yaitu λ1 dan λ2, sehingga diperoleh:
|v(1) n i = |u (1) n i + λ1|u(2)n i dan |v (2) n i = |u (1) n i + λ2|u(2)n i , (110) bn,1 = b11+ λ1b21 dan bn,2 = b11+ λ2b21. (111)
Operator ˆA merepresentasikan besaran fisika, sebut saja besaran A. Jadi, bayangkan dalam ka-sus degenerasi ini kita mengukur besaran A pada dua sistem identik dengan keadaan berbeda, namun kita dapatkan hasil pengukuran tersebut sama, sehingga keadaan dua sistem tersebut tidak dapat dibedakan. Kemudian, kita ukuran besaran fisika yang lain, besaran B, sehingga keadaan dua sistem identik tersebut dapat dibedakan. Andaikan pengukuran besaran B, masih belum bisa memecahan degenerasi, kita ukur besaran yang lain, besaran C, demikian seterus-nya, sehingga keadaan-keadaan itu terbedakan, degenerasi dipecahkan. Pada pekerjaan teoretis, dicari juga keadaan eigen simultan operator-operator ˆA, ˆB, ˆC, .... Kumpulan operator ˆA, ˆB,
ˆ
C, ... membentuk satu himpunan besaran atau operator komut: h ˆA, ˆBi
=h ˆA, ˆCi = ... =h ˆB, ˆCi= ... = 0 . (112) Karena ˆA, ˆB, ˆC, ... komut, maka besaran A, B, C, ... dapat diukur secara bersamaan dengan hasil semua nilai besaran tersebut pasti, yaitu untuk besaran-besaran tersebut tidak
berlaku ketidakpastian Heisenberg (lihat setelah ini). Pengukuran besaran-besaran tersebut memberikan nilai eigen a, b, c, dan seterusnya. Nilai-nilai besaran tersebut merupakan kumpu-lan informasi terbanyak mengenai sistem yang diamati, yang dapat diperoleh secara bersamaan dengan hasil pasti. Sebagai perbandingan, sekedar contoh, kita tahu bahwa operator momen-tum linier ˆp dan posisi ˆx tidak komut, maka momentum linier dan posisi tidak dapat diukur secara bersamaan dengan hasil kedua-duanya pasti; untuk momentum linier dan posisi berlaku ketidakpastan Heisenberg.
E. Ketidakpastian pengukuran
Bayangkan pengukuran suatu besaran dilakukan beberapa kali, kemudian dihitung nilai rata-rata hasil pengukuran sebagai nilai besaran yang diinginkan, misalkan hAi. Deviasi hasil tiap pengukuran merupakan selisih nilai pengukuran tersebut dari nilai rata-rata, sebagai operator dituliskan ˆA − hAi. Ketidakpastian pengukuran merupakan rata-rata semua deviasi hasil tiap pengukuran. Mengingat deviasi hasil tiap pengukuran dapat bernilai positif, maupun negatif, rata-ratanya dapat bernilai nol:
hA − hAii = hAi − hhAii = hAi − hAi
= 0 . (113)
Karena itu, biasanya orang menghitung kuadrat deviasi ( ˆA − hAi)2 dan kuadrat ketidakpastian
pengukuran (∆A)2 sebagai rata-rata semua kuadrat deviasi hasil tiap pengukuran:
(∆A)2 = h(A − hAi)2i
= h(A − hAi)(A − hAi)i = hA2+ hAi2− 2hAiAi = hA2i + hhAi2i − 2hAihAi
= hA2i + hAi2− 2hAi2
= hA2i − hAi2. (114)
Dengan demikian, ketidakpastian pengukuran diperoleh sebagai:
∆A =phA2i − hAi2. (115)
Jika sistem berada pada keadaan sembarang |ψi, maka (anggap |ψi tak ternormalisasi): (∆A)2 = hA2i − hAi2 = hψ| ˆA 2|ψi hψ|ψi − hψ| ˆA|ψi hψ|ψi !2 > 0 . (116)
Jika sistem berada pada keadaan |ψi = |uni, dengan |uni keadaan eigen ˆA:
ˆ
A|uni = an|uni , (117)
maka (anggap |ψi dan |uni tak ternormalisasi):
(∆A)2 = hA2i − hAi2 = hψ| ˆA 2|ψi hψ|ψi − hψ| ˆA|ψi hψ|ψi !2 = hun| ˆA 2|u ni hun|uni − hun| ˆA|uni hun|uni !2 = hun|a 2 n|uni hun|uni − hun|an|uni hun|uni 2 = a2n− a2 n = 0 . (118)
Dengan demikian, hasil pengukuran bersifat pasti 100%.
Ketidakpastian pengukuran dua besaran berhubungan dengan komutator operator dua besaran itu sebagai berikut (lihat Gasiorowicz Supplement 5-A):
(∆A)2(∆B)2 > 1 4 D ih ˆA, ˆBiE 2 . (119)
Apabila ˆA dan ˆB komut, h ˆA, ˆBi = 0, maka ∆A∆B > 0, yang berarti besaran A dan B dapat diukur secara bersamaan dengan hasil kedua-duanya pasti, ∆A → 0 dan ∆B → 0. Sebaliknya, jika ˆA dan ˆB tidak komut, h ˆA, ˆBi 6= 0, maka ∆A∆B > konstanta, yang berarti besaran A dan B tidak dapat diukur secara bersamaan dengan hasil kedua-duanya pasti, ∆A → 0 atau ∆B → 0. Contoh, momentum linier dan posisi:
(∆p)2(∆x)2 > 1 4hi [ˆp, ˆx]i 2 > 1 4 i~ i 2 > ~ 2 4 → ∆p∆x > ~ 2 . (120)
Pengukuran momentum linier dan posisi pada secara bersamaan tidak dapat menghasilkan nilai momentum linier dan nilai posisi yang kedua-duanya pasti, sehingga orang harus memilih, yang mana yang dikehendaki. Jika dikehendaki nilai momentum, ukurlah saja momentum; jika dikehendaki nilai posisi, ukurlah saja posisi.
F. Perubahan nilai besaran terhadap waktu
Kita lihat perubahan nilai besaran fisika (nilai ekspektasi besaran fisika) terhadap waktu. Su-paya lebih sederhana, kita ambil keadaan sembarang |ψ(t)i yang ternormalisasi, sehingga nilai ekspektasi besaran A menjadi:
hAit= hψ(t)| ˆA|ψ(t)i . (121)
Perubahan nilai ekspektasi besaran A terhadap waktu diperoleh sebagai berikut: d dthAit= d dthψ(t)| ˆA|ψ(t)i = hψ(t)| ∂ ∂t ˆ A |ψ(t)i + d dthψ(t)| ˆ A|ψ(t)i + hψ(t)| ˆAd dt|ψ(t)i = * ∂ ˆA ∂t + t + 1 (−i~) −i~d dthψ(t)| ˆ A|ψ(t)i + 1 i~hψ(t)| ˆAi~ d dt|ψ(t)i = * ∂ ˆA ∂t + t + i ~ hψ(t)|H ˆA|ψ(t)i − i ~ hψ(t)| ˆAH|ψ(t)i = * ∂ ˆA ∂t + t + i ~hψ(t)|H ˆA − ˆAH|ψ(t)i = * ∂ ˆA ∂t + t + i ~ hψ(t)|hH, ˆAi|ψ(t)i = * ∂ ˆA ∂t + t + i ~ Dh H, ˆAiE t . (122)
Kasus khusus, jika operator ˆA tidak bergantung pada waktu secara eksaplisit, maka: ∂ ˆA ∂t = 0 → d dthAit= i ~ Dh H, ˆAiE t . (123)
Banyak operator besaran fisika yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit, sehingga persamaan (123) berlaku. Menurut persamaan (123), jika operator suatu besaran fisika dan hamiltonian komut, maka nilai besaran tersebut tetap dan besaran tersebut menjadi konstanta gerak (constant of motion):
h
H, ˆAi = 0 → d
dthAit= 0 → hAit= konstanta . (124) Operator energi total adalah hamiltonian H. Hamiltonian dan hamiltonian tentu komut, karena itu energi total tetap, energi total merupakan konstanta gerak.
Kita ambil operator posisi ˆx:
[H, ˆx] = ˆp 2 2m + ˆV (ˆx), ˆx = ˆp 2 2m, ˆx +h ˆV (ˆx), ˆx i
= 1 2m ˆp 2, ˆx + 0 = 1 2m p [ˆˆ p, ˆx] + ˆp 2, ˆx ˆp = 1 2m ˆ p~ i + ~ ipˆ = ~ i ˆ p m (125) → d dthxit = hpit m (126) atau md dthxit = hpit. (127)
Persamaan (127) kita kenal di mekanika klasik, namun bukan dalam nilai terukur momentum hpi dan posisi hxi, melainkan dalam variabel momentum p dan posisi x. Dengan demikian, kita lihat bahwa yang di mekanika klasik kita perlakukan sebagai variabel besaran fisika, sesung-guhnya itu adalah nilai terukur besaran fisika tersebut; relasi variabel besaran-besaran fisika di mekanika klasik sesungguhnya adalah relasi nilai terukur besaran-besaran itu. Di mekanika kuantum p dan x adalah variabel bebas, tidak saling bergantung, namun, nilai terukurnya hpi dan hxi saling berhubungan menurut persamaan (127).
Kita ambil operator momentum linier ˆp: [H, ˆp] = ˆp 2 2m + ˆV (ˆx), ˆp = ˆp 2 2m, ˆp +h ˆV (ˆx), ˆp i = 0 +h ˆV (ˆx), ˆpi = h ˆV (ˆx), ˆpi (128)
Kita cari h ˆV (ˆx), ˆpi dan kita dapat mengerjakannya dalam ruang posisi:
[V (x), ˆp(x)] ψ(x) = V (x),~ i d dx ψ(x) = V (x)~ i d dxψ(x) − ~ i d dxV (x)ψ(x) = V (x)~ i d dxψ(x) − V (x) ~ i d dxψ(x) − ~ i d dxV (x) ψ(x) = − ~ i d dxV (x) ψ(x) → [V (x), ˆp(x)] = −~ i d dxV (x) . (129)
Dengan demikian, diperoleh:
d dthpit= − d dxV (x) t (130)
dan juga, melihat persamaan (127): md 2 dt2hxit = − d dxV (x) t . (131)
Persamaan (131) tidak sama, melainkan hanya mirip, dengan yang kita kenal di mekanika klasik. Variabel momentum dan posisi di mekanika klasik sesungguhnya adalah nilai-nilai terukurnya, sehingga persamaan yang kita kenal di mekanika klasik, yang mirip dengan persamaan (131) adalah: md 2 dt2hxit = − d dhxit V (hxit) . (132) G. Limit Klasik
Untuk partikel atau sistem mikroskopik tidak selalu harus atau perlu diterapkan mekanika kuantum, melainkan dapat diterapkan mekanika klasik. Sebagai contoh, untuk menghitung ger-akan partikel bermuatan listrik dalam pengaruh medan listrik dan medan magnetik makroskopik, seperti dalam sebuah akselerator, cylcotron, spektrometer massa, mekanika klasik dapat dit-erapkan dengan hasil yang baik. Namun, kita telah lihat bahwa variabel besaran fisika di mekanika klasik sesungguhnya adalah nilai terukurnya, sehingga ditemui relasi antar besaran fisika di mekanika klasik berbeda dari yang di mekanika kuantum, seperti persamaan (132) dan (131). Kapan atau pada situasi apa relasi besaran fisika di mekanika klasik berlaku? Sebagai contoh, dari persamaan (131) dan (132), pada situasi apa berlaku:
d dxV (x) t ' d dhxit V (hxit) ? (133)
Ambillah sebuah operator yang bergantung pada operator posisi, yaitu F (ˆx). Kita pilih ruang posisi, sehingga operator itu menjadi F (x) (dalam ruang posisi, ˆx = x). Kita lakukan ekspansi Taylor untuk F (x) di sekitar nilai terukur hxi:
F (x) ' F (hxi) + (x − hxi) d dxF (x) hxi + 1 2!(x − hxi) 2 d 2 dx2F (x) hxi + ... . (134) Nilai ekspektasi F (x) adalah:
hF (x)i ' hF (hxi)i + h(x − hxi)i * d dxF (x) hxi + + 1 2!h(x − hxi) 2i * d2 dx2F (x) hxi + + ... . (135)
Apabila operator F (x) tidak terlalu bergantung pada posisi, dapat diambil deret Taylor nilai ekspektasi F (x) yang pendek, hanya sampai suku ke-2, karena suku-suku berikutnya (suku-suku orde tinggi) dapat diabaikan. Situasi lain yaitu ketika ketidakpastian pengukuran posisi (∆x)2 = h(x − hxi)2i sangat kecil. (Perhatikan bahwa ketidakpastian pengukuran posisi sangat
kecil bukan berarti secara mutlak (∆x)2 → 0, melainkan (∆x)2 relatif sangat kecil
diband-ingkan dengan ukuran sistem yang dapat saja bersifat makroskopik, seperti akselerator dan spektrometer massa, yang di situ terdapat medan listrik dan medan magnetik makroskopik,
nilainya relatif homogen di daerah yang relatif besar.) Apabila (∆x)2 sangat kecil, maka deret
Taylor nilai ekspektasi F (x) menjadi pendek, karena suku-suku berikutnya dapat diabaikan:
hF (x)i ' hF (hxi)i + h(x − hxi)i * d dxF (x) hxi +
' hF (hxi)i + (hxi − hxi) * d dxF (x) hxi + ' hF (hxi)i . (136)
