03-statistika-ii-2

(1)

STATISTIKA II

(BAGIAN - 2)

Oleh :

WIJAYA

email

_{: zeamays_hibrida@yahoo.com}

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2008

(2)

(3)

VI.

VI. PENGUJIAN

PENGUJIAN HIPOTESIS

HIPOTESIS

Hipotesis merupakan dugaan mengenai suatu hal; atau hipotesis adalah Hipotesis merupakan dugaan mengenai suatu hal; atau hipotesis adalah jawaban

jawaban sementara sementara terhadap terhadap suatu suatu masalah. masalah. Jika Jika dugaan dugaan itu itu dikhususkandikhususkan mengenai populasi (parameternya), maka hipotesis itu disebut Hipotesis Statistik. mengenai populasi (parameternya), maka hipotesis itu disebut Hipotesis Statistik. Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi.

populasi.

Setiap hipotesis bisa benar atau salah, sehingga perlu diuji dengan suatu Setiap hipotesis bisa benar atau salah, sehingga perlu diuji dengan suatu penelitian untuk diterima atau ditolak. Penerimaan suatu hipotesis statistik penelitian untuk diterima atau ditolak. Penerimaan suatu hipotesis statistik merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, dan tidak berimplikasi merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar.

bahwa hipotesis itu pasti benar.

Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis disebut Pengujian Hipotesis. Dalam pengujian hipotesis terdapat 2 hipotesis disebut Pengujian Hipotesis. Dalam pengujian hipotesis terdapat 2 kekeliruan (galat), yaitu :

kekeliruan (galat), yaitu :

Keadaan Sebenarnya Keadaan Sebenarnya Kesimpulan

Kesimpulan

H

H00 Benar Benar HH00 SalahSalah Terima

Terima Hipotesis Hipotesis BenarBenar Galat Galat Jenis Jenis II II ((

ββ )

) Tolak Hipotesis

Tolak Hipotesis Galat Galat Jenis Jenis I I ((

α

α )

) BenarBenar

Nilai

α

α disebut Taraf Nyata, jika

disebut Taraf Nyata, jika

α

α diperkecil maka

diperkecil maka

ββ

semakin semakin besar. besar. NilaiNilai

α

biasanya

biasanya 0,05 0,05 (5%) (5%) atau atau 0,01 0,01 (1%). (1%). JikaJika

α

α = 0,05 artinya 5 dari tiap 100

= 0,05 artinya 5 dari tiap 100 kesimpulan kita

kesimpulan kita akan menolak hipotesis akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. yang seharusnya diterima. Harga (1 Harga (1 ––

ββ))

disebut Kuasa (Kekuatan) Uji.

disebut Kuasa (Kekuatan) Uji. Hipotesis Nol (H

Hipotesis Nol (H00) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak.

(4)

Teladan 6.1 : Teladan 6.1 : Di suatu

Di suatu kota proporsi kota proporsi penduduk dewasa lulusan penduduk dewasa lulusan Perguruan Tinggi Perguruan Tinggi (PT) diduga(PT) diduga sebesar

sebesar p p = = 0,3. 0,3. Untuk Untuk menguji menguji hipotesis hipotesis ini ini diambil diambil contoh contoh acak acak 15 15 orangorang dewasa.

dewasa. Bila diantara 15 orBila diantara 15 orang terdapat 2 sampai ang terdapat 2 sampai 7 orang lulusan PT, 7 orang lulusan PT, kita akankita akan menerima hipotesis nol bahwa p = 0,3, selainnya akan disimpulkan p

menerima hipotesis nol bahwa p = 0,3, selainnya akan disimpulkan p

≠≠ 0,3.

0,3. a. Hitung

a. Hitung

α

α bila diasumsikan p = 0,3.

bila diasumsikan p = 0,3. b. Hitung

b. Hitung

ββ bagi H

bagi H11 bila p = 0,2 dan p = 0,4 bila p = 0,2 dan p = 0,4 Jawab : Jawab : a. a. p p = = 0,3 0,3 nilainilai

α

α = 1 – p (2

= 1 – p (2

≤≤ x

x

≤≤ 7) = 1 – [ p (x

7) = 1 – [ p (x

≤≤ 7) – p ( x

7) – p ( x

≤≤ 1) ]

1) ] 7 7 11

α

α = 1 – [

= 1 – [

∑

∑ b(x;

b(x; 15, 0,3) 15, 0,3) ––

∑

∑ b(x; 15, 0,3) ]

b(x; 15, 0,3) ] 0 0 00 = 1 = 1 – (0,9500 – (0,9500 – 0,0353) – 0,0353) = 0,0853= 0,0853 b. b. p p = = 0,2 0,2 nilainilai

ββ = 1 – p (2

= 1 – p (2

≤≤ x

x

≤≤ 7) = 1 – [ p (x

7) = 1 – [ p (x

≤≤ 7) – p ( x

7) – p ( x

≤≤ 1) ]

1) ] 7 7 11

ββ = 1 – [

= 1 – [

∑

∑ b(x; 15, 0,2) –

b(x; 15, 0,2) –

∑

∑ b(x; 15, 0,2) ]

b(x; 15, 0,2) ] 0 0 00 = 1 = 1 – (0,9958 – (0,9958 – 0,1671) – 0,1671) = 0,8287= 0,8287 p p = = 0,4 0,4 nilainilai

ββ = 1 – p (2

= 1 – p (2

≤≤ x

x

≤≤ 7) = 1 – [ p (x

7) = 1 – [ p (x

≤≤ 7) – p ( x

7) – p ( x

≤≤ 1) ]

1) ] 7 7 11

ββ = 1 – [

= 1 – [

∑

∑ b(x; 15, 0,4) –

b(x; 15, 0,4) –

∑

∑ b(x; 15, 0,4) ]

b(x; 15, 0,4) ] 0 0 00 = 1 = 1 – (0,7869 – (0,7869 – 0,0052) – 0,0052) = 0,7817= 0,7817 Teladan Teladan 6.2 6.2 ::

Sebuah contoh acak 400 orang ditanyai apakah mereka setuju dengan kenaikan Sebuah contoh acak 400 orang ditanyai apakah mereka setuju dengan kenaikan pajak penjualan bensin 4%

pajak penjualan bensin 4% untuk menambah dana perbaikan untuk menambah dana perbaikan jalan. jalan. Bila lebih dariBila lebih dari 220 tetapi kurang dari 260 orang setuju, maka disimpulkan bahwa 60% orang 220 tetapi kurang dari 260 orang setuju, maka disimpulkan bahwa 60% orang setuju.

setuju. a. Hitung

a. Hitung

α

α jika 60% setuju kenaikan pajak tersebut.

jika 60% setuju kenaikan pajak tersebut. b. Hitung

(5)

Jawab :

Data diskrit, n cukup besar dan p dekat ke 0,5 jadi digunakan pendekatan normal ke binom. a. n = 400 p = 0,6 q = 0,4

μ

= np = 240 dan

σ

=

√ npq = 9,8

z₁ = (220,5 – 240) / (9,8) = –1,99 atau p (z₁) = 0,0233 z₂ = (259,5 – 240) / (9,8) = 1,99 atau p (z₂) = 0,9767 p (220 < x < 260) = p (z₁ < z < z₂ ) = 0,9767 – 0,0233 = 0,9534 nilai

α = 1 – 0,9534 = 0,0466

b. n = 400 p = 0,48 q = 0,52

μ

= np = 192 dan

σ

=

√ npq = 9,99

p (220 < x < 260) = p (2,85 < z < 6,76 ) = 1 – 0,9978 = 0,0022 Nilai

β = 0,0022

Teladan 6. 3 :

Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga volume minuman yang dikeluarkannya menghampiri normal dengan rata–rata 200 ml dan simpangan bakunya 15 ml. Setiap periode tertentu mesin itu diperiksa dengan cara mengambil 9 contoh acak kemudian dihitung isi rata–ratanya. Bila rata–ratanya jatuh diantara 191 < x < 209, mesin dianggap baik, bila tidak demikian disimpulkan bahwa

μ ≠

200 ml.

a. Hitung

α jika

μ

= 200 ml. b. Hitung

β jika

μ

= 215 ml. Jawab :

Data kontinyu; sebaran penarikan contoh ;

σ

diketahui (sebaran z). a. n = 9

μ = 200 dan

σ

= 15

σ

_x =

σ /

√ n = 15 /

√ 9 = 5

α = 1 – p (191 < x < 209) = 1 – p (–1,8 < z < 1,8 )

α

= 1 – ( 0,9641 – 0,0359) = 0,0718

nilai á_{= 1 – 0,9534 = 0,0466}

(6)

Pada Teladan 6.3, untuk 191 < x < 209 jika nilai

μ ditentukan, maka peluang

β

dan nilai (1–

β) dapat dihitung. Misalnya nilai

μ sebagai berikut :

μ 184 188 192 196 200 204 208 212 216 β 0,0808 0,2743 0,5790 0,8366 0,9282 0,8366 0,5790 0,2743 0,0808 (1–β) 0,9192 0,7253 0,4210 0,1634 0,0718 0,1634 0,4210 0,7253 0,9192 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 8 9 1 184 188 192 196 200 204 208 212 216 0, 0, ₍₁ ₎

 Kurva

β disebut Kurva Ciri Operasi atau Kurva Ciri Kerja, sedangkan Kurva

(1 –

β) disebut Fungsi Kuasa.

Teknik dalam Pengujian Hipotesis :

Uji Dua Pihak : H0 :

θ

=

θ

0

H1 :

θ ≠ θ

0

α

Uji Satu Pihak (Pihak Kiri) : H0 :

θ

=

θ

0

H1 :

θ

<

θ

0

α

Uji Satu Pihak (Pihak Kanan) : H0 :

θ

=

θ

0

(7)

 Penggunaan jenis distribusi (rumus) dalam Pengujian Hipotesis sama dengan Pendugaan Parameter –––– sebaran penarikan contoh.

6.1 Penguj ian Rata–rata

(a) Jika

σ

diketahui atau n

≥

30 : x –

μ

z = ————

σ

/

√

n

(b) Jika

σ

tidak diketahui dan n < 30 : x –

μ

t = ———— s /

√

n Teladan 6.4 :

Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik dengan rata–rata kekuatan 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Suatu contoh acak 50 batang pancing diuji ternyata kekuatannya rata–rata 7,8 kg. Ujilah pada taraf nyata 0,01 pernyataan perusahaan tersebut dapat diterima.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

= 8 lawan H1 :

μ ≠

8 Jadi merupakan uji dua pihak

2. Uji Statistik : z

3. Taraf Nyata

α

= 1% atau zα/2 = z0,005 = – 2,575

4. Wilayah Kritik : z < – 2,575 atau z > 2,575 5. Perhitungan :

x = 7,8 n = 50

σ

= 0,5

σ

/

√

n = 0,5 /

√

50 = 0,07 z = (x –

μ

) / (

σ

/

√

n)

z = (7,8 – 8) / (0,07) = – 2,83

(8)

6. Kesimpulan : Karena z < z0,005 , maka Tolak H0 artinya rata- rata kekuatan

batang pancing tersebut tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg. Teladan 6.5 :

Seorang peneliti senior menyatakan bahwa rata–rata pendapatan per bulan keluarga di kota A sebesar Rp 350.000,–. Suatu contoh acak berukuran 25 diambil dan diperoleh rata–rata pendapatannya Rp 250.000,– dengan simpangan baku Rp 100.000,–. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah benar pernyataan peneliti senior tersebut bahwa rata–rata pendapatan keluarga di kota A sebesar Rp 350.000,–

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

= 350.000 lawan H1 :

μ ≠

350.000 Jadi merupakan uji dua pihak.

2. Uji Statistik : t

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau tα/2 (n–1) = t0,025 (24) = 2,064

4. Wilayah Kritik : t < – 2,064 atau t > 2,064 5. Perhitungan :

x = 250.000 n = 25 s = 100.000 s/

√

n = 100.000 /

√

25 = 20.000

t = (x –

μ

) / (s/

√

n)

t = (– 100.000) / (20.000) = – 5

–2,064 2,064

6. Kesimpulan : Karena t < t0,025(24), maka Tolak H0 artinya rata- rata pendapatan

keluarga tersebut kurang dari Rp 350.000,-.

Cara lain : (Pengujian dalam bentuk selang kepercayaan) Selang Kepercayaannya : x – tα/2. s/

√

n <

μ

< x + tα/2. s/

√

n

⇔

250.000 – (2,064)(20.000) <

μ

< 250.000 + (2,064)(20.000)

⇔

229.360 <

μ

< 270.640

(9)

350.000,– maka kita tolak pernyataan peneliti senior tersebut.

6.2 Penguj ian Selisi h Rata–rata

(a) Jika

σ1

dan

σ2

diketahui atau n

≥

30 : x 1 – x2 z = ——————————

√

(

σ

1 2_{/ n} 1) + (

σ

2 2_{/ n} 2) (b) Jika

σ

1 dan

σ

2 tidak diketahui dan n < 30 :

1.

σ

₁ =

σ

₂, maka : x₁ – x₂ t = —————————— s_g

√

(1/ n₁) + (1/ n₂) (n₁ – 1) s₁2 + (n₂ – 1) s₂2 s g 2_{= ————————————} n₁ + n₂ – 2 2.

σ

₁

≠ σ

₂, maka : x₁ – x₂ t = ——————————

√

(s₁2/ n₁) + (s₂2/ n₂)

Nilai t dibandingkan dengan t’ sebagai t–tabel, dimana : (w 1 t1 + w2 t2 ) t’ = ————————— ( w 1 + w2) w₁ = (s₁2 / n₁) ; w₂ = (s₁2 / n₁) ; t₁= tα/2(n1–1) ; t₂ = tα/2(n2–1)

(10)

Teladan 6.6 :

Sebuah perusahaan memproduksi 2 macam lampu pijar A dan B. Misal umur lampu pijar tersebut menyebar normal dengan simpangan baku masing–masing 80 dan 90 jam. Contoh acak masing–masing berukuran 50 diuji dan didapat rata–rata umurnya sebesar 1282 jam dan 1208 jam. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah rata–rata umur lampu pijar A lebih lama dari B.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

A =

μB

lawan H1 :

μ

A >

μB

( uji pihak kanan).

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau zα = z0,05 = 1,645

4. Wilayah Kritik : z > 1,645 5. Perhitungan : n1= n2= 50

σ1

= 80

σ2

= 90 x1 = 1282 x2 = 1208 x1 – x2 = 74

σ

_{x1– x2} =

√

(

σ

₁2/ n₁) + (

σ

₂2/ n₂) =

√

(802/ 50) + (902/ 50) = 17,321 z = (x₁ – x₂) / (

√

(

σ

₁2/ n₁) + (

σ

₂2/n₂) z = (74) / (17,321) = 4,24 z_0,05= 1,645

6. Kesimpulan : Karena z > z0,05, maka Tolak H0 artinya rata- rata umur lampu

pijar A lebih lama dari lampu pijar B. Teladan 6.7 :

Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya, untuk itu 50 potong tambang dari setiap jenis diuji dalam kondisi yang sama. Jenis A mempunyai kekuatan rata–rata 78,3 kg dengan simpangan baku 5,6 kg, sedangkan B rata–ratanya 87,2 kg dengan simpangan baku 6,3 kg. Uji pada taraf nyata 5% apakah rata–rata kekuatan tambang A lebih kecil dari B.

(11)

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

A =

μB

lawan H1 :

μ

A <

μB

( uji pihak kiri). 2. Uji Statistik : z

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau zα = z0,05 = 1,645

4. Wilayah Kritik : z < – 1,645 5. Perhitungan : n₁= n₂= 50 x₁ = 78,3 s₁ = 5,6 x₂ = 87,2 s₂= 6,3 x₁ – x₂ = – 8,9 s x1– x2 =

√(s

1 2_{/ n} 1) + (s2 2_{/ n} 2) =

√ (5,6)

2_{/ 50 + (6,3)}2_{/ 50 = 1,19} z = (x₁ – x₂)/ (√ (s₁2/ n₁) + (s₂2/ n₂) z = (– 8,9) / (1,19) = – 7,48 z 0,05= – 1,645

6. Kesimpulan : Karena z < z0,05, maka Tolak H0 artinya rata- rata kekuatan tambang A lebih kecil dari tambang B.

Teladan 6.8 :

Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan metode pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Ujilah pada taraf nyata 10% apakah rata–rata populasi bagi nilai ujian kedua metode tersebut sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

A =

μB

lawan H1 :

μ

A

≠ μB

( uji dua pihak). 2. Uji Statistik : t

3. Taraf Nyata

α

= 0,10 atau tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725 4. Wilayah Kritik : t < – 1,725 atau t > 1,725

(12)

n 1= 12 x1 = 85 s1 = 4 n2= 10 x2 = 81 s2= 5 (x 1 – x2) = 4 dan sg =

√

[(n1 –1) s1 2_{+ (n} 2 –1) s2 2_{]/ (n} 1+ n2 – 2) s g =

√

[11(16) + 9(25)]/ (10+12–2) = 4,478 t = (x₁ – x₂)/ (s_g

√

(1/n₁ + 1/n₂) t = (4) / (1,92) = 2,08

6. Kesimpulan : Karena t > t0,05(20), maka Tolak H0 artinya rata- rata nilai matematika kedua metode tidak sama.

Teladan 6.9 :

Masa putar film yang diproduksi oleh 2 perusahaan film adalah : Masa Putar (menit)

Perusahaan I 97 82 123 92 175 88 118 Perusahaan II 103 94 110 87 98

Ujilah pada taraf nyata 5% apakah rata–rata masa putar film kedua perusahaan tersebut sama, bila diasumsikan kedua ragam populasi tersebut tidak sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

A =

μ

B lawan H1 :

μ

A

≠ μ

B ( uji dua pihak). 2. Uji Statistik : t

3. Taraf Nyata

α

= 0,05

4. Wilayah Kritik : t <

_̶

tα/2(v) atau t > tα/2(v) 5. Perhitungan : Cara I : n 1= 7 x1 = 110,7 s1 2 _{= 1035,9 n} 2= 5 x2 = 98,4 s2 2 _{= 76,3} derajat bebas untuk tα/2 atau t0,025 adalah :

(s 1 2_{/ n} 1 + s2 2_{/ n} 2 ) 2 v = ————————————————— [(s₁2/n₁)2/ (n₁ –1)] + [(s₂2/n₂)2/ (n₂ –1)]

(13)

[ (1035,9 / 7) + (76,3 / 5) ]2 v = —————————————————— = 7,19 = 7 [ (1035,9 / 7)2/ (4)] + [(76,3 / 5)2/ (6) ] jadi t0,025 (7) = 2,365 dan ( x₂ – x₁)= 12,3

√ [(s

₁2_{/ n} 1) + (s2 2_{/ n} 2)] =

√ [(1035,9)/(7) + (76,3)/(5)] = 12,78

t = (x₁ – x₂)/

√ [(s

₁2/ n₁) + (s₂2/ n₂)] = (12,3) / (12,78) = 0,964

6. Kesimpulan : Karena t < t0,025(7), maka Terima H0 artinya rata-rata masa putar

film kedua perusahaan tidak berbeda nyata.

Cara lain menentukan tα/2(v) = t’ bagi

σ

₁

≠ σ

₂ (tidak diketahui)

tα/2(v) = t’ = (w₁ t₁ + w₂ t₂ ) / ( w₁ + w₂) w 1 = (s1 2_{/ n} 1) = (1035,9) 2 _{/ (7) = 147,99} w₂ = (s₂2 / n₂) = (76,3)2 / (5) = 15,26 t₁ = tα/2(n1–1) = t_{0,025 (7–1)} = 2,447 t₂ = tα/2(n2–1) =t_{0,025 (5–1)} = 2,776 tα/2(v) = t’ = (w₁ t₁ + w₂ t₂ ) / (w₁ + w₂) = 2,478

Karena t = 0,964 < t’ = 2,478 maka Terima Ho, artinya rata–rata masa putar film kedua perusahaan tersebut sama.

6.3 Pengu jian Rata–rata Pengamatan Berpasangan

d

t = ————— db–t = (n–1) s_d /

√ n

Teladan 6.10 :

Pelatihan manajemen agribisnis kepada 100 petani andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan

(14)

sesudah pelatihan, datanya adalah sebagai berikut :

Petani 1 2 3 4 5 6

Sebelum Dilatih 40 78 49 63 55 33 Juta rupiah Sesudah Dilatih 58 87 57 72 61 40 Juta rupiah

Ujilah pada taraf nyata 5% apakah pelatihan agribisnis dapat meningkatkan keuntungan petani.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

μ

A =

μ

B lawan H1 :

μ

A >

μ

B ( uji pihak kanan). 2. Uji Statistik : t

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau tα/2(n–1) = t0,025(5) = 2,02 4. Wilayah Kritik : t < – 2,02 atau t > 2,02

5. Perhitungan : Sebelum Dilatih 40 78 49 63 55 33 Sesudah Dilatih 58 87 57 72 61 40 Beda (d) 18 9 8 9 6 7 n = 6

∑

d = 57

∑

d2 = 635 d = 9,5 s_d = 4,32 s_d /

√

n = 1,76 t = d / s d /

√

n t = (9,5) / (1,76) = 5,4

6. Kesimpulan : Karena t > t0,025(5), maka Tolak H0 artinya rata- rata pendapatan petani setelah dilatih lebih tinggi dibandingkan dengan sebelum dilatih.

Ukuran Contoh unt uk Penguji an Rata–rata (

Misal ingin menguji bahwa H0 :

μ

=

μ

0 lawan H1:

μ

=

μ

0 +

δ

,

δ

bisa (+) bisa (–). Bila peluang galat I dan II adalah

α

dan

β

, dan contoh diambil dari populasi yang menghampiri normal dengan ragam (

σ

2) yang diketahui, maka ukuran contoh yang diperlukan adalah : n = (zα + zβ )2

σ

2/ (

δ

2 )

(15)

Teladan 6.11 :

Misal ingin H0 :

μ

= 68 lawan H1:

μ

= 69 bagi populasi normal dengan

σ

= 5. Bila

α

dan

β

keduanya 0,05 maka ukuran contoh yang diperlukan adalah :

n = (zα + zβ )2

σ

2/ (

δ

2 ) = (–1,645 – 1,645)2(25) / (1) = 271  Ukuran Contoh untuk Pengujian Selisih Rata–rata

H0 :

μ

1 –

μ

2 = d₀ lawan H1:

μ

1 –

μ

2 = d0 +

δ

n = (zα + zβ )2(

σ

₁2+

σ

₂2) / (

δ

2 )

Teladan 6.12 :

Dua contoh bebas akan diambil dari populasi normal dengan

σ

12 = 80 dan

σ

22 = 100. Untuk menguji H0 :

μ

1 –

μ

2 = 50 lawan H1 :

μ

1 –

μ

2 = 55. Bila

α

= 0,05 dan

β

= 0,01 maka ukuran contoh masing–masing yang diperlukan adalah :

n = (zα + zβ )2(

σ

₁2+

σ

₂2) / (

δ

2 ) = (–1,645 – 2,33)2 (80 + 100) / (25) = 114

6.4 Pengu jian Propor si

a. n

≥

100 : b. n < 100 : x/n – p z = —————

√

pq / n x/n – p t = —————

√

pq / n Teladan 6.13 :

Pengelola restoran menyatakan bahwa minimal 30% pengunjung restoran setiap hari minggu menyukai makanan laut. Contoh acak 500 orang yang makan siang di hari minggu terdapat 160 orang yang suka makanan laut. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah pernyataan pengelola restoran tersebut dapat diterima.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p = 0,3 lawan H1 : p

≠

0,3 (uji dua pihak). 2. Uji Statistik : z

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau zα/2 = z0,025 = 1,96 4. Wilayah Kritik : z < – 1,96 atau z > 1,96

(16)

5. Perhitungan :

p = 0,3 q = 0,7 x/n = 160/500 = 0,32 z = (x/n – p) /

√

(pq/n)

z = (0,32 – 0,3) /

√

(0,21/500) = 1,00

6. Kesimpulan : Karena z < z0,025, maka Terima H0 artinya proporsi yang suka

makanan laut memang benar 30 %.

6.5 Pengu jian Selisi h Propo rsi x₁/n₁ – x₂/n₂ z = ——————————

√

pq (1/ n 1 + 1/ n2) x 1 + x2 p = ————— q = 1 – p n 1 + n2 Teladan 6.14 :

Suatu studi dilakukan untuk menguji apakah ada perbedaan proporsi yang nyata dari penduduk suatu kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000 penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari penduduk sekitar kota (gunakan taraf nyata 5%).

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 lawan H1 : p1 > p2 (uji pihak kanan).

3. Taraf Nyata

α

= 0,05 atau zα = z0,05 = 1,645

4. Wilayah Kritik : z > 1,645 5. Perhitungan :

n₁= 2000 n₂ = 5000 x₁ = 1200 x₂= 2400 x₁/ n₁ = 0,60 x₂/ n₂ = 0,48 p = 3600/7000 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25

(17)

z = (x₁/n₁ – x₂/n₂ ) /

√ pq (1/n

₁ + 1/n₂) z = (0,60 – 0,48)/

√

0,25 (1/5000 + 1/2000) z = (0,12) / (0,013) = 9,23

6. Kesimpulan : Karena z > z0,025, maka Tolak H0 artinya proporsi penduduk

yang setuju di kota lebih besar dari penduduk sekitar kota.

Masalah dalam pengujian selisih proporsi akan ditemui apabila sampel yang diambil ukurannya semakin kecil, misalnya jika :

1. n₁= 200 n₂ = 500 x₁ = 120 x₂= 240 x₁/n₁ = 0,60 x₂/n₂ = 0,48 p = 360/700 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25 z = (0,60 – 0,48) /

√ 0,25 (1/500 + 1/200) = (0,12)/(0,042) = 2,86

(z = 2,86 ) > (z 0,05 = 1,645) 2. n₁= 20 n₂ = 50 x₁ = 12 x₂= 24 x₁/n₁ = 0,60 x₂/n₂ = 0,48 p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25 z = (0,60 – 0,48) /

√ 0,25 (1/50 + 1/20) = (0,12)/(0,13) = 0,92

(z = 0,92) < (z_0,05 = 1,645)

3. atau karena n < 100, maka digunakan sebaran t–student, hasilnya : n

1= 20 n2 = 50 x1 = 12 x2= 24 x1/n1 = 0,60 x2/n2 = 0,48 p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25

t = (0,60 – 0,48) /

√ 0,25 (1/50 + 1/20) = (0,12)/(0,13) = 0,92

(t = 0,92) < (t_{0,05 (68)} = 1,645)

Jadi apabila ukuran sampel semakin kecil (N < 100) maka H₀ cenderung diterima. Teladan 6.15 :

Seorang ahli genetika tertarik pada populasi laki–laki dan perempuan dalam populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Dari contoh 100 laki–laki terdapat 24 yang mengidap kelainan darah dan 100 perempuan terdapat 13 yang mengidap kelainan. Ujilah pada taraf nyata 1% apakah proporsi yang mengidap kelainan darah pada laki–laki sama dengan perempuan.

(18)

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 lawan H1 : p1

≠

p2 (uji dua pihak). 2. Uji Statistik : z

3. Taraf Nyata

α

= 0,01 atau zα/2 = z0,005 = 2,575 4. Wilayah Kritik : z < –2,575 atau z > 2,575 5. Perhitungan : n₁= 100 n₂ = 100 x₁ = 24 x₂= 13 x₁/n₁ = 0,24 x₂/n₂ = 0,13 p = 37/200 = 0,185 q = 0,815 pq = 0,15 z = (x 1/n1 – x2/n2 ) /

√

pq (1/n1 + 1/n2) z = (0,24 – 0,13) /

√

0,15 (1/100 + 1/100) z = (0,11) / (0,039) = 2,82

6. Kesimpulan : Karena z > z0,005, maka Tolak H0 artinya proporsi kelainan darah pada laki-laki tidak sama dengan perempuan.

6.6 Penguj ian Ragam (a) Satu Ragam :

H 0 :

σ

2 ₌

_σ

0 2 H₁ :

σ

2

≠ σ

0 2 _atau

_σ

2 _>

_σ

0 2 _atau

_σ

2 _<

_σ

0 2 (n – 1) s2

χ

2 = —————

σ

₀2

(b) Kesamaan Dua Ragam :

H₀ :

σ

₁2 =

σ

₂2 H 1 :

σ

1 2

_{≠ σ}

2 2 _atau

_σ

1 2 _>

_σ

2 2 _atau

_σ

1 2 _<

_σ

2 2 s 1 2 F = ——— v₁= n₁ – 1 dan v₂= n₂ – 1 s₂2

(19)

Teladan 6.16 :

Pengelola perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan baku 1,2 tahun. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah : a. Pernyataan perusahaan dapat diterima bahwa

σ

= 0,9

b. Menurut saudara

σ

> 0,9 Jawab (a) :

1. Hipotesis :

H0 :

σ

2 = 0,81 lawan H1 :

σ

2

≠

0,81 (uji dua pihak).

2. Uji Statistik :

χ

2 3. Taraf Nyata

α

= 0,05

4. Wilayah Kritik :

χ

2 <

χ

2(1– α/2)(n–1) atau

χ

2 >

χ

2α/2(n–1)

5. Perhitungan :

Untuk

α

= 5% didapat

χ

2α/2(n–1) =

χ

2_{0,025 (9)} = 19,023 dan

χ

2 (1– α/2) (n–1) =

χ

2_{0,975 (9)} = 2,7

χ

2_{= (n – 1) s}2_/

_σ

0 2

χ

2 _{= (10–1)(1,44) / (0,9)}2

χ

2_{= 16,0}

χ

2 (1– α/2)(9)= 2,7

χ

2α/2(9) = 19,023

6. Kesimpulan : Karena

χ

20,975(9) <

χ

2 <

χ

20,025(9), maka Terima H0 artinya benar

bahwa umur aki mempunyai

σ

= 0,9. Jawab (b) :

1. Hipotesis :

H0 :

σ

2 = 0,81 lawan H1 :

σ

2 > 0,81 (uji pihak kanan).

2. Uji Statistik :

χ

2 3. Taraf Nyata

α

= 0,05

(20)

5. Perhitungan :

Untuk

α

= 5% didapat

χ

2α/2(n–1) =

χ

20,05(9) = 16,919

χ

2

= (n – 1) s2/

σ

₀2 = (10–1)(1,44) / (0,9)2 = 16,0

χ

2 <

χ

20,05(9), maka Terima H0 artinya benar bahwa umur

aki mempunyai

σ

= 0,9. Teladan 6.17 :

Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan metode pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Asumsi kedua populasi mempunyai ragam yang sama tetapi tidak diketahui apakah dapat diterima ? Ujilah pada taraf nyata 0,10.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

σ

12 =

σ

22 lawan H1 :

σ

12

≠ σ

22 (uji dua pihak).

2. Uji Statistik : F

3. Taraf Nyata

α

= 0,10

4. Wilayah Kritik : F < 1/Fα/2 (v2, v1) atau F > Fα/2 (v1, v2)

5. Perhitungan :

n₁= 12 x₁ = 85 s₁ = 4 n₂= 10 x₂ = 81 s₂= 5 Untuk

α

= 10% didapat 1/Fα/2(v2, v1) = 1/F0,05 (9, 11) = 0,34

dan Fα/2(v1,ϖ2) = F0,05(11, 9) = 3,11

F = s₁2 / s₂2 = (16) / (25) = 0,64

6. Kesimpulan : Karena 1/Fα/2(v2, v1) < F < Fα/2(v1, v2) maka Terima H0 artinya

(21)

Teladan 6.18 :

Masa putar film yang diproduksi oleh 2 perusahaan film adalah : Masa Putar (menit)

Perusahaan I 103 94 110 87 98

Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118

Ujilah pada taraf nyata 10% apakah kedua populasi mempunyai ragam yang sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 :

σ

12 =

σ

22 lawan H1 :

σ

12

≠ σ

22 (uji dua pihak).

3. Taraf Nyata

α

= 0,10

4. Wilayah Kritik : F < 1/Fα/2 (v2, v1) atau F > Fα/2 (v1, v2)

5. Perhitungan :

n₁= 5 x₁ = 98,4 s₁2 = 76,3 n₂= 7 x₂ = 110,7 s₂2 = 1035,9 Untuk

α

= 10% didapat 1/Fα/2 (v2, v1) = 1/F0,05 (6, 4) = 0,22

dan Fα/2 (v1, v2) = F0,05 (4, 6) = 4,53

F = s₁2 / s₂2 = (76,73) / (1035,9) = 0,074

6. Kesimpulan : Karena 1/Fα/2 (v2, v1) < F < Fα/2 (v1, v2) maka Tolak H0 artinya

kedua populasi mempunyai ragam yang tidak sama .

6.7 Penguj ian Kesamaan Beberapa Rata–rata

H0 :

μ

1 =

μ

2 = … =

μ

n

H1 : Paling sedikit ada satu tanda “=” tidak berlaku

Uji Statistik yang digunakan adalah : s12

F = ——— v1= n1 – 1 dan v2= n2 – 1

(22)

Teladan 6.19 :

Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet, ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah rata–rata penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama. Metode Diet Nomor A B C D 1 1,2 1,4 0,7 1,0 2 2,0 1,5 1,6 0,9 3 2,1 1,0 1,6 1,4 4 1,0 1,9 1,4 1,6 5 1,7 2,2 1,7 1,1 Jumlah 8,0 8,0 7,0 6,0 29,0 Rta–rata 1,6 1,6 1,4 1,2 Jawab : 1. Hipotesis : H0 :

μ

1 =

μ

2 = … =

μ

n

3. Taraf Nyata

α

= 0,05

4. Wilayah Kritik : F > Fα (v1, v2)

5. Perhitungan :

a. Faktor Koreksi (FK) = (29)2 : 20 = 42,05

b. Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) = (8,02 + … + 6,02) / 5 – FK = 0,55 c. Jumlah Kuadrat Total (JKT) = (1,22 + … + 1,12) – FK = 3,35

d. Jumlah Kuadrat Galat (JKG) = JKT – JKP = 3,35 – 0,55 = 2,80 e. Derajat Bebas (db) Total = n – 1 = 20 – 1 = 19

f. Derajat Bebas (db) Perlakuan = k – 1 = 4 – 1 = 3

g. Derajat Bebas (db) Galat = db Total – db Perlakuan = 19 – 3 = 16 h. Kuadrat Tengah (KT) Perlakuan = JK Perlakuan : db Perlakuan i. Kuadrat Tengah (KT) Galat = JK Galat : db Galat

(23)

j. F = (s

1

2_{) / (s} 2

2 _{) = (0,183) / (0,175) = 1,05}

Daftar Sidik Ragam :

No. Sumber Variasi db JK KT F F

0,05

1 Metode Diet 3 0,55 0,183 1,05 3,24 2 Galat 16 2,80 0,175

Total 19 3,35

6. Kesimpulan : Karena F < F0,05, maka Terima H0 artinya penurunan bobot

badan pada keempat metode diet itu sama besar.

6.8 Pengu jian Kesamaan Beberapa Propor si (Data Multin om)

H0 : p1 = p2 = … = pn

(o_i – e_i) 2

χ

2

=

∑

————— db–

χ

2= (b–1)(k–1) e_i

dimana b = banyaknya baris dan k = banyaknya kolom. Untuk tabel kontingensi 2 x 2, berarti db–

χ

2= (b–1)(k–1) = 1 perlu dilakukan koreksi Yate bagi kekontinyuan (karena data asal bersifat diskrit) yaitu :

[ (o_i – e_i) – 0,5 ]2

χ

2 ₌

_∑

_{————————}

e

i

Bila frekuensi harapan (ei ) antara 5 dan 10, maka koreksi Yates harus

dipakai. Bila frekuensi harapan (ei) besar, maka

χ

2

≈ χ

2 terkoreksi. Bila frekuensi

harapan (ei ) kurang dari 5, maka dipakai Uji Pasti Fisher–Irwin, oleh karena itu

sebaiknya digunakan ukuran contoh yang besar. Teladan 6.20 :

Data berikut menunjukkan banyaknya produk yang cacat pada 3 macam waktu kerja. Ujilah pada taraf nyata 0,025 apakah produk yang cacat mempunyai

(24)

proporsi sama untuk ketiga waktu kerja tersebut.

Pagi Siang Malam Jumlah

Cacat 45 55 70 170 Baik 905 890 870 2665 Jumlah 950 945 940 2835 Jawab : 1. Hipotesis : H0 : p1 = p2 = … = pn

H1 : Paling sedikit ada satu tanda “=” tidak berlaku 2. Uji Statistik :

χ

2

3. Taraf Nyata

α

= 0,025

4. Wilayah Kritik :

χ

2 >

χ

2α(b –1) (k –1) 5. Perhitungan :

Untuk

α

= 0,025 didapat

χ

2α(b –1) (k –1) =

χ

2_{0,025 (2)} = 19,023

Pagi Siang Malam

O_i E_i O_i E_i O_i E_i Cacat 45 57,0 55 56,7 70 56,3 170 Baik 905 893,0 890 888,3 870 883,7 2665 Jumlah 950 945 940 2835 (o i – ei) 2

χ

2 ₌

_∑

_{—————} e_i (45 – 57 )2 (905 – 893 )2 (870 – 883,7) 2

χ

2 _{= ————— + —————— + … + ——————— = 6,288} (57) (893) (883,7)

χ

2 <

χ

20,025(2), maka Terima H0 artinya proporsi produk cacat yang dihasilkan pada ketiga macam waktu kerja adalah sama.

(25)

Teladan 6.21 :

Tiga penyalur ‘mixed nut’ mengiklankan bahwa produknya mengandung sebanyak–banyaknya 60% kacang. Bila sebuah kaleng berisi 500 mixed nut diambil secara acak dari masing–masing penyalur ternyata mengandung berturut– turut 345 ; 319 dan 359 kacang. Simpulkan pada taraf nyata 0,01 apakah proporsi kacang mixed nut dari ketiga penyalur tersebut sama.

Penyalur I Penyalur II Penyalur III Jumlah

Berkacang 345 319 359 1017 Tidak 155 181 141 483 Jumlah 500 500 500 1500 Jawab : 1. Hipotesis : H0 : p1 = p2 = … = pn

χ

2

3. Taraf Nyata

α

= 0,01

4. Wilayah Kritik :

χ

2 >

χ

2α(b–1) (k–1) 5. Perhitungan :

Untuk

α

= 0,01 didapat

χ

2α(b–1) (k–1) =

χ

20,01(2) = 9,21 Penyalur I Penyalur II Penyalur III

Oi Ei Oi Ei Oi Ei Berkacang 345 339 319 339 359 339 1017 Tidak 155 161 181 161 141 161 483 Jumlah 500 500 500 1500 (345 – 339)2 (319 – 339 )2 (141 – 161)2

χ

2 = —————— + —————— + … + —————— = 10,19 (339) (339) (161)

χ

2 <

χ

20,01(2), maka Tolak H0 artinya proporsi kacang pada mixed nut dari ketiga penyalur berbeda.

(26)

Teladan 6.22 :

Hasil penelitian untuk mengetahui proporsi ibu rumah tangga yang suka acara Sinetron TV diperoleh 29 diantara 150 ibu rumah tangga di daerah A, 48 diantara 200 di daerah B dan 35 diantara 150 di daerah C suka acara tersebut. Simpulkan pada taraf nyata 0,05 apakah tidak ada perbedaan proporsi ibu rumah tangga terhadap acara tersebut.

A B C Jumlah Suka 29 48 35 112 Tidak Suka 121 152 115 388 Jumlah 150 200 150 500 Jawab : 1. Hipotesis : H0 : p1 = p2 = … = pn

χ

2 3. Taraf Nyata

α

= 0,05 4. Wilayah Kritik :

χ

2 >

χ

2α(b–1) (k–1) 5. Perhitungan : Untuk

α

= 0,05 didapat

χ

2α(b–1) (k–1) =

χ

20,05(2) = 5,991 A B C Oi Ei Oi Ei Oi Ei Suka 29 33,6 48 44,8 35 33,6 112 Tidak Suka 121 116,4 152 155,2 115 161,4 388 Jumlah 150 200 150 500 (29 – 33,69)2 (48 – 44,8 )2 (115 – 161,4)2

χ

2 = —————— + —————— + … + ——————— = 1,181 (33,6) (44,8) (161,4)

χ

2 <

χ

20,05(2), maka Terima H0 artinya proporsi ibu rumah tangga yang suka acara Sinetron tidak berbeda.

(27)

6.9 Penguj ian Kesamaan Beberapa Ragam H0 :

σ

12 =

σ

22 = … =

σ

k2

H1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku. Uji dari Bartlett :

χ

2 = Ln 10 [ {Log s2

∑ (n

_i –1) } – {

∑ (n

_i –1) Log s_i2 } ]

∑ (n

_i –1) s i 2

_∑ (n

i –1) si 2 s2 = —————— = ——————

∑ (n

_i–1) N – k Teladan 6.23 :

Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah ragam penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama. Jawab :

1. Hipotesis : H0 :

σ

12 =

σ

22 = … =

σ

k2

H1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku. 2. Uji Statistik :

χ

2 3. Taraf Nyata

α = 0,05

4. Wilayah Kritik :

χ

2 >

χ

2α(n–1) 5. Perhitungan : Untuk

α = 0,05 didapat

χ

2α(n–1) =

χ

20,05(3) = 7,81 n i –1 si 2 _{Log s} i 2 _(n i –1) Log si 2 A 1,2 2,0 2,1 1,0 1,7 4 0,235 – 0,63 – 2,52 B 1,4 1,5 1,0 1,9 2,2 4 0,215 – 0,67 – 2,67 C 0,7 1,6 1,6 1,4 1,7 4 0,165 – 0,78 – 3,13 D 1,0 0,9 1,4 1,6 1,1 4 0,085 – 1,07 – 4,28 s2 = 4 (0,235 + 0,215 + 0,165 + 0,085) / (16) = 0,175

χ

2 = 2,3 [ (– 0,76)(16) – (– 12,6) ] = 1,012

χ

2 <

χ

20,05(3), maka Terima H0 artinya ragam penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama.

(28)

6.10 Uji Kebaikan Suai (Uji Kecoco kan)

Uji ini digunakan untuk mengetahui ada tidaknya kesesuaian (kecocokan) model sebaran yang diasumsikan. Misal sebuah dadu dilempar 120 kali, bila dadu itu setimbang maka secara teoritik masing–masing sisi akan muncul sebanyak 20 kali. Dengan membandingkan frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan, kita harus memutuskan apakah ketaksuaian itu disebabkan oleh fluktuasi penarikan contoh atau karena dadunya tidak setimbang sehingga sebaran hasil percobaan tidak seragam. Uji Kebaikan Suai didasarkan pada besaran :

k ( o_i – e_i) 2

χ

2

=

∑

i e

i

db–

χ

2 = (k – g – 1) dimana k adalah banyaknya kategori atau kelas interval dan g adalah banyaknya parameter yang ditaksir. Kriteria pengujian adalah Tolak H0 jika

χ

2 _>

_χ

2

α(k–g–1).

Bila frekuensi teramati (oi) dekat dengan frekuensi harapan (ei), maka nilai

χ

2 akan kecil, menunjukkan adanya kesuaian yang baik. Kesuaian yang baik membawa pada penerimaan H0. Bila ada frekuensi–frekuensi harapan (ei) kurang dari 5, maka frekuensi harapan tersebut harus digabungkan, berarti db–

χ

2 akan berkurang.

Teladan 4.24 :

Misal data berikut menunjukkan frekuensi teramati dan frekuensi harapan dari pelemparan dadu sebanyak 120 kali. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah dadu tersebut setimbang.

Sisi Dadu

1 2 3 4 5 6

Teramati 20 22 17 18 19 24 Harapan 20 20 20 20 20 20

(29)

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn

χ

2 3. Taraf Nyata

α

χ

2 >

χ

2α(k–g–1) 5. Perhitungan : Untuk

α

= 0,05 dan db–

χ

2 = (k – g – 1) = (6–0–1) = 5 didapat

χ

2α(k–g–1) =

χ

20,05 (5) = 11,07 (20 – 20)2 (22 – 20)2 (24 – 20)2

χ

2 _{= ————— + ————— + … + ————— = 1,7} (20) (20) (20)

6. Kesimpulan : Karena nilai

χ

2 <

χ

20,05 (5) maka disimpulkan untuk menerima H0 (dadu setimbang).

Teladan 6.25 :

Eksperimen genetika menunjukkan bahwa semacam karakteristik diturunkan menurut perbandingan 1:3:3:9, untuk kategori A, B, C dan D. Dari 160 pengamatan terdapat 5 kategori A, 23 B, 32 C dan 100 D. Dengan taraf nyata 5%, apakah data tersebut menguatkan teori genetika ?

Kategori A B C D Jml Teramati 5 23 32 100 160 Harapan 10 30 30 90 160 Jawab : 1. Hipotesis : H0 : p1 = p2 = … = pn

χ

2

(30)

3. Taraf Nyata

α

χ

2 >

χ

2α (k–g–1) 5. Perhitungan : Untuk

α

= 0,05 dan db–

χ

2 = (k – g – 1) = (4–0–1) = 3 didapat

χ

2α(k–g–1) =

χ

20,05 (3) = 7,81 (5 – 10)2 (23 – 30)2 (100 – 90)2

χ

2 = ————— + ————— + … + —————— = 5,18 (10) (30) (90)

6. Kesimpulan : Karena nilai

χ

2 <

χ

20,05 (3) maka Terima H0 artinya tidak ada alasan untuk tidak mempercayai teori genetika tersebut.

Teladan 6.26 :

Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi gaji (x Rp 10.000,– per minggu) dari 40 karyawan Pabrik Rotan, dengan rata–rata (x) = 3,4 dan simpangan baku (s) = 0,7. Untuk menghitung frekuensi harapan (ei) digunakan batas atas masing– masing kelas ke rumus z (data kontinyu, n > 30), misalnya :

z1 = (1,45 – 3,41) / (0,7) = – 2,80 jadi p(z1 ) = 0,0026 z2 = (1,95 – 3,41) / (0,7) = – 2,09 jadi p(z2) = 0,0183

P (1,45 < x < 1,95) = P (z1 < z < z2 ) = 0,0157 atau ei = 0,0157 x 40 = 0,6 Dengan cara yang sama akan didapat :

Batas Kelas z₁ z₂ P E_i o_i (o_i – e_i)2/ e_i 1,45 – 1,95 –2,80 –2,09 0,0157 0,6 2 1,95 – 2,45 –2,09 –1,37 0,0670 2,7 10,0 1 7 0,900 2,45 – 2,95 –1,37 –0,66 0,1693 6,7 4 2,95 – 3,45 –0,66 0,06 0,2693 10,7 15 1,728 3,45 – 3,95 0,06 0,77 0,2555 10,1 10 0,001 3,95 – 4,55 0,77 1,49 0,1525 6,0 8,2 5 8 0,005 4,45 – 4,95 1,49 2,20 0,0548 2,2 3 40 40 2,634

(31)

Jawab :

χ

2 _{= 2,634.} _db–

_χ

2_{= (k – g – 1) = (4–2–1) = 1, k = 4 (asalnya 7 kelas setelah} digabung jadi 4 kelas) dan g = 2 (banyaknya parameter yang ditaksir ada 2 yaitu rata–rata dan simpangan baku).

Untuk

α

= 0,05 nilai

χ

2α(k–g–1) =

χ

20,05 (4) = 7,879. Karena nilai

χ

2 <

χ

20,05 (4) maka Terima H0 artinya sebaran normal memberikan kesuaian yang baik bagi pendapatan.

6.11 Uji Kebebasan Dua Peubah

Untuk Tabel Kontingensi b x k ( b baris dan k kolom ) : (oi – ei) 2

χ

2 ₌

_∑

_{———— db–}

_χ

2_{= (b–1)(k–1)} ei

Untuk tabel kontingensi 2x2, berarti db–

χ

2= (b–1)(k–1) = 1 perlu dilakukan koreksi Yate bagi kekontinyuan (karena data asal bersifat diskrit) yaitu :

[ ( o i – ei) – 0,5 ] 2

χ

2 =

∑ ————————

e_i

atau dengan menggunakan rumus lain, yaitu :

Baris Kolom Jumlah

1 a b a + b 2 c d c + d Jumlah a + c b + d n n [ ( ad – bc ) – 0,5 n ]2

χ

2 = ——————————— (a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

(32)

Teladan 6.27 :

Data berikut menunjukkan tingkat pendidikan kepala keluarga dan banyaknya anak dari 1000 keluarga. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah terdapat hubungan antara tingkat pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak tersebut.

Banyaknya Anak Pendidikan 1 – 3 > 3 Jumlah Oi Ei Oi Ei Sekolah dasar 182 200,9 154 135,1 336 Sekolah menengah 213 209,9 138 141,1 351 Akademi 203 187,2 110 125,8 313 598 402 1000 Jawab : (182 – 200,9)2 (110 – 125,8)2

χ

2 _{= ——————— + … + ——————— = 7,854} (200,9) (125,8)

db–

χ

2 = (b–1)(k–1) = (3–1)(2–1) = 2 jadi

χ

20,05 (2) = 5,991. Karena nilai

χ

2 _>

_χ

2

0,05(2) maka Tolak H0 artinya besarnya keluarga bergantung pada tingkat pendidikan kepala keluarga (atau terdapat hubungan yang nyata antara tingkat pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak).

Teladan 6.28 :

Contoh acak 30 orang dewasa diklasifikasikan menurut jenis kelamin dan lamanya nonton TV setiap minggu. Ujilah pada taraf nyata 1%, apakah terdapat hubungan antara lamanya nonton TV dengan jenis kelamin.

Jenis Kelamin

Lama Nonton TV Laki–laki Perempuan Jumlah

Oi Ei Oi Ei

≥

25 jam 5 6,53 9 7,47 14

< 25 jam 9 7,47 7 8,53 16

(33)

Dengan Rumus I : [(5 – 6,53) – 0,5]2 [(7 – 8,53) – 0,5]2

χ

2 = ————————— + … + ————————— = 0,571 (6,53) (8,53) Dengan Rumus II : 30 [ {(5x7 – 9x9) – ½. 30]2

χ

2_{= ————————————— = 0,575} ( 14 x 16 x 14 x 16 )

db–

χ

2 = 1 jadi

χ

20,01(1)= 6,635. Karena nilai

χ

2 <

χ

20,01(1) maka Terima H0,