4. DIFRAKSI
4. DIFRAKSI
4. DIFRAKSI
4. DIFRAKSI
• Difraksi adalah deviasi dari perambatan cahaya atau pembelokan arah rambat cahaya.
• Efek difraksi adalah karakteristik dari fenomena
gelombang, apakah bunyi, atau cahaya dimana muka-muka gelombangnya dibelokkan.
DIFRAKSI CAHAYA MELALUI CELAH
PRINSIP HUYGENS-FRESNEL
• Prinsip Huygens-Fresnel : setiap titik dari muka-muka gelombang yang tidak terganggu, pada saat tertentu bertindak sebagai sumber muka-muka gelombang speris kedua (frekuensinya sama dengan sumber primer). Amplitudo medan optik (listrik/magnet) di suatu titik merupakan superposisi dari muka-muka gelombang speris tadi.
• Jika panjang gelombang (λ) lebih besar dibandingkan dengan lebar celah (d), maka gelombang akan disebar keluar dengan sudut yang cukup besar.
• Dalam beberapa kasus klasik, fenomena interferensi dan difraksi sulit dibedakan.
DIFRAKSI CELAH TUNGGAL (SINGLE SLIT)
SUSUNAN LINIER DARI SUMBER OSILATOR YANG KOHEREN
• Setiap sumber titik memancarkan medan listrik (radiasi) yang memiliki jarak r terhadap titik amat/observasi ; titik P.
• Masing-masing sumber memancarkan medan listrik yang sama :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 0 2 0 3 0 0 0r
E
r
E
r
E
r
E
r
E
=
=
=
N=
• Maka medan listrik di titik P merupakan penjumlahan medan-medan yang dipancarkan setiap sumber osilator
) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1 2 3 t kr i t kr i t kr i t kr i Ne
r
E
e
r
E
e
r
E
e
r
E
E
ω ω ω ω − − − −+
+
+
+
=
(
)
(
)
...
(
)
]
1
[
)
(
1 2 1 3 1 1 0 0 r r ik r r ik r r ik ikr t i Ne
e
e
e
e
r
E
E
=
− ω+
−+
−+
+
−(
)
(
)
(
)
θ
θ
θ
sin
)
1
(
...
sin
2
sin
1 1 3 1 2d
N
r
r
d
r
r
d
r
r
N−
=
−
=
−
=
−
• Maka beda fasa antara sumber-sumber yang berurutan adalah :
θ
δ
θ
δ
sin
sin
0kd
knd
k
=
=
Λ
=
Di dalam medium dengan indeks bias n(
)
(
)
(
) (
)
δ
δ
δ
1
...
2
1 1 3 1 2−
=
−
=
−
=
−
N
r
r
k
r
r
k
r
r
k
N Di udara (n = 1)• Maka medan listrik di titik P :
(
)
(
)
( )
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
1 1 1 2 0 0(
)
[
1
...
]
1 − − − −+
+
+
+
=
δ δ δ δ δ ω i N i e e N i i i ikr t ie
e
e
e
e
r
E
E
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
=
=
=
−
−
=
−
−
− − − −2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
1
1
2 / 1 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 /δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δN
e
N
e
e
e
N
e
e
e
e
e
e
e
e
e
N i i iN i iN i i i iN iN iN i iN(
)
=
− + −2
/
sin
2
/
sin
)
(
[ 1 /2] 0 0 1δ
δ
δ ωN
e
e
r
E
E
i t i kr NJika didefinisikan R adalah jarak dari titik pusat sumbu ke titik P adalah :
(
)
( )
( ) = + − = − 2 / sin 2 / sin : sin 1 2 1 0 1δ
δ
θ
ω N e r E E maka r d N R t kR iIntensitas /rapat fluks di titik P :
(
)
( )
sin
(
( )
/
2
)
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
*
2
1
~
2 2 0 2 2 2 0 2δ
δ
δ
δ
N
I
N
E
I
EE
E
I
P P=
=
=
(
)
( )
/
2
sin
2
/
sin
2 2 0δ
δ
N
I
I
P=
Untuk N = 0 (tak ada sumber) → IP = 0 N = 1 (satu sumber) → IP = I0 N = 2
( )
( )
( )
( )
( )
/
2
cos
4
2
/
sin
2
/
cos
2
/
sin
4
2
/
sin
sin
2 0 2 2 2 0 2 2 0δ
δ
δ
δ
δ
δ
I
I
I
I
P=
=
=
Intensitas di titik P sebagai fungsi dari sudut θ (δ = kd sin θ)
(
)
(
/
2
)
sin
]
[
sin
]
sin
2
/
[
sin
2 2 0θ
θ
kd
kd
N
I
I
P=
• Bagian yang mengalami fluktuasi akibat difraksi adalah sin2[N(kd/2)sinθ] yang dimodulasi oleh sin2[(kd/2)sinθ]-1,
karena bagian terakhir ini berubah sangat lambat/kecil.
(
)
( )
/
2
sin
2
/
sin
2 2 0δ
δ
N
I
I
P=
• Puncak maksimum terjadi jika :
(
)
( )
0 2 2 2 2sin
2
sin
2
2
sin
2
2
/
sin
2
/
sin
I
N
I
m
d
m
d
m
kd
m
N
N
maks m m m=
=
=
=
=
⇒
=
λ
θ
π
θ
λ
π
π
θ
π
δ
δ
δ
Sistem akan memancarkan
radiasi maksimum dalam arah tegak lurus terhadap susunan antena/celah (array), yaitu pada m = 0 (θ0=0 dan π)
• Jika sudut θ bertambah, maka δ = kd sin θ bertambah dan akan mencapai minimum sampai 0 pada Nδ/2 = π. • Jika lebar celah d > λ, maka hanya ada satu nilai
Penerapan sistem radiasi antena
• Jika kita memiliki sistem beberapa antena (array), dimana masing-masing memancarkan radiasi, maka perbedaan fasa :
ε
θ
δ
=
kd
sin
+
ε = pergeseran fasa antar sumber radiasi maksimum terjadi pada :
π
θ
δ
ε
λ
θ
m
k
kd
m
d
sin
m=
−
/
⇒
=
sin
m=
2
maka puncak radiasi maksimum dapat diatur dengan nilai ε
Catatatan : antena parabola hanya memancarkan /memantulkan radiasi dalam arah lurus dan pola radiasinya tidak simetris di sekitar sumbunya.
D/2 -D/2 z y x R ri ∆y
P
Gambar diatas melukiskan sumber osilasi ideal (sumber kedua dari Prinsip Huygens-Fresnel untuk celah sempit yang panjang, dimana lebar celah jauh lebih kecil dari panjang gelombang,
• Masing-masing titik memancarkan gelombang (wavelets) speris :
(
t
kr
)
r
E
−
=
ε
0sin
ω
ε0 = kekuatan sumber (source strength)
• Gelombang yang dipancarkan oleh tiap elemen ∆y :
(
)
∆
−
=
D
y
N
kr
t
r
E
i i i iω
ε
sin
0• Jika jumlah elemen (N) mendekati tak hingga, dan jika output total harus berhingga, maka jumlah sumber osilator harus mendekati nol.
• Sehingga didefinisikan kekuatan sumber persatuan panjang :
( )
N
D
N Llim
01
ε
ε
∞ →=
• maka medan total di titik P akibat dari M segmen :
(
i)( )
i i L M i it
kr
y
r
E
−
∆
=
∑
=ω
ε
sin
1• Untuk sumber kontinu M →∞ :
(
)
)
(
sin
2 / 2 /y
r
r
dy
r
kr
t
E
D D L=
−
=
∫
−ω
ε
DIFRAKSI FRAUNHOFER
Difraksi dimana gelombang datang dan yang keluar
dari celah tetap planar atau linier.
• Jika jarak celah ke layar (R) >> lebar celah (D), maka r(y) linier dan (εL/R) pada titik amat P konstan sepanjang elemen dy.
• Suku ketiga dst dapat diabaikan, karena kontribusi terhadap fasa kecil, sehingga r linier terhadap y (DIFRAKSI FRAUNHOFER).
• Untuk lebar celah D (dari –D/2 sampai D/2), maka :
(
)
...
sin
sin
+
−
=
−
=
θ
ω
ε
y
R
r
dy
kr
t
R
dE
L(
)
[
]
(
)
[
]
(
kD
)
(
t
kR
)
kD
R
D
dy
y
R
k
t
R
E
L D D L−
=
−
−
=
∫
−ω
θ
θ
ε
θ
ω
ε
sin
sin
2
/
sin
2
/
sin
sin
sin
2 / 2 /• Jika kita definisikan :
(
)
θ
β
=
kD
/
2
sin
Maka :(
)
( ) (
t
kR
)
R
D
kR
t
R
D
E
L
−
=
L−
=
ω
ε
β
ω
β
β
ε
sin
sinc
sin
sin
Distribusi intensitas :( )
( )
(
)
1
/
2
sin
sinc
0
sinc
2
1
2 2 2 2 2=
−
=
=
=
kR
t
I
R
D
E
I
L Tω
β
β
ε
θ
Maksimum utama terjadi pada θ = 0
( ) ( )
0
1
sinc
I
I
=
=
θ
β
Intensitas minima terjadi jika sin β = 0, atau pada nilai :
,...
3
,
2
,
π
π
π
β
=
±
±
±
• Jika celah memiliki dimensi panjang l dan lebar
b (b<<l), maka :
( ) ( )
(
)
θ
β
β
θ
sin
2
/
sinc
0
2kb
I
I
=
=
• Intensitas minima terjadi pada :
,...
3
,
2
,
1
sin
±
±
±
=
=
m
m
b
θ
mλ
2. CELAH GANDA
X
• Jika masing-masing celah memiliki dimensi lebar b dan panjang l (b << l), dan kedua celah dipisahkan oleh jarak a, maka medan :
( )
( )
( )
[
(
)
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
ω
α
)
α
β
ε
β
α
α
ω
ω
β
ε
θ
ω
ε
ε
+
−
=
=
+
−
+
−
=
−
−
=
+
=
∫
+∫
− −kR
t
R
b
E
ka
kR
t
kR
t
R
b
E
z
R
k
t
z
F
dz
z
F
R
dz
z
F
R
E
L L b a b a L b b Lsin
cos
sinc
2
sin
2
/
2
sin
sin
sinc
sin
sin
2 / 2 / 2 / 2 /• Distribusi intensitas menjadi :
( )
θ
2β
2α
0
sinc
cos
4I
I
=
• Maxima utama terjadi pada θ =0, yaitu α = β = 0 : I(0)=4I0 • Minima terjadi pada :
,...
3
,
2
,
π
π
π
β
=
±
±
±
Celah tunggal Celah ganda3. CELAH BANYAK
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
[
ω
(
θ
)
]
ε
ε
ε
ε
sin
sin
...
2 / 1 2 / 1 2 / 2 2 / 2 2 / 2 / 2 / 2 /z
R
k
t
z
F
dz
z
F
R
dz
z
F
R
dz
z
F
R
dz
z
F
R
E
b a N b a N L b a b a L b a b a L b b L−
−
=
+
+
+
+
+
=
∫
∫
∫
∫
+ − − − + − + − −Penurunan rumus dapat dilihat di buku E.
Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460
( )
( )
0 2 2 2 00
0
sin
sin
sin
I
N
I
N
c
I
I
=
⇒
=
=
θ
α
α
β
θ
( )
2 2 0sin
sin
sin
=
α
α
β
θ
I
c
N
I
• Maksima utama terjadi jika :
,...
2
,
1
,
0
;
sin
,...
2
,
,
0
,
sin
sin
±
±
=
=
±
±
=
⇒
=
m
m
a
atau
N
N
mλ
θ
π
π
α
α
α
• Minima terjadi jika :
(
)
(
)
N
N
N
N
N
N
N
π
π
π
π
α
α
α
1
,
1
,...,
2
,
,
0
,
0
sin
sin
+
±
−
±
±
±
=
=
• Diantara maksima, terdapat (N-1) minima. • Untuk nilai N yang
besar, maka α kecil sehingga :
maka puncak maksima
kedua (subsider pertama) :
α
α
≈
2sin
2 2 03
2
sinc
2
/
3
≈
=
π
β
π
α
I
I
N
Pola difraksi celah banyak dengan jarak antar celah a = 4b dan N = 6
4. CELAH PERSEGI
• Jika εA adalah kekuatan sumber persatuan luas dan dS adalah elemen luas, maka berlaku :
( )
(
) (
)
[
]
(
)
(
)
[
2 2 2 2]
1/2 2 2 2/
2
/
1
y
z
R
Yy
Zz
R
R
r
z
Z
y
Y
X
r
dS
e
r
dE
A i t kr+
−
+
+
=
−
+
−
+
=
=
ε
ω −• Jika R sangat besar dibandingkan dimensi apertur atau celah, maka :
(
)
[
]
(
)
[
Yy
Zz
R
]
deret
Binomial
R
R
Zz
Yy
R
r
2 2 / 1 2/
1
/
2
1
+
−
=
+
−
=
• Maka distribusi intensitas :
Penurunan rumus dapat dilihat di buku E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460
( ) ( )
R
kbY
R
kaZ
I
Z
Y
I
2
/
'
2
/
'
'
sinc
'
sinc
0
,
2 2=
=
=
β
α
β
α
• I(0) adalah intensitas pada Y = Z = 0 • Maksima utama terjadi pada α’ = β’ = 0
Distribusi intensitas
Distribusi medan
4. CELAH LINGKARAN
(
)
(
)
φ
ρ
ρ
φ
ρ
φ
ρ
ε
ωd
d
dS
q
Y
q
Z
y
z
dS
e
R
e
E
apertur R Zz Yy ik kR t i A=
Φ
=
Φ
=
=
=
=
−∫∫
+sin
;
cos
sin
;
cos
~
/Maka fungsi integralnya menjadi :
(
)
(
) (
)
ρ
ρ
φ
ε
ρ π φ φ ρ ωd
d
e
R
e
E
a R q k i kR t i A∫ ∫
= = Φ − −=
0 2 0 cos /~
Fungsi Bessel jenis pertama :
J
( )
u
i
e
i(
mv u v)
dv
m m∫
+ −=
ππ
2 0 cos2
Fungsi Bessel orde ke-nol (m=0) :
J
( )
u
=
∫
e
iu vdv
π
π
2 0 cos 02
1
(
)
(
ρ
)
ρ
ρ
π
ε
ωd
R
q
k
J
R
e
E
a kR t i A/
2
~
0 0∫
−=
Sifat umum fungsi Bessel
( )
[
]
( )
( )
'
( )
'
'
1
0 0 1 1du
u
J
u
u
uJ
m
u
J
u
u
J
u
du
d
u m m m m∫
=
⇒
=
=
− Maka :(
)
J
( )
w
w
dw
kq
R
d
R
q
k
J
w kaq R w a∫
∫
= == =
=
/ 0 0 2 0 0ρ
/
ρ
ρ
ρ ρ(
)
(
kaq
R
)
J
kaq
R
a
R
e
E
kR t i A/
2
~
1 2
=
ε
ω −π
Distribusi intensitas I = ½ EE*
(
)
2 1 2 2 2/
/
2
=
R
kaq
R
kaq
J
A
R
I
ε
A A = luas lingkaran(celah)Intensitas di titik pusat (q = 0) :
( )
2 2 22
0
A
R
I
=
ε
ADistribusi intensitas
Distribusi medan
• Jika R konstan sepanjang polar difraksi, maka berlaku :
( )
1(
)
2/
/
2
0
=
R
kaq
R
kaq
J
I
I
• Karena sin θ = q/R, maka :
( ) ( )
1(
)
2sin
sin
2
0
=
θ
θ
θ
ka
ka
J
I
I
• Karena memiliki sumbu simetri, maka pusat maksimum membentuk “AIRY DISK/RING) terhadap maksimum selanjutnya (ditemukan oleh George Biddel Airy 1801-1892)
Airy ring dari lingkaran d = 0,5 mm
d = 1,0 mm
Cincin gelap pertama yang mengelilingi pusat maksimum berkaitan dengan J1(u).
J1(u) = 0, jika u = kaq/R = 3,83 Dimana q1 adalah jarak dari
pusat ke cincin gelap pertama :
a
R
q
2
22
.
1
1λ
=
Jika sebuah lensa difokuskan ke layar dengan panjang fokus
f
≈
R, maka :D
f
q
1≈
1
.
22
λ
PENERAPAN PADA RESOLUSI SISTEM PENCITRAAN
• Jarak antara titik pusat dengan cincin minimum pertama adalah :
• Jika ∆θ adalah sudut yang terukur, maka :
• Airy ring/disk akan menyebar sepanjang sudut ∆θ.
D
f
q
1≈
1
.
22
λ
θ
θ
λ
θ
∆
≈
∆
=
≈
∆
sin
/
22
.
1
1f
q
D
Jika
∆φ
>>
∆θ
, maka citra
akan dapat dibedakan
(resolusi)
• Batas resolusi terjadi jika :
• Jika ∆l adalah jarak pusat-ke pusat bayangan/citra, maka limit resolusi :
• Resolving power untuk sistem pembentukan citra secara umum didefinisikan :
( )
∆
ϕ
min=
∆
θ
=
1
.
22
λ
/
D
( )
∆
l
min=
1
.
22
f /
λ
D
( )
min( )
min1
1
l
∆
∆
ϕ
atau
• Jika ∆φ lebih kecil dari ∆θ, maka citra akan overlap.
Akibatnya citra
atau image akan
buram (blur)
DIFRAKSI GRATING
Suatu piranti atau alat optik yang terdiri dari
serangkaian apertur, digunakan untuk mengubah
atau menghasilkan panjang gelombang yang
didifraksikan dengan cara mengatur perioda atau
jarak antar celah atau sudut cahaya datang
Contoh : Laser Bragg.
Grating Transmisi
A C D B iθ
mθ
a Orde ke-m(
m i)
a
CD
AB
−
=
sin
θ
−
sin
θ
A C D B i
θ
mθ
a Orde ke-m(
m i)
a
CD
AB
−
=
sin
θ
−
sin
θ
Grating Refleksi
Persamaan grating :
λ
θ
m
a
sin
m=
m = 0 (orde nol tidak dibelokkan (θ0 = 0).
Semakin besar m (orde), sudut defleksi semakin besar.
Secara umum, untuk grating transmisi dan refleksi, berlaku :
(
θ
θ
)
m
λ
a
sin
m−
sin
i=
Maka untuk mengubah panjang gelombang (λ), dapat dilakukan dengan mengubah jarak grating/perioda (a) atau sudut cahaya datang (θi).
