Soal Ktom Januari 2017

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika

Kontes Bulanan Januari 2017

20–23 Januari 2017

Definisi dan Notasi

Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini. 1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu {1, 2, . . . }.

2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a

b dengan

a, b adalah bilangan bulat dan b 6= 0.

4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional.

5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional. 6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan real.

7. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, n! (dibaca n faktorial) bernilai 1 × 2 × · · · × n. Contohnya, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1. 8. Untuk setiap bilangan real x, notasi bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Sebagai contoh, b2.3c = 2, bπc = 3, b−2.89c = −3, dan b4c = 4.

9. Untuk setiap bilangan real x, notasi dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Sebagai contoh, d2.3e = 3, dπe = 4, d−2.89e = −2, dan d4e = 4.

10. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a - b menyatakan a tidak habis membagi b.

11. a ≡ b (mod c) jika dan hanya jika c membagi |a − b|.

12. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima bila fpb(a, b) = 1.

13. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagai ϕ(n), menyatakan banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima terhadap n.

14. Pada 4ABC:

(a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang.

(b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC men-jadi dua bagian yang sama besar.

(c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis BC.

(g) Lingkaran dalam 4ABC adalah lingkaran di dalam 4ABC yang menyinggung segmen BC, CA, dan AB.

15. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contoh-nya, [ABC] dan [DEF G] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G.

16. Suatu barisan {an} disebut barisan aritmetika bila ai−1− ai bernilai konstan

(bi-sa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3, 5, 7, 9, . . . dan 2, 2, 2 merupakan bari(bi-san aritmetika.

17. Suatu barisan {an} disebut barisan geometrik bila ai+1_a

i bernilai konstan taknol (bisa

jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4, 6, 9 dan 5, 5, 5, 5, 5, . . . merupakan barisan geometrik.

18. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan real a dan b adalah a+b₂ . 19. Rata-rata geometrik dari dua bilangan real a dan b adalah√ab. 20. Rata-rata harmonik dari dua bilangan real a dan b adalah 12

a+ 1 b

Bagian A

Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 1 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat.

1. Tentukan bilangan asli dengan empat digit terkecil yang memiliki banyak faktor yang sama dengan banyak faktor dari 2017.

2. Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C dengan CA = 3 dan CB = 4. Titik D terletak pada AB sehingga CD tegak lurus terhadap AB. Titik E terletak pada CA sehingga DE tegak lurus terhadap CA. Jika panjang DE dinyatakan dalam bentuk m_n22, dengan m dan n adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai

dari m + n.

3. Misalkan x dan y adalah bilangan real yang memenuhi x2− 2xy + 2y2_{− 4y + 4 = 0.}

Tentukan nilai dari x4+ y4.

4. Sebuah bilangan asli disebut mantap jika penulisannya dalam basis 7 berakhir de-ngan angka 5. Sebuah bilade-ngan disebut jiwa jika penulisannya dalam basis 13 berakhir dengan angka 4. Sebuah bilangan dikatakan mantap jiwa jika bilangan tersebut mantap sekaligus jiwa. Tentukan bilangan mantap jiwa terbesar yang ter-diri dari tiga angka.

5. Misalkan ABCD adalah segiempat dengan AB = BC = CD = DA dan ∠ABC < 90◦. Diketahui bahwa terdapat titik E dan F pada segmen BC dan CD, berturut-turut, sehingga AB = AE = AF = F E (E terletak di antara B dan C, dan F terletak di antara C dan D). Misalkan besar ∠BEF adalah p dalam satuan derajat. Tentukan nilai p.

6. Andi dan Budi sedang bermain. Diberikan 2017 kartu dengan 901 di antaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru. Sebuah ronde permainan didefinisikan sebagai berikut: dua kartu diambil secara bersamaan; jika kartu yang terambil per-tama berwarna merah dan kedua berwarna biru, Andi menang dan ronde selesai; jika kartu yang terambil pertama berwarna biru dan kedua berwarna merah, Budi menang dan ronde selesai; jika kedua kartu yang terambil berwarna sama, perma-inan berlanjut (kartu yang sudah terambil tidak dikembalikan lagi). Misalkan x adalah peluang Andi memenangkan sebuah ronde permainan. Tentukan nilai dari 2016x.

7. Tentukan sisa pembagian 202017+ 012017 + 172017+ 722017 oleh 2017.

8. Andi dan Budi sedang bermain. Terdapat sebuah kantong yang berisi 2016 kelereng merah dan 2017 kelereng biru. Andi mengambil sejumlah kelereng secara acak dari

titik P ke sisi BC, CA, dan AB, berturut-turut. Diketahui bahwa ketiga segiempat AZP Y , BXP Z, dan CY P X semuanya memiliki lingkaran dalam. Jika

P X + P Y + P Z = m n

untuk bilangan asli m dan n yang relatif prima, hitunglah nilai dari m + n.

Catatan: lingkaran dalam dari sebuah segiempat adalah sebuah lingkaran di dalam segiempat yang menyinggung keempat sisi dari segiempat tersebut.

10. Misalkan f : R → R adalah fungsi tak-konstan (hal ini berarti terdapat dua bilang-an real a dbilang-an b sehingga f (a) 6= f (b)) ybilang-ang memenuhi persamabilang-an

f (x)f (x + y) = f (2x + y) − xf (x + y) + x untuk setiap x, y ∈ R. Tentukan nilai dari f (−99).

11. Satria sedang bermain sebuah game dengan 3 (tiga) level. Kemungkinan ia me-menangkan level pertama, kedua, dan ketiga adalah 2

3, 1 2, dan

1

3, berturut-turut.

Satria mulai dari level pertama. Setiap kali Satria memenangkan sebuah level, ia maju ke level selanjutnya; sedangkan setiap kali Satria kalah pada sebuah level, ia turun ke level sebelumnya. Jika Satria memenangkan level ketiga, ia memenangkan permainan dan permainan selesai. Sebaliknya, jika Satria kalah pada level pertama, ia dianggap kalah dalam permainan dan permainan juga selesai. Misalkan kemung-kinan Satria memenangkan permainan adalah a

b, di mana a dan b adalah bilangan

asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari a + b. 12. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat sehingga

(x3− 1)(y3 _{− 1) = 3(x}2_y2_{+ 2).}

Tentukan nilai dari x2_{+ y}2_.

13. Misalkan 4ABC memiliki I sebagai titik pusat lingkaran dalamnya. Lingkaran berdiameter AI memotong lingkaran luar 4ABC sekali lagi di titik X (hal ini berarti X 6= A). Misalkan Y adalah titik tengah busur BC yang tidak memuat A pada lingkaran luar 4ABC. Misalkan XY memotong BC di titik Z. Jika BZ = 7 dan AC = 35, tentukan keliling dari 4ABC.

14. Andi memiliki 3 tiket. Setiap hari, sebuah tiket diambil. Terdapat 2₅ kemungkinan bahwa tiket yang terambil tersebut dikembalikan, dan terdapat 3

5 kemungkinan

bahwa Andi akan mendapat kembalian 2 tiket (jadi, banyak tiket yang dimiliki Andi bertambah 1 tiket). Kejadian ini dilakukan terus menerus. Jika peluang suatu saat tiket Andi habis adalah x, tentukan nilai dari 999x.

Bagian B

Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah.

1. (a) Diberikan bilangan real positif a, b, dan c. Perhatikan sistem persamaan    x + y = a y + z = b x + z = c.

i. Tunjukkan bahwa penyelesaian x, y, dan z dari sistem persamaan tersebut adalah    x = a−b+c₂ y = a+b−c₂ z = −a+b+c₂ .

(Petunjuk: Jumlahkan ketiga persamaan, lalu nyatakan x, y, dan z dalam a, b, dan c)

ii. Jika a, b, dan c merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga, tunjukk-an bahwa penyelesaitunjukk-an x, y, dtunjukk-an z pada bagitunjukk-an (i) adalah biltunjukk-angtunjukk-an real positif.

iii. Apakah pernyataan bagian (ii) tetap benar jika a, b, dan c bukanlah pan-jang sisi-sisi segitiga? Jika benar, buktikan; jika salah, berikan suatu contoh penyangkal.

(b) Diberikan bilangan real positif x, y, dan z . Dengan menyatakan x, y, dan z dalam a, b, dan c (seperti pada bagian (a1)), tunjukkan bahwa

x y + z + y x + z + z x + y ≥ 3 2.

(Catatan: Ketaksamaan ini dikenal dengan Ketaksamaan Nesbitt. Teknik substitusi seperti pada bagian (a.) dikenal dengan Substitusi Ravi)

(c) Diketahui bahwa a, b, dan c merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga. Tunjukkan bahwa a b + c + b a + c + c a + b < 2.

(Petunjuk: Gunakan teknik Substitusi Ravi. Coba nyatakan a, b, dan c dalam x, y, dan z)

2. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat sehingga 2x + 3y

13 adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa 3x − 2y

13 juga adalah bilangan bulat.

3. Diberikan segitiga ABC dengan AB < AC. Lingkaran yang berpusat di A dengan