BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih dahulu pengertian-pengertian dasar berikut:
2.1 Matriks
Definisi 2.1:
Anggap menyatakan baris dan menyatakan kolom maka matriks adalah susunan segiempat angka-angka berdasarkan baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung siku maupun kurung biasa dan
Selanjutnya akan dibahas tipe-tipe matriks dan operasi aljabarnya.
2.1.1 Matriks Bujursangkar
Definisi 2.1:
Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama disimbolkan sebagai . Anggap matriks bujursangkar maka .
2.1.2 Matriks Transpos
Definisi 2.2:
Anggap matriks berukuran , maka transpose matriks disimbolkan dengan adalah matriks berukuran .
Teorema 2.1:
Anggap dan B adalah matriks-matriks dan adalah suatu skalar. Maka, penjumlahan dan perkalian matriks-matriks ini selalu didefinisikan sebagai berikut:
a) b) c) d)
2.1.3 Matriks Simetris
Definisi 2.3:
Jika matriks sama dengan matriks transposenya atau disimbolkan dengan
maka matriks simetris. Demikian juga, dikatakan simetris jika elemen- elemen simetrisnya (elemen-elemen cermin terhadap diagonal) sama, yaitu, jika setiap
.
2.1.4 Determinan
Algoritma mereduksi penghitungan determinan berorde menjadi penghitungan determinan berorde .
Algoritma 2.1:
(Reduksi orde determinan). Inputnya adalah matriks bujursangkar- bukan-nol, dengan .
Langkah . Memilih elemen atau, jika tidak ada, .
Langkah . Dengan menggunakan sebagai pivot, lakukan operasi baris (kolom) elementer sehingga diperoleh di semua posisi selain posisi kolom (baris) yang mengandung .
Langkah . Memperluas determinan dengan kolom (baris) yang mengandung .
Contoh 2.1:
Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan di posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris (b) “Mengganti
dengan ”, “Mengganti dengan ”, dan “Mengganti dengan
”, Menurut Teorema “Anggap diperoleh dari melalui operasi baris (kolom) elementer. Jika kelipatan suatu baris (kolom) ditambahkan ke baris (kolom) yang lain dari , maka ”, nilai determinan tidak berubah oleh operasi- operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
adalah . Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik (Non-Singular)
Definisi 2.4:
Matriks bujursangkar dikatakan dapat-dibalik (invertible) atau non-singular jika terdapat matriks sedemikian rupa sehingga
di mana adalah matriks identitas yaitu matriks bujursangkar- dengan bilangan pada diagonalnya dan pada entri-entri lainnya. Matriks seperti ini bersifat unik.
Yaitu, jika dan , maka
.
Dari hubungan di atas dinamakan matriks sebagai invers dari matriks dan invers dari matriks ditulis dan hubungan di atas bersifat simetris; yaitu, jika invers , maka invers .
2.1.6 Matriks Invers
Algoritma menentukan invers dari sebuah matriks.
Algoritma 2.2:
Inputnya adalah matriks bujursangkar . Outputnya adalah invers dari atau tidak ada invers.
Langkah . Membentuk matriks (blok) , , di mana adalah stengah kiri dari dan matriks identitas adalah setengah kanan dari
.
Langkah . Mereduksi-baris menjadi bentuk eselon. Jika proses ini menghasilkan sebuah baris nol di setengah dari , maka tidak mempunyai invers.
(Jika tidak, berbentuk segitiga).
Langkah . Mereduksi-baris lebih jauh lagi menjadi bentuk kanonis barisnya, , di mana matriks identitas menggantikan di setengah kiri dari .
Langkah . Menetapkan , matriks yang sekarang berada di setengah kanan dari .
Contoh 2.2:
Menentukan invers dari matriks
Membentuk matriks (blok) dan mereduksi-baris menjadi bentuk eselon:
Matriks identitas berada di setengah kiri dari matriks akhir, sehingga setengah kanannya adalah atau dengan perkataan lain:
2.1.7 Matriks Eselon
Definisi 2.5:
Matriks disebut matriks eselon, atau dikatakan berbentuk eselon, jika dua syarat berikut berlaku (dimana elemen bukan-nol utama (leading non-zero element) dari suatu baris pada matriks adalah elemen bukan-nol pertama pada baris tersebut):
1) Suatu baris nol, jika ada, terletak di bagian bawah matriks.
2) Setiap entri bukan-nol utama pada suatu baris berada di sebelah kanan entri bukan-nol utama pada baris sebelumnya.
Yaitu, adalah matriks eselon jika terdapat entri-entri bukan-nol dimana
dengan sifat
untuk
Entri-entri , yang merupakan elemen-elemen bukan-nol utama pada masing-masing barisnya, disebut pivot-pivot dari matriks eselon.
Contoh 2.3:
Matriks eselon yang pivot-pivotnya dicetak tebal:
2.1.8 Bebas Linier
Kolom matriks ; dapat ditulis sebagai vektor kolom.
Juga, baris matriks dapat di tulis sebagai vektor baris.
Vektor kolom adalah bebas linier jika persamaan
memenuhi hanya untuk semua . Sama halnya dengan
vektor baris adalah bebas linier jika hanya nilai nol untuk skalar memenuhi persamaan
Jika beberapa memenuhi , vektor kolom adalah bebas linier. Jika beberapa memenuhi , vektor baris adalah bebas linier. Hal ini mungkin menunjukkan satu atau lebih vektor kolom (vektor baris) sebagai kombinasi linier lainnya. Jika vektor kolom (vektor baris) matriks adalah bebas linier, maka determinan adalah nol.
2.1.9 Rank Matriks
Definisi 2.6:
Rank matriks ; adalah sama pada maksimum bilangan kolom tidak bebas linier atau maksimum bilangan baris tidak linier . Bentuknya disebut rank kolom dan selanjutnya rank baris. Rank kolom adalah sama dengan rank baris. Rank matriks adalah sama dengan order determinan non-vanishing terbesar di , (Stagg dan El- Abiad, 1968).
Contoh 2.4:
Anggap matriks
Baris adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Sama halnya dengan kolom adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Bagaimanapun, tidak dua kolom adalah bebas linier dan, oleh karena itu, rank matriks adalah .
Rank dari matriks , ditulis rank , juga dapat diselesaikan dengan metode matriks eselon yaitu sama dengan banyaknya pivot pada bentuk eselon dari .
Contoh 2.5:
Sesuai dengan Contoh maka diperoleh rank .2
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan
Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu matriks.
Teorema 2.2:
Diberikan sistem persamaan linier dengan variabel tidak diketahui dan matriks yang
diperbesar . Maka:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank rank . b) Solusinya unik jika dan hanya jika rank rank .
Bukti:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari tidak memiliki baris berbentuk , dengan
Jika bentuk eselon dari memiliki baris, maka adalah pivot dari tetapi bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank rank . Jika sebaliknya, bentuk eselon dari dan memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena itu rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
b) Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar
Sistem persamaan linier adalah bujursangkar jika dan hanya jika matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien adalah matriks bujursangkar.
Teorema 2.3:
Sistem persamaan linier bujursangkar memiliki suatu solusi unik, jika dan hanya jika matriks dapat-dibalik. adalah suatu solusi unik dari sistem tersebut.
Bukti:
Jika dapat-dibalik, maka adalah suatu solusi unik. Jika dapat-dibalik, maka
dan sehingga adalah sebuah solusi. Selanjutnya, anggap adalah sebarang solusi, maka . Maka
Jadi, solusi unik.
2.1.12 Matriks Definit Positif
Teorema 2.4:
Anggap adalah suatu matriks simetrik berorde ekuivalen dengan:
a) adalah definit positif.
b) Submatriks utama semuanya mempunyai determinan-determinan positif.
c) dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan operasi baris dan semua elemen poros akan positif.
d) mempunyai suatu faktorisasi Cholesky (di mana adalah matriks segitiga bawah, dengan entri-entri diagonal positif).
e) dapat difaktorkan ke dalam hasil kali untuk suatu matriks tak singular .
Bukti:
Dari yang telah diketahui bahwa (a) mengakibatkan (b), (b) mengakibatkan (c), dan (c) mengakibatkan (d). Untuk melihat bahwa (d) mengakibatkan (e), asumsikan bahwa
. Jika ditetapkan , maka taksingular dan
Akhirnya, untuk menunjukkan bahwa (e) (a), asumsikan bahwa , di mana taksingular. Misalkan adalah sembarang vektor taknol dalam dan tetapkan
. Karena taksingular, akan menyebabkan
Jadi adalah definit positif.
Terbukti.
Hasil-hasil analog terhadap Teroema 6.6.1 tidak berlaku untuk keadaan semidefinit positif.
Contoh 2.5:
Submatriks utama semuanya mempunyai determinan taknegatif.
namun bukan semidefinit positif karena mempunyai nilai eigen negative . Sebenarnya, adalah suatu vektor eigen dari dan
Sistem Waktu Diskrit
Definisi 2.7:
Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu kontinu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinu/diskrit dengan bentuk lain (output) sistem tersebut.
Secara umum dinyatakan: ,
Definisi 2.8:
Sistem waktu diskrit pada dasarnya (A. Abdurrochman, 2010) adalah algoritma matematik dengan deretan masukan, , yang menghasilkan deretan keluaran, .
Ciri sistem diskrit yang linier:
Jika masukan menghasilkan
Jika masukan menghasilkan
Sistem waktu diskrit dikatakan statik (memoryless) jika output pada tiap hanya tergantung pada sampel input pada waktu yang sama yaitu .
Sistem Singular
Sistem singular adalah sistem dinamik yang prosesnya ditentukan dengan kedua persamaan differensial dan persamaan aljabar. Sistem seperti itu muncul dalam jaringan listrik, sistem power, dan sebagainya. Akhir dua dekade ini, ada mempelajari sistem singular secara luas seperti mencakup persoalan sebagai solvability, controllability dan observability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls, kontrol geometri kuadratik linier, regulasi output, dan decoupling input-output, (Jie Huang dan Ji-Feng Zhang, 1998).
Anggap sistem singular diskrit berikut:
dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan adalah output sistem. adalah matriks konstanta yang berdimensi telah ditentukan. Seluruh pembahasan ini diasumsikan bahwa rank dan dengan singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi, (Dianhui Wang dan C. B. Soh, 1999).
Dengan asumsi regulariti bahwa terdapat dua matriks non-singular , sedemikian hingga sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
dan adalah matriks nilpotent.
Definisi 2.9:
1. Sistem disebut controllable ( observable) jika rank
, terbatas ( rank terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua controllable
( observable) dan rank (rank ).
3. Sistem disebut controllable ( observable) jika terdapat sebuah matriks sedemikian hingga deg rank ( atau ada
sebuah sedemikian hingga deg rank ). Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Anggap kontrol umpan-balik keadaan:
dimana input baru. Menggunakan pada sistem menghasilkan sistem loop tertutup
Menjamin bahwa sistem loop-tertutup memiliki solusi yang unik untuk setiap , selanjutnya menggunakan hanya yang membuat regular. Berikut tiga lemma akan dibutuhkan untuk selanjutnya.
Lemma 1:
Terdapat matriks sedemikian hingga sistem loop tertutup tidak memiliki pole terbatas, atau dengan perkataan lain:
dimana adalah konstanta, jika dan hanya jika sistem adalah controllable dan atau .
Bukti:
Perlu: Dengan asumsi sebelumnya bahwa sistem adalah regular, terdapat dua matriks non-singular sedemikian hingga adalah ekuivalen sistem terbatas pada . Akibat teori sistem linier juga menunjukkan bahwa terdapat non-singular
sedemikian hingga
dimana , dan
adalah controllable. Untuk setiap matriks , sistem loop tertutup memiliki polinimial karakteristik dari
dengan
.
Telah diasumsikan bahwa sistem loop tertutup adalah regular, sehingga
deg deg . Jika terdapat memenuhi , maka
harus ditarik kesimpulan bahwa deg . Oleh sebab itu dapat tidak ada. Ini berarti bahwa adalah controllable, atau dengan perkataan lain sistem
adalah controllable. Jelas bahwa atau .
Cukup: Bukti cukup adalah berguna. Dengan tidak menghilangkan secara umum bahwa adalah controllable (sebaliknya, dapat membiarkannya pada bentuk controllability standard an melanjutkan pembahasan subsistem controllable). Oleh karena itu, sistem adalah controllable. dapat dipilih sedemikian hingga deg rank . Hal itu dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks non-singular ada, sedemikian hingga sistem loop tertutup
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag , diag ,
Karena sistem adalah controllable, adalah controllable dan memiliki rank baris penuh , dan rank rank . Oleh karena itu, dapat memilih sedemikian hingga
Anggap
Maka sistem menjadi
dan adalah controllable. Diskusi berikut dibagi menjadi dua bagian.
1. Assumsikan bahwa terdapat bilangan , rank , kolom ke dari tidak nol. Dalam kasus ini, tanpa menghilangkan secara umum, menunjukkan bahwa . Maka dapat diketahui dengan segera bahwa matriks ada sedemikian hingga adalah controllable. Anggap
Maka sistem loop tertutup dari dan digambarkan dengan
Pemberitahuan fakta bahwa adalah controllable, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Menunjukkan
Hal itu mengikuti bahwa sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Anggap
Maka secara langsung komputasi memberikan bahwa sistem loop tertutup dibentuk dengan dan memiliki polinomial karakteristik:
konstanta,
dimana . Dan sekarang
dipilih sebagai suatu cara akan memenuhi persamaan .
2. Pada bagian yang lain, membiarkan rank kolom dari , adalah nol.
Menunjukkan
dimana kolom pertama dari tidak vektor nol. Anggap , sistem menjadi
Jadi, hal itu ditukar pada kasus
Akibat 2.1:
Jika sistem adalah controllable dan , terdapat sedemikian hingga ada.
Akibat 2.2:
Jika sistem adalah observable dan , terdapat sedemikian hingga konstanta, .
Lemma 2.2:
Menunjukkan sistem menjadi controllable dan keduanya memenuhi deg rank . Maka lanjutan subsistem dari dua sistem berikut:
memiliki indeks observabiliti yang sama.
Bukti:
Pertama, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga sistem dan adalah, berturut-turut, ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag diag
Pada bagian lain, anggap , dengan matriks
transformasi sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Karena deg rank ada. Anggap
Sistem menjadi
dimana
Karena dan adalah keduanya dekomposisi standar dari sistem , maka diketahui bahwa terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Jika adalah indeks observabiliti dari berturut-turut. Dari definisi komputasi secara langsung memberikan bahwa .
