INTEGRAL TAK TENTU (pecahan rasional) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (pecahan rasional)

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id

DEFINISI 1

Fungsi suku banyak derajad n dengan n bulat non negatif

0 dimana

, )

(

_{0 1 2} ²













n

n n

n

a

x a x

a x

a a

x

P



Fungsi konstan dipandang sbg fungsi suku banyak derajad nol yaitu

0 0 (x) a

P 

Fungsi pecahan rasional adalah fungsi dengan bentuk

dengan N dan D fungsi suku banyak.^{( )}

) (

x D

x N

DEFINISI 2

Dalam bagian ini akan dibahas mencari integral tak tentu dari fungsi pecahan rasional yaitu



_D^N₍⁽_x^x₎⁾

BENTUK N(x) DAN D(x)

1. N(x)=D’(x)

2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x)

3. Derajad N(x) kurang dari

derajad D(x)

1. N(x)=D’(x)

Dari rumus integrasi dasar telah diketahui bahwa

C ln 



^dx_x  ^x

Sehingga jika N(x) = D’(x) maka

C )

( ) ln

(

) ( ' )

( )

( 



 



^N_{D x}^{x dx D}_{D x}^{x dx D x}

C tan

sec ln

sec tan

sec sec

sec tan

sec tan

sec

&

tan sec

dasar integrasi

rumus dari

sec tan

sec )

sec sec (tan

2 2









 











 













x x

x dx x

x x

dx x x

C x

x dx x

C x

xdx

x dx x

x x

dx x x

Contoh 1 dx

 ^sec x

Cari

Jika derajad N(x)≥derajad D(x), lebih dahulu dilakukan pembagian N(x) oleh D(x), sehingga

dengan

Q(x) & R(x) suku banyak dalam x, dan derajad R(x)<derajad D(x).

) (

) ) (

) ( (

) (

x D

x x R

x Q D

x

N  

2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x)

Integrasi Q(x) sudah dapat dikerjakan.

Integrasi merupakan

integral fungsi pecahan rasional dengan derajat suku banyak pembilang kurang dari derajat suku banyak penyebut.

) (

) (

x D

x R

C O N T O H



_x ^x_1 ^dx

Cari ₂

3

C 1

2 ln 1 2

1

1 2 2

1 2

1

1 1

1

1 1

2 2

2 2

2 3

2 2

3









 



 

 



 





 

 

 

 



 





x x

x dx x x

x dx dx x

x x dx

x x x dx

x

x x x

x x

Contoh 2

Tanpa mengurangi keumumannya, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x di dalam D(x) adalah satu, kecuali dlm keadaan khusus integral dapat disederhanakan dengan menggunakan subtitusi.

3. Derajad N(x) kurang dari derajad D(x)

Pada bentuk derajat N(x) kurang dari derajat D(x) maka integrand dipisah lebih dahulu menjadi pecahan-pecahan parsialnya.

C 3

ln 15 2

ln 10 1

ln

) 3 15 (

) 2 10 (

) 1 (

6 4

6 6

sehingga

) 3 (

15 )

2 (

10 )

1 (

1

) 3 )(

2 )(

1 (

6 6

6 4

6 6

2 3

2

2 2

3

2















 

 

 









 

 

 







 

















x x

x

x dx x

dx x

dx dx x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x

Contoh 3



_{x }⁶₄^x_x ^_⁶_{x  6} ^dx

Cari _{3 2}

2

a. Semua akar real dan berlainan

b. Semua akar real dan ada yang sama c. Punya akar tidak real yang berlainan d. Punya akar tidak real yang sama

Dalam memisahkan atas pecahan- pecahan parsialnya, dibedakan 4 keadaan akar-akar persamaan D(x)=0 :

) (

) (

x D

x N

Misalkan D(x)=0 punya akar a,b,c,d yang real dan berlainan, maka

D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

a. Semua akar real dan berlainan

untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan, sedang A,B,C dan D konstanta yang akan dicari.

Karena koefisien pangkat tertingginya satu dan derajat N(x) tidak melebihi tiga maka

d D c

C b

B a

A )

( ) (

 

 

 

 

x x

x x

x D

x N

) 2 )(

1 )(

1 (

D )

3 )(

1 )(

1 (

C

) 3 )(

2 )(

1 (

B )

3 )(

2 )(

1 (

A 5

) 3 (

D )

2 (

C )

1 (

B )

1 (

A )

3 )(

2 )(

1 )(

1 (

5



































 

 

 

 











x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

Contoh 4

Cari integral berikut

x dx x

x x

 _{(  1 )(  1} x ₎₍ ^{ 5} _{ 2 )(  3 )}

2D]

- 3C -

6BB -

A 6 [ D]

- C - B A

11 [

2D]

3C 4B

A 6 [ D]

C B

A [

5 ^{3 2}

























x

x x

x

Ada empat persamaan :

5 2D

- 3C -

6BB -

A 6 (4)

1 D

- C - B A

11 (3)

0 2D

3C 4B

A 6 (2)

0 D

C B

A )

1 (























Diperoleh

4 , D 1

, 1 C

, 1 B

4 ,

A  1     

) 3 (

4

1 2

1 1

1 )

1 (

4 1 )

3 )(

2 )(

1 )(

1 (

5

 

 

 

 











x x

x x

x x

x x

x

C 3

4 ln 2 1

ln 1

ln 1

4 ln 1

3 1 4

1 2

1 1

1 1

1 4

1

) 3 )(

2 )(

1 )(

1 (

5



















 

 

 

 





















x x

x x

x dx x dx

x dx x dx

x dx x

x x

x

C a

a  ln  

 _x ^dx  ^x

Dalam keadaan ini hanya dijumpai

satu macam integral yaitu

3 2

2 ( d)

G )

d (

F d

E )

c (

D c

C b

B a

A )

( ) (

 

 

 

 

 

 

 

x x

x x

x x

x x

D x N

Misalkan D(x)=0 punya akar tunggal x₁=a dan x₂=b, akar kembar x₃=x₄=c dan akar berlipat tiga x₅=x₆=x₇=d, maka

D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)²(x-d)³ dan derajat N(x) tidak melebihi enam

b. Semua akar real dan ada yang sama

dimana A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang dicari.

k 3

3 2

2 1

p) (

p p)

(

p p)

(

p p

p

 

 

 

  x x x

x



k

Jika p akar berlipat k dari D(x)=0 maka di ruas kanan dalam identitas ditulis k pecahan berturut-turut dengan penyebut

(x-p),(x-p)

²

,(x-p)

³

,…,(x-p)

^k

.

Jadi pecahan yg sesuai dengan akar p

yang berlipat k ini adalah

3 2

2 3

2

) 1 (

F )

1 (

E )

1 (

D

) 1 (

C 1

B 2

A )

1 (

) 1 )(

2 (

 

 

 

 

 

 







x x

x

x x

x x

x x

x

Contoh 5

Cari integral berikut



_{(x  2)(x }^x₁₎² _{(x 1)}³

2 2

2 2

3

3 3

2

) 1 )(

2 (

F )

1 (

) 1 )(

2 (

E

) 1 (

) 1 )(

2 (

D )

1 )(

2 (

C

) 1 )(

1 )(

2 (

B )

1 (

) 1 (

A











































x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

Dari enam persamaan tersebut diperoleh

12 F 1

36 , E 1

432 , D 5

8 , C 1

16 , B 1

27 ,

A  2        

3 2

2 3

2

) 1 (

12 1 )

1 (

36 1 )

1 (

432 - 5

) 1 (

8

1 )

1 (

16 1 )

2 (

27 2 )

1 (

) 1 )(

2 (

 

 



 

 

 







x x

x

x x

x x

x x

x

) C 1 (

12 1 )

1 (

36 1 1

432 ln 5

) 1 (

8 1 1

16 ln 2 1

27 ln 2

) 1 (

1 12

1 )

1 (

1 36

1 )

1 (

1 432

5

) 1 (

1 8

1 )

1 (

1 16

1 )

2 (

1 27

2

) 1 (

) 1 )(

2 (

3 2

2 3

2

 

 







 









 

 

 

 

 

 





















x x x

x x x

x dx x dx

x dx

x dx x dx

x dx

x x

x

x

Dalam keadaan ini dijumpai dua macam integral yaitu

2,3,...) (n

a) C,

)(

1 (

1 )

a . (

2

C a

a ln .

1

1 -

n  



 

 





 





x n

x

dx x x

dx

n

T E O

R E M

A

c. Punya akar tidak real yang berlainan

Akar-akar tidak real pada

persamaan derajad tinggi dengan

koefisien real sepasang-sepasang

bersekawan, artinya jika a+bi (a, b

real) suatu akar maka a-bi juga

akar persamaan itu.

Dari teorema tersebut diketahui bahwa a+bi dan a-bi akar dari D(x)=0, sehingga

[x-(a+bi)][x-(a-bi)]

faktor dari D(x).

Hasil kali ini sama dengan (x-a)

²

+b

²

,

yang merupakan bentuk kuadrat

dalam x yang definit positip.

Misalkan

Jadi

x

₁

= p, x

₂

= x

₃

= q, x

₄

= a+bi, x

₅

= a-bi,

x

₆

= c+di, x

₇

= c-di akar-akar persamaan tersebut.

} d )

c }{(

b )

a ){(

q )(

p (

)

(x  x  x  x  ²  ² x  ²  ² D

Karena derajat N(x) kurang dari derajad D(x) maka pemisahan

atas pecahan-pecahan parsial adalah

Dimana konstanta A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang dicari.

) (

) (

x D

x N

2 2

2 2

2 ( c) d

G F

b )

a (

E D

q) (

C q

B p

A )

( ) (





 





 

 

 

 

x x x

x x

x x

x D

x N

1 1 3

1 )

1 (

3

1 1

3 C 1

3 , B 1

3 , A 1

) C A

( )

C B

A ( )

B A

(

) 1 (

C) B

( )

1 (

A

1 C B

1 A )

1 )(

1 (

1

2 3

2 2

2 2

3





 

 









































 

 





 



x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

Contoh 6

 _x ^x _{ 1} ^dx

cari

₃

3 C 1 arctan2

3 1 3

6 ln 1 1

3 ln 1 1

arctan 1

2 1 1

6 ln 1 1

3 ln 1

) (

2 1 3

2 ln 1 3 1 1

3 ln 1

1 2

3 1

1 2

2 1 3 1 1

3 ln 1

1 3 - 1 2

2 1 3 1 1

3 ln 1

1 1 3

1 )

1 (

1 3

1 1

2 3

4 3

2 1

4 3 2

4 2 3

2 1 2

2 2

2

2 3

 











 











 















 







 

















 





 













 









 

 



















x x x

x x dx

x

x x x

x

x x dx

x x

x x

dx dx x

x x x

x dx x

x x

x dx x

dx x dx x

x x

Dalam keadaan ini dijumpai dua macam integral yaitu

b C arctan a

b

B aA

b )

a (

2 ln A b

) a (

B . A

2

C a

a ln .

1

2 2

2 2

 

 





 









 





x x

x dx x x x

dx

Analogi dengan bentuk c, jika a+bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x)=0, maka a-bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah

[(x-a)

²

+b

^2]

]

^k

d. Punya akar tidak real yang sama

Misalkan

3 2 2

2 2

2{( a) b }{( c) d }

) q )(

p (

)

(x  x  x  x   x  

D

akar-akar persamaan tersebut : 1. x

₁

= p, x

₂

= x

₃

= q,

2. Akar tunggal kompleks a+bi & a-bi

3. Akar kompleks berlipat tiga

c+di, dan c-di

Karena derajat N(x) kurang dari derajad D(x) maka pemisahan

atas pecahan-pecahan parsial adalah

dimana konstanta A,B,C,D,E,F,G,H, I,J dan K konstanta yang dicari.

) (

) (

x D

x N

 ^{2 2} ^{2 2 2}³

2 2 2

2

2 ( c) d

K J

d ) c (

I H d

) c (

G F

b ) a (

E D

q) (

C q

B p

A )

( ) (





 





 





 





 

 

 

 

x x x

x x

x x

x x

x x

x D

x N



^{x x}

 

^{x x k}



^k

x

x

2 2

k 2 2

2

2 2

2 2

1 1

d )

c (

B A

d )

c (

B A

d )

c (

B A





 

 



 





 

tiga suku terakhir yang sesuai dengan faktor _{[(x  c)}² _{ d}² _]³

] d )

c

[(x  ²  ²

x c) d ]k

[(  ²  ²

Jika D(x) mempunyai faktor

maka pecahan yang sesuai dengan faktor ini terdiri atas k suku pecahan berturut- turut dengan penyebut

dari pangkat satu sd k dan pembilang suatu bentuk linear dalam x.

0 E

, 1 D

, 1 C

, 1 B

, 1 A

diperoleh

2E) -

2C -

A ( E)

2D -

2B -

(C

) D 2C

B 2A

( )

B 2 C

( B)

A (

) 2 (

E) D

( ) 1 )(

2 (

C) B

( )

1 (

A

1 5

2 3

) 1 (

E D

1 C B

2 A )

1 )(

2 (

1 5

2 3

2 3

4

2 2

2 2

3

2 2

2 2

2 2 3































































 



 

 











x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x x

x

Contoh 7



³₍^x_x³_^₂²₎₍^x_x^22_⁵₁^₎^{21 dx}

cari

) C 1 (

2 arctan 1

1 2 ln

2 1 ln

) C 1 (

2

1 1

1 2

2 2 1

ln

) C 1 (

2

1 1

2 2

2 2 1

ln

) 1 (

1 1 2

1

) 1 )(

2 (

1 5

2 3

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2 3

 













 

 

 







 

 

 





 



 

 

























x x x

x

x x

dx dx x

x x

dx x x

x x

x dx dx x

x dx x

x

x dx x

x x

Dalam keadaan ini dijumpai tiga macam integral yaitu



^{( Aa) Bb}



^{untuk 2,3,...}

3.

b C arctan a

b

B aA

b )

a (

2 ln A b

) a (

B . A

2

C a

a ln .

1

2 2

2 2

2 2

 





 

 





 









 







n dx

x

x

x x

x dx x x x

dx

n



^{( Aa) Bb}



^{untuk 2,3,...}

b C arctan a

b B b aA

) a (

2 ln A b

) a (

B A

2,3,...) (n

a) C,

)(

1 (

1 )

a (

C a

a ln

2 2

2 2

2 2

1 - n

 





 

 





 







 

 

 





 









n dx

x

x

x x x dx

x

x n

x dx x x

dx

n n

Pada penyelesaian bentuk terdapat t empat macam integral :



_D^N₍⁽_x^x₎⁾

integral keempat dapat diselesaikan jika dapat menyelesaikan

  

_ ⁿ

t dt 1 2

integral keempat dng subtitusi y = x-a.

integral kedua dari ruas terakhir diubah menjadi

Dengan

  ^   ^  



_^{  } _ ^{n  } _ ⁿ

b n y

t dt dy dy

y^{2 2 2n 2} b^2n-1 1 ²

B aA

) ( b 1

B aA

b B aA

b t  y

  ^   ^   ^  

 _ ^_ ^{ }_ ^{ } _^{ } _^{ dy}

y y

y dy d

y dx y

x

x

n n

n

n 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 b

B aA

b ) b (

2 A b

B aA

A b

) a (

B A