PENENTUAN PICTURE DAN OPERASI PICTURE UNTUK PRESENTASI GRUP 〈𝒂, 𝒃|𝒂
𝟐, 𝒃
𝟑, [𝒂, 𝒃]〉
Dedi Mardianto1
1STIE SUMBAR Pariaman Email : [email protected]
Abstract : This paper discuss about picture and operation for picture to this group presentation. Let group presentation 𝑃 = 〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉. From group presentation we can get picture and application operation picture for this .
Keywords: group presentation; picture
Abstrak : Pada penelitian ini membahas tentang picture dan operasi picture untuk presentasi grup. Diberikan presentasi grup dan 𝑃 = 〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉 . Dari presentasi grup ini akan dibuat picture dan kemudian diterapkan operasi-operasi pada picture tersebut.
Kata kunci: presentasi grup, picture
PENDAHULUAN
Misalkan Ρ = 〈a, r〉 presentasi grup yang mendefinisikan grup 𝐺. Dari presentasi ini dapat diperoleh grup fundamental pertama 𝜋1(Ρ) atas Ρ. Unsur-unsur dari 𝜋1(Ρ) adalah kelas-kelas ekivalensi dari word [𝑊]. Selanjutnya dari presentasi ini juga diperoleh picture atas Ρ. Suatu picture atas 𝑃 adalah objek yang memuat lengkung- lengkung (arcs) yang berbeda yang diberi nama dengan unsur-unsur dari 𝒂, disk- disk (discs) yang diberi nama dengan unsur-unsur dari 𝒓, dan suatu disk batas yang dilengkapi dengan suatu titik awal ((Pride 1991)). Selanjutnya dari picture tersebut bisa kita buatkan barisan generator dengan menggunakan operasi-operasi pada picture. Pada artikel ini akan dibahas tentang penentuan picture pada presentasi grup 𝑃 = 〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉 . Pada presentasi grup ini akan dibuatkan word yang mewakili presentasi grup sesuai dalam (Dedi Mardianto(Andalas 2016)). Setelah itu akan di buat barisan generator-generator picture yang diperoleh dari operasi-operasi pada picture.
LANDASAN TEORI
Definisi picture seperti yang sudah dijelaskan dalam Collin dan Huebschmann (1982), (Bogley, W. A, Pride, S 1993) adalah Suatu picture P atas 𝑃 adalah susunan
41 secara geometri suatu objek yang memuat :
1. Suatu disk 𝐷2 dengan titik dasar O pada 𝛿𝐷2
2. Disk-disk saling lepas ∆1, ∆2,…,∆𝑛 dalam inner 𝐷2. Setiap ∆𝑖 mempunyai titik dasar 𝑂𝑖 pada 𝛿∆𝑖.
3. Sejumlah berhingga arc saling lepas 𝛼1,𝛼2,… , 𝛼𝑛 yang setiap arc berada pada closure 𝐷2− 𝑈∆𝑖 dan arc tersebut merupakan kurva-kurva tertutup sederhana yang mempunyai persilangan trivial dengan 𝛿𝐷2∪ 𝛿∆1∪ 𝛿∆2∪ … ∪ 𝛿∆𝑛 atau kurva tak tertutup sederhana yang bergabung dengan dua titik dari 𝛿𝐷2∪ 𝛿∆1∪ 𝛿∆2∪ … ∪ 𝛿∆𝑛, jika tidak titik tersebut menjadi titik dasar. Setiap arc mempunyai arah normal, yang ditunjukan dengan suatu anak panah pendek yang berhadapan dengan arc secara melintang dan dilabel dengan suatu unsur dari 𝑥±1.
4. Jika dijalankan sekeliling 𝛿∆𝑖 searah jarum jam dan dimulai dari 𝑂𝑖 dan dibaca label pada arc yang berhadapan (jika disilang suatu arc, katakanlah dilabel dengan 𝑥, dengan arah normal, maka dibaca 𝑥, sebaliknya dibaca 𝑥−1 jika arahnya berlawanan), maka didapatkan suatu word yang dimiliki oleh 𝒓 ∪ 𝒓−𝟏. Word ini disebut word berlabel ∆𝑖.
Gambar 1 Picture P
Untuk menjelaskan operasi-operasi pada picture, terlebih dahulu diperkenalkan operasi-operasi picture, yaitu istilah floating circle, semi floating circle, pasangan invers dan bridge move. Floating circle adalah kurva tertutup yang didalamnya tidak terdapat disk, semi floating circle adalah kurva yang menyentuh disk perbatasan dan tidak terdapat cakera didalamnya dan pasangan invers adalah spherical picture yang mempunyai tepat dua disk yang titik awal setiap disk berada pada daerah yang sama. Bridge Move adalah perubahan arah dan letak dua lengkung yang mempunyai
nama yang sama tetapi dengan arah berbeda((Yanita dan Dedi ( Universitas andalas) 2016)). Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2 berikut :
Gambar 2 Ilustrasi Istilah-istilah Pada Operasi Picture
Gambar 3 Bridge Move
Gambar 4 Pasangan Invers
Gambar 4 (a) adalah pasangan invers, sedangkan Gambar 4 (b) dan (c) bukan pasangan invers karena titik-titik awal berada dalam daerah yang berbeda. Operasi- operasi dasar pada picture adalah (Bogley, W. A, Pride, S 1993)
1. Menghapus atau menambah floating circle 2. Menghapus atau menambah semi floating circle 3. Menghapus atau menambah pasangan invers 4. Bridge Move.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sesuai dengan tujuan tulisan ini adalah untuk membuat picture pada presentasi grup 𝑃 = 〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉 maka terlebih dahulu kita menentukan salah satu word
43
yang ada pada presentasi grup tersebut. Disajikan 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏~(𝑏𝑎𝑏𝑎−1𝑏−1𝑏−1)(𝑏𝑏𝑎2𝑏−1𝑏−1)(𝑏3) yaitu suatu word dalam 𝑃 =
〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉 dan penggunaan operasi-operasi pada picture.
Mula-mula buat gambar dengan 3 curtain yaitu :
Gambar 5. Picture (𝑏𝑎𝑏𝑎−1𝑏−1𝑏−1)(𝑏𝑏𝑎2𝑏−1𝑏−1)(𝑏3)
Lebih lanjut dengan menggunakan operasi pada picture dapat dibuat perubahan sebagai berikut :
Langkah 1 : Perhatikan arc b yang saling berlawanan arah. Untuk dua arc ini dilakukan operasi bidge move, sehingga diperoleh gambar berikut ini :
Gambar 6. Dua arc b berlawanan arah setelah operasi bridge move
Langkah 2 :Hapuskan semi floating circle b dan lakukan operasi bridge move pada arc b yang saling berlawanan arah, sehingga diperoleh gambar berikut :
Gambar 7 Penghapusan Semi-Floating Circle b
Langkah 3 : Hapuskan semi-floating circle b dan lakukan operasi bridge move pada arc b yang saling berlawanan arah, sehingga diperoleh gambar berikut :
Gambar 8 Penghapusan Semi-Floating Circle b
Langkah 4 : Hapuskan semi floating circle b dan lakukan operasi bridge move pada arc b yang saling berlawanan arah, sehingga diperoleh gambar berikut :
Gambar 9. Penghapusan semi-Floating Circle b
Langkah 5 : Hapuskan semi floating circle b dan lakukan operasi bridge move pada arc b yang saling berlawanan arah, sehingga diperoleh gambar berikut :
45
Gambar 10. Penghapusan Semi Floating Circle b
Langkah 6 : Hapuskan semi floating circle b dan lakukan operasi bridge move pada arc b yang saling berlawanan arah, sehingga diperoleh gambar berikut ini :
Gambar 11 Penghapusan semi Floating Circle b
Langkah 7 : Hapuskan semi floating circle a. Karena tidak ada lagi arc yang saling berlawanan arah sehingga diperoleh gambar akhir sebagai berikut :
Gambar 12 Penghapusan semi Floating Circle a Terlihat pada gambar 12 ini, picture 𝑃 berlabel 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏.
KESIMPULAN
Diberikan suatu presentasi grup 𝑃 = 〈𝑎, 𝑏; 𝑎2, 𝑏3, [𝑎, 𝑏]〉 . Dari presentasi grup ini ditentukan word 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏~(𝑏𝑎𝑏𝑎−1𝑏−1𝑏−1)(𝑏𝑏𝑎2𝑏−1𝑏−1)(𝑏3) yang merupakan word pada presentasi grup tersebut. Selanjutnya dibuatkan picture dan dilakukan operasi- operasi pada picture tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Bogley, W. A, Pride, S, J. 1993. “Calculating Generator of Phy 2. In Two Dimensional Homotopy and Combinatorial Group Theory.” In Calculating Generator of Phy 2. In Two Dimensional Homotopy and Combinatorial Group Theory, 157–88.
Dedi Mardianto(Andalas, Universitas). 2016. “GENERATOR MODUL HOMOTOPI KEDUA UNTUK” 2 (April).
Pride, S. J. 1991. “Identities Among Relation of Groups Presentation, In Group Theory from Geometrical View Point-Triese.” World Sciencetific Publishing Co, 687–717.
Yanita dan Dedi ( Universitas andalas). 2016. “The Generator The Generator of Second Homotopy Module of 〈?,?;???=???〉 and 〈?,? ;?2,?3〉.” International Mathematical Forum 11 (12): 583–90.
