MODUL MATERI KULIAH B-3
PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS
Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :
{ P } = [ K ] { U }
dimana :
{ P } = matriks gaya [ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan
Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur.
3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif
METODE KEKAKUAN LANGSUNG
matriks kekakuanU1, P1 U2, P2
{ P } = [ K ] { U }
U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan
P1 K11 K12 K13 K14 U1
P2 K21 K22 K23 K24 U2
P3 K31 K32 K33 K34 U3
P4 K41 K42 K43 K44 U4
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U1
P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U2
P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U3
P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U4 Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)
Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)
Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)
Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)
1
1 2
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
Kinematis tidak tentu orde 1
Kinematis tertentu
Struktur primer
(Restrained structure)
Sistem sekunder
Kondisi awal : M2 = 0
M2 = M2q + M2θ2 = 0
θ L
EI 4 qL 12
1
2 2+
− = 0
EI 48
qL
θ2= 3
L EI 4
qL 12
1
θ
2
2 =
M12 = M12q + 1 θ2
L EI 2
θ
L EI 4
+
= qL 12
1 2
+ 2
3
L q 8 1 EI 48
L q L
EI 2
0 + =
M12 = M21q + 2 θ1
L EI 2
θ
L EI 4
+
= qL 12
1 2
− + 0 0
EI 48
L q L
EI
4 3
= +
12 12
= 48 EI
q L3 1
4 EI L
q
q
2 4 EI
L q L
1 2 1
1 q
q L2
1 2
L, EI 1
q
q 3.3 Elemen Balok 2 Dimensi
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa
mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsungContoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
[ K1 ] =
Matriks Kekakuan Global Struktur
q
0 0
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 2
-2 4 EI
L 2 . 2 -4 . 8
1
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ =
8 2
-2 4 EI 28
L
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
8 2
-2 4 EI 28
L
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
2
L q 12
1
− 2
L q 12
1
L EI 4 L
EI 2
L EI 2 L
EI 8
2
L q 12
1
−
2
L q 12
1
2
L q 12
1
−
2
L q 12
U11
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
0 Gaya akhir elemen :
0 0
q 0
-
-+
-+
+
P2 = =
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D :
Bidang M :
2
L q 56
4 L q 56 32
L q 56 24
2
L q 28
2 L q 28 16
L q 28 12
2
L q 28
2
2
L q 28
1
L q 28
3
2
L q 28
2
L q 28 16 L q 28
3
L q 28 12
L q 28
3
L q 28
3 L q 28 16
L q 28 12
2
L q 28
2
2
L q 28
q
[ K1 ] =
0 0 0
Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 1 2 2 3
0 1 1 2
K1 =
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
= + 0
=
q
0 0
0 0 Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ]
2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
[ K2 ] =
L EI 4 L
EI 2
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
L EI 2 L
EI 8
2
L q 12
1
− 2
L q 12
1 K2 =
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
U11
U12
0
U21
U22
q
0 0
0
0
PR2 =
PR1 =
0 0
0
P1 = +
P1 = =
Hasil perhitungan hanya momen saja Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
EI
L q 168
3 3
−
EI L q 168
3 3
−
EI L q 168
5 3
2
L q 12
1
−
2
L q 12
1
2
L q 12
1
−
2
L q 12
1
EI L q 168
3 3
−
2
L q 56
4
−
2
L q 56
2
−
2
L q 28
2
−
2
L q 28
1
−
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
q 0
-
-+
P2 = +
P2 = =
0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D :
EI L q 168
5 3 qL2
12 1
−
2
L q 12
1
2
L q 28
2
2
L q 28
1
L q 28
3
2
L q 28
2
L q 28 16 L q 28
3
L q 28 12
L q 28
3
L q 28
3 L q 28 16
L q 28 12 EI
L q 168
3 3
−
L EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
2
L q 56
4 2
L q 28
-+
+
q
Bidang M :
Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,
dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk
kekakuan balok yang tidak sama.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, 2EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.
2
L q 28
2
2
L q 28
1
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 1 2 2 3
[ K1 ] =
= +
0
= 0 0
0
0 0 Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ]
2 x 2
K1 =
[ K2 ] =
L EI 8 L
EI 4
L EI 4 L
EI 8
L EI 8 L
EI 4
L EI 4 L
EI 8
L EI 8 L
EI 4
L EI 4 L
EI 12 L
EI 2 L
EI 4
L EI 4 L
EI 2
L EI 4
K2 =
L EI 4 L
EI 8
L EI 8 L
EI 4
q
0 0
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
12 4
-4 8 EI
L 4 . 4 -8 . 12
1
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ =
12 4
-4 8 EI 80
L
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
12 4
-4 8 EI 80
L
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡
2
L q 12
1
− qL2
12 1
L EI 8 L
EI 4
L EI 4 L
EI 12
2
L q 12
1
−
2
L q 12
1
2
L q 12
1
−
2
L q 12
U11
U12
0
U21
U22
q
0 0
0
0
PR2 =
PR1 =
Us = EI 80
L
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
2 2
L q 3 1 -L q 3 2
−
2 2
L q 3 3 L q 3 1
+
EI L q 80
1 3
−
EI L q 60
1 3
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
EI L q 80
1 3
−
EI L q 80
1 3
−
EI L q 60
1 3
2
L q 12
1
−
2
L q 12
1
2
L q 12
1
−
2
L q 12
0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja
Hasil perhitungan hanya momen saja Gaya akhir elemen :
-
-+
-+
+
q = 1 t/m P = 2 t
Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D :
Bidang M :
Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L = 4 m, EI L = 2 m, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen L
q 40
3
L q 40
3 L q 40 22
L q 40 18
2
L q 40
2
2
L q 40
1
1 2 3
0
1 3
0
0
2
[ K1 ] =
0 0 0
Menentukan matriks tujuan DOF : 3 2 rotasi
1 dilatasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen :
= +
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ]
2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
q =1 t/m
0 0
P = 2 t
0 Ps =
= EI
3 -1,5 1 -1,5 1,5 -1,5 1 -1,5 2 [ Ks ]
1 2 1 2 6,67 4 1 4 3
=
1 2 1 2 6,67 4 1 4 3
=
-2,67 -10,67 -6,67 Untuk contoh di atas, maka :
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ]-1 = EI
1
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = EI
1
2
L q 12
1
− 2
L q 12
1
2
L q 12
1
P
-1,33 -2 0
1,33 -2 0
Rotasi di joint 2
U11
U12
0
U21
U22
U23
U24
0 - 2,67 -10,67 - 6,67
1,33
-1,33
PR2 =
PR1 =
-2,67
0 0
q =1 t/m P = 2 t
2
0 0 2 0
0 1,33
-1,33
P1 = +
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
1,33
L q 12
1 2 = qL -1,33
12
1 2 =
−
67 , 2
−
2 EI EI
0
- 2,67
-10,67
- 6,67
2 4 0 0
q =1 t/m P = 2 t
P1 = Hasil perhitungan
hanya momen saja 0
- 4
0
0
2
0
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 = +
P2 =
Free Body Diagram :
0 4 4
1 3 2
4 EI 6 8
EI 12 4
EI 6 8
EI 12
2 EI 2 4
EI 6 2
EI 4 4
EI 6
4 EI 6 8
EI 12 4
EI 6 8
EI 12
-−
2 EI 4 4
EI 6 2
EI 2 4
+
+
-+
-Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D :1 2 2
3
Bidang M :
