MATEMATIKA III Faigiziduhu Bu'ulölö

(1)

PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

BIASA

MATEMATIKA III

(2)

PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

BIASA

MATEMATIKA III

Faigiziduhu Bu'ul

ö

_l

ö

(3)

Art Design, Publishing & Printing

Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU Jl. Universitas No. 9 Medan 20155, Indonesia

Telp. 061-8213737; Fax 061-8213737

usupress.usu.ac.id

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang memperbanyak menyalin, merekam sebagian atau seluruh bagian buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit.

ISBN 979 458 899 7

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Persamaan Differensial Biasa / Faigiziduhu Bu'ulölö--Medan: USU Press 2016.

vi, 107 p. ; ilus.: 14 cm

Bibliografi

(4)

KATA PENGANTAR

Persamaan Differensial menjadi salah satu ilmu dalam matematika yang memegang peranan penting dalam menyelesaiakan soal-soal sulit dalam bidang fisika, ekonomi, engineering, kimia bahkan bisnis. Berdasarkan pengamatan dan pengalaman penulis ketika memberikan kuliah Persamaan Differensial (Matematika III), ditambah dengan memperhatikan informasi, saran, dan keluhan-keluhan para mahasiswa selama kuliah, penulis berusaha untuk menguraikan materi buku ini sesederhana mungkin. Berbagai kesulitan mahasiswa tersebut, maka buku ini dibuat dengan tujuan untuk dapat membantu para mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah matematika khususnya matematika III atau lanjutan dari matematika dasar di universitas.

Persamaan differensial yang dibahas dalam edisi pertama ini hanya sebatas persamaan differensial biasa dan dengan koefisian konstan untuk persamaan differensial derajat dua, sehingga materi yang disajikan hanya mencakup persamaan differensial dengan perubah terpisah, bentuk homogen, bentuk exaxt, faktor pengintegralan, persamaan differensial linier tingkat satu dan teknik penyelesaian persamaan differensial derajat dua.

(5)

penyelesaian persamaan differensial, saat ini telah muncul komputer-komputer kecepatan-tinggi yang murah telah menyajikan teknik-teknik baru untuk menyelesaikan persamaan differensial, sehingga dapat memodelkan dan menyelesaikan soal-soal rumit yang memperkenalkan sistem-sistem persamaan differensial.

Penulis berterima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kontribusi dalam pembuatan buku Persamaan Differensial ini dan juga kepada USU Press yang telah bersedia menerbitkan buku ini dengan segala kekurangannya, sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga buku ini dapat menambah khasanah literatur ilmu pengetahuan, khususnya dalam bidang Persamaan Differensial Biasa dan bermanfaat kepada para peminat matematika.

(6)

D A F T A R I S I

Halaman

KATA PENGANTAR iii

DAFTAR ISI v

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Pengertian 1

1.1.1 Model Persamaan Differensial 2

1.1.2 Definisi 4

1.1.3 1.1.4

Notasi

Penyelesaian Persamaan Differensial

5 6 1.1.4 Tingkat dan Derajat dari Suatu

Persamaan Diferensia

7

1.2 Persamaan Differeensial dari Suatu Relasi 8

Soal-soal 10

BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL 11

2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu 12

2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah Terpisah

12

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah Dapat Dipisahkan

17

Soal-soal 24

2.2 Persamaan Differensial Homogen 25

2.3 Perdamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk Homogen

28

Soal-soal 32

BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU 33

3.1 Persamaan Differensial Exact 33

3.2 Faktor Pengintegralan 37

3.2.1 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 38

3.2.2 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 39

(7)

Soal-soal 53

BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU DERAJAT DUA

54

4.1 Persamaan Differensial Tingkat Satu Derajat Dua 54

4.1.1 Penyelesaian ke- 54

Soal-soal 63

4.2 Persamaan Differensial CLAIRAUT DAN PD

d’ALEMBERT

64

4.2.1 Persamaan Differensial CLAIRAUT 64

4.2.2 Persamaan Differensial d’ALEMBERT 66

4.3 Penyelesaian Singular 69

Soal-soal 71

BAB V PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA 72

5.1 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua 72

5.2 Persamaan Differensial Linier Tereduksi Tingkat Dua dengan Koefisien Konstan

74

Soal-soal 79

5.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua Lengkap

79

5.3.1 Cara Operator D 80

5.3.2 Cara Variasi Parameter 83

Kumpulan Soal Penyelesaian 89

Soal Tambahan 102

(8)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Pengertian

Persamaan differensial merupakan konsep matematika

sangat penting dalam matematika terapan (aplikasi matematika)

dalam berbagai disiplin ilmu yang lain. Berbagai hukum ataupun

gejala fisika dapat diterangkan dengan persamaan differensial.

Demikian juga dalam berbagai masalah teknik, misalnya masalah

vibrasi, masalah rangkaian listrik, dalam masalah ekonomi,

misalnya penentuan biaya total untuk produksi suatu barang

serta juga dalam berbagai masalah geometri dapat dijelaskan

dengan bentuk persamaan differensial. Model matematika yang

bisa diselesaiakan dengan persamaan differensial erat

hubungannya dengan rumus-rumus integral dan teknik integrasi

(9)

1.1.1 Model Persamaan Differensial

1. Bidang Fisika

Persamaan differensial mampu menjelaskan suatu

dalil atau hukum ke dalam model matematis.

Misalnya:

a. Masalah desintegrasi zat radio aktif

Dalam suatu saat tertentu suatu zat radio aktif

mulai meluruh kecepatan peluruhannya

dinyatakan sebanding dengan zat yang ada pada

saat itu.

Misalnya:

menyatakan jumlah zat pada saat t, di mana t menyatakan waktu

menyatakan kecepatan perubahan kecepatan dari pada saat t

Hukum desintegrasi dinyatakan oleh persamaan oleh

persamaan differensial , di mana konstanta positip.

Penyelesaian dari persamaan differensial ini adalah

(10)

Masalah Gerak

Misalkan suatu benda bergerak dengan kecepatan

yang dinyatakan oleh persamaan:

Persamaan lintasan dari benda tersebut

dinyatakan oleh persamaan differensial yaitu:

2. Masalah Pertumbuhan

Persamaan differensial bisa menjelaskan masalah

pertumbuhan populasi manusia, hewan, ataupun

bakteri serta makhluk yang lain. Misalkan akan

menerangkan populasi bakteri di mana kecepatan

pertumbuhan dinyatakan dengan jumlah bakteri yang

ada. Hukum pertumbuhan populasi bakteri dapat

dinyatakan oleh:

di mana: = jumlah bakteri pada saat

= konstanta pertumbuhan

(11)

Dari kedua contoh di atas, dapat memberikan gambaran

tentang munculnya suatu persamaan differensial, serta

peranannya dalam menyelesaikan persoalan.

Suatu persamaan differensial biasa dinyatakan oleh , jadi fungsi terdiri dalam .

1.1.2 Definisi

Persamaan Differensial (PD) adalah sebuah persamaan

yang mengandung paling sedikit satu turunan atau satu

differensial dari suatu fungsi.

Persamaan Differensial digolongkan menjadi dua bagian

yaitu:

a. Persamaan Differensial Biasa (PDB) yaitu PD yang

mengandung hanya satu perubah bebas . Misalnya :

di mana : adalah perubah bebas dan

adalah perubah tidak bebas

Artinya bahwa jika persamaan differensial hanya

mengandung satu (1) perubah dan fungsi turunan biasa,

(12)

b. Persamaan Differensial Parsial (PDP) yaitu PD yang

mengandung lebih dari satu perubah bebas

. Misalnya:

1.

2.

3.

di mana : adalah perubah bebas adalah perubah tidak bebas

Artinya bahwa jika fungsi pada persamaan tersebut

terdiri dari dua perubah atau lebih, maka dikatakan

sebagai persamaan differensial parsial.

1.1.3 Notasi

Ekspresi matematis sering kali digunakan untuk menuliskan, masing-masing, turunan

pertama, kedua, ketiga, keempat, ... , ke-n dari terhadap

perubah bebas yang dimaksudkan. Jadi, dilambangkan

,

(13)

misalnya perubah ditulis turunan pertama

, perubah

turunan kedua ditulis

.

Dalam materi mata kuliah III yang akan dipelajari hanya

menyelesaikan persamaan-persamaan Differensial biasa yang

elementer.

1.1.4 Penyelesaian Persamaan Differensial

Penyelesaian dari persamaan differensial dalam fungsi

yang tidak diketahui dan perubah bebas pada interval , adalah

fungsi yang memenuhi persamaan differensial secara identik untuk semua dalam

Contoh

Apakah di mana dan adalah konstanta sembarang, merupakan penyelesaian

dari

Dengan mencari turunan , maka akan diperoleh:

(14)

Sehingga:

Jadi, memenuhi

persamaan differensial yang dimaksud untuk semua nilai

sehingga merupakan penyelesaian pada interval

.

1.1.5 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Differensial

Seperti pada persamaan dalam aljabar, kita kenal

persamaan linier dan persamaan kuadrat. Dalam persamaan

differensial kita kenal ordo dari persamaan differensial yang

didasarkan pada turunan tertinggi dari fungsi dalam persamaan

tersebut. Jadi, jika turunan yang tertinggi yang terdapat dalam

persamaan adalah tingkat n, maka PD itu disebut PD tingkat n

(ordo n). Jika persamaan itu seluruhnya terukur dan bulat dalam

turunan-turunan itu, maka pangkat tertinggi dari turunan

tertinggi dalam persamaan itu disebut derajat (tingkat atau pangkat) PD itu. Jadi bila dua persamaan differensial dapat

dianggap sebagai suatu polinom, maka tingkat dari persamaan

differensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan

(15)

Contoh :

1.

disebut PD tingkat 1 dan derajat 1.

2.

3.

Jadi bila dua persamaan differensial dapat dianggap sebagai

suatu polinom, maka tingkat dari persamaan differensial

ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan yang tertinggi.

1.2 Persamaan Differensial dari Suatu Relasi

Persamaan umum dari garis-garis lengkung datar adalah

, di mana parameter-parameter. PD dari relasi ini diperoleh dengan mengeliminasikan

parameter-parameternya dari persamaan semula dengan

persamaan turunan-turunannya. Jika relasinya mengandung satu

parameter, maka dicari turunannya sampai turunan pertama.

Jika mengandung dua parameter, maka diturunkan dua kali dan

jika relasinya mengandung n parameter, maka diturunkan

(16)

Soal dan Penyelesaian

1. Carilah PD dari himpunan parabola-parabola

Penyelesaian:

, 

PD-nya didapat dengan mengeliminasi k dari



Jadi PD dari himpunan parabola-parabola tersebut adalah:

x dx dy x

y 2 ₂1

2

1 



2 Carilah PD dari himpunan parabola-parabola

Penyelesaian:

diturunkan sampai turunan ke-2

(17)

Karena turunan ke-2 tidak memuat parameter a dan b,

maka penyelesaian PD-nya adalah:

0

2

2 2

       

dx dy dx

y d y

Soal-Soal:

Carilah persamaan-persamaan Differensialnya yang

penyelesaian umumnya adalah:

1. 4. 2. 5.

(18)

BAB II

PENYELESAIAN PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

Penyelesaian Persamaan Differensial adalah suatu hubungan

antara perubah-perubah tanpa turunan-turunan dan yang

memenuhi PD tersebut.

Contoh : adalah penyelesaian dari karena dengan substitusi

memenuhi PD.

Penyelesaian Umum dari suatu PD adalah yang memuat

konstanta-konstanta essensial

sembarang yang banyaknya sama

dengan tingkat dari PD itu.

Penyelesaian Partikulir dari suatu PD adalah

penyelesaian yang diperoleh dari

(19)

memberi harga tertentu pada

konstanta-konstanta sembarang.

Penyelesaian Singular adalah penyelesaian yang

memenuhi PD tanpa

konstanta-konstanta sembarang tetapi bukan

penyelesaian khusus.

2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu

Bentuk Umum : f(x,y)

dx dy



atau (2.1) Untuk mencari Penyelesaian Umum Persamaan

Differensial (PUPD) dari (2.1) dibedakan beberapa

menurut keadaan sebagai berikut :

2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah Terpisah

Bentuk umum:

(2.2) Jika bentuk (2.2) diintegralkan diperoleh:

(20)

Dengan menyelesaikan bentuk integral pada kedua ruas di atas,

maka diperoleh penyelesaian

Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:

(21)

**



Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

(22)

(23)

(24)

k

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah dapat

Dipisahkan

diselesaikan sesuai langkah pada (2.1.1).

Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:

(25)

(26)

**



Dengan menggunakan teknik integral fungsi rasional,

(27)

(28)

... (c)

##

Misalkan : y2 5t  dy 5 dt



5

2 



y

t

...(d)

Dengan menggunakan rumus umum dari:

maka hasil integral (d) dapat ditulis:

...(e)

Jadi PUPD : (a) + (b) + (c) + (e) =k

(29)

Aplikasi Persamaan Differensial

1. Bidang Fisika

Contoh

Suatu rangkaian listrik sederhana, yang terdiri dari suatu

resistor, inductance dan sumber yang mempunyai

electromotive force. Gambar 2.1

Menurut hukum Kirchoff berlaku:

(i) Jika :

Andaikan maka penyelesaian umum dari

persamaan differensial ini adalah:

(30)

(ii) Jika maka penyelesaian umum akan berbentuk:

2. Di Bidang Kimia

Suatu zat kimia dapat dilarutkan dalam air, di mana

banyaknya zat terlarut persatuan waktu (kecepatan

reaksi) berbanding lurus dengan hasil kali banyak zat

yang tidak larut dengan selisih antara konsentrasi larutan

tersebut. Dalam suatu larutan jenuh setiap 100 gram

larutan terlarut 50 gr zat tersebut, dan jika 30 gr zat

dicampur dengan 100 gram air ternyata 10 gram zat

terlarut dalam 2 jam. Berapa gramkah zat yang terlarut

setelah 10 jam.

Penyelesaian:

= menyatakan waktu

= jumlah jam terlarut pada saat

= perubahan zat terlarut persatuan waktu

Maka diperoleh

, sedangkan konsentrasi

larutan jenuh adalah

(31)

Persamaan ini dapat diubah menjadi:

Soal-soal : Carilah PUPDdari persamaan berikut ini :

1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8. dy=0

9.

10.

(32)

2.2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

Bentuk persamaan differensial:

(2.5) Persamaan Differensial (PD) disebut PD Homogen, jika dan adalah fungsi-fungsi homogen dan berderajat sama. Dengan substitusi pada (2.5) maka persamaan differensial homogen itu diubah menjadi PD dengan

perubah terpisah yaitu:

(2.6) PD (2.6) disebut persamaan differensial dengan perubah terpisah

Carilah PUPD dari persamaan berikut

1. Penyelesaian:

Misalkan

(33)

(34)

(35)

Jadi PUPD:

2.3 Persamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk

Homogen

Bentuk Umum:

(2.7) 1. Jika c = r = 0, maka PD (6) disebut PD Homogen

2. Jika aq – bp = 0 , maka penyelesaiannya adalah :

Misalkan u = ax + by du = a dx + b dy

Dengan substitusi ke PD (2.7), maka diperoleh PD

dengan perubah terpisah.

3. Jika aq –bp ≠ 0, maka penyelesaiannya adalah:

Misalkan u = ax + by + c  du = a dx + b dy

v = px + qy + r  dv = p dx + q dy

Kemudian gunakan eliminasi untuk mendapatkan dx dan

dy, selanjutnya substitusi pada PD (2.7), maka diperoleh

PD homogen

(36)

(37)

(38)

(39)

Ln u + 2/3 Ln (2z + 1) + 1/3 Ln (z - 4) = Ln k1

Carilah PUPDdari persamaan berikut ini:

(40)

BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

TINGKAT SATU

3.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT

Persamaan Differensial

(3.1)

Persamaan differensial (3.1) disebut exact jika ada fungsi

, sehingga Differensial total:

Syrata perlu dan syarat cukup agar persamaan

merupakan PD exact adalah:

x

N

y

M

_

Penyelesaian Umum dari PD Ecaxt adalah

di mana

(

,

)

N

(

x

,

y

)

x

N

dan

y

x

M

y

M



Dari kedua hubungan ini dapat dicari sebagai berikut:

Dari

M

(

x

,

y

)

y

M

(41)

F(x,y) =



M(x,y) dx



(y)

(y) dapat dicari dengan mengingat bahwa

)

,

(

x

y

N

y

F

_

Demikian juga dapat dicari dengan memulai dari

) , (x y N x N _

maka

F(x,y) =



N(x,y) dy



(x)

(x) dapat dicari dengan mengingat bahwa

) , (x y M x F _

Perhatian : Dalam hal integrasi terhadap , maka variabel

dianggap konstan dan berlaku sebaliknya.

1. Penyelesaian:

– 



1 y

M

– 



1 x

N

(42)

Jadi :

x

N

y

M



= 1  Exact PUPD :



F(x,y) =



(y3x2)dx 



(y)

= – 

N

(

x

,

y

)

y

F



Diturunkan terhadap , maka dianggap konstan

 – ’(y) = - 4y

 

Jadi PUPD: Atau : PUPD :



=



(x4y)dy 



(x)

= – 

) , (x y M x F



Diturunkan terhadap x, maka y dianggap konstan

(43)



Jadi PUPD: Catatan: Hasil akhir selalu sama

2. – – – Penyelesaian:

–

x

y

M

6

10 





– –

y

x

y

F

10

6 



Jadi:

x

N

y

M

_

= 6y – 10x  Ecact PUPD : F(x,y) = k



F(x,y) =



(6x2 10xy3y2) dx 



(y)

= 2x3– 5x2y + 3xy2+ (y)

N

(

x

,

y

)

y

F

(44)

– 5 x2 + 6xy + ’(y) = 6xy – 5x2– 3y2 ’(y) = - 3y2

 

Jadi PUPD: 2x3– 5x2y + 3xy2 - y3 = k

3.2 FAKTOR-FAKTOR PENGINTEGRALAN

Bentuk Persamaan Differensial (PD):

,

pada umumnya tidak exact, berarti

x

N

y

M

_

.

Maka suatu fungsi (umumnya fungsi dari dan ) yang

mempunyai sifat bahwa menjadi exact. Jadi dinamakan faktor pengintegralan dari PD, sehingga PD

yang baru memenuhi syarat:

x

VN

y

VM



(

)

(

(3.1)

Dengan melakukan turunan parsial terhadap persamaan (3.1),

maka diperoleh:

x

N

V

x

V

N

y

M

V

y

V

(45)

Selanjutnya ditinjau dua macam fungsi secara khusus:

sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi :

x

juga hanya merupakan fungsi

dari x saja yang dinamakan dengan h(x).

Sehingga faktor pengintegral adalah





dx x h

e

V

( )

Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)

sehingga didapat:

(3.2) Kemudian PD (3.2) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:

(46)

3.2.2 Faktor Pengintegral Fungsi dari saja

sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi:

x

juga hanya merupakan fungsi

dari y saja yang dinamakan dengan g(y).

Sehingga faktor pengintegral adalah





dy y g

e

V

( )

Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)

sehingga didapat:

(3.3) Kemudian PD (3.3) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:

(47)

Carilah PUPDdari persamaan berikut ini :

1.

Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact

(48)



N

(

x

,

y

)

y

F



+ ’(y) =

’(y) = 0  (y) = 0 Jadi PUPD:

2. Penyelesaian:

M(x,y) = 2xy  My = 2x

N(x,y) = y2 - 3x2  Nx = -6x

Jadi My≠ Nx tidak exact

g(x) =

y

xy

x

M

N

_x _y

₄

2

6 









(49)

2

1

3

0

(50)

3.

(51)

’(y) = 0  (y) = 0

Jadi PUPD:

4. Penyelesaian :

M(x,y) = xy3  My = 3xy 2

N(x,y) =–(1 – x2y2)  Nx = 2xy 2

Jadi My≠ Nx tidak exact

2

1

2

_



0 











x

y

dy

y

dx

x

y

Ternyata

 exact

(52)



N

(

x

,

y

)

y

F

_



 

Jadi PUPD:

Soal-soal:

Carilah PUPDdari persamaan berikut ini

1. 2. 3.

4.

5.

6.

7.

(53)

3.3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

hanya tergantung pada perubah saja, maka

V eP(x)dx adalah faktor pengintegral.

Faktor pengintegral ini digandakan pada PD (3.3), sehingga dapat

ditulis menjadi :

PD (3.5) dapat ditulis sebagai turunan dari :



Dengan mengintegralkan kedua ruas PD (3.6), maka diperoleh

(54)

PUPD:

e



P(x)dx

.

Y





Q

.

e



P(x)dx

dx



k

(3.7)

Carilah PUPDdari persamaan berikut ini

1.

– y = e

2x

Penyelesaian:

P = - 1 ; Q = e 2x

x dx

e e

V    

Model PUPD adalah:

PUPD:

2.

...(a)

Penyelesaian:

PD (a) dibagi dengan cos x diperoleh persamaan baru

(55)

...(b)

Dari persamaan (b) diketahui bahwa:

Faktor integral:

Jadi PUPD:

PUPD:

3.

; jika untuk

Penyelesaian:

Bagi PD dengan x diperoleh persamaan baru

menjadi :

Faktor integral:

(56)

Jadi PUPD:

PUPD:

Selanjutnya: jika untuk

PUPD Partikulir adalah:

3.4 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI

Bentuk Umum:

; dan (3.8)

Penyelesaian:

PD (3.8) baik ruas kiri maupun ruas kanan sama dibagi dengan

, maka diperoleh:

(3.9)

(57)

Dicari turunan terhadap didapat:

(3.10)

Persamaan (3.10) disubstitusikan pada persamaan (3.8),

sehingga PD berubah menjadi:

(3.11)

PD (3.11) disebut Persamaan Differensial Linier Tingkat

Satu.

1.

...(a)

Penyelesaian:

Dengan membagi semua suku oleh , maka PD (a)

menjadi:

...(b)

Misalkan 

Dengan substitusi (b) pada PD (a), maka didapat:

(58)

Persamaan (c) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu

Dari persamaan (c) diperoleh: ; Faktor Pengintegral :

Jadi PUPD:

_...(d)

Penyelesaian ruas kanan digunakan metode

penyelesaian penyelesaian Integral Parsial, maka

didapatkan:

Ambil

Atau

2.

...(e)

Penyelesaian:

Persamaan (e) dibagi dengan , maka dapat ditulis

menjadi:

Misalkan 

(59)

...(f)

Dengan substitusi (f) pada PD (e), maka didapat:

...(g)

Persamaan (g) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu

Dari persamaan (g) diperoleh: P(x) =-2 tan x dan

Q(x) = -2 sec x

Faktor Pengintegral:

Jadi PUPD:

Penyelesaian ruas kanan, maka didapatkan:

Ambil

(60)

Soal-soal

1.

2.

3.

4.

5.

6.

(61)

BAB IV

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

TINGKAT SATU DERAJAT DUA

4.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT

DUA

Bentuk Umum:

(4.1)

di mana:

Penyelesaian PD (4.1) diselesaikan dengan 3 (tiga) cara:

4.1.1 Penyelesaian ke – p

Pandanglah persamaan PD (4.1) merupakan persamaan

kuadrat dalam p dan dapat difaktorkan secara linier sehingga

PD-(4.1) dapat ditulis menjadi :

(p – F1)(p – F2) = 0

di mana dan adalah fungsi dari dan .

Jadi penyelesaiannya adalah: dan atau

dan

(62)

yaitu dua buah PD tingkat satu dan derajat satu yang

penyelesaiannya berbentuk:

dan (4.2) Penyelesaian Umum dari PD (4.1) diperoleh dengan

menggandakan penyelesaian dari PD (4.2) yaitu:

PUPD:

Selesaikan Persamaan Differensial berikut:

1. ...(a) Penyelesaian:

Bagilah ruas kiri persamaan (a) dengan sehingga

diperoleh:

...(b)

Persamaan (b) diuraikan dalam p:

(i)

Atau

(63)

(ii)

Atau

Jadi PUPD adalah: :

2.

.

2 .

3

0

2 2

_

_

x

y

p

y

p

x

Penyelesaian:

Bagilah ruas kiri dengan sehingga diperoleh:

Kita uraikan menjadi:

(i)



(64)

(ii)



Jadi PUPD adalah: :

4.1.2 Penyelesaian ke – y

Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:

(4.3) Persamaan (4.3) diturunkan ke x terdapat, maka didapat:

(4.4)

Jadi bentuk (4.4) dinyatakan sebagai

yang

merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan

Derajat Satu.

Andaikan penyelesaian PD

adalah

(65)

Eliminasi dari (4.4) dan (4.5) didapat penyelesaian umum PD,

dan jika eliminasi tidak mungkin maka x dan y masing-masing

dinyatakan sebagai fungsi dari p. Perhatikan bahwa di samping

keadaan hal ini mungkin masih didapat penyelesaian singular.

Carilah penyelesaian PD berikut:

1. ... (a) Penyelesaian :

PD (a) diturunkan terhadap , terdapat:

...(b)

Persamaan (b) dipenuhi jika:

atau ...(c)

Dari

terdapat ... (d)

Eliminasi dari (a) dan (d) didapat penyelesaian

umum:

Kemudian eliminasi dari (a) dan (c):

(66)

Maka didapat penyelesaian singular:

2. ...(i) Penyelesaian :

Persamaan (i) diturunkan terhadap didapat:

...(ii)

Persamaan (ii) merupakan Persamaan Differensial

Linier Tingkat Satu.

Faktor pengintegral v dp e2p 1 2 1

(67)

Maka PUPD adalah:

Ruas kanan diselesaikan dengan bentuk integral

parsial, maka diperoleh:

dan

4.1.3 Penyelesaian ke – x

Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:

(4.6) Selanjutnya persamaan (4.6) diturunkan terhadap diperoleh:

)

,

(

.

1 dy

dp

p

y

F

y

p

f

y

f

p

dy

dx

_

_

_

(68)

Jadi bentuk (4.7) dinyatakan sebagai

yang

merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan

Derajat Satu.

Andaikan penyelesaian PD

adalah:

 (4.8) Eliminasi dari (4.6) dan (4.8) didapat penyelesaian umum PD,

dan jika eliminasi tidak mungkin maka dan masing-masing

dinyatakan sebagai fungsi dari parameter .

Perhatikan bahwa di samping keadaan ini mungkin masih

didapat penyelesaian singular.

Selesaikan – Penyelesaian :

PD dibawa ke bentuk ...(iii)

Persamaan (iii) diturunkan terhadap terdapat:

Ingat:

dan

(69)

Atau

...(iv)

Persamaan (iv) dapat dipenuhi jika:

Dari



Atau 

 ...(v) Eliminasi dari (iii) dan (v) didapat penyelesaian umum

Kemudian eliminasi dari (iii) dan



(70)

Maka didapat penyelesaian umum persamaan

differensial singular adalah:

Soas-Soal

Selesaikan PD berikut :

1.

2. 3. 4. 5. 6.

4.2 PD. CLAIRAUT dan PD. d’ ALEMBERT

4.2.1 PD. Clairaut

Bentuk Umum:

(4.9) di mana:

Persamaan (4.9) diturunkan terhadap diperoleh:

(71)

atau

(4.10)

Persamaan (4.10) dipenuhi jika

atau

Dari



Terdapat: (4.11)

Eliminasi dari (4.9) dan (4.11) didapat penyelesaian

umum:

(4.12) Persamaan (4.12) merupakan himpunan garis-garis kurus.

Selanjutnya eliminasi dari: dan , maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh

Selesaikan Penyelesaian :

... (i) Diturunkan terhadap diproleh:

(72)

...(ii)

Persamaan (ii) dipenuhi jika

Dari dari

 ... (a)

atau  ... (b) Eliminasi dari (a) pada persamaan (i) terdapat

Penyelesaian Umum:

Selanjutnya eliminasi dari (b) dan (i) terdapat:

Penyelesaian Umum Singular:

4.2.2 PD. d’ Alembert

Bentuk Umum:

(4.13) Persamaan (4.13) diturunkan terhadap diperoleh:

(73)

atau

(4.15)

Persamaan (4.15) merupakan Persamaan Differensial Linier

Tingkat Satu.

Andaikan penyelesaian umum (4.15) adalah:

(4.16) Eliminasi p dari (4.13) dan (4.16) didapat Penyelesaian Umum

PD semula. Selain PUPD yang diperoleh ini mungkin juga masih

terdapat penyelesaian singilar.

Contoh

Selesaikan Penyelesaian:

Persamaan dapat ditulis sebagai:

...(a)

Persamaan (a) diturunkan terhadap ke , diperoleh:

(74)

...(b)

Persamaan (b) dipenuhi jika:

Dari

(*)

Untuk: 

 (i)

(75)

Dari (i) dan (ii) didapat:

Jadi:

(**) Hasi (*) + (**) diperoleh:

...(c) Dari (c) didapat:

Eliminasi dari (a) dan (c) didapat penyelesaian umum:

Lakukan perkalian silang, kemudian kedua ruas

kuadratkan, maka diperoleh:



PUPD:

(76)

Didapat penyelesaian singular:

yang memenuhi PD dan bukan merupakan penyelesaian

khusus.

4.3 PENYELESAIAN SINGULAR

Andaikan Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

(4.17) di mana:

adalah: (4.18)

maka selubung (envelope) dari berkas garis lengkung (4.18) juga

merupakan penyelesaian dari (4.17) dan ini merupakan

penyelesaian singular.

Selubung dari didapat dengan eliminasi dari:

1. dan

atau

2. Eliminasi dari PD: dan

Perhatikan bahwa penyelesaian singular harus memenuhi

(77)

Contoh

1. Carilah penyelesaian singular dari

Penyelesaian :

Ini adalah PD Clairaut dengan penyelesaian umum

Jadi – –

dan



Eliminasi k dari kedua persamaan tersebut didapat

penyelesaian singular:

2. Carilah penyelesaian singular dari

Penyelesaian:

– –



(78)

Ternyata hasil ini tidak memenuhi PD. Jadi penyelesaian

singular tidak ada.

Soal-Soal

Carilah penyelesaian umum dari:

1. – – 2. – 3. –

Carilah penyelesaian singular dari:

1. 3.

(79)

BAB V

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

TINGKAT DUA

5.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA

Suatu persamaan differensial tingkat dua disebut linier,

apabila dapat dituliskan dalam bentuk:

Bentuk Umum:

konstan. Perkataan linier di sini diartikan karena persamaan (5.1)

hanya mengandung faktor linier/berpangkat satu dari

Jika P0 , P1 , P2 semuanya bilangan konstan, maka PD

(5.1) disebut PD Linier Tingkat Dua dengan koefisien konstan.

(80)

disebut Persamaan Differensial Tereduksi.

Penyelesaian:

Jika penyelesaian dari (5.2) dan konstan sembarang maka juga penyelesaian.

Jika penyelesaian-penyelesaian dari (5.2) maka:

juga penyelesaian.

Himpunan penyelesaian- penyelesaian: Dari PD (5.2) disebut tak bebas linier jika terdapat konstanta

dan yang keduanya tidak nol, sehingga:

Apabila tidak demikian himpunan penyelesaian disebut tidak

linier.

Contoh

1. Fungsi dan adalah tak bebas linier, sebab terdapat konstanta dan yang keduanya tidak

nol sehingga:

, Misalnya:

2. Fungsi dan adalah bebas linier sebab:

(81)

Syarat perlu dan cukup agar bebas linier adalah:

Jika adalah dua penyelesaian bebas linier dari PD (5.2) maka Penyelesaian Umum Tereduksi adalah :

(5.3) di mana dan adalah konstanta sembarang.

Persamaan lengkap PD (5.1) mempunyai penyelesaian umum

di mana:

adalah Penyelesaian Umum Persamaan Differensial

Tereduksi

adalah Penyelesaian Khusus dari Persamaan

Differensial Lengkap.

5.2 PD Linier Tereduksi Tingkat Dua dengan Koefisien

Konstan

Perhatikan suatu persamaan differensial

Bentuk Umum:

0

2 1

2 2

0



P

y



dx

dy

P

dx

y

d

(82)

di mana P0  0 , P1 , P2 adalah bilangan konstan riil. Persamaan

(5.4) disebut persamaan differensial tingkat (ordo) dua dengan

koefisien konstan.

Substitusi (m = konstan)

pada PD (5.4) diperoleh:

(5.5) dan disebut persamaan karakteristik dari PD.

PD (5.5) dapat diuraikan menjadi :

(5.6) sehingga akar-akar karakteristiknya adalah yang

mana dapat dibedakan menjadi 3 keadaan sebagai berikut:

1. Jika dan keduanya nyata (riil), maka Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

(5.6)

2. Jika dan keduanya nyata (riil), maka Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

(83)

3. Jika (kompleks sekawan) maka Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

_(5.8)

Carilah Penyelesaian Umum dari persamaan Differensial berikut:

1. Penyelesaian:

Persamaan karakteristik:

Akar-akar karakteristik:

Jadi PUPD Tereduksi:

2. Penyelesaian :

(84)

3. Penyelesaian :

4. Penyelesaian:

2 2 4 2

20 16 4

12

i

m     

5. Penyelesaian:

(85)

2 3 1 2

4 1 1

12

i m       

6.

di mana untuk dan

Penyelesaian:

Untuk dan

,

Maka didapat:

(86)

..(ii) Eliminasi antara (i) dan (ii), diperoleh:

Jadi Penyelesaian PD yang memenuhi syarat batas di

atas adalah:

Soal-soal

1.

2.

3.

4.

5.

6.

5.3 Persamaan Differensial Tingkat Dua Lengkap

Bentuk Umum:

_(5.9)

(87)

5.3.1 CARA OPERATOR D

Jika untuk dan ditulis

dan

atau di mana

. Jadi di sini adalah suatu

operator yang bekerja pada maka bentuk persamaan

differensial atau persamaan (5.9) berubah menjadi:

atau (5.10) Jika , maka PUPD persamaan (5.10) memiliki Penyelesaian Lengkap (PL) adalah: dan Penyelesaian Tereduksi (PR) adalah:

Andaikan dapat diuraikan menjadi

, di mana dan adalah akar-akar karakteristik.

Untuk menentukan penyelesaian PD (5.10) harus

dipahami beberapa sifat berikut:

a. Sifat-sifat

1. 2.

(88)

Catatan:

Jika dan yang dimaksudkan dengan , maka:

4. 5. 6. 7.

b. Mencari Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap

Cara Operator

Dengan notasi

dimaksudkan bahwa:

Ini berarti PD tingkat satu yang mempunyai penyelesaian

umum :

Maka Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap (PPPL)

dari adalah berbentuk:

Untuk persamaan Differensial maka bentuk simbolis PPPL adalah:

(89)

dengan beberapa kemungkinan berikut:

1. Jika , maka penyelesaian partikulir:

3. Jika maka penyelesaian partikulir:

diperderetkan menurut deret pangkat

dalam sampai dengan suku ke saja.

4. Jika , maka adalah bagian riil dari:

ditulis dengan:

Kita ingat Rumus Euler: 5. Jika maka adalah bagian

imaginer dari:

(90)

Catatan:

1.

2.

3.

4.

5.3.2 Cara Variasi Parameter

P.L. : P.R. :

Jika PUPR : , maka PPPL : di mana dan dapat dicari dari:

(91)

Selesaikan PD berikut ini:

1. Penyelesaian:

Persamaan tereduksi (PR):

PUPR :

_{; ternyata} _maka

penyelesaian partikulir PPPL adalah:

Jadi PUPL:

2. Penyelesaian:

(92)

PUPR :

; ternyata maka penyelesaian partikulir PPPL adalah:

; ingat:

Penyelesaian faktor integral

Jadi PUPL:

3. Penyelesaian :

–

(93)

PUPR :

fungsi polinom berderajat dua, maka penyelesaian partikulir PPPL adalah :

Untuk

 diperderetkan menurut

deret pangkat sampai derajat dua sesuai pangkat

polinom, sehingga didapat:

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor

Integral:

Jadi PUPL:

(94)

4. Penyelesaian:

Ingat dari bentuk: , maka PUPR:

_{, penyelesaian partikulir:}

PPPL :

Jadi PUPL:

5. Penyelesaian:

(95)

Akar-akar tereduksi:

PUPR:

, maka penyelesaian partikulir:

Diselesaikan dengan menggunakan faktor integral:

;

; selanjutnya

(Penyelesaian berikutnya dengan integral parsial)

(96)

Selanjutnya dapat disederhanakan:

Kumpulan Soal Penyelesaian

1. Penyelesaian:

– –

Akar-akar karakteristik : PUPR :

(97)

;

Jadi PUPL:

2. Penyelesaian:

Akar-akar karakteristik : PUPR:

Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi

;

(98)

Jadi PUPL:

3. Penyelesaian:

Akar-akar karakteristik : PUPR:

_{, maka penyelesaian partikulir:}

Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi

;

(99)

Jadi PUPL:

4. Penyelesaian:

_{, maka penyelesaian partikulir:}

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor

Integral:

(100)

PUPD:

5. Penyelesaian:

=

PUPD:

(101)

Cara lain:

6. Penyelesaian:

PUPD:

Cara lain:

(102)

(103)

dv = e – 2x  v = - ½ e – 2x



e x.cos x dx cosx.e2x ₂1



e2x .sinx dx

2 1 2

Misalkan : u = sin x  du = cos x dv = e – 2x 

PUPD:

8. Penyelesaian:

(104)





Maka Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

k

PD (1) merupakan persamaan differensial yang dapat

dirubah ke PD homogen.

Di mana , maka

(105)

Substitusi pada persamaan (1) diperoleh:

1/7 u (2du + dv) + 1/7 v (3dv – du) = 0

(2u – v) du + (u + 3v) dv = 0 ...(2)

Persamaan (2) adalah PD homogen

(106)

10. ...(1) Penyelesaian:

PD dengan perubah yang dapat dipisahkan, maka PD (1)

(107)

6 Kemudian ditentukan nilai A dan B

(108)

Jadi PUPD :

6 8

7

( 2) ln

( 2)

x x x

 _ 

 

 _ 

 

  1

ln ln

2 y y

e

k e

 



6 4

8 1 7 4

( 2)

; ( 2) ( 2)

y y

x x e

k k k

x e

 _ _

(109)

Soal-Soal Tambahan

1.

Ans.

Atau:

2.

Ans.

3.

Ans. PUPD:

4. Ans. PUPD:

5. Ans. PUPD:

Ans. PUPD :

(110)

6. Ans. PUPD:

7.

Ans. PUPL:

8.

Ans. PUPL:

9.

Ans. PUPL:

10.

11.

12. 13.

14.

15.

16.

17.

(111)

20.

21. 22.

23.

24.

25.

26. 27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35. 36. 37.

(112)

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

(113)

57.

58.

(114)

D A F T A R P U S T A K A

George B. Thomas, JR, Calculus, Massashusetts Institute of Thechnology, Fourth Eddition 1976

N. Piskunov, Differential and Integral Calculus, Fourth Eddition 1978

Richard Bronson & Gambriel, Persamaan Differensial, Edisi Ketiga, Penerbit Erlangga, 2007

Richard Courant & Fritz John, Introduction to Calculus & Analysis, New York University, Volume 4, 1980

(115)

Faigiziduhu Bu'ulölö lahir di Lölöwa'u Nias pada 18 Desember 1953. Lulus SR 1965 di Lölöwa'u, lulus SMEP Negeri 1969 di Gunungsitoli, lulus SMA BNKP Swasta Bersubsidi 1972 di Gunungsitoli, lulus S1 Matematika 1979 FMIPA USU Medan, lulus S2 Matematika Sekolah Pascasarjana USU 2005 dan lulus S3 Program Doktor Matematika FMIPA USU 2014.

Sejak tahun 1980 telah menjadi dosen di FMIPA USU sampai sekarang dengan Jabatan Lektor Kepala dan Pangkat Akademik Pembina Utama Muda/IV c.

Tahun 1983 sampai 1984 mengikuti pendidikan Penelitian Operasional di Universite de Lille di Perancis. Mata kuliah yang di ampu antara lain: Program Linier, Pengantar Teori Peluang, Statistika Dasar, Persamaan Differensial Biasa dan Aktuaria.