MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTROMEKANIKA

MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTROMEKANIKA

PENGANTAR

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pembuatan model matematika dari sistem elektromekanika baik dalam bentuk persamaan differensial, fungsi alih maupun diagram blok. Sistem elektromekanika merupakan gabungan dari sistem elektrik dan sistem mekanika. Sistem elektromekanika yang akan dibahas meliputi elektrik plunger dan motor DC

MODEL MATEMATIKA SISTEM ELEKTROMEKANIKA 1. Elektrik Plunger

Elektrik plunger merupakan suatu aktuator yang mentransfomasikan sinyal listrik (tegangan) menjadi energi makanik. Elektrik plunger terdiri dari sebatang inti besi yang salah satu ujungnya dihubungkan dengan pegas dan diikatkan pada dinding. Inti besi terletak di dalam tabung yang dililiti kumparan yang dialiri arus listrik. Arus listrik yang mengalir melalui kumparan akan menimbulkan medan magnetik dalam plunger sehingga menimbulkan gaya pada massa inti besi yang menyebabkan massa inti besi bergera

Gambar fisik dari elektrik plunger adalah sebagai berikut :

Tegangan pada kumparan :

( ) ( )

^{R i}

( )

^t

dt t i L d t

e = _p + _p (1)

i e

K ^X

Gambar (1). Elektrik Plunger

Dimana

e(t) : tegangan kumparan i(t) : arus kumparan Lp : induktansi kumparan Rp : resistansi kumparan

Transformasi Laplace dari persamaan (1) adalah

( )

^{s L sI}

( )

^{s R I}

( )

^s

E = _p + _p

( ) ( )

s L_p s R_p E

s I

= + .

1 (2)

Diagram blok dari persamaan (2) :

Medan magnet dalam Plunger :

( )

p p o N it B 2π.l

. .

= μ (3)

dimana Np adalah jumlah kumparan dan lp adalah panjang kumparan

Gaya pada massa (inti besi) :

p p B m K

F = . . (4)

dimana Kp adalah konstanta gaya plunger terhadap medan dan mp adalah massa plunger Substitusi persamaan (3) ke persamaan (4) :

( )

t K i

( )

t i

N m

F K _p

p p o p

p .

. π 2

. . μ .

. =

= l

Dalam hal ini Kp adalah konstanta gaya plunger terhadap arus.

p

ps R

L 1 +

I(s) E(s)

Dalam praktek Kp ditentukan berdasarkan percobaan sebagai berikut :

A

X K

pegas yang telah diketahui K nya

Tegangan sumber e(t) diatur besarnya, arus i(t) diukur dan gaya diperhitungkan berdasarkan besarnya simpangan X (F = K. X).

Dari beberapa pengukuran dibuat kurva hubungan F = f(i)

i Kp F

Δ

≈ Δ

Harga Kp dapat dianalisa dengan metode statistik yaitu dengan Regresi Linier

Sehingga

F = Kp . i(t) (5)

Transformasi Laplacenya : F(s) = Kp . I(s) Diagram blok dari persamaan (5) adalah

F

F1 2 3 F F

I1 I2 I3

Kp = rata-rata F

F = a + b.i 0 Kp

Kp

I(s) F(s)

Gaya yang bekerja pada sistem :

2

. 2

dt x m d Fdamper Fpegas

F − − = _p

dt Kx B dx dt

x m d

F = _p. ₂ + _p. +

2

(6)

Dimana,

mp = massa plunger

Bp = konstanta peredam viskos x = perpindahan punger

Transformasi Laplace dari persamaan (6) adalah

( )

s

(

m s B s K

)

X

( )

s F = _p ²+ _p +

) s ( KF s . B s . m ) 1 s ( X

p 2

p + +

= (7)

Diagram blok dari persamaan (7) adalah

Blok diagram blok total system diperoleh dengan menggabungkan diagram blok dari persamaan (2), (5), dan (7) berdasarkan aliran sinyalnya yaitu sebagai berikut :

K s B s

m_p. + _p. + 1

2

F(s) X(s)

p ps R

L +

1 Kp

K s B s

m_p. + _p. + 1

2

E(s) X(s)

Gambar (2). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (2),(5), dan (7)

Disederhanakan menjadi :

Sehingga fungsi alih dari elektrik plunger adalah :

(

^.

) (

^{. . )}

)

) (

) (

2 B s K

s m R s L

K s

E s X

p p

p p

p

+ +

= +

( ) ( )

L m s L B s L K s K m s R B s R K

K s

E s X

p p

p p

p p

p p p

p

p

. .

. .

. .

. .

. .

. ³+ ² + + ² + +

=

Dalam bentuk persamaan differensial, model matematik Plunger dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ( )

{

^Lp^.mp^.s3 + ^Lp^.Bp +^Rp^.mp ^s2 + ^Lp^.K +^Rp^.Bp ^s+^Rp^.K

}

^X(s)=^Kp^.E(s)

( )

_{( . . )}

( )

_{( . . )}

( )

_{. . ( ) . ( )}

.

2 2 3

3

t e K t x K dt R

t B dx R K dt L

t x m d R B L dt

t x m d

L_{p p} + _{p p} + _{p p} + _p + _{p p} + _p = _p

karena :

( )

p

( ) (

p p

)

p R i t L R

dt t

L di << <<

( ) ( )

dt t B dx dt

t x

m_p d² ₂ << _p

( )

^t

x K dt

x

m_p d²₂ <<

Dalam bentuk penyederhanaan Plunger dinyatakan pula sebagai :

) . ( )

( ) (

K s B R

K x

E s X

p p

p

= +

(

^L_p^{s + R}_p

)(

^mK_p^{p.s2 +B}_p^.s+K

)

E(s) X(s)

Gambar (3). Penyederhanaan diagram blok gambar (2)

i R

+_ +

ea a La a _eggl

2. Motor DC dengan penguatan medan konstan

Dimana

L_a = induktansi kumparan jangkar R_a = resistansi kumparan jangkar i_a = arus kumparan jangkar if = arus medan

θ = perpindahan sudut dari poros motor ω = kecepatan sudut dari poros motor ea = tegangan kumparan jangkar eggl = tegangan gaya gerak listrik balik

J = momen inersia ekivalen dari motor dan beban pada poros motor

B = koefisien geseken viskos ekivalen dari motor dan beban pada poros motor

Rangkaian kumparan jangkar : La

Ra

i_a

e_a ^T

^{θ , ω} J

i_f

B

Gambar (4). Diagram skematik motor DC penguat medan konstan

Gambar (5). Rangkaian kumparan jangkar

Persamaan differensial pada rangkaian kumparan jangkar adalah :

( ) ( ) ( )

^Rai

( )

^t

dt t La di t e t

e_a − _ggl = . ^a + . _a (8)

Transformasi laplacenya dari persamaan (8) adalah

(

.

)

( )

) ( )

(s E s Las Ra I s

E_a − _ggl = +

(

^{( ) ( )}

)

. ) 1

( E s E s

Ra s s La

I _a − _ggl

= + (9)

Diagram blok dari persamaan (9) adalah

Torsi pada motor :

Torsi T yang dihasilkan motor adalah berbanding lurus dengan hasil kali dari arus kumparan jangkar dan medan magnetik yang dihasilkan oleh penguat medan, yang berbanding lurus dengan arus medan atau

( )

K i

( )

t lf

t i

B= ^f n^{f f} = _{B f} .

π 2

. . μ

Dimana K_B adalah konstanta medan magnetik.

Sehingga torsi T dapat ditulis sabagai berikut :

( ) ( )

t i t l r n K i

( ) ( )

t i t i

K

T = _{B f a a a a} = _{TM f a}

K_TM adalah konstanta torsi motor.

Karena arus medan if konstan maka

( )

t i K

T = _{TM a} (10)

Transformasi Laplace dari persamaan (10) adalah

( )

s K I

( )

s

T = _{TM a} (11)

Diagram blok dari persamaan (11) adalah E_a(s)

E_ggl(s)

I(s) + - La.s+Ra

1

Ia(s) K T(s)

Torsi yang dihasilkan motor bekerja terhadap inersia dan gesekan viskos, sehingga

( ) ( )

dt t Bd dt

t J d

T θ θ

2

2 +

= (12)

Atau

( )

B

( )

t dt

t J d

T = ω + ω (13)

Transformasi Laplace dari persamaan (12) adalah

( )

s Js

( )

s Bs

( )

s

T = ²Θ + Θ

( )

^T

( )

^s

Bs Js

s = +

Θ ₂1

(14)

Diagram blok dari persamaan (14) adalah

Transformasi Laplace dari persamaan (13) adalah

( )

^{s Js}

( )

^{s B}

( )

^s

T = Ω + Ω

( )

T

( )

s

B s Js

= +

Ω 1

(15)

Diagram blok dari persamaan (15) adalah

Besarnya tegangan gaya gerak listrik adalah berbanding lurus dengan hasil kali dari arus medan dan kecepatan sudut motor, yaitu

( ) ( ) ( )

dt t t d i K t

e_{ggl f} θ

.

= .

dimana K adalah kostanta

Karena arus medan konstan maka Bs Js²+

T(s) 1 Θ

( )

s

B Js+

T(s) 1 ^Ω

( )

^s

( ) ( )

dt t K d t

e_{ggl g} θ

= . (16)

atau

( )

t K

( )

t

e_ggl = _g.ω (17)

dimana Kg adalah konstanta tegangan gaya gerak listrik balik Transformasi Laplace dari persamaan (16) adalah

( )

s K s

( )

s

E_ggl = _g. .Θ (18)

Diagram blok dari persamaan (18) adalah

Transformasi Laplace dari persamaan (17) adalah

( )

s K

( )

s

E_ggl = _g.Ω (19)

Diagram blok dari persamaan (19) adalah

Untuk keperluan pengaturan posisi motor DC maka diagram blok total sistem diperoleh dengan menggabungkan diagram blok dari persamaan (9), (11), (14) dan (18) berdasarkan aliran sinyalnya, seperti berikut :

Fungsi alih loop tertutup Θ(s) / Ea(s) dapat dihitung sebagai berikut :

( )

s E_ggl

( )

s

Θ Kg.s

( )

s E_ggl

( )

s

Ω Kg

Ea(s)

Eggl(s) + - La.s Ra

1

+ KTM

Bs Js

1

2+

Kg.s

Ia(s) T(s) Θ

( )

s

Gambar (7). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (9), (11), (14) dan (18)

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{La sK Ra}

)

^K

(

^{Js s Bs}

)

Bs Js Ra s La

K

s E

s

g TM

TM

a

+ + +

+

= + Θ

2 2

.

. 1 .

.

(

^{La s Ra}

) (

^{Js K Bs}

) (

^KTM ^Kg ^s

)

TM

.

. + ²+ + _.

=

[ ( )( )

TM g

]

TM

K K B Js Ra s La s

K

.

. + + +

=

Sehingga diagram blok pada gambar (7) dapat disederhanakan menjadi

Untuk keperluan pengaturan kecepatan putar motor DC maka Diagram blok total sistem diperoleh dengan menggabungkan diagram blok dari persamaan (9), (11), (14) dan (18) berdasarkan aliran sinyalnya seperti berikut :

Fungsi alih loop tertutup Ω(s) / Ea(s) dapat dihitung sebagai berikut :

( ) ( ) ( )( )

(

^{La s Ra}

)(

^{Js B}

)

K K

B Js Ra s La

K

s E

s

g TM

TM

a

+ + +

+

= + Ω

. 1 .

.

( )( )

[

TM g

]

TM

K K B Js Ra s La s

K

.

. + + +

Ea(s) Θ

( )

s

Gambar (8). Penyederhanaan diagram blok gambar (7)

Ea(s)

Eggl(s) + - La.s Ra

1

+ KTM

B Js

1 +

Kg

Ia(s) T(s) Ω

( )

s

Gambar (9). Diagram blok yang diperoleh dari persamaan (9), (11), (14) dan (18)

( )( ) (

TM g

)

TM

K K B Js Ra s La

K

. + + + .

=

Sehingga diagram blok pada gambar (9) dapat disederhanakan menjadi

LATIHAN

Dapatkan model matematika dalam bentuk diagram blok dari Motor DC dengan penguatan medan konstan yang dihubungkan pada beban melalui roda gigi berikut ini :

Dimana,

La = induktansi kumparan jangkar Ra = resistansi kumparan jangkar ia = arus kumparan jangkar if = arus medan

θm = perpindahan sudut dari poros motor θb = perpindahan sudut dari poros beban ωm = kecepatan sudut dari poros motor ωb = kecepatan sudut dari poros beban ea = tegangan kumparan jangkar

( )( ) (

TM. g

)

TM

K K B Js Ra s . La

K + + +

Ea(s) Ω

( )

s

Gambar (10). Penyederhanaan diagram blok gambar (9)

eggl = tegangan gaya gerak listrik balik J = momen inersia motor pada poros motor Jb = momen inersia beban pada poros beban

Bm = koefisien geseken viskos motor pada poros motor Bb = koefisien geseken viskos beban pada poros beban N1 = jumlah gigi pada roda gigi 1

N2 = jumlah gigi pada roda gigi 2