Pengenalan Persamaan Differensial Biasa

(1)

BAB I

DIFERENSIASI NUMERIK A. TUJUAN

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial sederhana dengan menggunakan persamaaan numerik.

B. DASAR TEORI

Persamaan differensial biasa adalah suatau persamaan yang hanya melibatkan satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi tak tentu y terhadap x dan mungkin fungsi y sendiri, fungsi tertentu dari x, dan konstan-konstan. Jika sebuah persamaan hanya mengandung turunan biasa dari satu atau beberapa variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas, maka persamaan sifferensial yang bersangkutan dinamakan persamaan differensial biasa (Ordinary Differential Equations, ODE).

Contoh persamaan differensial : dy

dx+10y=℮^x

d²y d x²−dy

dx+6y=0

Masalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau

hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel.

Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan.

Sebenarnya, turunan adalah limit dari hasil bagi. dan dalam hal ini ada proses pengurangan dua be saran bernilai besar dan membagi

dengan besaran kecil. Lebih lanjut jika fungsi f dihampiri menggunakan suatu polinom p, selisih dalam nilai-nilai fungsi boleh jadi kecil tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bahwa diferens iasi numerik adalah runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak dipengaruhi oleh

(2)

ketidaktelitian nilai-nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah suatu proses yang mulus.

Persamaan differensial merupakan model matematis yang paling sering muncul dalam bidang keteknikan maupun saintifik

Salah satu penyelesaiannya dengan metode beda hingga (finite difference). Hubungan yang erat antara diferensiasi dan integrasi bisa ditinjau pada suatu fungsi y(t) yang merupakan posisi benda sebagai fungsi waktu, bentuk diferensialnya tertuju pada kecepatan,

Sebaliknya, dari konsep kecepatan sebagai fungsi waktu, integrasinya akan menghasilkan suatu besaran posisi,

Berikut ini akan dibahas beberapa teknik atau metode pendekatan yang pada bab selanjutnya menjadi penting dan bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan- persamaan diferensial secara komputasi numerik.

a. Definisi turunan (derivatif)

Jika h = x – x0 = ∆x maka pendekatan turunan di atas adalah

Diketahui suatu fungsi y = f (x), ingin dicari pada dy

dx pada x= ^x0

Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu : 1. Forward Difference (Beda Maju)

Dengan cara pertama, mula-mula diambil titik hampiran pertama, misal x0. Dengan selang sebesar h, diambil titik kedua yang berada di depan titik pertama, misal x1. Sehingga x1 = x0 + h. Dari kedua titik tersebut, dapat dicari f ‘ (x) dengan rumus yang analogi dengan rumus persamaan garis. Bila

(3)

menggunakan MATLAB, atau software sejenis, dapat digunakan fungsi sebagai berikut:

function rsmj = selmaju(f,x,h) rsmj =

f(x+h)−f(x)

¿¿

¿

Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan :

∆ y_i=y_i₊₁−y₁ atau ∆ y(x)=y(x+h)−y(x)

Beda maju kedua dari i atau x didefinikan juga :

∆²y1=y1+2−2yi+1+yi atau ∆²y(x)=y(x+2h)−2y(x+h)+y(x)

Sehingga penyelesaian bisa dituliskan :

2. Backward Difference (Beda Mundur)

Metode ini merupakan kebalikan dari metode sebelumnya. Pada metode ini, titik hampiran kedua yang diambil adalah titik di belakang hampiran pertama. Jika mula-mula diambil titik x0, maka titik kedua adalah x0 – h. Sehingga rumus untuk mencari turunan dari f(x) adalah sebagai berikut:

function rsmd = selmund(f,x,h) rsmd =

f(x+h)−f(x−h)

¿¿

¿

Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan juga :

∇y_i=y_i−y_i−1 atau ∇y(x)=y(x)−y(x−h)

Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :

∇²y_i=y_i−2y_i−1+y_i−2 atau ∇²y(x)=y(x)−2y(x−h)+y(x−2h)

(4)

Sehingga penyelesaiannya dapat dituliskan :

atau

3. Central Difference (Beda Pusat)

Metode ini merupakan gabungan dari kedua metode sebelumnya.

Dengan metode selisih tengah, titik hampiran yang diambil adalah titik sebelum x0 dan sesudah x0. Sehingga jarak antar kedua titik menjadi h + h = 2h.

Dengan semakin besar selang di antar dua titi, yaitu h, maka turunan dari suatu fungsi dapat dihampiri dengan lebih baik. Dilihat dari besarnya galat, metode yang terakhir ini memiliki galat yang paling kecil. Untuk fungsi di dalam MATLABnya adalah sebagai berikut:

function rsp = selpus(f,x,h) rsp = (f(x+h)−f(x−h))

2×h

Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan juga:

Atau

Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :

(5)

BAB II

C. LATIHAN SOAL

LATIHAN DI LAB NO 1

X0 2

ε 0,005

X0 X₀+ ε X₀ ε‐ f(X₀) F(x₀+ε) f(X₀ ε)‐ 2,0000 2,0050 1,9950 15,0000 15,1053 14,8953

FORWARD 21,0600 BACKWARD 20,9400 CENTRAL 21,0000

X₀ 8

Ε 0,0005

X₀ 8

ε 0,005

X₀ X₀₊ε X₀ ε‐ f(X₀) F(x₀+ε) f(X₀ ε)‐ 8,0000 8,0050 7,9950 96,9949 97,0825 96,9075

FORWARD 17,5035

BACKWARD 17,4983 y=1

3

x

²⁻⁶

x

^1/3⁺^{0 .5}

(6)

X₀ X₀₊ε X₀ ε‐ f(X₀) F(x₀+ε) f(X₀ ε)‐ 8,0000 8,0005 7,9995 9,8333 9,8358 9,8309 FORWARD 4,8335

BACKWARD 4,8332 CENTRAL 4,8333

LATIHAN SOAL NO 4

X₀ 7

Ε 0,002

X₀ X₀₊ε X₀ ε‐ f(X₀) F(x₀+ε) f(X₀ ε)‐

7,0000 7,0020 6,9980 63,3399 63,3683 63,3115

FORWARD 14,2072 BACKWARD 14,2048 CENTRAL 14,2060

D. TUGAS

y=5 log

x

²⁺²

x

^1,7⁻⁴

y=2

y

²^{−5 log}

x

²⁼⁵²⁻⁵

y=

√

⁵

^x

²⁻⁵^{+5 log}²

^x

²

y²=5

x

²⁻⁵^{+5 log}

x

²

2

(7)

X₀ 8

ε 0,0005

X₀ X₀₊ε X₀ ε‐ f(X₀) F(x₀+ε) f(X₀ ε)‐

8,0000 8,0005 7,9995 12,7285

12,729 3

12,727 7

FORWARD 1,5819 BACKWARD 1,5819 CENTRAL 1,5819

BAB III

E. KESIMPULAN DAN SARAN 1. KESIMPULAN

(8)

Persamaan differensial merupakan model matematis yang paling sering muncul dalam bidang keteknikan maupun saintifik. Dalam menyelesaikan bentuk differensial

sederhana dengan menggunakan penyelesaian numerik dapat menggunakan tiga metode yaitu :

1. Cara Forward adalah

f(x+h)−f(x)

¿

¿¿

2. Cara Backward adalah

f(x+h)−f(x−h)

¿

¿¿

3. Cara Central adalah (f(x+h)−f(x−h))

2×h b. Kuantitatif

Dari bentuk persamaan diubah dulu kedalam bentuk y persamaan. Sehingga bentuk persamaannya berubah menjadi

Dari soal diatas diperoleh jawaban.

Untuk X₀₊ε = 8,0005 X₀ ε = 7,9995‐ f(X₀)= 12,7285 F(x₀+ε) = 12,7293 f(X₀ ε) = 12,7277‐

sehingga diperoleh nilai perhitungan differensiasi dengan cara forward,bachkward dan central adalah

Forward = 1,5819 Backward=1,5819 Central =1,5819 2. SARAN

Dalam perhitungan differensiasi numerik dibutuhkan ketelitian dalam membuat bahasa pemrogramannya dengan menggunakan microsoft excel.

y=2

y

²^{−5 log}

x

²⁼⁵²⁻⁵

y=

√

⁵

^x

²⁻⁵^{+5 log}²

^x

²

(9)

F. DAFTAR PUSTAKA

http://www.scilab.org

http://sayfudinblogz.blogspot.com

http://alifis.wordpress.com/tag/diferensiasi-numerik/

http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/

http://matematikaindo.wordpress.com/tag/metode-numerik/