Kalkulus : Pendahuluan Kontrak Kuliah

(1)

Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.

elsen.ronando@untag-sby.ac.id

Teknik Informatika Fakultas Teknik

Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya

(2)

1

Konsep Dasar Kalkulus

Contoh Aplikasi Sederhana

Bilangan dan Garis Bilangan Real

Koordinat, Garis, dan Pergerakannya

Fungsi

Pergerakan Grafik & Fungsi Trigonometri

2

Kontrak & Organisasi Perkuliahan

Kontrak Perkuliahan

Organisasi Perkuliahan

Evaluasi Perkuliahan

(3)

Kalkulus

→

erat kaitannya dengan ilmu matematika.

Kalkulus

→

mempelajari ilmu perubahan atau pergerakan.

Kalkulus

→

menyelesaikan permasalahan secara baik dan tepat

berdasarkan manipulasi.

(4)

Kalkulus

→

erat kaitannya dengan ilmu matematika.

Kalkulus

→

mempelajari ilmu perubahan atau pergerakan.

Kalkulus

→

menyelesaikan permasalahan secara baik dan tepat

berdasarkan manipulasi.

Kalkulus

→

analisa matematika yang banyak diterapkan dalam

seluruh bidang keilmuwan.

(5)

Contoh

Bidang robotik

→

persamaan Jacobian dan sistem dinamik digunakan

untuk analisa gerakan (kekuatan & stabilitas) dan kontrol robot.

Bidang pembelajaran mesin (

machine learning

)

→

optimalisasi

algoritma dan analisanya untuk menentukan kesesuaian hasil yang

maksimal.

(6)

Contoh

Bidang robotik

→

persamaan Jacobian dan sistem dinamik digunakan

untuk analisa gerakan (kekuatan & stabilitas) dan kontrol robot.

Bidang pembelajaran mesin (

machine learning

)

→

optimalisasi

algoritma dan analisanya untuk menentukan kesesuaian hasil yang

maksimal.

Bidang analisa jaringan

→

pengembangan dinamika jaringan secara

optimal (biasanya menggunakan konsep graf).

(7)

Beberapa aspek yang diperlukan untuk mempelajari Kalkulus :

Bilangan dan Garis Bilangan Real

Bilangan real

→

bilangan yang dinotasikan dalam bentuk desimal.

Contoh :

−

3

4

=

−

0,

750000...,

1

3

= 0,

33333...,

√

2 = 1,

4142...

Garis bilangan real

→

bilangan real disajikan secara geometri sebagai

titik dalam garis bilangan.

Contoh :

Bilangan real disimbolkan dengan

R

.

(8)

Bilangan dan Garis Bilangan Real (Lanjutan...)

Sifat Aljabar

: operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (kecuali

pembagian dengan angka 0).

Sifat Keteraturan

(Aturan Pertidaksamaan) : Jika

a

,

b

, dan

c

adalah bilangan real,

maka :

1 _a_<_b_⇒_a₊_c_<_b₊_c_. 2 _a_<_b_⇒_a₋_c_<_b₋_c_. 3 _a<bdanc >0⇒ac <bc.

4 _a<bdanc <0⇒bc <ac. (kasus khusus : a<b_{⇒ −}b<₋a))

5 _a_>₀_⇒ 1 a >0.

6 _Jika_a _dan_b _{keduanya positif atau negatif, maka}_a<b_⇒ 1 b <

1

(9)

Sifat Kelengkapan

: tidak ada jarak (teorema kalkulus tidak akan

divalidasi, jika bilangan real tidak lengkap)

→

tidak dibahas secara

detail

.

(10)

Contoh soal pertidaksamaan

Diketahui :

−x

2 <2x+ 1 Penyelesaian :

−x

3 < 2x+ 1

−x < ₆x_{+ 3 (}_×_{3 kedua sisinya)}

0 < ₇x_{+ 3 (ditambah}x _{kedua sisinya)}

−3 < 7x (dikurangi 3 kedua sisinya)

−3

7 < x (dibagi 7 kedua sisinya)

(11)

Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut :

|

x

|

=

(

x

≥

0

−

x

<

0

Sifat-sifat nilai mutlak :

| −

a

|

=

|

a

|

.

|

ab

|

=

|

a

||

b

|

.

|

b

a

|

=

|

a

|

b

|

.

(12)

Hubungan interval dan nilai mutlak

JikaDbernilai positif, maka

|a_|<D _⇔ ₋D<a<D

|a_{| ≤}D _⇔ ₋D_≤a_≤D

Contoh : Diketahui

|2x₋₃_{| ≥}₁

Penyelesaian :

2x₋₃_≥₁ _atau ₋₍₂x₋₃₎_≥₁

2x₋₃_≥₁ _atau ₋₍₂x₋₃₎_{≥ −}₁ x−3

2 ≥1 atau x− 3 2≥ −

1 2

(13)

(14)

Koordinat, Garis, dan Pergerakannya (Lanjutan...)

Garis, Pergerakan dan Jarak

Pergerakan

→

perubahan posisi koordinat.

△

x

=

x

2

−

x

1

△

y

=

y

2

−

y

1

Jarak koordinat

d

=

q

(

△

x

)

2

+ (

△

y

)

2

=

q

(

x

2

−

x

1

)

2

+ (

y

2

−

y

1

)

2

Panjang garis miring/gradien

m

=

△

y

△

x

=

y

2

−

y

1

(15)

Koordinat, Garis, dan Pergerakannya (Lanjutan...)

Panjang garis miring/gradien

m

=

y

−

y

1

x

−

x

1

(

y

−

y

1

) =

m

(

x

−

x

1

)

Bentuk umum gradien :

y

=

mx

+

b

Contoh

:

Temperatur Fahrenheit dan Celcius memiliki persamaan linearF₌mC₊b_{. Titik awal}

air adalahF= 32◦_dan_C _{= 0}◦_{dan titik didihnya adalah}_F _{= 212}◦_dan_C_{= 100}◦_, sehingga diperoleh 32 = 0m+bdan 212 = 100m+b denganb= 32 danm= 9

5 =⇒

F =9

5C+ 32 atauC= 5

(16)

Fungsi

Salah satu bagian penting dalam matematika.

Secara umum, dinotasinya sebagai berikut :

y

=

f

(

x

).

Terdiri dari daerah asal (

x

) dan daerah hasil (

f

(

x

)).

Fungsi dapat melakukan operator tambah, kurangi, perkalian, dan

pembagian.

(f +g)(x) =f(x) +g(x). (f ₋g)(x) =f(x)−g(x). (fg)(x) =f(x)g(x).

(f

g)(x) = f(x)

g(x), dimana g(x)6= 0.

(17)

Fungsi (Lanjutan...)

Fungsi Komposisi

(f ◦g)(x) =f(g(x)). (g◦f)(x) =g(f(x)). (f _◦f)(x) =f(f(x)). (g_◦g)(x) =g(g(x)). Fungsi sebagian : nilai mutlak

|x_|₌

(

x x_≥₀

(18)

Pergerakan Grafik & Fungsi Trigonometri

Pergerakan secara vertikal

y−k=f(x)→bergerak ke atask jikak >0.

y=f(x) +k →bergerak ke bawah|k|jikak <0 .

Pergerakan secara horizontal

y=f(x−h)→bergerak ke kananhjikah>0 dan ke kiri|h|jika

h<0.

Fungsi Trigonometri :

sinθ=y

r

cosθ=x

r

tanθ= y

x

cosecθ= r

y

secθ= r

x

cotanθ= x

(19)

Pergerakan Grafik & Fungsi Trigonometri (Lanjutan...)

Biasanya dinotasikan dalam rad :

π

rad = 180

◦

.

Beberapa formula fungsi trigonometri :

cos2θ+ sin2θ= 1. 1 + tan2_θ_{= sec}2_θ_. 1 + cotan2_θ_{= cosec}2_θ_.

cos(A+B) = cosAcosB−sinAsinB. sin(A+B) = sinAcosB+ cosAsinB. cos2θ= cos2_θ₋_sin2_θ_.

sin2θ= 2sinθcosθ. cos2_θ₌1 + cos2θ 2 . sin2θ=1−cos2θ

(20)

Pergerakan Grafik & Fungsi Trigonometri (Lanjutan...)

Biasanya dinotasikan dalam rad :

π

rad = 180

◦

.

Beberapa formula fungsi trigonometri :

cos2θ+ sin2θ= 1. 1 + tan2_θ_{= sec}2_θ_. 1 + cotan2_θ_{= cosec}2_θ_.

cos(A+B) = cosAcosB−sinAsinB. sin(A+B) = sinAcosB+ cosAsinB. cos2θ= cos2_θ₋_sin2_θ_.

sin2θ= 2sinθcosθ. cos2_θ₌1 + cos2θ 2 . sin2θ=1−cos2θ

2 .

(21)

Mata Kuliah : Kalkulus.

Kode/Bobot MK : 462153 / 3 SKS (1 SKS = 50 menit).

Fakultas/Prodi : Fakultas Teknik / Teknik Informatika.

Semester : 1 (Satu).

Jumlah Pertemuan : 1 - 16 minggu pertemuan.

ETS (Evaluasi Tengah Semester) : Minggu ke-8. EAS (Evaluasi Akhir Semester) : Minggu ke-16.

Dosen Pengampu : Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.

Email : elsen.ronando@untag-sby.ac.id

Web : https://sites.google.com/site/elsenronandosite/ Klik

Tata tertib:

(22)

Tata tertib (Lanjutan):

Handphone & Alat komunikasi dimatikan/silent.

Tidak diperkenankan membuka laptop/notebook, kecuali dalam mendukung perkuliahaan.

Toleransi keterlambatan mengikuti perkuliahan±15 menit. Dilarang melakukan keributan di kelas, kecuali proses diskusi perkuliahan.

Kehadiran pesertawajib80 % dalam 1 semester. Hasil evaluasi dikembalikan±2 minggu.

Pertanyaan hasil akhir evaluasi hanya dilayani melalui email, paling lambat 1 minggu setelah ujian.

(23)

Minggu ke-1 (Kalkulus : Pendahuluan & Kontrak Perkuliahan)

Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.

Tujuan: Mahasiswa/i mampu menjelaskan tentang definisi konsep kalkulus dan aplikasinya, mampu menjelaskan teori dan menyelesaikan permasalahan konsep dasar kalkulus, antara lain bilangan real dan fungsi.

Minggu ke-2 (Kalkulus : Limit & Kekontinuan)

(24)

Minggu ke-3 & ke-4 (Kalkulus: Turunan & Aplikasi)

Tujuan: Mahasiswa/i mampu menjelaskan dan menganalisa tentang konsep-konsep turunan dan aplikasinya, antara lain: hubungan turunan dan kontinuitas, menentukan turunan dari hasil operasi aljabar (fungsi umum, fungsi trigonometri, fungsi komposisi, fungsi implisit),

menentukan persamaan garis singgung dan garis normal, menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dan selang kemonontonan (selang

kecekungan dan titik belok fungsi), menentukan asymtot suatu fungsi, menggambar fungsi lanjut berdasarkan turunan fungsi, dan menghitung limit dari fungsi.

Minggu ke-5 (Kalkulus: Kuis I)

Minggu ke-6 (Kalkulus: Integral & Aplikasi)

(25)

Minggu ke-7 (Kalkulus: Fungsi Transenden)

Tujuan: Mahasiswa/i mampu menjelaskan dan menganalisa konsep fungsi transenden, antara lain : fungsi invers, turunan dan integral untuk fungsi eksponen dan logaritma natural maupun umum, invers fungsi trigonometri, turunan fungsi invers trigonometri, turunan fungsi berpangkat fungsi, dan fungsi hiperbolik.

Minggu ke-8 (Evaluasi Tengah Semester)

Minggu ke-9 & ke-10 (Kalkulus: Teknik Integral)

(26)

Minggu ke-11 (Kalkulus: Elemen Deret Tak Hingga)

Tujuan: Mahasiswa/i mampu menjelaskan dan menganalisa konsep deret elemen tak hingga, antara lain: limit deret bilangan, teorema limit barisan, deret pangkat dan aplikasinya, dan deret Taylor & Maclaurin.

Minggu ke-12 (Kalkulus: Kuis II)

Minggu ke-13 & ke-14 (Kalkulus: Fungsi Multivariabel & Turunan

Parsial)

(27)

Minggu ke-15 (Kalkulus: Multiple Integral)

Tujuan: Mahasiswa/i mampu menjelaskan dan menganalisa konsep multiple integral.

Minggu ke-16 (Evaluasi Akhir Semester)

(28)

Tugas Kelompok: Aplikasi Kalkulus dalam bidang Teknik Informatika

minimal lima bidang aplikasi (Bobot 5 %).

Deadline Pengumpulan Laporan Minggu, 18 September 2016 sebelum pukul 17.00 WIB.

Presentasi dilakukan pada Senin, 19 September 2016 . Diupload melalui SIAKAD masing-masing.

Tugas Individu: soal tentang Teknik Integral (Bobot 5 %).

Deadline Selasa, 15 Nopember 2016 sebelum pukul 12.00 WIB. Diupload melalui SIAKAD masing-masing.

(29)

Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD

masing-masing atau link berikut :

https://sites.google.com/site/elsenronandosite/teaching

Klik

.

(30)