KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA

KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA

Oleh

SINTA OKTARIANI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRAK

KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA

Oleh

SINTA OKTARIANI

Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta.

Jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.

DAFTAR ISI

4.2Syarat Cukup Bilangan Totient Sempurna... 22

4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna) Bentuk ... 24

V. KESIMPULAN

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam beberapa dekade terakhir, matematika mengalami perkembangan yang luar

biasa. Telah banyak temuan-temuan penting dalam matematika yang menarik

untuk dipelajari, salah satunya yaitu di bidang teori bilangan.

Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat

bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan

mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Teori bilangan pertama

kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa

penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta. Tesis mereka adalah “ segalanya adalah bilangan “ dan matematika adalah suatu cara menuju akhir yaitu

Filsafat (Burton, 1980).

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik

dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, Algoritma

Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan

bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan bilangan

Dalam teori bilangan, bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang sama

dengan jumlah positif yang tepat pembagi, yaitu jumlah pembagi positif termasuk

jumlah itu sendiri. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka

1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah

bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan

prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu

bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu

disebut bilangan komposit.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Sifat dari

fungsi multiplikatif seperti fungsi Mobius dan fungsi phi Euler juga dipelajari.

Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

Dari fungsi Euler didefinisikan bilangan Totient selanjutnya pada penelitian ini

akan di selidiki karakteristik bilangant Totient Sempurna.

1.2Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya menemukan karakteristik

dari pembuktian bilangan Totient sempurna, dalam hal ini pembuktian bilangan

Totient sempurna.

1.3Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan karakteristik bilangan Totient

3

1.4Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengembangkan wawasan tentang teori bilangan terutama tentang

karakteristik dari bilangan Totient sempurna.

2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan

memperdalam ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama tentang

karakteristik dari bilangan Totient sempurna.

3. Sebagai referensi untuk penilaian lanjutan tentang konsep bilangan Totient

II. LANDASAN TEORI

Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian,

diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor

bilangan bulat dan kekongruenan.

2.1 Keterbagian Bilangan Bulat

Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada

tepat satu bilangan q dan r sedemikian hingga :

α = qb + r , 0 ≤ r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “α dibagi dengan b

“. Jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi b dan ditulis b ׀α. Untuk α tidak habis

dibagi b ditulis b ł α. (Burton, 1980)

Sifat keterbagian pada bilangan bulat

Secara umum apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat

satu bilangan q dan r sedemikian sehingga :

α = qb + r, 0 ≤ r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r adalah sisa pada pembagian “ α dibagi

dengan b”. jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi dengan b , dan ditulis b│α.

5

Konsep di atas dapat dinyatakan dalam definisi berikut :

Definisi 2.1.1

Bilangan bulat α membagi habis bilangan bulat b (ditulis α│b) jika dan hanya jika

terdapat bilangan bulat k sehingga b = α ∙ k.

Jika α tidak membagi habis b maka b ⍭α ( Sukirman. 1997).

Contoh:

1. , sebab 18 = 3k dengan k = 6

2. 3 ⍭10, sebab tidak ada bilangan bulat k sehingga 10 = 3k. sifat-sifat penting

keterbagian dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema 2.1.1

Untuk bilangan-bilangan bulat α,b,c dan d berikut :

1. α 0 , 1 0, α α

2. α|1, jika dan hanya jika α = 1 atau α = -1

3. jika α│b dan b│c maka α׀c

4. jika α│b dan b│c maka α׀(b+c).

5. jika αb│c, maka α│c dan b│c.

6. Jika d│b maka d│ - b.

7. Jikaα b dan c d mka αc bd_.

8. Jika α b maka α cb, untuk bilangan bulat c sebarangan.

9. Jika α b dan α c maka α( bm + cn ), untuk sebarang bilangan bulat m dan n.

Bukti:

5) Jika αb c, ada suatu bilangan bulat m sehingga dapat ditulis dengan

7

Maka terdapat bilangan bulat n sehingga cn = d

Jika α b dan c d maka :

αm ∙ cn = bd

αc ∙ mn = bd (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)

αc ∙ k = bd

dengan demikian, jika α b dan c d maka αc bd

8) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat m sehingga αm = b

αm = b

αm ∙ c = b ∙ c (untuk c bilangan bulat)

α ∙ cm = c ∙ b (cm = k, untuk setiap k bilangan bulat )

α ∙ k = c ∙ b

dengan demikian jika α b maka α cb untuk setiap c bilangan bulat

sebarang.

9) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat k sehingga αk = b, dan jika α c

maka terdapat bilangan bulat l sehingga αl = c. maka berlaku :

bm + cn = αkm + αln = α (km + ln )

α(km + ln) = bm + cn

Dengan demikian jika α ׀ b dan α ׀ c maka α׀( bm = cn ).

2.2 Faktor Persekutuan Terbesar

Dalam matematika Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah

Definisi 2.2.1

Cara mencari FPB dari beberapa bilangan yaitu dengan mengalikan faktor-faktor

prima yang sama dan berpangkat terkecil

Contoh 2.2.1:

1. Mencari FPB dari 12 dan 20:

Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

2. Mencari FPB dari 15 dan 25:

Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15

Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25

FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

2.3Bilangan Sempurna

Definisi 2.3.1

Bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang merupakan penjumlahan

dari pembagi positif sejati. Yaitu penjumlahan dari pembagi positif tidak termasuk

bilangan itu sendiri. Arti lainnya, bilangan sempurna adalah bilangan yang

merupakan setengah penjumlahan dari semua pembagi positif (termasuk bilangan

itu sendiri), atau dikatakan . Contoh :

1. 6 bilangan sempurna Sebab 6 = 1 + 2 + 3

9

Faktor Bilangan Bulat

Definisi 2.3.1

Jika α, b, dan c bilangan bulat, dan α ∙ b = c disebut faktor c, atau pembagi c,

sedangkan c disebut kelipatan α atau b .

Jadi ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 dan ± 30 adalah faktor dari 30. Bilangan

bulat dengan bilangan dua sebagai salah satu faktornya dinamai dengan bilangan

bilangan bulat genap. Bilangan bulat genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k

adalah bilangan bulat.

Contoh :

Misalnya 6 = 2 ∙ 3 ; -14 = 2 ∙ (-7) dan 120 = 2 ∙ 60 Dengan demikian, bilangan

bulat ganjil dapat dinyatakan 2k + 1, misalnya 11 = 2 ∙ 5 + 1 dan 17 = 2 ∙ 8 + 1

2.4Bilangan Prima

Definisi 2.4.1

Sebuah bilangan p > 1 disebut bilangan prima, atau prima sederhana jika

faktor-faktornya hanya bilangan positif 1 dan p. bilangan bulat lebih besar dari 1 yang

tidak prima dinamakan bilangan komposit. (Burton, 1980)

Contoh :

23 adalah bilangan prima Karena bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan

bilangan itu sendiri atau yaitu 23.

10 adalah bilangan komposit karena bilangan tersebut habis dibagi sama dengan 2

Teorema 2.4.1

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu

bilangan prima.

Bukti :

Diambil sebarang bilangan bulat positif . Jika n suatu bilangan prima, maka

n׀ n . apabila n suatu bilangan komposit maka n mempunyai faktor selain 1 dan n

sendiri, misalnya yaitu , maka ada bilangan bulat positif sedemikian

hingga dengan jika suatu bilangan prima, maka

membagi .

Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan

, misalnya yaitu sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian

sehingga misalnya dengan Jika suatu bilangan

prima, maka Karena dan , maka , jadi n terbagi oleh suatu

bilangan prima

Definisi 2.4.2

Dua bilangan bulat α dan b dikatakan relatif prima jika . Jika α dan

b relatif prima, maka terdapat bilangan m dan n sedemikian sehingga

mα + nb =1

(Flath,1989)

Definisi 2.4.3

Misalkan bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan

11

Contoh :

Bilangan bulat 4, 15, dan 77 pasangan relatif prima karena faktor persekutuan

Terbesar (FPB) dari, 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1.

Teorema 2.4.2

Jika p bilangan prima, dan maka atau (sukirman 1997).

Bukti :

Karena p bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor-faktor 1 dan p.

sehingga , maka . untuk bilangan bulat sembarang jika

, karena maka jika maka . Jadi atau .

2.5Fungsi Euler 

Fungsi Euler dituliskan dengan untuk yang menyatakan jumlah

bilangan bulat positif yang relatif prima dengan n

Contoh : tentukan , Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1

sampai 19.di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat buah yang

relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

2.6Kekongruenan

Teori kekongruenan merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan

tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari

lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan

Definisi 2.6.1

Misalkan α dan b bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif. Jika ,

dikatakan bahwa α kongruen dengan b modulo n dan ditulis : .

(Stark, 1970)

Teorema 2.6.1

Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat α.

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka seperti

buku-buku dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan teori bilangan terutama tentang

bilangan totient sempurna. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian

ini adalah sebagai berikut :

1. Diberikan bilangan bulat positif n

2. Menentukan faktor prima dari n

3. Menentukan fungsi Euler

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1Fungsi Euler

Definisi 4.1

Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu

bilangan bulat yang sama dengan jumlah dari iterasi Totientnya.

yaitu jika :

∑

dengan

∫

adalah fungsi iterasi Totient dan c bilangan bulat sedemikian hingga

maka n adalah bilangan Totient sempurna.

Definisi 4.2

Contoh fungsi aritmatika :

= Banyaknya pembagi positif dari n

= Jumlah semua pembagi positif dari n

15

= Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan n

dan relatif prima terhadap n.

Definisi 4.3

Suatu fungsi aritmatika f di katakan multiplikatif jika f(mn)=f(m) f(n) bila m dan n

_∑

Selanjutnya juga fungsi

multiplikatif. Jadi adalah suatu fungsi multiplikatif. Sehingga untuk suatu

( ₎

Terbukti untuk 111 adalah bilangan Totient sempurna.

Contoh 5

243 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat

Penyelesaian :

( ₎

( _{) ( )}

( _{) ( )}

( _{) ( )}

( _{) ( )}

( _{) ( )}

( _{) ( )}

Mohan dan Suryanarayana menemukan syarat cukup pada prima tunggal untuk

dan menjadi bilangan totient sempurna. Secara khusus misalkan

menjadi bilangan bulat tidak negatif. jika dan

bilangan prima maka dikatakan sebuah bilangan otient sempurna

Terbukti memenuhi syarat cukup bilangan Totinet sempurna.

4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna ) Bentuk p

Untuk menentukan PTN (Bilangan Totient Sempurna) bentuk p, k ≥ 2, di pilih

25

Jika k = 2, maka ruas kanan persamaan (4.1) menjadi :

jika,

Karena 7 bilangan prima, maka dri persamaan (4.4) diperoleh :

Dengan

Ada dua kasus yang diperhatikan :

a). Jika , maka yang berakibat y

ganjil, juga diperoleh karena

(mod 7), maka

, sehingga

_{ini tidak mungkin karena genap k ganjil.}

b). Jika maka sehingga y

genap, Jika

maka

ini berakibat x ganjil

ini berakibat x ganjil.

Tetapi dari persamaan (4.1), , sehingga x genap terjadi

kontradiksi.

Berdasarkan uraian di atas dapat dinyatakan teorema berikut :

Tidak ada PTN berbentuk dengan adalah prima dan

V.KESIMPULAN

A.Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa jika dan

_{dan dan dan}

dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient

sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara

2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.

B.Saran

Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk Bilangan Totient Sempurna yang

DAFTAR PUSTAKA

Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University of New Hampshire, United States of Afrika.

Flath, D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Jhon Willez and Soms, Inc, Canada.

Munir, R. 2004. Bahan Kuliah IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik Informatika ITB, Bandung.

Stark, H. M. 1770. Introduction to Number Theory. Markam Publishing Company, Chicago.

KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA

Oleh

SINTA OKTARIANI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRAK

KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA

Oleh

SINTA OKTARIANI

Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta.

Jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.

DAFTAR ISI

4.2Syarat Cukup Bilangan Totient Sempurna... 22

4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna) Bentuk ... 24

V. KESIMPULAN

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam beberapa dekade terakhir, matematika mengalami perkembangan yang luar

biasa. Telah banyak temuan-temuan penting dalam matematika yang menarik

untuk dipelajari, salah satunya yaitu di bidang teori bilangan.

Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat

bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan

mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Teori bilangan pertama

kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa

penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta. Tesis mereka adalah “

segalanya adalah bilangan “ dan matematika adalah suatu cara menuju akhir yaitu

Filsafat (Burton, 1980).

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik

dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, Algoritma

Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan

bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan bilangan

Dalam teori bilangan, bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang sama

dengan jumlah positif yang tepat pembagi, yaitu jumlah pembagi positif termasuk

jumlah itu sendiri. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka

1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah

bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan

prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu

bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu

disebut bilangan komposit.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Sifat dari

fungsi multiplikatif seperti fungsi Mobius dan fungsi phi Euler juga dipelajari.

Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

Dari fungsi Euler didefinisikan bilangan Totient selanjutnya pada penelitian ini

akan di selidiki karakteristik bilangant Totient Sempurna.

1.2Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya menemukan karakteristik

dari pembuktian bilangan Totient sempurna, dalam hal ini pembuktian bilangan

Totient sempurna.

1.3Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan karakteristik bilangan Totient

3

1.4Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengembangkan wawasan tentang teori bilangan terutama tentang

karakteristik dari bilangan Totient sempurna.

2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan

memperdalam ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama tentang

karakteristik dari bilangan Totient sempurna.

3. Sebagai referensi untuk penilaian lanjutan tentang konsep bilangan Totient

II. LANDASAN TEORI

Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian,

diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor

bilangan bulat dan kekongruenan.

2.1 Keterbagian Bilangan Bulat

Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada

tepat satu bilangan q dan r sedemikian hingga :

α = qb + r , 0 ≤ r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “α dibagi dengan b

“. Jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi b dan ditulis b ׀α. Untuk α tidak habis

dibagi b ditulis b ł α. (Burton, 1980)

Sifat keterbagian pada bilangan bulat

Secara umum apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat

satu bilangan q dan r sedemikian sehingga :

α = qb + r, 0 ≤ r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r adalah sisa pada pembagian “ α dibagi

dengan b”. jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi dengan b , dan ditulis b│α.

5

Konsep di atas dapat dinyatakan dalam definisi berikut :

Definisi 2.1.1

Bilangan bulat α membagi habis bilangan bulat b (ditulis α│b) jika dan hanya jika

terdapat bilangan bulat k sehingga b = α ∙ k.

Jika α tidak membagi habis b maka b ⍭α ( Sukirman. 1997).

Contoh:

1. , sebab 18 = 3k dengan k = 6

2. 3 ⍭10, sebab tidak ada bilangan bulat k sehingga 10 = 3k. sifat-sifat penting

keterbagian dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema 2.1.1

Untuk bilangan-bilangan bulat α,b,c dan d berikut :

1. α 0 , 1 0, α α

2. α|1, jika dan hanya jika α = 1 atau α = -1

3. jika α│b dan b│c maka α׀c

4. jika α│b dan b│c maka α׀(b+c).

5. jika αb│c, maka α│c dan b│c.

6. Jika d│b maka d│ - b.

7. Jikaα b dan c d mka αc bd_.

8. Jika α b maka α cb, untuk bilangan bulat c sebarangan.

9. Jika α b dan α c maka α( bm + cn ), untuk sebarang bilangan bulat m dan n.

Bukti:

5) Jika αb c, ada suatu bilangan bulat m sehingga dapat ditulis dengan

7

Maka terdapat bilangan bulat n sehingga cn = d

Jika α b dan c d maka :

αm ∙ cn = bd

αc ∙ mn = bd (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)

αc ∙ k = bd

dengan demikian, jika α b dan c d maka αc bd

8) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat m sehingga αm = b

αm = b

αm ∙ c = b ∙ c (untuk c bilangan bulat)

α ∙ cm = c ∙ b (cm = k, untuk setiap k bilangan bulat )

α ∙ k = c ∙ b

dengan demikian jika α b maka α cb untuk setiap c bilangan bulat

sebarang.

9) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat k sehingga αk = b, dan jika α c

maka terdapat bilangan bulat l sehingga αl = c. maka berlaku :

bm + cn = αkm + αln = α (km + ln )

α(km + ln) = bm + cn

Dengan demikian jika α ׀ b dan α ׀ c maka α׀( bm = cn ).

2.2 Faktor Persekutuan Terbesar

Dalam matematika Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah

Definisi 2.2.1

Cara mencari FPB dari beberapa bilangan yaitu dengan mengalikan faktor-faktor

prima yang sama dan berpangkat terkecil

Contoh 2.2.1:

1. Mencari FPB dari 12 dan 20:

Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

2. Mencari FPB dari 15 dan 25:

Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15

Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25

FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

2.3Bilangan Sempurna

Definisi 2.3.1

Bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang merupakan penjumlahan

dari pembagi positif sejati. Yaitu penjumlahan dari pembagi positif tidak termasuk

bilangan itu sendiri. Arti lainnya, bilangan sempurna adalah bilangan yang

merupakan setengah penjumlahan dari semua pembagi positif (termasuk bilangan

itu sendiri), atau dikatakan . Contoh :

1. 6 bilangan sempurna Sebab 6 = 1 + 2 + 3

9

Faktor Bilangan Bulat

Definisi 2.3.1

Jika α, b, dan c bilangan bulat, dan α ∙ b = c disebut faktor c, atau pembagi c,

sedangkan c disebut kelipatan α atau b .

Jadi ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 dan ± 30 adalah faktor dari 30. Bilangan

bulat dengan bilangan dua sebagai salah satu faktornya dinamai dengan bilangan

bilangan bulat genap. Bilangan bulat genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k

adalah bilangan bulat.

Contoh :

Misalnya 6 = 2 ∙ 3 ; -14 = 2 ∙ (-7) dan 120 = 2 ∙ 60 Dengan demikian, bilangan

bulat ganjil dapat dinyatakan 2k + 1, misalnya 11 = 2 ∙ 5 + 1 dan 17 = 2 ∙ 8 + 1

2.4Bilangan Prima

Definisi 2.4.1

Sebuah bilangan p > 1 disebut bilangan prima, atau prima sederhana jika

faktor-faktornya hanya bilangan positif 1 dan p. bilangan bulat lebih besar dari 1 yang

tidak prima dinamakan bilangan komposit. (Burton, 1980)

Contoh :

23 adalah bilangan prima Karena bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan

bilangan itu sendiri atau yaitu 23.

10 adalah bilangan komposit karena bilangan tersebut habis dibagi sama dengan 2

Teorema 2.4.1

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu

bilangan prima.

Bukti :

Diambil sebarang bilangan bulat positif . Jika n suatu bilangan prima, maka

n׀ n . apabila n suatu bilangan komposit maka n mempunyai faktor selain 1 dan n

sendiri, misalnya yaitu , maka ada bilangan bulat positif sedemikian

hingga dengan jika suatu bilangan prima, maka

membagi .

Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan

, misalnya yaitu sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian

sehingga misalnya dengan Jika suatu bilangan

prima, maka Karena dan , maka , jadi n terbagi oleh suatu

bilangan prima

Definisi 2.4.2

Dua bilangan bulat α dan b dikatakan relatif prima jika . Jika α dan

b relatif prima, maka terdapat bilangan m dan n sedemikian sehingga

mα + nb =1

(Flath,1989)

Definisi 2.4.3

Misalkan bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan

11

Contoh :

Bilangan bulat 4, 15, dan 77 pasangan relatif prima karena faktor persekutuan

Terbesar (FPB) dari, 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1.

Teorema 2.4.2

Jika p bilangan prima, dan maka atau (sukirman 1997).

Bukti :

Karena p bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor-faktor 1 dan p.

sehingga , maka . untuk bilangan bulat sembarang jika

, karena maka jika maka . Jadi atau .

2.5Fungsi Euler 

Fungsi Euler dituliskan dengan untuk yang menyatakan jumlah

bilangan bulat positif yang relatif prima dengan n

Contoh : tentukan , Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1

sampai 19.di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat buah yang

relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

2.6Kekongruenan

Teori kekongruenan merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan

tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari

lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan

Definisi 2.6.1

Misalkan α dan b bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif. Jika ,

dikatakan bahwa α kongruen dengan b modulo n dan ditulis : .

(Stark, 1970)

Teorema 2.6.1

Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat α.

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka seperti

buku-buku dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan teori bilangan terutama tentang

bilangan totient sempurna. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian

ini adalah sebagai berikut :

1. Diberikan bilangan bulat positif n

2. Menentukan faktor prima dari n

3. Menentukan fungsi Euler

V.KESIMPULAN

A.Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa jika dan

_{dan dan dan}

dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient

sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara

2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.

B.Saran

Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk Bilangan Totient Sempurna yang

DAFTAR PUSTAKA

Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University of New Hampshire, United States of Afrika.

Flath, D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Jhon Willez and Soms, Inc, Canada.

Munir, R. 2004. Bahan Kuliah IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik Informatika ITB, Bandung.

Stark, H. M. 1770. Introduction to Number Theory. Markam Publishing Company, Chicago.