beta and gama

١

ﺘﯿﺑو

ﺎﻣﺎﺟ

ﻲﺘﻟاد

ﺎ

ﻲﺘﻟاد ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻣﺎﺟ

ﺎﺘﯿﺑو ﺎ

ﻲﺗﻵﺎﻛ ﺎﻣﺎﺟ ﺔﻟاد فﺮﻌﺗ :

) 0 ( )

( 0

1 >

=

Γ _n

∫

∞_e−t _tn− _{dt n}

(1)

ﺔﻟاﺪﻟا نأ ﻆﺣﻼﻧو 1

− −t n

t e

ﺪﻨﻋ ∞ لوﺆﺗ ﻰ ﻟإ ﺮﻔ ﺼﻟا يﻷ

ﻟ ﺔ ﯾدﺪﻋ ﺔ ﻤﯿﻗ ـ

n

تﺎﺑﻮﻌ ﺻ كﺎ ﻨھ نﻮ ﻜﺗﻻ ﮫ ﯿﻠﻋو

ﺪ ﻨﻋ ﺔ ﯿﻤﻠﻋ ∞

→ t

ﺪ ﺟﻮﺗ ﻲﻠﻔ ﺴﻟا ءﺰ ﺠﻟا ﻲ ﻓ ﺎ ﻤﻨﯿﺑ 0

→ t

نأ ﺪ ﺠﻧ 1 ≅ −t

e

ﺔ ﻟدﺎﻌﻤﻟا ﺢﺒ ﺼﺗ ﮫ ﯿﻠﻋو (1)

ﻰ ﻠﻋ

ةرﻮﺼﻟا

( ) 1 1

0 1

0 1

∫

∫

∫

− ∞ − − ₊∞ − −

    = +

= Γ

c n t c

n

c n t c

n

dt t e t

n dt t e dt t n

ﻦﻣ لوﻷا ءﺰﺠﻟا نﺎﻛ اذإ ﮫﯿﻠﻋو رﺎﯿﺘﺧا ﺎﻨﯿﻠﻋ ﺐﺠﯿﻓ دﺪﻋ ﺞﺗﺎﻨﻟا

0 >

n

ﻰﺘﺣ ﻻ مﺪﻌﻨﯾ مﺎﻘﻤﻟا .

ﺔﻣﺎﮭﻟاصاﻮﺨﻟاو تﺎﯾﺮﻈﻨﻟا ﺾﻌﺑ

ﺔﯾﺮﻈﻧ ١

: 1

) 1

( =

Γ

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻦﻣ

) (n

Γ ﻊﻀﻧ

1 =

n

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻨﻓ

[ ]

₋ ∞

∞

− _{= −} =

Γ

∫

0

0 ) 1

( e tdt e t

1 ) 1

( =

Γ (3)

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٢

: )

( ) 1

(n+ =nΓ n

Γ

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا ﻲﻓ (1)

ﻞﻛ ﻚﯾﺮﺤﺘﺑ

1 + →n n

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ

∫

∞ − = + Γ

0 ) 1

(n e t tn dt

ﺬﺧﺄﺑ ءيﺰﺠﺘﻟﺎﺑ ﻞﻣﺎﻜﺘﻟﺎﺑ

n t

t u dv dr

e− = , = ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ

[

]

∞

∫

− −

∞

− _{− −}

− = + Γ

0

1

0 ( )

) 1

(n e ttn e t ntn dt

ﻆﺣﻼﻧ ﺎﻤﻛ ماﺪﻌﻧا

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻨﻓ ﺔﻘﺑﺎﺴﻟا ﺔﺠﯿﺘﻨﻟا ﻦﻣ لوﻷا ءﺰﺠﻟا

∫

∞ − − = + Γ

0

1 )

1

(n n e t tn dt

) ( )

1

(n+ =n Γ n

٢

تﺎﻈﺣﻼﻣ

:

١ ( ﺔﻗﻼﻌﻟا ) ( )

1

(n+ =n Γ n Γ

ﺔﻟاﺪﻟ ﺔﯾراﺮﻜﺘﻟا ﺔﻐﯿﺼﻟﺎﺑ ﻰﻤﺴﺗ ﺎﻣﺎﺟ

.

٢ ( ﻢﯿﻘﻟ ﺎﻣﺎﺟ ﺔﻟاد ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻦﻜﻤﯾ 0

< n

) ﺔﺤﯿﺤﺼﻟا ﺮﯿﻏ ﺔﯿﻘﯿﻘﺤﻟا داﺪﻋﻸﻟ (

ﻰﻠﻋ ﺔﻘﺑﺎﺴﻟا ﺔﻐﯿﺼﻟا ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ

ةرﻮﺼﻟا :

n n n) ( 1)

( =Γ +

Γ

ﺐﻟﺎﺴﻟادﺪﻌﻟاﺔﻌﺴﻟﺎﻣﺎﺟﺔﻟادﻒﯾﺮﻌﺗ

ﺔﯿﺗﻵا ﺔﯾﺮﻈﻨﻟا ﻖﺑﺎﺴﻟا ﻦﻣ ﺖﺒﺛ :

) 1 ( 1 )

( = Γ +

Γ n

n n

ﺎﻣﺪﻨﻋ ﻆﺣﻼﻧ

0 =

n

ﺔﻟاﺪﻟا نﻮﻜﺗ ﺎﻤﻨﯿﺑ مﺪﻌﻨﯾ مﺎﻘﻤﻟا نﺈﻓ

) 1 ( + Γ n

ﺪ ﻨﻋ ﺔ ﻓﺮﻌﻣ ﺔﻟﺎﺤﻟا هﺬھ ﻲﻓ

0 =

n

ﺔﻌ ﺳ نﻮ ﻜﺗو

ﺔ ﺒﺟﻮﻣ ﺔ ﻟﺎﺤﻟا هﺬ ھ ﻲ ﻓ ﺔ ﻟاﺪﻟا ,

ﺎﻣﺪ ﻨﻋ ﺚ ﯿﺣ

0 →

n

نﺈ ﻓ

1 ) 1 ( ) 1

( + =Γ →

Γ n

, نأ ﺪ ﺠﻧ ﮫ ﯿﻠﻋو

∞ → + Γ =

Γ( ) 1 (n 1)

n n

ﻢﯿ ﻘﻟ فﺮ ﻌﻣ ﺮ ﺴﯾﻷا فﺮﻄﻟا نﻮﻜﯾ ﮫﯿﻠﻋو

0 >

n

ﻦ ﻤﯾﻷا فﺮ ﻄﻟا ماﺪﺨﺘ ﺳا ﻦ ﻜﻤﯾ ﻦ ﻜﻟو

ﻢﯿﻗ دﺎﺠﯾﻹ

1 − >

x

نأ لﻮ ﻘﻟا ﻦ ﻜﻤﯾ ﮫ ﯿﻠﻋو

) (n

Γ ﻢﯿ ﻘﻟ ﺔ ﻓﺮﻌﻣ

1 − >

n

ﻢﯿ ﻘﻟ فﺮ ﻌﻣ ﻦ ﻤﯾﻷا فﺮ ﻄﻟا ﺔﻌ ﺳ نﻮ ﻜﺗو

1 1>− +

x

وأ

2 − >

x

. ﺔ ﻤﯿﻗ نﻮ ﻜﺗو

) (n

Γ ﺪ ﻨﻋ ﺔ ﻓﺮﻌﻣ

2 − >

n

اﺬ ھ ﻰ ﻟإ لﻮ ﺻﻮﻟا راﺮﻤﺘ ﺳﻻﺎﺑ ﻦ ﻜﻤﯾو اﺬ ﻜھو

مﻮﮭﻔﻤﻟا Γ(m)=∞

نﻮ ﻜﺗ ﺎﻣﺪ ﻨﻋ

m

ﺐﻟﺎ ﺳ ﺢﯿﺤ ﺻ دﺪ ﻋ وأ ًاﺮﻔ ﺻ ﺔﯾوﺎ ﺴﻣ ,

ﺎﻣﺪ ﻨﻋ ﺢ ﺿاو اﺬ ھو

0 =

m

نأ ﺪ ﺠﻧ ∞

= Γ(0)

, ﺎﻣﺪ ﻨﻋ

1 − =

n

نأ ﺪﺠﻧ

∞ = Γ − = −

Γ (0)

1 1 ) 1 (

ﻚﻟﺬﻛ ∞

= + − Γ − = −

Γ ( 2 1)

2 1 ) 2 (

اﺬﻜھو . ﺗ سراﺪﻠﻟ ﻦﻜﻤﯾو ﻲﺗﻵﺎﻛ ًﺎﯿﻧﺎﯿﺑ ﺎﻣﺎﺟ ﺔﻟاد ﻞﯿﺜﻤ

:

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٣

:

يﻷ ﺐﺟﻮﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ

! ) 1

(n+ =n

٣

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﺔﯾﺮﻈﻨﻟا لﻼﺧ ﻦﻣ )

٢ ( و (4) ﺗ ﻊﻣ ﻚﯾﺮﺤﺗ راﺮﻜ

n

ﺮﯾدﺎﻘﻤﻟﺎﺑ

1 2 ,

3 − −

− n ,n

n

نأ ﺪﺠﻧ اﺬﻜھو

) 1 ( 1 2 ) 3 )( 2 )( 1 (

) 2 ( ) 2 )( 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

Γ ⋅ −

− − =

− Γ − − =

− Γ − = + Γ

L n n n n

n n

n n

n n

n n

و ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ )

3 ( ﺔﻗﻼﻌﻟا ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ

! ) 1

(n+ =n

Γ (5)

ﺔﺠﯿﺘﻧ ١

:

اذإ نﺎﻛ

0 =

n

نﺈﻓ

1 ) 1 ( ) 1 0 ( !

0 =Γ + =Γ =

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٤

:

∫

∞

− − = Γ

0

1 2

2

2 )

(n e t t n dt

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﺾﯾﻮﻌﺘﻟا ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ

2

u t =

نأ ﺪﺠﻧ ﮫﻨﻣ و

du u dt=2

ﺈﻓ ﻚﻟذ ﻰﻠﻋ و ن

∫

∞

− −

= Γ

0

1 2

) 2 ( ) ( )

(n e u2 u n udu

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﺑو

∫

∞

− − = Γ

0

1 2

2

2 )

(n e u u n du (6)

تﺎﯿﻠﻤﻌﻟا ﻲﻓ ةﺪﯿﻔﻣ ﺔﯾﺮﻈﻨﻟا هﺬھو ﺔﯿﺋﺎﺼﺣﻹا

ﺎ ھﺮﯿﻏو ﺔﻓﺎﺜﻜﻟا ﺔﻟاﺪﺑ ﻰﻤﺴﯾ ﺎﻣ ﺎﮭﯿﻓ مﺪﺨﺘﺴﻤﻟا .

ﺪ ﻨﻋ ﻚ ﻟذ ﻰ ﻠﻋ لﺎ ﺜﻣ

ﻊﺿو

2 1 =

n

نأ ﺪﺠﻧ

∫

∞ − = Γ

0

2

2 ) 2 1

( e u du ₍₇₎

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٥

:

ﯿﺑ ﻂﺑﺮﻟا ﻦﻜﻤﯾ ﺎﻣﺎﺟ ﺔﻟادو ﺔﯿﺜﻠﺜﻤﻟا لاوﺪﻟا ﻦ

ﻲﺗﻵﺎﻛ :

⋅ + Γ

Γ Γ = θ ⋅

∫

π

− −

2

0

1 m 2 1 n 2

) ( 2

) ( ) (

θ

sin

θ

cos

m n

m n d

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﺔﯾﺮﻈﻨﻟا ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ (4)

٤

∫

∞

− − = Γ

0

1 2

2

2 )

(n e u u n du

∫

∞

− − = Γ

0

1 2

2

2 )

(m e v v n dv

نﺈﻓ ﻚﻟذ ﻞﻋو :

∫∫

∫

∫

∞ ∞

− − +

−

∞

− − ∞

− −

= = Γ Γ

0 0

1 2 1 2 ) (

0

1 2

0

1 2

2 2

2 2

4

4 ) ( ) (

dv du v

u e

dv v e du u e m

n

m n v u

m v n

u

ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ

ﻹا تﺎﯿﺛاﺪﺣ ﺔﯿﺒﻄﻘﻟا

θ = θ

=rcos ,v rsin

u

نﺎﯿﺑﻮﻛﺎﺠﻟا ﺔﯾﺮﻈﻧ ﻖﯿﺒﻄﺗ ﻊﻣ

θ

=rdrd

dudv

نأ ﺪﺠﻧ

∫∫

∫∫

∞

− −

− + − ∞

− −

−

= = Γ Γ

0 0

1 m 2 1 n 2 1 2 2 0 0

1 2 1

2

2 2 2

2

θ

sin

θ

cos 4

) sin ( ) cos ( 4

) ( ) (

π π

θ θ θ

θ

d dr r

e

d dr r r

r e m

n

m n r

m n

r

ﺔﯾﺮﻈﻧ ﻦﻣ ﻦﻜﻟو )

٤

(

∫

∞

− + − = + Γ

0

1 ) ( 2

2

2 )

(n m e r r n m dr

نأ ﺪﺠﻧ ﮫﯿﻠﻋو

∫

π

θ +

Γ = Γ

Γ 2 − −

0

1 m 2 1 n

2 _{θ θ}

sin cos

) ( 2 ) ( )

(n m n m d

نأ ﺪﺠﻧ ﮫﯿﻠﻋو

) ( 2

) ( ) (

θ θsin cos

2

0

1 m 2 1 n 2

m n

m n d

+ Γ

Γ Γ = θ

∫

π

− −

(8)

v

r

θ

plane uv−

٥

ﺔﻈﺣﻼﻣ

:

ﺎﻣﺪﻨﻋ 2 1 = =m n

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ

2 ) ( ) ( )

1 ( 2

) ( )

( ₂1

2 1 2

1 2 1

0

2 Γ Γ

= Γ

Γ Γ = θ

∫

π

d

ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا ءاﺮﺟﺈﺑ

2 )} ( { 2

2 2 1 Γ = π

π = Γ(1₂)

(9) ﺖ ﻠﻤھأو ةرﺎ ﺷﻹا

ﺔﺒﻟﺎ ﺴﻟا π

−

ﯿﺤﺑ ﻒ ﯾﺮﻌﺘﻟا ﻦ ﻣ دﺪ ﻌﻟا نأ ﺚ

n

نﻮ ﻜﺘﻓ ﺐ ﺟﻮﻣ

) (n

Γ ةﺪ ﻋﺎﻘﻟا هﺬ ﮭﺑو ﺔ ﺒﺟﻮﻣ

ﺔﻗﻼﻌﻠﻟ ﺔﻣﺎﮭﻟا (9)

ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا ﻦﻣ ﺔﻓﺎﺜﻜﻟا ﺔﻟاد نأ تﺎﺒﺛإ ﻢﺘﯾ (7)

ﺔﻤﯿﻘﻟا ﺎﮭﻟ

∫

= π⋅

∞ −

2 0

2

du

e u ₍₁₀₎

لﺎﺜﻣ ١

:

ﺐﺴﺣا

) ( 5

) ( 6 iv) ( )

5 . 5 (

) 5 . 2 ( ) 3 ( iii) ( )

( ) ( (ii) )

3 ( 2

) 6 ( (i)

3 2 3 8

2 1 2 5

Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

Γ Γ

Γ

ﻞﺤﻟا

:

4 3 ) (

) ( )

( ) 1 ( )

( ) ( )

( ) 1 ( ) (

) ( (ii)

30 !

2 2

! 2 3 4 5 ! 2 2

! 5 ) 3 ( 2

) 6 ( (i)

2 1

2 1 2 1 2 3

2 1 2 1 2 3

2 1 2 3 2 3

2 1 2 3

2 1 2 5

= Γ

Γ ⋅ = Γ

+ Γ = Γ

Γ = Γ

+ Γ = Γ Γ

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = Γ Γ

ﻞﺜﻤﻟﺎﺑ

. 3 4 )

( 5

) ( ) )( ( 6 ) ( 5

) ( 6 iv) (

. 315

16 ) )( )( (

! 2 )

5 . 0 ( ) 5 . 0 )( 5 . 1 )( 5 . 2 )( 5 . 3 )( 5 . 4 (

) 5 . 0 ( ) 5 . 0 )( 5 . 1 ( ! 2 )

5 . 5 (

) 5 . 2 ( ) 3 ( (iii)

3 2

3 2 3 2 3 5

3 2 3 8

2 5 2 7 2 9

= Γ

Γ ⋅

= Γ Γ

= =

Γ Γ =

Γ Γ Γ

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٦

:

n n

n

π π = − Γ Γ

sin ) 1 ( ) (

ﺔﺠﯿﺘﻧ

:

ﺎﻣﺪﻨﻋ

2 1 =

n

نﺈﻓ :

π π

π ₌

      =       Γ       Γ

2 sin 2

٦

ﺘﻟﺎﺑ و ﺎ نﺈﻓ ﻲﻟ π

= Γ(₂1)

ا ﺲﻔﻧ ﻲھو

ً

ﺎﻘﺑﺎﺳ ﺎﮭﯿﻠﻋ ﺎﻨﻠﺼﺣ ﻲﺘﻟا ﺔﺠﯿﺘﻨﻟ

لﺎﺜﻣ ٢

: ﺔﻤﯿﻗ ﺪﺟوأ

) ( (ii)

) (

(i) ₂5

2

1 −

− _Γ

Γ

ﻞﺤﻟا

:

n n n) ( 1)

( = Γ +

Γ Q

ﻊﺿﻮﺑ

2 1 − =

n

( ) ( ) ( 1) 2 (2) 2 π 1

2 1 2

1

2

1 = Γ + =− Γ =− Γ − −₋

i

ﻊﺿﻮﺑ ًﺎﻀﯾأ

2 5 − =

n

π 2 ) ( ,

) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( (ii)

2 1

2 3

2 1

2 3

2 5

2 3

2 5

− = Γ Γ

= Γ ∴

Γ = Γ

− −

− −

− − −

نأ ﺪﺠﻧ ﮫﯿﻠﻋو

π π

15 8 ) 2 )( )( ( )

( ₃2

5 2 2

5 = − =

Γ − − −

لﺎﺜﻣ ٣

:

ﺔﯿﺗﻵا تﻼﻣﺎﻜﺘﻟا ﺐﺴﺣا :

∫

∫

∫

∫

∫

− ∞

−

∞ − ∞

− ∞

−

1

0 0

4

0 0

2 6

0 3

ln

v) ( 3

iv) (

iii) (

ii) (

i) (

2

3

x dx dx

dy e y dx

e x dx

e x

x

y x

x

ﻞﺤﻟا

:

(i) (4) 3!

0 1 4

0

3 = =Γ =

∫

∫

∞ − −

∞

− _{dx x e dx}

e

x x x

(ii) ,

0 2 6

∫

∞

− _dx

e

x x

ضﺮﻔﻟا ﺬﺧﺄﻧ

x u=2

,

dx du=2

٧

. 8 45

2 ! 6

) 2 (

1

2 )

2

( ₇

0 6 7 0

6

0 2

6 = = = =

∫

∫

∫

∞ − ∞ −

∞

− _dx u _e du _{u e du}

e

x x u u

(iii) ,

0

3

∫

∞ −

dy e

y y

ﻊﺿﻮﺑ

,

3 ,

y2dy=du y3 =u

ﻲھ ﺎﻤﻛ ﻰﻘﺒﺗ ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا دوﺪﺣ نأ ﻆﺣﻼﻧو

3 3

1 3

1 3

1

0 1

0 0

0

2 1 2

1 3

2 3

1

3 π

= =

= ⋅

=

∫

∫

∫

∫

∞ − ∞ − − ∞ − −

∞

− −

du e u du

e u du

u e u dy

e

y y u u u

2 2

2

4 3 ln 4

3 ln

0 4

) ( 3

, 3

3

iv)

( x dx e − x e − x

∞

− _{= =}

∫

Q 4 2 4 2ln3

3− x =e− x

ﻊﺿﻮﺑ

u x2 =

) 3 ln 4 (

⋅ =

=     

   ⋅ =

= =

∫

∫

∫

∞ − − ∞ − −

∞ −

−

3 ln 4 3

ln 4

1

3 ln 4 3

3 ln 4

3 ln 2

0 0

0

4 2

1 2

1

2

2 1 2

1

π du

u e du

u e

dx

du u

dx u

x

u u

x

,

ln

v) (

1

0

∫

₋dx _x

ﻊﺿﻮﺑ

du e dx e

x u

x= = −u =− −u −ln , ,

ﺎﻣﺪﻨﻋ

0 =

x

نأ ﺪﺠﻧ

−∞ =

0 ln

ﮫﯿﻠﻋو ∞ =

u

, ﺪﻨﻋ

1 ,

0 =

= x

u

⋅ = =

− =

−

∫

∫

∫

∞ − −

∞ −

π 0

0 1

0

2 1 2

1

ln _u u e du

du e x

dx u

u

لﺎﺜﻣ ٤

:

ﺐﺴﺣا

0 , , 0

>

∫

∞ −

n m dx

e xm axn

ﻞﺤﻟا

:

ﻊﺿﻮﺑ

u axn =

ﮫﯿﻠﻋو

n n n

n _a

u x du

u a dx n

1 1 1

1

1 1

=

= −

du na u

a u e dx e x

n n

n n n

m u

ax m

1 1 1

1 ₁

0 0

) (

− ∞

− ∞

−

∫

∫

= ⋅ ⋅ =

∫

= + Γ + ⋅

∞

− + −

+ )

1 ( 1 1

1 1

1

0

1

n m

na du u

e

na n

m n

n m

n n m

u

٨

لﺎﺜﻣ ٥

: ﻲﺗﻵا ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا ﺐﺴﺣا :

∫

1

0

) (lnx dx xm n

ﻞﺤﻟا : ﻊﺿﻮﺑ

u x=−

ln

ﺪﻨﻋ ﻞﻣﺎﻜﺘﻟا دوﺪﺣ ﻞﻌﺠﯾ رﺎﯿﺘﺧﻻا اﺬھ

0 = ∞

= x

u

ﺪﻨﻋو

1

0 =

= x

u

ﮫﯿﻠﻋو

u

e x= −

∫

1

0

) (lnx dx

xm n

∫

∫

∞ + −

∞

−

− _{− = −}

=

0 ) 1 ( 0

) 1 ( ) ( ) ( )

(e u m u n e udu n e m uundu

ﻊﺿﻮﺑ

v u m+1) = (

∫

1

0

) (lnx dx

xm n ( 1).

) 1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( 1

) 1 ( ) 1

( ₁

0 1 0

+ Γ +

− = +

− = + ⋅ + −

= ∞ − ₊

+ ∞

−

∫

∫

n

m dv

v e m

m dv m

v

e _n

n n

v n n n

v n

نأ ﺪﺠﻧ ﮫﯿﻠﻋو

∫

1

0

) (lnx dx

xm n !

) 1 (

) 1 (

1 n m n

n

⋅ +

−

= ₊

ﺎﺘﯿﺑﺔﻟاد

:

ﻲﺗﻵﺎﻛ ﺎﺘﯿﺑ ﺔﻟاد فﺮﻌﺗ :

) 0 , 0 ( )

1 ( )

, (

1

0

1

1 − > >

=

∫

− −

m n

dt t t

m

n n m

β (10)

ﺪﻨﻋ ﺢﺿاوو

0

→

t

ﻰﻠﻋ دﻮﯿﻗ دﻮﺟو ﻦﻣ ﺪﺑﻻ

t

ﺪ ﻨﻋ ﺎﻤﻨﯿﺑ

1

=

t

ﻦ ﻣ ﺢ ﻀﺘﯾ ﮫ ﯿﻠﻋو ﺎ ﮭﯿﻠﻋ دﻮ ﯿﻗ يأ ﺪ ﺟﻮﺗ ﻻ

ﻦﯿﺘﻟدﺎﻌﻤﻟا (10), (1)

ﻘﻧ ﺪﻨﻋ ﺔﺿوﺮﻔﻤﻟا دﻮﯿﻘﻟا نأ ﻞﺻﻷا ﺔﻄ

ﻲﺘﻟاد ﻰﻠﻋ )

( ), ,

(n m Γ n

β

ﺪﯾﺪﺤﺗ ﻲﻓ ﺖﻤﻜﺤﺗ ﺪﻗ

ﺔﯿھﺎﻣ

m n, .

ﺔﻗﻼﻌﻟا ﺎﻣﺎﺟوﺎﺘﯿﺑﻲﺘﻟادﻦﯿﺑ

:

ﺔﯾﺮﻈﻧ ٦

:

ﺔﯾﺮﻈﻧ تﺎﺒﺛإ ﻰﻠﻋ ًادﺎﻤﺘﻋا ﺎﻣﺎﺟو ﺎﺘﯿﺑ ﻲﺘﻟاد ﻦﯿﺑ ﻂﺑﺮﺗ ﺔﯾﺮﻈﻨﻟا هﺬھ )

٥

( ﻲﺗﻵﺎﻛ :

) (

) ( ) ( ) , (

m n

m n m

n

+ Γ

Γ Γ =

β (11)

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﻒﯾﺮﻌﺘﻟا ﻦﻣ

∫

− ₋ −

=

β 1

0

1 1

) 1 ( )

,

(n m tn t m dt

نأ ضﺮﻔﺑ θ

= 2 cos

t

ﺪﻨﻋ ﮫﯿﻠﻋو

0 =

t

نأ ﺪﺠﻧ

2 π = θ ﺪﻨﻋو

1 =

t

نأ ﺪﺠﻧ

0 = θ

ً

ﺎ ﻀﯾأ θ θ θ −

= d

dt 2sin cos

٩

∫

− −

= 2 0

1 2 1

2 _sin

cos 2 ) , (

π

θ θ θ

β n m n m d

) (

) ( ) (

m n

m n

+ Γ

Γ Γ

= (n>0,m>0)

) ﺔﯾﺮﻈﻧ ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ )

٥

( (

ﻊﺿﻮﺑ 1

+ =

t t x

ﻲﻓ (10) نﺈﻓ

( )

1 1

2 dt t dx

+ = , ﺎﻣﺪﻨﻋ 0 = x

نﺈ ﻓ 0 = t

ﺎﻣﺪ ﻨﻋو ،

1 = x

نﺈ ﻓ

∞ = t

نﺈﻓ ﻚﻟذ ﻰﻠﻋو :

dt t t

t t

t n

m

B m n1 ₂

0

1

) 1 (

1 )

1 1 ( ) 1 ( ) , (

+ +

− +

=∞ − −

∫

) 12 ( )

1 ( ) , (

0

1 dt t

t n

m

B _{m n}

m

∫

∞

+ −

+ =

ﻦﯾﺮﻤﺗ :

نأ ﻲﺘﺒﺛأ :

1 0

; sin

1 0

1

< < =

+

∫

∞ −

P p

dx x xp

π π

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﻊﺿﻮﺑ

x x y

+ =

1 وأ

y y x

− =

1 نﺈﻓ

dy y

dx ₂

) 1 (

1 − =

ﺎﻣﺪﻨﻋ 0 = x

نﺈﻓ 0 = y

ﺎﻣﺪﻨﻋو ،

∞ = x

نﺈﻓ 1 = y

.

نﺈﻓ ﻚﻟذ ﻰﻠﻋو :

dy

y y

y y dx

x

x p

p

2

0

1

0

1 1

) 1

1 )( 1 ( ) 1 (

1+ = − − −

∫

∫

∞

− −

∫

− ₋ −

= 1 0

1 ) 1

( y dy

yp p

) 1 (

) 1 ( ) ( ) 1 , (

Γ − Γ Γ = −

=β p p p p

p p

p

π π sin ) 1 ( )

( Γ − =

Γ =

نﺎﺘﻣﺎھنﺎﺘﻗﻼﻋ

:

) , ( )

, 1 (

(i) n m

m n

n m

n β

+ = +

β (13)

) , ( )

1 , (

(ii) n m

m n

m m

n β

+ = +

β (14)

تﺎﺒﺛﻹ

ﺪﺨﺘﺴﻧ ﻦﯿﺘﻗﻼﻌﻟا ىﺪﺣإ ﺔﺤﺻ ﺔﯾﺮﻈﻧ م

)

٦

( ﻲﺗﻵﺎﻛ :

) 1 (

) ( ) 1 ( ) , 1 (

m n

m n

m n

+ + Γ

Γ + Γ = +

β

ﺔﻗﻼﻌﻟا ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ (2.11)

١٠

) ( ) (

) ( ) ( )

, 1 (

m n m n

m n n m

n

+ Γ +

Γ Γ = +

β

ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ ﮫﯿﻠﻋو ﻲﺗﻵا

:

⋅ β

+ = +

β( 1, ) (n,m)

m n

n m

n

و ﻟا تﺎﺒﺛإ ﻦﻜﻤﯾ ﻞﺜﻤﻟﺎﺑ ﻌ

ﺔﻗﻼ (14) .

لﺎﺜﻣ ٥

:

نأ ﻲﺘﺒﺛأ :

) , ( ) ,

(n m =β m n β

نﺎھﺮﺒﻟا

:

ﺚﯿﺣ أ ن

dx x x

n m

B m n1

1

0 1

) 1 ( )

,

( =

∫

− − −

ﻊﺿﻮﺑ

y x =1− نأ ﺪﺠﻧ

:

dy dx=−

ﺎﻣﺪﻨﻋ 0 = x

نﺈﻓ 1 = y

ﺎﻣﺪﻨﻋو ،

1 = x

نﺈﻓ 0 = y

ﺘﻟﺎﺑو ﺎ نﺈﻓ ﻲﻟ :

dy y y n

m

B m n1

1

0

1 ) 1 ( ) ,

( =

∫

− − − =

∫

yn− − y m−dy

1

0

1 1

) 1

( =B(n,m)

لﺎﺜﻣ ٦

: تﻼﻣﺎﻜﺘﻟا ﺐﺴﺣا ﺔﯿﺗﻵا

:

dx x x iv dy

y a y

x dx x dx

x x

a

∫

∫

∫

∫

− −

− −

2

0

3 3

0

2 2 4

2

0 2 1

0

3 4

8 ) (

(iii)

2

ii) (

) 1 ( (i)

ﻞﺤﻟا

: ﺎﺘﯿﺑ ﺔﻟاﺪﺑ ﺎﮭﻠﺣ ﻦﻜﻤﯾ تﻼﻣﺎﻜﺘﻟا هﺬھ نأ ﻆﺣﻼﻧ ﻲﺗﻵﺎﻛ

:

⋅ = =

Γ Γ Γ = =

− =

−

∫

∫

− −

280 1 !

8 ! 3 ! 4 )

9 (

) 4 ( ) 5 ( ) 4 , 5 ( )

1 ( )

1 ( (i)

1

0

1 4 1

5 1

0

3

4 β

dx x x

dx x x

∫

− 2

0 2

2 ii) (

x dx x

ﻊﺿﻮﺑ

dv dx v

x=2 =2

١١ ﺪﻨﻋ ﮫﯿﻠﻋو 0 = x ﻧ نأ ﺪﺠ 0 = v ﺪﻨﻋو 2 = x نأ ﺪﺠﻧ 1 = v 15 2 64 ! 2 2 4 ) ( ) ( ) 3 ( 2 4 ) 3 ( ) ( ) 3 ( 2 4 ) 2 1 , 3 ( 2 4 ) 1 ( 2 8 2 2 2 4 2 2 3 2 5 2 7 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 2 2 0 2 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = Γ Γ Γ = + Γ Γ Γ = = − = − ⋅ = −

∫

∫

∫

− π π β dv v v v dv v x dx x

∫

− a dy y a y 0 2 2 4 2 1 ) ( (iii) ﻊﺿﻮﺑ x a y2 = 2

ﮫﯿﻠﻋو 2 1 ax y= ⋅ = ⋅ = Γ Γ Γ = = − ⋅ = − = −

∫

∫

∫

− 32 ! 3 ) )( )( ( 2 ) 4 ( ) ( ) ( 2 ) , ( 2 ) 1 ( 2 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( 6 2 1 2 1 2 3 6 2 3 2 5 6 2 3 2 5 6 1 0 6 1 0 4 0 2 2 4 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 a a a a dx x x a dx x a x a ax dy y a y a π π β

(iv)

∫

−

2

0

3 3

8 x dx

x

ضﺮﻔﻧ نأ :

y x3 =8

وأ 3 1 2y x= ﻰﻠﻋو ﺈﻓ ﻚﻟذ ن : dy y

dx 23

3 2 − = ﺎﻣﺪﻨﻋ 0 = x نﺈﻓ 0 = y , ﺎﻣﺪﻨﻋ 2 = x نﺈﻓ 1 = y ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﺑو نﺈﻓ :

x x dx y 3 y y 23dy

1 0 3 1 2 0 3 3 3 2 8 8 2

8− =

∫

− −

∫

y y 13 dy

1 0 3 1 ) 1 ( 3 8 − =

∫

− ) 2 ( ) 3 4 ( ) 3 2 ( 3 8 ) 3 4 , 3 2 ( 3 8 Γ Γ Γ =

= B

( )

3 9 16 3 sin 9 8 3 2 3 1 9 8 π π π ₌ =       Γ       Γ = لﺎﺜﻣ 7 : ﻟا ﺐﺴﺣا تﻼﻣﺎﻜﺘ ﺔﯿﺗﻵا :

∫

∫

∫

∫

2 0 0 4 0 5 4 0 6 tan iv) ( cos iii) ( cos sin ii) ( sin (i) 2 2 π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π d d d d ﻞﺤﻟا : بﺎﺴﺤﻟ ماﺪﺨﺘﺳا ﺪﯿﻔﻤﻟا ﻦﻣ تﺎﻗﻼﻌﻟا هﺬھ ﻲﺗﻵا :

∫

π θ θ θ =

β 2 − −

0 1 2 1 2 cos sin 2 ) ,

(n m n m d

١٢

2 1 2 7

0 1 2 6 1 2

sin

(i)

2

0 6

= =

∴ =

− =

−

∫

m n

m n

d

π

θ θ

32 5 ) 4 (

) ( ) ( 2 1 ) , ( 2 1

sin 2

1 2 7

2 1 2 7

0 6

2 π

β θ θ

π

= Γ

Γ Γ = =

∫

d

∫

2

0

5 4

cos sin

ii) (

π

θ θ

θ d

ﻊﺿﻮﺑ

2 5 4 1 ,2 5 1 2

3 − = − = =

= m n n

m

315 8 )

( ) 3 ( ) ( 2 ) 3 , ( 2 cos

sin

2 11 2 5

2 5

0

5 4

2

= Γ

Γ Γ = =

∫

θ θ θ β

π

d

ﺑ ﻞﺜﻤﻟﺎ

= ⋅

Γ Γ Γ = =

∫

∫

cos 2 cos 2 ₂( )₍₃₎( ) 8₃ iii)

( 2

5 2 1

0 4

0 4

2 π

θ θ θ

θ

π

π

d d

₂

2

4 sin 2 )

1 ( 2

) ( ) ( 2 cos

sin tan

iv)

( 4

1 4 3

0

2 1 2

1 2

0

2 π

π π θ

θ θ

θ θ

π

π

=       = Γ

Γ Γ = =

∫

∫

−

d d

لﺎﺜﻣ ٨

:

تﻼﻣﺎﻜﺘﻟا ﺐﺴﺣا ﺔﯿﺗﻵا

:

1

0

4

∫

∞

+ y dy

ﻞﺤﻟا

:

ﺮﻔﻧ نأ ض

x y4 =

نﺈﻓ ﻚﻟذ ﻰﻠﻋ و :

dx dy y3 =

4

ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﺑو نﺈﻓ

:

4

2

4 sin 4 1

4 1 1

0 4 3

0 4

π π

π ₌

      == + =

+

∫

∫

∞

− ∞

x dx x y

dy