ABSTRAK
PENYELESAIAN MASALAH TAKLINEAR DENGAN HOMOTOPY ANALYSIS METHOD
Oleh
Dwi Siska Febriyanti
Masalah taklinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan taklinear. Banyak persoalan dalam bidang teknik dan sains terutama yang berkaitan dengan masalah taklinear cukup sulit untuk dipecahkan terutama secara analitik. Saat ini kebanyakan teknik analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear kurang memuaskan.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji metode analitik untuk memecahkan masalah taklinear yang cukup populer dikalangan ilmuwan yaitu Homothopy Analysis Method (HAM). Jika dibandingkan dengan metode analitik lainnya, HAM memiliki keunggulan yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Selain itu, untuk semakin mempertegas hasil penelitian ini dilakukan juga investigasi numerik yang divisualisasikan dalam bentuk kurva. Dari investigasi numerik tersebut diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari metode HAM akan konvergen dan mendekati solusi eksak untuk nilai ℎ= −0.5 .
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR... xiii
I. PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 2
1.3 Tujuan ... 3
1.4 Manfaat ... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA ... 4
2.1 Definisi Masalah Taklinear ... 4
2.2 Solusi Masalah Taklinear ... 4
2.3 Kekontinuan Fungsi pada Selang... 5
2.4 Konsep Dasar Homotopi ... 5
2.5 Parameter Kontrol Kekonvergenan ... 8
III. METODOLOGI PENELITIAN... 9
3.1 Waktu dan Tempat ... 9
3.2 Metodologi ... 9
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 12
V. KESIMPULAN DAN SARAN .... 21 DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah taklinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan taklinear. Banyak persoalan dalam bidang teknik dan sains terutama yang berkaitan dengan masalah taklinear cukup sulit untuk dipecahkan. Meskipun perkembangan komputer membuat penyelesaian numerik masalah taklinear semakin mudah, namun masih sulit untuk memberikan aproksimasi secara analitik.
telah berkembang seperti metode parameter bantu kecil (artificial small parameter), metode ekspansi-δ, dan metode dekomposisi Adomian. Akan tetapi pada kenyataannya kedua teknik tersebut, baik perturbasi maupun nonperturbasi, tidak dapat memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Sehingga tampaknya perlu untuk memperkenalkan sebuah teknik analisis baru yang dapat menutupi kekurangan metode-metode tersebut.
Beberapa tahun terakhir, Metode Analisis Homotopi (Homotopy Analysis Method) sangat populer di kalangan ilmuwan sebagai solusi pemecahan
masalah taklinear ini. Awalnya metode ini diperkenalkan oleh Liao di tahun 1992 pada disertasinya saat mengambil gelar Ph.D. Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu metode penyelesaian masalah taklinear secara umum. Keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Berdasarkan latar belakang tersebut maka penulis mencoba untuk mempelajari Homotopy Analysis Method (HAM) dan menerapkan metode ini untuk menyelesaikan masalah tak linear yang ditemukan.
1.2 Batasan Masalah
1.3 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari karya ilmiah ini adalah :
a. Memberikan penjelasan tentang Homotopy Analysis Method.
b. Mempelajari langkah-langkah penyelesaian metode ini dan menerapkannya dalam menyelesaikan persamaan taklinear sederhana. c. Membandingkan solusi yang diperoleh melalui metode HAM dengan
solusi eksak berdasarkan investigasi numerik.
1.4 Manfaat
Adapun manfaat dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
a. Diharapkan mampu memberikan penjelasan tentang Homotopy Analysis Method sebagai metode analitik dalam pemecahan masalah taklinear.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Masalah Taklinear (Urroz, 2001)
Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk persamaan taklinear. Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk fungsi yang jika digambarkan ke dalam bentuk kurva maka kurva yang dihasilkan tidak berbentuk garis lurus melainkan garis lengkung.
Persamaan taklinear dibedakan menjadi persamaan aljabar yang mencangkup fungsi polinomial dan persamaan transenden yang mencakup fungsi trigonometri, hiperbolik, eksponensial, dan logaritma.
2.2 Solusi Masalah Taklinear (Heath, 2002)
persamaan taklinear lebih di kenal sebagai penemuan akar (root finding) atau penemuan nol (zero finding).
2.3 Kekontinuan Fungsi pada Selang (Purcell, 1987)
Dikatakan fungsi kontinu pada selang terbuka ( , ) jika kontinu di setiap titik ( , ).
kontinu pada selang tertutup [ , ] jika kontinu pada ( , ), kontinu kanan di , dan kontinu kiri di .
2.4 Konsep Dasar Homotopi (Liao, 2012)
Homotopi dideskripsikan sebagai variasi kontinu atau deformasi di matematika. Sebuah lingkaran dapat dideformasikan secara kontinu menjadi elips, dan bentuk dari cangkir kopi dapat dideformasikan secara kontinu menjadi bentuk donat. Pada intinya, homotopi didefinisikan sebagai suatu penghubung antara benda yang berbeda di matematika yang memiliki karakteristik yang sama di beberapa aspek.
dideformasikan secara kontinu ke fungsi kontinu ∈ � , lain maka dapat terbentuk suatu homotopi
ℋ: (�)~ �
ℋ �;� = 1− � [ � − � ]− � � ,� ∈ 0,1. (2.1)
Definisi 1.
Suatu homotopi dua fungsi yang kontinu (�) dan (�) dari suatu ruang topologi ke ruang topologi dinotasikan sebagai fungsi kontinu ℋ: × 0,1 → dari produk ruang dengan interval [0,1] ke sedemikian sehingga jika � ∈ maka ℋ �, 0 = (�) dan ℋ �, 1 = (�).
Definisi 2.
Parameter benaman � ∈ [0,1] di dalam suatu fungsi atau persamaan homotopi disebut parameter homotopi.
Definisi 3.
Diberikan suatu persamaan ℇ1, yang mempunyai paling sedikit satu solusi . Ambil ℇ0 sebagai persamaan awal yang solusinya diketahui 0. Jika itu dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk persamaan homotopi ℇ � :ℇ0~ℇ1
0 dari ℇ0 ke solusi yang tidak di ketahui dari ℇ1. Jenis dari persamaan
homotopi ini disebut persamaan deformasi orde-nol.
Definisi 4.
Diberikan suatu persamaan taklinear dinotasikan dengan ℇ1 yang mempunyai paling sedikit satu solusi (�, ) dimana � dan merupakan variabel bebas. Ambil parameter homotopi � ∈ [0,1] dan ℇ � persamaan deformasi orde-nol yang menghubungkan persamaan asli ℇ1 ke persamaan awal ℇ0 dengan aproksimasi awal yang diketahui 0 (�, ). Asumsikan bahwa persamaan deformasi orde-nol ℇ � memiliki solusi dan analitik di � = 1, sehingga diperoleh homotopi deret Maclaurin :
� �, ,� ~ 0 �, + � �, ��, +∞
�=1
� ∈ 0,1 (2.2)
dan deret homotopi:
� �, , 1 ~ 0 �, + � �, +∞
�=1
. (2.3)
Persamaan yang berubungan dengan � �, yang nilainya tidak diketahui disebut persamaan deformasi orde ke-n.
Definisi 5.
�, = 0 �, + � �, +∞
�=1
, (2.4)
dan aproksimasi homotopi orde ke-n
�, ≈ 0 �, + � �, +∞
�=1
. (2.5)
2.5 Parameter Kontrol Kekonvergenan (Liao, 2012)
Karena pada deret Maclaurin tidak ada jaminan bahwa deret konvergen pada � = 1 melainkan hanya asumsi , sehingga Liao memodifikasi konsep homotopi dengan memperkenalkan ℏ sebagai parameter kontrol kekonvergenan.
ℏ membangun persamaan deformasi orde-nol sebagai berikut:
ℋ �,� = 1− � [ℇ1− ℇ0]− �ℏ ℇ1 (2.6)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 bertempat di Gedung Matematika, Universitas Lampung.
3.2Metodologi
Adapun metodologi penelitian yang digunakan dalam menyelesaikan karya tulis ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari literatur dari berbagai sumber seperti buku dan jurnal di internet dan perpustakaan.
2. Menemukan masalah taklinear dalam bentuk persamaan atau fungsi taklinear.
Adapun langkah-langkah penyelesaian metode HAM adalah sebagai berikut:
Misal diberikan persamaan taklinear
� � � = 0 ,� ∈ ∆ . . . (3.1) � suatu operator taklinear dan �(�)solusi fungsi taklinear yang bergantung pada peubah bebas � .
a) Menganalisis sifat asimtotik
Jika masalah taklinear tersebut memiliki kondisi batas tak hingga maka akan sulit untuk menganalisis sifat asimtotiknya, jadi ini dilakukan jika memungkinkan.
b) Menentukan aproksimasi awal �0 � dan operator bantu linear �. c) Mengkontruksikan fungsi � �,� ∶ ∆× 0,1 → ℝ dan masukkan ke
dalam bentuk persamaan homotopi berikut,
1− � � � �,� − �0 � = �ℏ�[� �;� ] . . . (3.2)
dengan ℏ ≠0 merupakan parameter kontrol kekonvergenan dan� ∈ 0,1 merupakan parameter benaman.
d) Menyatakan kedalam bentuk persamaan deformasi orde tinggi
Dengan melakukan diferensiasi pada persamaan deformasi orde nol sebanyak � kali terhadap � kemudian masukkan nilai �= 0 sehingga diperoleh persamaan deformasi orde ke- �.
�0 � �,ℎ =
���(�,�,ℏ)
���
�=0
. . . (3.3)
e) Mengekspansi ke dalam bentuk deret
Persamaan deformasi orde-� pada �= 0 berkorespondensi dengan deret Maclaurin
�0 � +
�0 � �,ℎ �!
��
∞
�=1
…(3.4)
konvergen di �= 1, maka
� � = �0 � +
�0 � �,ℎ
�! …(3.5) ∞
�=1
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada bab-bab sebelumnya, adapun kesimpulan yang dapat diambil dari karya tulis ilmiah ini adalah sebagai berikut:
a. Homotopy Analysis Method (HAM) merupakan metode analisis untuk menyelesaiakan masalah taklinear dengan keunggulan yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Adapun langkah-langkah penyelesaian metode HAM adalah sebagai berikut:
1. Menganalisis sifat asimtotik.
b. Solusi dari persamaan taklinear (4.1) yang diperoleh berdasarkan metode HAM akan konvergen dan mendekati solusi eksak jika nilai ℎ di pilih secara tepat di ruaskonvergensinya.
c. Melalui investigasi numerik diperoleh bahwa solusi dari metode HAM konvergen dan mendekati solusi eksak khususnya pada nilai ℎ =−0.5 .
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Liao, Shijun. 2002. On Homotopy Analysis Method for Nonlinear Problem. Shanghai: Elsevier Inc.
Liao, Shijun. 2012. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Defferential Equations. Beijing: Higher Education Press.
E. Urroz, Gilberto. 2001. Solution of Nonlinear Equations with SCILAB. www.infoclearinghouse.com/files/scilab/scilab6a.pdf
J. Purcell, Edwin. 1987. Kalkuus dan Geometri Analitik Jilid 1 edisi ke 5. Jakarta : Erlangga.
T. Heath, Michael. 2002. Scientific Computing: An Introductory Survey, chapter 5 – Nonlinear Equations. Urbana: Department of Computer Science
Digunakan persamaan (4.3) tanpa parameter ℎdengan memasukkan nilai �= 0, maka
1−0 �� , 0
� = 0.
�� , 0
� + 2 �2( , 0)
�� , 0
� = 0
�� , 0
� = 0
� , 0 =�
Karena 0 = 1 , sehingga
� 0,0 =�
1 =�
Jadi, diperoleh
� , 0 = 1.
Dengan memasukkan nilai �= 1 , maka
1−1 �� , 1
� = 1.
�� , 1
� + 2 �2( , 1)
0 = �� , 1
�� , 1
�2( , 1)=−2 �
�� , 1
�2( , 1)= −2 �
− 1
� , 1 =− 2+�
� , 1 = 21 +�
Karena 0 = 1 , sehingga
� 0,1 = 1 0 +�
1 = 1 0 +�
�= 1
Jadi, diperoleh
Untuk �= 1, persamaan deformasi orde-nol diturunkan satu kali terhadap � menjadi
1− � �� ,�,ℎ
� =�ℎ
�� ,�,ℎ
� + 2 �2( ,�,ℎ)
1− � �� ,�,ℎ
� =�ℎ
�� ,�,ℎ
� +�ℎ 2 �2( ,�,ℎ)
diturunkan terhadap �, menjadi
1− � �
� �� ,�,ℎ �� − �� ,�,ℎ � =�ℎ � � �� ,�,ℎ �� +ℎ �� ,�,ℎ � +�ℎ
�(2 �2( ,�,ℎ))
�� +ℎ 2 �2( ,�,ℎ)
� � �� ,�,ℎ �� − � � � �� ,�,ℎ �� − �� ,�,ℎ � =�ℎ � � �� ,�,ℎ �� +ℎ �� ,�,ℎ � +�ℎ
�(2 �2( ,�,ℎ))
�� +ℎ 2 �2( ,�,ℎ)
masukkan nilai �= 0
� �
�� ,�,ℎ
�� �=0−
�� ,�,ℎ
� �=0 =ℎ
�� ,�,ℎ
� �=0+ ℎ 2 �2( ,�,ℎ) �=0
karena
0 � ,ℎ = �
[�]�( ,ℎ,�)
��[�]
�=0
� , 0,ℎ = 1 sehingga �2 , 0,ℎ = 1
1− � �� ,�,ℎ
� =�ℎ
�� ,�,ℎ
� + 2 �2( ,�,ℎ) , jika �= 0 maka
�� ,�,ℎ
� �=0= 0
sehingga
� 0 (1)
( ,ℎ)
1− � �
�
� � ,�,ℎ
��2 −
� � �� ,�,ℎ �� − � � �� ,�,ℎ �� =�ℎ � �
�2� ,�,ℎ
��2 + ℎ
� � �� ,�,ℎ �� +ℎ � � �� ,�,ℎ �� +�ℎ �
2(2 �2 ,�,ℎ )
��2 +ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� +ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
��
1− � �
�
�2� ,�,ℎ
��2 −2
� � �� ,�,ℎ �� =�ℎ � �
�2� ,�,ℎ
��2 + 2ℎ
� �
�� ,�,ℎ
�� +�ℎ
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
+ 2ℎ�(2 �
2 ,�,ℎ )
��
masukkan nilai �= 0
� �
�2� ,�,ℎ
��2
�=0
− 2 �
�
�� ,�,ℎ
�� �=0= 2ℎ � �
�� ,�,ℎ
�� �=0+ 2ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� �=0
� 0
(2) ,ℎ
� −2
� 0 1 ,ℎ
� = 2ℎ
� 01 ,ℎ
� + 2ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� �=0
� 0
(2)( ,ℎ)
� = 2
� 0 1 ,ℎ
� + 2ℎ
� 01 ,ℎ � + 2ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� �=0
� 0
(2)( ,ℎ)
� = 2(1 +ℎ)
� 01 ,ℎ
� + 2ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� �=0
� 0 (2)
( ,ℎ)
� = 2 (1 +ℎ)
� 0 1 ,ℎ
� +ℎ
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� �=0
karena
�(2 �2 ,�,ℎ )
�� =4 .� ,�,ℎ .
�� ,�,ℎ
�� �=0
= 4 ℎ 2
= 4ℎ 3
maka
� 0(2)( ,ℎ)
� = 2 (1 +ℎ)
� 0 1 ,ℎ
� + 2ℎ 2 0 1 ,ℎ
� 0(2)( ,ℎ)
� = 2 (1 +ℎ)
� 0 1 ,ℎ
� + 4ℎ2 3)
0 2 ,ℎ = 2 1 +ℎ ℎ 2+ℎ2 4
= 2 ℎ 2+ℎ2 2+ℎ2 4
= 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4
Untuk �= 3, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 3 kali terhadap � menjadi
1− � �
�
�3� ,�,ℎ
��3 −
� �
�2� ,�,ℎ
��2 −2
� �
�2� ,�,ℎ
��2
=�ℎ �
�
�3� ,�,ℎ
��3 +ℎ
� �
�2� ,�,ℎ
��2 + 2ℎ
� �
�2� ,�,ℎ
��2
+�ℎ �
3(2 �2 ,�,ℎ )
��3 +ℎ
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2 + 2ℎ
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
� �
�3� ,�,ℎ
��3 − �
� �
�3� ,�,ℎ
��3 −3
� �
�2� ,�,ℎ
��2
=�ℎ �
�
�3� ,�,ℎ
��3 + 3ℎ
� �
�2� ,�,ℎ
��2 +�ℎ
� �
�3(2 �2 ,�,ℎ )
��3
+ 3ℎ �
2(2 �2 ,�,ℎ )
� �
� � ,�,ℎ
��3 �=0−
3 �
�
� � ,�,ℎ
��2 �=0
=3ℎ�
�
� � ,�,ℎ
��2 �=0
+3ℎ � (2 � ,�,ℎ )
��2 �=0
� 0
(3) ,ℎ
� −3
� 0(2) ,ℎ
� = 3ℎ
� 0(2) ,ℎ
� +3ℎ
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
�=0
� 0
(3) ,ℎ
� = 3
� 0(2) ,ℎ
� + 3ℎ
� 0(2) ,ℎ
� +3ℎ
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
�=0
� 0
(3) ,ℎ
� = 3 (1 +ℎ)
� 0(2) ,ℎ
� + ℎ �
2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
�=0
karena
�2(2 �2 ,�,ℎ )
��2 =
� ��
�(2 �2 ,�,ℎ )
��
= �
�� 2
�(�2 ,�,ℎ )
��
= �
�� 4 .� ,�,ℎ . �� ��
= 4 �
�� � ,�,ℎ . �� ��
= 4 � ,�,ℎ .� 2�
��2 +
�� ��
2
�2(2 �2 ,�,ℎ ) ��2
�=0
=4 � ,�,ℎ .� 2�
��2 +
�� ��.
�� �� �=0
= 4 � , 0,ℎ . 0 2 ,ℎ + 0 1 ,ℎ 2
= 4 2ℎ + 2ℎ + 3ℎ
= 8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5
maka,
� 0 3( ,ℎ)
� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)
� + ℎ �
2(2 �2 ,�,ℎ )
��2
�=0
=� 0
3( ,ℎ)
� = 3 (1 +ℎ) � 0(2)
� + 2ℎ 2 02 ,ℎ + 2 0 1 ,ℎ 2
= 3 1 +ℎ � 0 2
� +ℎ(8ℎ 3+ 8ℎ2 3+ 12ℎ2 5)
= 3 1 +ℎ � 0 2
� + 8ℎ2 3+ 8ℎ3 3+ 12ℎ3 5
0 3 ,ℎ = 3 1 +ℎ 02 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6
= 3 1 +ℎ 2ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4 + 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6
= 32ℎ 2+ 2ℎ2 2+ 2ℎ2 4+ 2ℎ2 2+ 2ℎ3 2+ 2ℎ3 4+ 2ℎ2 4+ 2ℎ3 4+ 2ℎ3 6
= 32ℎ 2+ 4ℎ2 2+ 4ℎ2 4+ 2ℎ3 2+ 4ℎ3 4+ 2ℎ3 6
= 6ℎ 2+ 12ℎ2 2+ 12ℎ2 4+ 6ℎ3 2+ 12ℎ3 4+ 6ℎ3 6
Untuk �= 4, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 4 kali terhadap � menjadi
1− � �
�
�4� ,�,ℎ ��4 −
� �
�3� ,�,ℎ ��3 −3
� �
�3� ,�,ℎ ��3
=�ℎ �
�
�4� ,�,ℎ
��4 +ℎ
� �
�3� ,�,ℎ ��3 + 3ℎ
� �
�3� ,�,ℎ ��3
+�ℎ �
4(3 �3 ,�,ℎ )
��4 +ℎ
�3(3 �3 ,�,ℎ )
��3 + 3ℎ
=�ℎ �
�
�4� ,�,ℎ
��4 + 4ℎ
� �
�3� ,�,ℎ
��3 +�ℎ
� �
�4(3 �3 ,�,ℎ )
��4
+ 4ℎ �
3(3 �3 ,�,ℎ )
��3
masukkan �= 0
� �
�4� ,�,ℎ ��4
�=0− 4 �
�
�3� ,�,ℎ ��3
�=0
=4ℎ�
�
�3� ,�,ℎ ��3
�=0
+4ℎ �3(3 �3 ,�,ℎ )
��3 �=0
� 0
(4)( ,ℎ)
� −4
� 0(3)( ,ℎ)
� = 4ℎ
� 0(3)( ,ℎ)
� +4ℎ
�3(3 �3 ,�,ℎ )
��3
�=0
� 0
(4)( ,ℎ)
� = 4
� 0(3)( ,ℎ)
� + 4ℎ
� 0(3)( ,ℎ)
� +4ℎ
�3(3 �3 ,�,ℎ )
��3
�=0
� 0
(4)( ,ℎ)
� = 4 (1 +ℎ)
� 0(3)( ,ℎ)
� + ℎ �
3(3 �3 ,�,ℎ )
��3
�=0
karena
�3(3 �3 ,�,ℎ )
��3 =
� ��
�2(3 �3 ,�,ℎ )
��2
= �
�� 4 � ,�,ℎ . �2�
��2+
�� ��
2
= 4 �
�� � ,�,ℎ . �2�
��2+
�� ��
2
= 4 � ,�,ℎ .� 3�
��3+
�� ��.
�2�
��2+ 2
�� ��.
�2�
��2
= 4 � ,�,ℎ .� 3�
��3+
�� ��.
�2�
��2+ 2
�� ��.
�2�
��2
= 4 � ,�,ℎ .� 3�
��3+ 3
�� ��.
�2�
= 4 03 ,ℎ + 3 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)
maka,
� 0 4( ,ℎ)
� = 4 (1 +ℎ)
� 0 3( ,ℎ)
� + ℎ �
3(3 �3 ,�,ℎ )
��3
�=0
= 4 (1 +ℎ)� 0
3 ( ,ℎ)
� + 2ℎ 2 03 ,ℎ + 6 0 1 ,ℎ . 0 2 ( ,ℎ)
Untuk �= 5, persamaan deformasi orde-nol diturunkan sebanyak 5 kali terhadap � menjadi
1− � �
�
�5� ,�,ℎ
��5 −
� �
�4� ,�,ℎ
��4 −4
� �
�4� ,�,ℎ
��4
=�ℎ �
�
�5� ,�,ℎ
��5 +ℎ
� �
�4� ,�,ℎ
��4 + 4ℎ
� �
�4� ,�,ℎ
��4
+�ℎ �
5(4 �4 ,�,ℎ )
��5 +ℎ
�4(4 �4 ,�,ℎ )
��4 + 4ℎ
�4(4 �4 ,�,ℎ )
��4
� �
�5� ,�,ℎ
��5 − �
� �
�5� ,�,ℎ
��5 −5
� �
�4� ,�,ℎ
��4
=�ℎ �
�
�5� ,�,ℎ
��5 + 5ℎ
� �
�4� ,�,ℎ
��4 +�ℎ
� �
�5(4 �4 ,�,ℎ )
��5
+ 5ℎ �
4(4 �4 ,�,ℎ )
��4
masukkan �= 0
� �
�5� ,�,ℎ ��5
�=0− 5 �
�
�4� ,�,ℎ ��4
�=0
=5ℎ�
�
�4� ,�,ℎ ��4
�=0
+5ℎ �4(4 �4 ,�,ℎ )
��4 �=0
� 0
(5)( ,ℎ)
� −5
� 0(4)( ,ℎ)
� = 5ℎ
� 0(4)( ,ℎ)
� +5ℎ
�4(4 �4 ,�,ℎ )
��4
� 0
(5)( ,ℎ)
� = 5 (1 +ℎ)
� 0(4)( ,ℎ)
� + ℎ �
4(4 �4 ,�,ℎ )
��4
�=0
karena
�4(4 �4 ,�,ℎ )
��4 =
� ��
�(4 �4 ,�,ℎ )
��
= �
�� 4 � ,�,ℎ . �3�
��3+ 3
�� ��.
�2�
��2
= 4 �
�� � ,�,ℎ . �3�
��3 + 3
�� ��.
�2�
��2
= 4 � ,�,ℎ .� 4�
��4 +
�� ��.
�3�
��3+ 3
�� ��.
�3�
��3+ 3
�2�
��2.
�2�
��2
= 4 � ,�,ℎ .� 4�
��4 + 4
�� ��.
�3�
��3+ 3
�2�
��2 2
�4(4 �4 ,�,ℎ ) ��4
�=0
=4 � ,�,ℎ .� 4�
��4 + 4
�� ��.
�3�
��3+ 3
�2�
��2.
�2�
��2
�=0
= 4 0(4) ,ℎ + 4 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 3 0(2) ,ℎ 2
maka,
� 0 5( ,ℎ)
� = 5 (1 +ℎ) � 0(4)
� + 2ℎ 2 0(4) ,ℎ + 8 0(1) ,ℎ . 0 ,ℎ (3)+ 6 0(2) ,ℎ 2
>> h=-1;
>> a=sqrt((2/abs(h))-1);
>> t=-a+0.01:0.01:a-0.01;
>>
b=1.+(5*h).*t.^2.+(10*h^2).*t.^2.+(10*h^2).*t.^4.+(10*h^3).*
t.^2.+(20*h^3).*t.^4.+(10*h^3).*t.^6.+(5*h^4).*t.^2.+(15*h^4
).*t.^4.+(15*h^4).*t.^6.+(5*h^4).*t.^8.+h^5.*t.^2.+(4*h^5).*
t.^4.+(6*h^5).*t.^6.+(4*h^5).*t.^8.+h^5.*t.^10;
>> c=1./((t.^2)+1);
>> a
a =
1
>> plot(t,b,'r',t,c,'b')
>> xlabel (‘nilai t’) >> ylabel (‘nilai u(t)’)
>> title (‘Kurva Perbandingan untuk h = - 1.75 |t|<0.7746’)
