ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD
UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL
SKRIPSI
SUMI SRIARDINA YUSARA
100823018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SUMI SRIARDINA YUSARA 100823018
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Nomor Induk Mahasiswa : 100823018
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PERNGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN
ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya,
Medan, Juli 2012
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI
WEIBULL” tepat pada waktunya.
Selama penyusunan skripsi ini penulis memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc selaku Ketua Departemen FMIPA USU
3. Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si selaku pembimbing 1 pada penulisan skripsi ini, yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing 2 pada penulisan skripsi ini, yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi. 5. Seluruh Staff pengajar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara khususnya Jurusan Matematika.
6. Ayahanda Ir. H. Muhammad Yusuf Koto dan Ibunda tercinta Hj. Zahara, yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang dan cinta dari kecil hingga saat ini, memberi motivasi dan restu serta materi yang tak ternilai dengan apapun. Suami tercinta Avir Riyaldi, ST yang selalu memberi doa serta semangat dan anakku tersayang yang masih berada di dalam kandungan dan selalu setia mendampingi penulis. Abang dan adik tersayang Andi Yusara, Novia Pramudita Yusara dan Najwa Salsabilla Yusara yang selalu memberikan dukungan dalam penyelesaian skripsi ini.
Atas segala bantuan dan budi baik semua pihak penulis ucapkan terima kasih, semoga Allah SWT memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua. Amin ya
rabbal’alamin.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang memerlukan.
Medan, Juli 2012 Penulis
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator 10 2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup 12
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 27
4.1 Kesimpulan 27
4.2 Saran 27
ABSTRAK
ABSTRACT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Dalam pembicaraan statistik, jawaban yang diinginkan adalah jawaban untuk ruang lingkup yang lebih luas, yakni populasi. Tetapi objek dari studi ini menggunakan sampel pada umumnya yang merupakan bagian dari populasi. Hasil-hasil perhitungan berdasarkan data sampel disebut statistik. Selanjutnya dalam teori estimasi, statistik ini disebut estimator (penaksir) suatu parameter populasi.
Estimasi parameter populasi antara lain dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan Bayes. Pada metode bayes, nilai parameternya berasal dari suatu distribusi.
Selain metode Bayes terdapat juga Metode Maximum Likelihood. Metode ini digunakan untuk menaksir nilai parameter bila distribusi populasi diketahui. Secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter berdistribusi weibull.
Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Data tahan hidup diperoleh dari percobaan uji hidup. Data ini dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I, dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap jika semua benda dalam percobaan diuji sampai
percobaan berjalan selama waktu yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982: 43).
Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain Distribusi Eksponensial, Distribusi Weibull, Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh, dan lain-lain (Lawless, 1982: 26). Di antara beberapa distribusi tersebut, dalam skripsi ini dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Weibull.
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan maka penulis mengambil judul
“ESTIMATOR BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK DATA BERDISTRIBUSI WEIBULL”
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang diajukan dalam studi ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana bentuk estimator bayes untuk data berdistribusi Weibull.
2. Bagaimana bentuk estimator maksimum likelihood (MLE) untuk data berdistribusi Weibull.
1.3.Batasan Masalah
2. Estimator yang digunakan adalah Estimator Bayes dan Estimator Maksimum Likelihood (MLE)
1.4. Tinjauan Pustaka
Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.
Metode Maksimum Likelihood
Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui. Misalkan X1, X2, …, Xn menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random
yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah L(θ) = f(x1;θ). f(x2;θ). …. f(xn;θ)
θ merupakan nilai estimator maksimum likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila
dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L(θ).
Metode Bayes
Misalkan θ1, θ2,..., θn adalah suatu himpunan dari parameter-parameter yang memiliki
distribusi yaitu f(θi). Maka itulah yang disebut dengan probabilitas prior dan distribusinya disebut distribusi prior. Sedangkan X adalah data observasi yang baru diperoleh.
dimana:
untuk diskrit
untuk kontinu
Distribusi Weibull
Analisa Weibull adalah suatu metode yang digunakan untuk memperkirakan probabilitas mesin peralatan berdasarkan atas data yang ada. Distribusi ini sangat berguna karena menggunakan sampel yang sedikit dan kemampuannya dapat menun jukkan bentuk distribusi data yang terbaik. Alasan pemakaian metode weibull dalam pemeliharaan mesin/ peralatan adalah dikarenakan untuk memprediksikan kerusakan sehingga dapat dihitung keandalan mesin/ peralatan, dan dapat meramalkan kerusakan yang akan terjadi walaupun belum terjadi kerusakan sebelumnya.
Distribusi Weibull secara luas digunakan untuk berbagai masalah keteknikan karena kegunaannya yang bermacam-macam. Pada dasarnya distribusi weibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbagiannya ataupun komponen komponennya.
f.k.p untuk waktu kegagalan t berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai berikut:
adapun fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull adalah:
sedangkan fungsi kegagalan dari distribusi Weibull adalah:
Dimana:
t = waktu
θ = parameter skala
1.5. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui bentuk Estimator Bayes dan Estimator Maksimum Likelihood (MLE) untuk berdistribusi Weibull.
1.6. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk masukan sebagai alternatif pemilihan dalam persoalan estimasi (dalam statistika).
1. Mengetahui cara mengestimasi menggunakan metode bayes dan maksimum likelihood.
2. Mengembangkan dan menerapkan statistika dengan metode bayes dan maksimum likelihood serta memperlihatkan penggunaannya.
3. Sebagai alternatif pemilihan dalam persoalan estimasi (dalam statistika).
4. Memberikan manfaat untuk bidang ilmu yang berkaitan dengan uji hidup, seperti industri, kedokteran dan lain-lain.
1.7. Metode Penelitian
Metode Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan konsep-konsep dasar yang diperkirakan akan mengantarkan ke pemecahan masalah yaitu bentuk estimator Bayes dan estimator Maksimum Likelihood (MLE) untuk berdistribusi Weibull.
1. Melakukan studi literatur menggunakan metode bayes dan maksimum likelihood
2. Memaparkan pengertian dari metode bayes dan maksimum likelihood
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti peluang,peubah acak, bayes, likelihood, dan distribusi weibull.
2.1. Peluang
Definisi 1
Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya disebut eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S.
(Djauhari, 1990: 3)
Contoh 1:
Definisi 2
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
(Walpole, 1986 : 4) Contoh 2:
Misalkan A = {t | 0 ≤t < 5} himpunan bagian ruang sampel S = {t | t ≥ 0}, t menyatakan
umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke lima.
Definisi 3
Koleksi himpunan A ≠ yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga disebut lapangan.
(Djauhari, 1990: 16)
Definisi 4
Teorema 1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya harapan muncul A N = banyaknya kejadian
(Walpole, 1986: 17)
2.2. Peubah Acak
Definisi 6
Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke R dinamakan peubah acak. Jelajah (range) dari X yakni = {x|x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X atau ruang
Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam R yang bersifat:
ii. = 1
dinamakan fungsi kepadatan peluang (f.k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah acak X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh:
P(X = x) = f(x)
(Djauhari, 1990: 41)
Definisi 8
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh
F(x) = P(X ≤ x) =
(Walpole, 1986: 38)
2.2.2 F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu
Definisi 9
Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi: i. f(x) ≥ 0, untuk setiap x
ii.
dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X.
F(x) = P(X ≤ x) =
(Walpole, 1986: 44)
2.3 Ekspektasi Matematik
Definisi 11
Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran
(jika ada), dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x).
(Djauhari, 1990: 66)
2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator
Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter.
Definisi 12
Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior.
Definisi 13
Distribusi bersyarat θ jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior θ dari
diberikan X dan dinyatakan dengan ( ).
(Soejoeti, 1988)
Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan.
Definisi 14
Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x ; θ). Klas P dari distribusi
prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua f F, semua prior dalam P dan semua x X.
Tiga sifat yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah : 1. Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan
distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai, menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama, sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah dihitung nilai harapannya.
2. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan meliputi distribusi dengan parameter-parameter yang berbeda, sehingga mewakili berbagai macam informasi prior yang berbeda.
3. Mudah diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapatdengan mudah diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut.
Definisi 15
Misalkan …, sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ).
Statistik …, dikatakan cukup (sufien) untuk θ apabila untuk semua
θ dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas …, jika diketahui w tidak tergantung pada θ , baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu.
Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15, tetapi lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman.
(Soejoeti, 1990)
2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup
interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Variabel random non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T”, dan akan membentuk suatu distribusi.
Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut.
2.6 Fungsi Densitas Peluang (f.d.p.) f(t)
Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval yang kecil (t, t + t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t).
... (2.1)
Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ].
… (2.2)
2.7 Fungsi Survivor S(t)
Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t).
… (2.3)
Mengacu pada ilustrasi di depan:
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S( ) = lim S(t) = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.
2.8 Fungsi Hazard h(t)
Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko dalam interval (t, t + Dt) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup selama waktu t.
Fungsi hazard dinyatakan dengan:
fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi densitas peluang
… (2.4)
Teorema 4
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T 0, dan f(t) merupakan f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka
Bukti:
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T 0 dan S(t) merupakan fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka
dengan menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka
Akibat Teorema 5
Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t) sebagai
Bukti:
Keterangan:
f(t) = fungsi densitas peluang
F(t) = fungsi distribusi kumulatif peluang h(t) = fungsi kegagalan (Hazard)
S(t) = fungsi kehandalan (Survivor) t = waktu
Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling berhubungan satu dengan yang lainnya.
2.9 Sampel Lengkap
Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.
2.10 Distribusi Weibull
Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh Kao (1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron, kemudian Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam bidang rekayasa (Zanzawi, 1996:7). Selanjutnya banyak peneliti yang mengembangkannya antara lain Thomas dan Wilson (1972).(Lawless, 1982:145), Pandey dan Malik (1989).
2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood
Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah metode maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter distribusi waktu hidup.
Definisi 17
Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui. Misalkan …, menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah
L(θ) = f( ;θ). f( ;θ). …. f( ;θ)
merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum likelihood adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L(θ).
2.12 Fungsi Gamma
Definisi 18
Fungsi gamma dengan notasi Γ (n) didefinisikan sebagai berikut:
Γ
Ekspansikan hanya berlaku untuk n>0, dan integral adalah konvergen. Fungsi gamma banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.
Teorema 6 Γ
Bukti:
Γ
Γ Γ
2.13 Fungsi Beta
Definisi 19
Fungsi beta dengan notasi B(m,n) didefinisikan sebagai:
dimana m>0 dan n>0
Fungsi beta banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.
Teorema 7
Hubungan fungsi gamma dengan fungsi beta.
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Estimator Bayes untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup
Berdistribusi Weibull dengan Sampel Lengkap
Misalkan ada n benda yang tahan hidupnya berdistribusi Weibull mempunyai f.k.p
diuji tahan hidupnya sampai semua unit gagal atau mati.
Misalkan distribusi prior untuk θ adalah
Keterangan:
= fungsi kepadatan peluang distribusi weibull
p = parameter bentuk = parameter skala
= fungsi kepadatan peluang distribusi gamma c = parameter bentuk distribusi gamma
Jika adalah sampel random dari f.k.p dari distribusi Weibull, maka fungsi
t berdistribusi Weibull maka menurut teorema 3 distribusi posterior untuk θ adalah
Berdasarkan persamaan (3.3) dan teorema 4 diperoleh estimator bayes dari θ adalah
Jadi, estimator bayes dari untuk distribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah
3.2. Estimator Maximum Likelihood (MLE) untuk Rata-rata Tahan Hidup dari
Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull
Selain menggunakan metode estimator Bayesian, untuk memperoleh estimator tunggal dapat menggunakan metode maksimum likelihood.
Fungsi likelihood untuk distribusi Weibull adalah
Selanjutnya fungsi log likelihood dari persamaan di atas adalah:
Jadi, MLE untuk dari distribusi Weibull adalah
Contoh :
Suatu sampel dari 20 observasi diuji ketahanannya. Sampel berdistribusi Weibull dengan p = 4,25 adalah sebagai berikut.
19,8 16,8 13,9 22,1 20,6
23,2 10,5 18,2 14,1 13,2
14,5 19,9 17,9 12,2 9,4
Jadi, estimator bayes = =
2.
= 301.368,9772
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat diambil simpulan sebagai berikut. 1. Estimasi parameter populasi dapat dilakukan dengan pendekatan Bayes dengan
parameter suatu distribusi.
2. Untuk populasi yang distribusinya diketahui, penaksiran parameter akan lebih efektif bila menggunakan metode Maksimum Likelihood
3. Estimator Bayes dan Maksimum Likelihood dapat sebagai alternative dalam persoalan estimasi.
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Berger, J. O. 1980. Statistical Decision Theory. New York: Springer Verlang.
Djauhari, Maman A.1990. Statistika Matematik. Bandung: FMIPA ITB.
Hines, William W dan Montgomery D C. 1990. Probabilitas dan statistic dalam ilmu rekayasa dan manajemen. Jakarta : Universitas Indonesia
Lawless, J. F. 1982. Statistical Model and Methods for Life Time Data. New York: John Wiley and Sons.
Robert V. Hogg dan Elliot A. Tanis. 1997. Probability and Statistical Inference. United States of America
Sinha, S.K, dkk. 1979. Life Testing and Reliability Estimation. New Delhi: Wiley Eastern limited.
Suparman L.A. 1989.Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali Pers
Surjadi, P. A. 1976. Pendahuluan Teori kemungkinan dan Statistika. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Walpole, Ronald E. Dan Myes, Raymond H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuan. Bandung: ITB Bandung
