Proses Keputusan Markov Dengan Metode Pengiterasian Kebijakan

PROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN METODE

PENGITERASIAN KEBIJAKAN

SKRIPSI

RIZKY SYAFITRI

090823024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN METODE PENGITERASIAN KEBIJAKAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RIZKY SYAFITRI 090823024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : PROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN

METODE PENGITERASIAN KEBIJAKAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : RIZKY SYAFITRI

Nomor Induk Mahasiswa : 090823024

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Syahrial Lubis, S.Si, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

PROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN METODE PENGITERASIAN KEBIJAKAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari beberapa ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

PENGHARGAAN

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

ABSTRAK

Pengambilan keputusan memerlukan beberapa pertimbangan analisis sehingga keputusan yang diambil dapat memuaskan dan optimal. Tulisan ini menguraikan salah satu metode pengambilan keputusan yaitu metode pengiterasian kebijakan (policy iteration) sebagai metode proses keputusan Markov berdasarkan pada model-model stokastik. Metode pengiterasian kebijakan merupakan suatu metode yang menggunakan pendekatan iterasi yang dimulai dari kebijakan mana saja, dan pada akhirnya akan menentukan suatu kebijakan baru yang memberikan nilai ekspektasi pendapatan yang lebih baik. Jika ditetapkan bahwa S merupakan kebijakan yang sedang dijalankan pada saat stasioner, maka nilai relative vS

 

j yang dgunakan untuk mendapatkan rata-rata pendapatan S

g dapat diselesaikan dengan pesamaan

 

j v

 

i v

p q

g S S

m

j S ij S

i

S  





1

, i0,1, . ..,m

 

m

vS =0

MARKOV DECISION PROCESS BY POLICY ITERATION METHOD

ABSTRACT

Decision making requires some consideration of the analysis so that decisions can be satisfying and optimal. This paper describes one method of decision making of the policy iteration method as a Markov decision process method based on stochastic models . Policy Iteration method is a method that uses an iterative approach that starts from any policy, and ultimately will determine a new policy that gives the expected value of better income. If it is determined that S is a policy that was running when stationary, then the relative value that is used to get an average income can be solved with the equation

 

j v

 

i v

p q

g S S

m

j S ij S

i

S  





1

, i0,1, . ..,m

 

m vS =0

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metodologi Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1 Probabilitas 6

2.1.1 Definisi 6

2.1.1.1 Pendekatan Klasik 6

2.1.1.2 Pendekatan Frekuensi Relatif 7

2.1.1.3 Pendekatan Subjektif 8

2.1.2 Percobaan, Ruang Sampel dan Titik Sampel 8 2.1.3 Probabilitas Beberapa Peristiwa 8 2.1.3.1 Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive) 9 2.1.3.2 Peristiwa Tidak Saling Lepas (Non Mutually Exclusive) 9

2.1.3.3 Peristiwa Saling Bebas 9

2.1.3.4 Peristiwa Tidak Saling Bebas 10

2.1.3.3 Peristiwa Bersyarat 10

2.1.3.3 Peristiwa Komplementer 11

2.2 Variabel Random 11

2.3 Pengantar Proses Stokastik 11

2.4 Rantai Markov 12

2.4.1 Definisi 12

2.4.2 Sifat Markov

2.4.3 Matriks Probabilitas Transisi 13

2.4.4 Persamaan Chapman-Kolmogorov 14

Bab 3 Pembahasan

3.1 Teori Pengambilan Keputusan 16

3.1.1 Fungsi Pengambilan Keputusan 16

3.1.3 Faktor-faktor Pengambilan Keputusan 17 3.1.4 Dasar-dasar Pengambilan Keputusan 18 3.1.5 Jenis-Jenis Pengambilan Keputusan 19

3.2 Proses Keputusan Markov 21

3.3 Metode Pengiterasian Kebijakan 22

3.4 Peroses Keputusan Markov dengan Metode Pengiterasian Kebijakan 25

Bab 4 Penutup

4.1 Kesimpulan 31

4.2 Saran 31

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Ekspektasi Laba 28

Tabel 3.2 Perbaikan Kebijakan (Iterasi 1) 29

ABSTRAK

Pengambilan keputusan memerlukan beberapa pertimbangan analisis sehingga keputusan yang diambil dapat memuaskan dan optimal. Tulisan ini menguraikan salah satu metode pengambilan keputusan yaitu metode pengiterasian kebijakan (policy iteration) sebagai metode proses keputusan Markov berdasarkan pada model-model stokastik. Metode pengiterasian kebijakan merupakan suatu metode yang menggunakan pendekatan iterasi yang dimulai dari kebijakan mana saja, dan pada akhirnya akan menentukan suatu kebijakan baru yang memberikan nilai ekspektasi pendapatan yang lebih baik. Jika ditetapkan bahwa S merupakan kebijakan yang sedang dijalankan pada saat stasioner, maka nilai relative vS

 

j yang dgunakan untuk mendapatkan rata-rata pendapatan S

g dapat diselesaikan dengan pesamaan

 

j v

 

i v

p q

g S S

m

j S ij S

i

S  





1

, i0,1, . ..,m

 

m

vS =0

MARKOV DECISION PROCESS BY POLICY ITERATION METHOD

ABSTRACT

Decision making requires some consideration of the analysis so that decisions can be satisfying and optimal. This paper describes one method of decision making of the policy iteration method as a Markov decision process method based on stochastic models . Policy Iteration method is a method that uses an iterative approach that starts from any policy, and ultimately will determine a new policy that gives the expected value of better income. If it is determined that S is a policy that was running when stationary, then the relative value that is used to get an average income can be solved with the equation

 

j v

 

i v

p q

g S S

m

j S ij S

i

S  





1

, i0,1, . ..,m

 

m vS =0

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Perkembangan yang pesat di bidang ilmu dan teknologi dewasa ini menuntut adanya kemampuan manusia dalam mempertimbangkan segala kemungkinan sebelum mengambil keputusan dan tindakan. Pertimbangan-pertimbangan naluriah atau dengan perkiraan kualitatif yang sederhana pada dasarnya hanya dapat dipertanggungjawabkan untuk keputusan-keputusan sederhana pula. Keputusan-keputusan terutama di dunia usaha, yang mengandung risiko besar tentunya perlu didukukg oleh perhitungan-perhitungan yang matang, agar risiko kerugian dapat dihindari. Tentu saja pada keadaan tersebut pertimbangan-pertimbangan naluriah saja tidak cukup. Diperlukan peralatan-peralatan, teknik-teknik atau metode-metode kuantitatif yang lebih lengkap untuk memecahkannya.

Secara umum dapat dikatakan bahwa membuat atau mengambil keputusan berarti memilih satu di antara sekian banyak alternatif. Dalam menentukan alternatif tersebut harus diketahuinya informasi sebagai nilai tambah dalam pengambilan keputusan. Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu spesifikasi dari setiap alternatif, maka dengan mudah menentukan pilihan terhadap alternatif tersebut. Jika data atau informasi tidak ada, maka timbul ketidakpastian dalam pengambilan keputusan.

informasi tidak lengkap atau data hanya perkiraan saja, pembuat keputusan dalam keadaan ketidakpastian dapat menanyakan ketidakpastiaan tersebut dengan menggunakan konsep probabilitas.

Pengambil keputusan biasanya mengambil keputusan berdasarkan keadaan sekarang, bukan berdasarkan pada keadaan di masa lalu. Hal ini dikarenakan keadaan di masa lalu dianggap independen dengan keadaan di masa yang akan datang. Jika seorang pengambil keputusan harus memilih suatu alternatif dari sekian alternatif dan informasi yang ada adalah probabilitas dan keuntungan dari setiap alternatif, maka pengambilan keputusan dapat menggunakan proses keputusan Markov. Proses keputusan Markov dapat membantu proses pengambilan keputusan dalam model probabilitas. Proses keputusan Markov merupakan sebuah framework matematika untuk memodelkan masalah keputusan.

Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial, proses keputusan Markov telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perubahan perpindahan merek (brand switching) dalam pemasaran, perhitungan rekening-rekening, jasa-jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan, masalah-masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham dan administrasi rumah sakit. Proses ini bisa digambarkan dengan empat tipe informasi, yaitu ruang keadaan, himpunan tindakan, peluang transisi dan ekspektasi pendapatan (ongkos).

Peluang transisi di antara keadaan dijelaskan oleh suatu matriks yang elemen-elemennya menyatakan pendapatan (ongkos) yang diakibatkan oleh transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain. Baik matriks transisi maupun matriks pendapatan (ongkos) ini sifatnya bergantung pada alternatif-alternatif kebijakan yang dapat diambil oleh pengambil keputusan.

1.2Perumusan Masalah

Pada penelitian ini, masalah yang dirumuskan adalah bagaimana mengambil keputusan dengan memilih alternatif dari sejumlah alternatif yang tersedia.

1.3 Tinjauan Pustaka

M. Iqbal Hasan (2004, hal: 9) mengatakan bahwa keputusan merupakan suatu pemecahan masalah sebagai suatu hukum yang dilakukan melalui pemilihan satu alternatif dari beberapa alternatif. P. Siagian (1987, hal: 317) menyatakan bahwa keputusan ialah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada.

Mengambil atau membuat keputusan adalah suatu proses yang dilaksanakan orang berdasarkan pengetahuan dan informasi yang ada padanya pada saat tersebut, dengan pengharapan bahwa sesuatu akan terjadi (Kuntoro Mangkusubroto et al, 1987). P. Siagian (1987, hal: 317) mengatakan bahwa pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang diperlukan guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik. M. Iqbal Hasan (2004, hal: 10) menyatakan bahwa pengambilan keputusan merupakan suatu proses pemilihan alternatif terbaik dari beberapa alternatif secara sistematis untuk ditindaklanjuti atau digunakan sebagai suatu cara pemecahan masalah.

Permasalan yang nyata adalan pengambilan keputusan dihadapi untuk menentukan perencanaan yang sesuai. Sehingga keuntungan secara keseluruhan optimal.

Pengambilan keputusan dengan proses keputusan Markov dapat diselesaikan dengan metode pengiterasian kebijakan (T. Tarliah Dimyati et al, 2010). Henk. C. Tijms (2003) mengatakan bahwa metode pengiterasian kebijakan adalah metode yang memerlukan penyelesaian sistem persamaan linier pada setiap langkah. Algoritma metode pengiterasian kebijakan adalah sebagai berikut:

1. Pilih suatu kebijakan S

2. Untuk menentukan S, tentukan penyelesaian tunggal pada sistem persamaan

linier berikut:

 

j v

 

i v

p q

g S S

m j S ij S i

S  





1

, i0,1, . ..,m (1.1)

 

m vS

=0

Di mana m adalah satu keadaan yang dipilih sebarang.

3. Untuk setiap keadaan iI, tentukan a yang memberi nilai maksimum

 

      



 j v p q maks S m j a ij a i a 1

, i0,1, . ..,m (1.2)

4. Jika kebijakan baru dari langkah tiga sama dengan kebijakan dari satu langkah sebelumnya maka proses dihentikan. Jika tidak, ulangi langkah dua dan tiga.

1.4 Tujuan Penelitian

1.5 Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian diharapkan:

1. Membantu para pengambil keputusan (decision maker) suatu lembaga pemerintahan maupun swasta, seperti perusahaan.

2. Menambah wawasan dan memeperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubugan dengan proses keputusan Markov.

1.6 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Memaparkan konsep probabilitas, yaitu meliputi definisi, percobaan, ruang sampel, titik sampel, peristiwa dan variabel random.

2. Memaparkan tentang rantai Markov yang merupakan konsep dasar proses keputusan Markov.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas 2.1.1 Definisi

Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa tertentu. Definisi probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan, yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.

2.1.1.1 Pendekatan Klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas diartikan sebagai hasil banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin. Dirumuskan:

   

 

S n

A n A

P  (2.1)

dengan:

 

A

P = probabilitas terjadinya peristiwa A

 

A

n = jumlah peristiwa A

 

S

Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan, ada enam cara yang mungkin dan berkemungkinan sama, yaitu hasil lemparan ialah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Sehingga P

 

1 = P

 

2 = P

 

3 = P

 

4 =

 

5

P = P

 

6 = 6 1

. Jika kejadian A adalah muncul angka genap, maka peluang

munculnya angka genap dalam pelemparan sebuah dadu dapat terjadi sebanyak tiga

cara, yaitu 2, 4, atau 6. Sehingga peluang terjadinya kejadian A adalah P

 

A = 6 3

=

2 1

.

2.1.1.2 Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat diartikan sebagai berikut: 1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi

stabil.

2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas emperis. Nilai probabilitas ditentunkan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut. Dirumuskan:





n f x

X

P  lim , n (2.2)

dengan:



X x



P  = probabilitas terjadinya peristiwa X f = frekuensi peristiwa X

2.1.1.3 Pendekatan Subjektif

Probabilitas adalah sebaga tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta-fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Misalnya, seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari tiga calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

2.1.2 Percobaan, Ruang Sampel dan Titik Sampel

Percobaan dapat diartikan sebagai suatu prosedur yang sedang dilaksanakan pada kondisi tertentu, yang dapat diulang dalam jumlah tertentu pada kondisi yang sama dan hasilnya dapat diobservasi. Sebagai contoh, dua buah mata uang logam yang setimbang dilemparkan. Apabila kedua sisi mata uang tersebut dimisalkan dengan A (angka) dan G (gambar), maka semua hal yang mungkin terjadi adalah (A,A), (A,G), (G,A), (G,G). Semua hal yang mungkin ini dikatakan ruang sampel. Jadi ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. Sedangkan setiap elemen atau anggota daripada ruang sampel disebut titik sampel.

Ruang sampel disimbolkan dengan S. dari percobaan melempar dua mata uang logam tersebut, ruang sampel dapat dinyatakan dengan S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}. Titik sampel dari percobaan tersebut adalah A (angka) dan G (gmbar).

2.1.3 Probabilitas Beberapa Peristiwa

2.1.3.1 Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut tidak bisa terjadi pada saat bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:



A B



P

   

A P B

P    (2.3)

Sehingga untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:



A B C



P

     

A P B PC

P      (2.4)

2.1.3.2 Peristiwa Tidak Saling Lepas (Non Mutually Exclusive)

Dua atau lebih peristiwa dikatan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:



A B



P

    

A P B P A B



P      (2.5)

2.1.3.3 Peristiwa Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:



A B



P

   

A P B

Untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:



A B C



P

     

A P B P C

P    (2.7)

2.1.3.4 Peristiwa Tidak Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:



A B

  

P A P

 

BA

P   (2.8)

Untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:



A B C



P

 

A P

  

BAPCAB



P    (2.9)

2.1.3.5 Peristiwa Bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat lain telah terjadi. Jika Peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

 



 



A P

A B P A B

2.1.3.6 Peristiwa Komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

   

A P B 1

P (2.11)

2.2 Variabel Random

Variabel random aldalah suatu fungsi yang harganya merupakan bilangan riil dan ditentukan oleh setiap elemen dari suatu ruang sampel. Apabila ruang sampel berisi sejumlah elemen yang terbatas, maka ruang sampel tersebut berisi disebut sebagai ruang sampel diskrit dan variabel randomnya disebut variabel random diskrit. Apabila jumlah elemen pada ruang sampel itu tidak terbatas, maka ruang sampel tersebut disebut ruang sampel kontinu dan variabel randomnya disebut variabel random kontinu. Dalam hal ini, variabel random diskrit akan mempresentasikan data yang dapat dihitung, sedangkan variabel random kontinu mempresentasikan data yang dapat diukur.

Nilai-nilai probabilitas variabel random itu akan membangun bentuk distribusi probabilitas tertentu, bergatung pada macam percobaan dan karakter variabel randomnya. Pada dasarnya, distribusi probabilitas dari variabel random ini dikategorikan sebgai distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabiltas kontinu.

2.3 Pengantar Proses Stokastik

himpunan harga variabel acak X

 

t yang mungkin. Jika X

 

t merupakan variabel acak diskrit yang terjadi dari sejumlah harga tak berhingga yang dapat dihitung dalam suatu himpunan bilangan cacah tidak negatif, maka I



0 ,1,2,. . .



. Jika X

 

t

merupakan variabel acak kontinu yang tidak negatif, maka I



x:0x



.

Dalam proses stokastik istilah variabel acak X

 

t dapat diartikan sebagai variabel keadaan. Jika t1 ,2,. . . dalam himpunan T 



0,1,2,. . .



dan

 

t 0,1, . . . ,N

X dalam himpunan I0,1,2,. . . , N, maka X

 

1 menggambarkan keadaan pada waktu pertama dan X

 

2 menggambarkan kadaan pada waktu kedua dan seterusnya. Jadi, variabel X

 

t menggambarkan keadaan pada waktu t atau langkah t.

2.4 Rantai Markov

Teori rantai Markov pertama kali dikemukakan oleh Andrey Markov pada tahun 1906, seorang matematikawan dari Rusia yang hidup pada tahun 1856 sampai 1922. Ia mengungkapkan teori bahwa suatu kejadian yang akan datang bergantung pada keadaan saat ini dan bukan pada kejadian masa lalu.

Berdasarkan teori yang diungkapkan oleh Markov. Dengan kata lain, rantai Markov merupakan suatu teknik yang terdapat di dalam ilmu probabilitas yang bisa digunakan untuk menganalisis pergerakan suatu probabilitas dari suatu keadaan ke keadaan lainnya.

2.4.1 Definisi

2.4.2 Sifat Markov

Misalkan proses stokastik



X_t,t0,1,2,. . .



mempunyai keadaan berupa himpunan

berhingga atau himpunan terbilang. Secara umum ruang keadaan ini dapat dinotasikan sebagai himpunan



0 ,1,2,. . .



. Jika pada waktu t proses tersebut berada di keadaan i,

maka kejadian ini dituliskan sebagai



X_t i



. Proses stokastik disebut rantai Markov jika untuk tiap t0,1,2,. . . , berlaku:



X jX i X i X i

 

P X jX i



P _t1 _t  _t, _t1  _t1, . .., ₀  ₀  _t1 _t  (2.12)

Untuk setiap i₀ , . ..,i_t1,i, j0 dan untuk setiap n0. Persamaa (2.12) disebut sifat Markov.

2.4.3 Matriks Probabilitas Transisi

Probabilitas P_ij P



X_t  jX_t1 i



disebut sebagai probabilitas transisi. Probabilitas transisi menyatakan probabilias bersyarat (conditional probability) dari sistem yang berada dalam i pada saat t jika diketahui bahwa sistem ini berada dalam j pada saat

1



t .

Misalkan proses stokastik



X_t,t0,1,. . .



adalah suatu rantai Markov.

Matriks probabilitas transisi (satu) langkah dari



Xt,t0,1,. . .



, dinotasikan dengan

P, adalah suatu matriks dengan elemen ke

 

i, j nya adalah p_ij. Jadi,

Elemen-elemen dari matriks P bernilai tak negatif



p_ij0 ,untuk i, j0



dan jumlah elemen-elemen pada satu baris di matriks probabilitas transisi ini haruslah

sama dengan satu _

      



 0 . . . 2, 1, , 0 , 1 j ij i

p . Matriks transisi ini digunakan dalam

menganalisis kelakuan rantai markov dalam beberapa langkah ke depan dan juga setelah proses berjalan lama.

2.4.4 Persamaan Chapman-Kolmogorov

Misalkan P_ijt menyatakan probabiltas proses pada keadaan ke i akan berada pada

keadaan j setelah proses mengalami t transisi. Jadi, P_ijt dapat dituliskan



 



, 0, , 0

P X  jX i t i j

P_ijt _{t m t} (2.13)

dapat dilihat bahwa P_ij1  P_ij. Selanjutnya, dengan menggunakan law of total

probability, untuk semua t,m0, dan semuai,j0,

m t ij

P  = P



X_tm  jX_t i



=





 



        0 0 0 , k t t m

t jX k X i P X kX i X P =



 0 k t ik m kj P

P (2.14)

persamaan (2.14) dikenal dengan persamaan Chapman-Kolmogorov, akan memberikan suatu metode untuk mengitung peluang transisi dalam t langkah.

Misalkan P t adalah matriks dengan elemen-elemennya merupakan

 t t     t      t t

P P P P P P P

P  11  1 1  2 1 1  (2.15)

dengan kata lain, matriks probabilitas transisi dalam t langkah dapat diperoleh dengan mengalikan matriks probabilitas transisi satu langkah P sebanyak t kali.

Suatu rantai Markov yang pada awalnya berada pada keadaan i setelah satu transisi

akan berada pada keadaan j yang diberikan oleh suku

 

i,j dari matriks P. Secara umum, jika didefinisikan vektor baris



, 0,. . .



2 0 1

0  

  , dengan 0 i

 menyatakan

probabilitas rantai Markov berada si keadaan i pada permulaan proses sehingga probabilitas setelah satu transisi rantai Markov tersebut berada di keadaan j (dengan notasi 1

j

 ) diberikan oleh



 



0 0 1

k ki k

j  P

 , i0 ,1,. . .

definisikan



₁t, ₂t,. . .



t  

  , t1,2,. . .

Sebagai vektor distribusi probabilitas dari keadaan rantai Markov setelah t transisi. Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov di atas, diperoleh

t t

P

0



BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Teori Pengambilan Keputusan

M. Iqbal Hasan (2004, hal: 9) mengatakan bahwa keputusan merupakan suatu pemecahan masalah sebagai suatu hukum yang dilakukan melalui pemilihan satu alternatif dari beberapa alternatif. P. Siagian (1987, hal: 317) menyatakan bahwa keputusan ialah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada.

Mengambil atau membuat keputusan adalah suatu proses yang dilaksanakan orang berdasarkan pengetahuan dan informasi yang ada padanya pada saat tersebut, dengan pengharapan bahwa sesuatu akan terjadi (Kuntoro Mangkusubroto et al, 1987). P. Siagian (1987, hal: 317) mengatakan bahwa pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang diperlukan guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik. M. Iqbal Hasan (2004, hal: 10) menyatakan bahwa pengambilan keputusan merupakan suatu proses pemilihan alternatif terbaik dari beberapa alternatif secara sistematis untuk ditindaklanjuti atau digunakan sebagai suatu cara pemecahan masalah.

3.1.1 Fungsi Pengambilan Keputusan

1. Pangkal permulaan dari semua aktivitas manusia yang sadar dan terarah baik secara individual maupun secara kelompok, baik secara institusional maupun secara organisasional.

2. Sesuatu yang bersifat futuristik, artinya bersangkut paut dengan hari depan, masa yang akan datang, di mana efeknya atau pengaruhnya berlangsung sangat lama.

3.1.2 Tujuan Pengambilan Keputusan

Tujuan pengambilan keputusan dapat dibedakan atas dua, yaitu tujuan yang bersifat tunggal dan tujuan yang bersifat ganda. Tujuan pengambilan keputusan yang besifat tunggal terjadi apabila keputusan yang dihasilkan hanya menyangkut satu masalah, artinya bahwa sekali diputuskan tidak akan ada kaitannya dengan masalah lain. Sedangkan pengmbilan keputusan yang bersifat ganda terjadi apabila keputusan yang dihasilkan menyangkut lebih dari satu masalah, artinya bahwa satu keputusan yang diambil itu sekaligus memecahkan dua masalah atau lebih, yang bersifat kontradiktif atau yang bersifat tidak kontradiktif.

3.1.3 Faktor-faktor Pengambilan Keputusan

Ada beberapa faktor/hal yang mempengaruhi pengambilan keputusan, antara lain sebagai berikut :

1. Posisi/kedudukan

Dalam rangka pengambilan keputusan, posisi/kedudukan seseorang dapat dilihat dari letak posisi dan tingkatan posisi.

2. Masalah

Masalah adalah apa yang menjadi penghalang untuk tercapainya tujuan, yang merupakan penyimpangan daripada apa yang diharapkan, direncanakan atau dikehendaki.

3. Kondisi

4. Tujuan

Tujuan yang hendak dicapai, baik tujuan perorangan, tujuan unit (kesatuan), tujuan organisasi yang pada umumnya sudah ditentukan.

3.1.4 Dasar-dasar Pengambilan Keputusan

Dasar-dasar yang digunakan dalam pengambilan keputusan bermacam-macam, tergantung dari permasalahannya. Dasar-dasar dari pengambilan keputusan yang berlaku adalah sebagai berikut :

1. Intuisi

Pengambilan keputusan yang berdasarkan atas intuisi atau perasaan memiliki sifat subjektif, sehingga mudah terkena pengaruh.

2. Pengalaman

Pengambilan keputusan berdasarkan pengalaman memiliki manfaat bagi pengetahuan praktis. Karena pengalaman seseorang dapat memperkirakan keadaan sesuatu, dapat memperhitungkan untung ruginya, baik buruknya keputusan yang diambil.

3. Fakta

Pengambilan keputusan berdasarkan fakta dapat memberikan keputusan yang sehat, solid, dan baik.

4. Wewenang

Pengambilan keputusan berdasarkan wewenang biasanya dilakukan oleh pimpinan terhadap bawahannya atau orang yang lebih tinggi kedudukannya kepada orang yang lebih rendah kedudukannya.

5. Rasional

3.1.5 Jenis-Jenis Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan dapat diklasifikasikan atas dua jenis, yaitu berdasarkan program dan berdasarkan lingkungan. Pengambilan keputusan berdasarkan program dibedakan menjadi dua kelompok, yaitu sebagai berikut.

1. Pengambilan keputusan terperogram

Pengambilan keputusan yang terperogram adalah pengambilan keputusan yang bersifat rutinitas, berulang-ulang, dan cara menanganinya telah ditentukan. Pengambilan keputusan terperogram ini digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terstruktur melalui hal-hal berikut.

a. Prosedur, yaitu serangkaian langkah yang berhubungan dan berurutan yang harus diikuti oleh pengambil keputusan.

b. Aturan, yaitu ketentuan yang mengatur apa yang harus dan apa yang tidak boleh diambil oleh pengambil keputusan.

c. Kebijakan, yaitu pedoman yang menentukan parameter untuk membuat keputusan.

2. Pengambilan keputusan tidak terperogram

Pengambilan keputusan tidak terperogram adalah pengambilan keputusan yang tidak rutinitas sehingga memerlukan pemecahan yang khusus. Pengambilan keputusan tidak terperogram digunakan untuk menyelesaikan masalah yang tidak terstruktur.

Pengambilan keputusan berdasarkan lingkungan dapat dibedakan menjadi empat kelompok, yaitu sebagai berikut.

1. Pengambilan keputusan dalam kondisi pasti

Pengambilan keputusan dalam kondisi pasti adalah pengambilan keputusan di mana berlangsung hal-hal berikut.

a. Alternatif yang harus dipilih hanya memiliki satu konsekuensi atau hasil. Ini berarti hasil dari setiap alternatif tindakan tersebut dapat ditentukan dengan pasti.

c. Dalam kondisi ini, pengambil keputusan secara pasti mengetahui apa yang akan terjadi di masa datang.

d. Biasanya selalu dihubungkan dengan keputusan yang menyangkut masalah rutin, karena kejadian tertentu di masa yang akan datang dijamin terjadi. e. Pengambilan keputusan seperti ini dapat ditemui dalam kasus-kasus atau

model-model yang bersifat deterministik.

f. Teknik pemecahan atau penyelesaiannya biasanya menggunakan teknik program linier, model transportasi, model penugasan, model inventori, model antrian dan model nertwork.

2. Pengambilan keputusan dalam kondisi berisiko

Pengambilan keputusan dalam kondisi berisiko adalah pengambilan keputusan di mana berlangsung hal-hal berikut.

a. Alternatif yang harus dipilih mengandung lebih dari satu kemungkinan hasil. b. Pengambil keputusan memiliki lebih dari satu alternatif tindakan.

c. Diasumsikan bahwa pengambil keputusan mengetahui peluang yang akan terjadi terhadap berbagai tindakan dan hasil.

d. Risiko terjadi karena hasil pengumpulan keputusan tidak dapat diketahui dengan pasti, walaupun diketahui nilai probabilitasnya.

e. Pada kondisi ini, keadaan alam sama dengan kondisi tidak pasti. Bedanya dalam kondisi ini, ada informasi atau data yang akan mendukung dalam membuat keputusan, berupa besar atau nilai peluang terjadinya bermacam-macam keadaan.

f. Teknik pemecahannya menggunakan konsep probabilitas, seperti model keputusan probabilistik, model inventori probabilistik, model antrian probabilistik

3. Pengambilan keputusan dalam kondisi tidak pasti

Pengambilan keputusan dalam kondisi tidak pasti adalah pengambilan keputusan di mana:

a. Tidak diketahui sama sekali hal jumlah kondisi yang mungkin timbul serta kemungkinan-kemungkinan munculnya kondisi-kondisi itu.

c. Yang diketahui hanyalah kemungkinan hasil dari suatu tindakan, tetapi tidak dapat diprediksi berapa besar probabilitas setiap hasil tersebut.

d. Pengambil keputusan tidak mempunyai pengetahuan atau informasi lengkap mengenai peluang terjadinya bermaca-macam keadaan tersebut.

e. Hal yang akan diputuskan biasanya relatif belum pernah terjadi.

f. Tingkat ketidakpastiaan kaputusan semacam ini dapat dikurangi dengan beberapa cara, antara lain mencari informasi lebih banyak, melalui riset atau penelitian, penggunaan probabilitas subyektif.

g. Teknik pemecahannya adalah menggunakan beberapa metode, yaitu metode maximin, metode maximax, metode Laplace, metode minimax regret, metode realisme dan dibantu dengan tabel hasil (Pay Off Table)

4. Pengambilan keputusan dalam kondisi konflik

Pengambilan keputusan dalam kondisi konflik adalah pengambilan keputusan di mana:

a. Kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan saling bertentangan dalam situasi persaingan.

b. Pengambil keputusan saling bersaing dengan pengambil keputusan lainnya yang rasional, tanggap dan bertujuan untuk memenangkan persaingan tersebut. c. Pengambil keputusan bertindak sebagai pemain dalam suatu permainan. d. Teknik pemecahannya adalah menggunakan teori permainan.

3.2 Proses Keputusan Markov

Secara formal, proses keputusan Markov adalah sebuah tuple



I A P R



M  , , , , di mana I adalah himpunan keadaan tertentu



1, . ..,n



. A menyatakan himpunan tindakan yang bisa diambil pada sistem dalam keadaan i, iI (dalam hal ini, i dan A berhingga). P adalah probabilitas pada tindakan a, aA di keadaan i. R merupakan pendapatan yang diperoleh sebagai implikasi terjadinya transisi antar keadaan. Pengambilan suatu tindakan diatur oleh suatu kebijakan stasioner S. Kebijakan stasioner S merupakan suatu peraturan yang menyatakan tindakan apa yang harus dilakukan seandainya pada waktu pemeriksaan sistem berada dalam keadaan tertentu.

Jika tindakan a diambil pada keadaan i, maka akan dimiliki aturan

 

a

S_i  , aA, artinya jika sistem berada dalam keadaan i sehingga tindakan a

harus dilakukan. Sebagai konsekuensi dari pengambilan tindakan tersebut adalah

munculnya biaya atau pendapatan, yaitu a i

q yang merupakan ekspektasi biaya atau

pendapatan yang diperlukan apabila tindakan a dilakukan pada keadaan i. Pada pengambilan keputusan berikutnya, sistem akan berada dalam keadaan j dengan peluang a

ij

p di mana







i j

a ij

p 1 , iI

Sistem yang dikontrol ini dinamakan model keputusan markov bila sifat markov terpenuhi.

3.3 Metode Pengiterasian Kebijakan

Sebagai dasar untuk mengembangkan metode pengiterasian kebijakan, diperlukan persamaan rekursif berikut:

 

i q 



p v 

 

j

Bentuk persamaan di atas harus dimodifikasi lebih dahulu untuk memungkinkan mempelajari perilaku asimptotik dari prosesnya.

Definisikan  sebagai banyaknya langkah yang akan diamati. Ini berbeda

dari n pada persamaan (3.1) karena n menyatakan langkah ke n. Sehingga persamaan rekursifnya ditulis sebagai berikut:

 



 

    m j ij

i p v j

q i v 1 1 

 , i0,1, . ..,m (3.2)

 

i

v adalah ekspektasi pendapatan kumulatif dengan  adalah banyaknya langkah

yang diamati.

Dengan definisi yang baru ini, perilaku asimptotik dari prosesnya dapat dipelajari dengan menetapkan . Diketahui bahwa  



1,2, . ..,_n



adalah

vektor probabilitas pada keadaan steady state dari matriks transisi P p_ij dan

m mq q

q

g_{1 1}_{2 2}  . . . adalah ekspektasi pendapatan per langkah. Untuk 

yang sangat besar, sehingga v  g v

 

i

Karena v_

 

i adalah pendapatan optimum kumulatif untuk  langkah

berdasarkan keadaan i, dan g adalah ekspektasi pendapatan per langkah, sehingga

secara intuitif dapat diperlihatkan mengapa v_

 

i sama dengan g_ ditambah suatu

faktor koreksi v

 

i yang dihitung untuk keadaan i tertentu. Hasil ini tentu saja

berasumsi bahwa  sangat besar.

Dengan menggunakan informasi di atas, persamaan rekursifnya dapat ditulis sebagai berikut:

 



 

      m j ij

i p g v j

q i v g 1 ) 1 (

atau

   



    m j ij

i p v j v i q

g

1

, i0,1, . ..,m (3.4)

yang menghasilkan m buah persamaan dengan m+1 faktor yang tidak diketahui, yaitu

   

v v

 

m

v1, 2,. . . , dan g.

Tujuan metode ini adalah menentukan kebijakan optimum yang menghasilkan nilai g maksimum. Karena ada m persamaan dengan m1 faktor

yang tidak diketahui, maka nilai g optimum tidak dapat ditentukan dalam satu

langkah. Oleh karena itu, harus digunakan pendekatan iterasi yang dimulai pada suatu kebijakan mana saja dan pada akhirnya akan menentukan suatu kebijakan baru yang memberikan nilai g yang lebih baik. Proses iterasi ini berakhir apabila dua kebijakan

yang berturut-turut bersifat identik.

Proses iterasi ini terdiri atas dua komponen dasar yang disebut langkah penentuan nilai dan langkah perbaikan kebijakan.

1. Langkah penentuan nilai

Pilih suatu kebijakan S secara sebarang. Gunakan matriks PS dan RS-nya dan

secara sebarang asumsikan vS

 

m

=0. Selesaikan persamaan berikut:

 

j v

 

i v

p q

g S S

m j S ij S i

S  





1

, i0,1, . ..,m (3.5)

dengan faktor yang tidak diketahui adalah gS, vS

 

1, . . ., vS



m1



2. Langkah perbaikan kebijakan

Untuk setiap keadaan i, tentukan alternatif a yang menghasilkan:

 

      



 j v p q maks S m j a ij a i a 1

Nilai-nilai dari vS

 

j , j0,1, . ..,m adalah nilai yang sudah ditentukan pada langkah penentuan nilai di atas. Keputusan-keputusan optimum a yang dihasilkan

untuk keadaan 1, 2, . . ., m menyatakan kebijakan baru _S*_{. Jika S dan S}* _identik, maka proses dihentikan dan _S* _{adalah kebijakan optimum. Jika S dan S}* _tidak identik, maka ulangi perhitungan.

Tujuan dari langkah perbaikan kebijakan adalah memperoleh g maksimal

seperti yang telah dirumuskan di atas. Karena v

 

i tidak bergantung pada altenatif a, maka memaksimalkan g untuk seluruh alternatif a sama dengan memaksimalkan persoalan pada langkah perbaikan kebijakan.

3.4 Peroses Keputusan Markov dengan Metode Pengiterasian Kebijakan

Untuk dapat memahami model penyelesaian dari persoalan keputusan Markov, berikut ini dikemukakan sebuah ilustrasi dari persoalan keputusan. Misalkan sebuah perusahaan berusaha memperkenalkan suatu produk baru ke pasaran. Apabila hasil penjualannya tinggi, maka perusahaan tersebut mempunyai probabilitas 0,5 untuk tetap bertahan pada tingkat penjualan yang tinggi pada bulan yang akan datang. Jika hasil penjualan rendah, maka probabilitas pada bulan yang akan datang akan diperoleh hasil penjualan yang tinggi, hanyalah 0,2. Perusahaan ini sedang menjajaki kemungkinan dilakukannyapengiklanan.

Apabila pengiklanan dan hasil penjualan tinggi, maka probabilitas bahwa hasil penjualan tetap tinggi pada bulan yang akan datang adalah 0,8. Apabila hasil penjualan rendah dan pengiklanan dilakukan, maka probabilitas bahwa penjualan akan menjadi tinggi pada bulan yang akan datang adalah 0,4.

labanya adalah 7 juta rupiah dan -2 juta rupiah bergantung pada apakah terjadi peningkatan penjualan atau tidak.

Apabila dilakukan pengiklanan dan pada awalnya hasil penjualan tinggi, maka ekspektasi labanya adalah 7 juta rupiah dan 6 juta rupiah bergantung pada apakah hasil penjualannya tetap tinggi atau tidak. Apabila pada awalnya hasil penjualan rendah, maka ekspektasi labanya adalah 3 juta rupiah dan -5 juta rupiah bergantung pada apakah terjadi peningkatan hasil penjualan atau tidak (T. Tarliah Dimyati et al, 2010).

Proses keputusan Markov digambarkan dengan empat tipe informasi, yaitu ruang keadaan, himpunan tindakan, probabilitas transisi dan ekspektasi laba. Dari persoalan di atas diketahui empat tipe informasi tersebut sebagai berikut.

1. Ruang keadaan

Berdasarkan persoalan di atas terdapat dua keadaan. Keadaan pertama penjualan tinggi dan keadaan kedua penjualan rendah.

2. Himpunan tindakan

Berdasarkan persoalan di atas yang menjadi alternatif keputusan atau tindakan adalah tidak melakukan pengiklanan sebagai tindakan pertama dan melakukan pengiklanan sebagai tindakan kedua.

3. Probabilitas transisi

Probabilitas trasnsisi untuk setiap keadaan adalah sebagai berikut.

a. Jika tidak melakukan pengiklanan, maka probabilitas transisinya adalah:

       8 , 0 2 , 0 5 , 0 5 , 0 P

b. Jika melakukan pengiklanan, maka probabilitas transisinya adalah:

       6 , 0 4 , 0 2 , 0 8 , 0 P

4. Ekspektasi laba

Ekspektasi laba untuk setiap keadaan adalah sebagai berikut.

a. Jika tidak melakukan pengiklanan, maka ekspektasi labanya adalah:

b. Jika melakukan pengiklanan, maka ekspektasi labanya adalah:        000 . 000 . 5 -000 . 000 . 3 000 . 000 . 6 000 . 000 . 7 R

Dari persoalan di atas ingin diketahui kebijakan optimum untuk jangka panjang agar diperoleh pendapatan yang maksimum. Untuk mengetahui pendapatan yang maksimum dari persoalan di atas, dapat diselesaikan dengan metode pengiterasian kebijakan. Adapun algoritma metode pengiterasian kebijakan adalah sebagai berikut.

5. Pilih suatu kebijakan S

6. Untuk menentukan S, tentukan penyelesaian tunggal



g,vS

 

i



pada sistem

persamaan linier berikut:

 

j v

 

i v

p q

g S S

m j S ij S i

S _{ }



_

1

, i0,1, . ..,m (3.7)

 

m 0

vS

Di mana m adalah satu keadaan yang dipilih sebarang.

7. Untuk setiap keadaan iI, tentukan a yang memberi nilai maksimum

 

      



 j v p q maks S m j a ij a i a 1

, i0,1, . ..,m (3.8)

8. Jika kebijakan baru dari langkah tiga sama dengan kebijakan dari satu langkah sebelumnya maka proses dihentikan. Jika tidak, ulangi langkah dua dan tiga.

[image:40.612.126.520.87.251.2]

Tabel 3.1 Ekspektasi Laba Keadaan i Alternatif a Probabilitas a ij

P Laba Ekspektasi

Laba

1 2 1 2

1 1 0,5 0,5 10.000.000 4.000.000 7.000.000 2 0,8 0,2 7.000.000 6.000.000 6.800.000

2 1 0,2 0,8 7.000.000 -2.000.000 -200.000 2 0,4 0,6 3.000.000 -5.000.000 -1.800.000

Misalkan kebijakan awal yang diambil adalah tidak melakukan pengiklanan untuk setiap keadaan. Kebijakan optimum untuk jangka panjang dapat ditentukan dengan pengiterasian berikut.

Iterasi 1

Probabilitas transisinya adalah:

       8 , 0 2 , 0 5 , 0 5 , 0 P

Ekspektasi labanya adalah:

       000 . 200 -000 . 000 . 7 q

Dari matriks tersebut dicari pendapatan rata-rata g dan nilai relatif v

 

i dengan

rumus:

   

j vi v p q g m j ij

i  





1

Persamaan-persamaan dari penentuan nilainya adalah:

 

1 7.000.000 g 0,5v

 

1 0,5v

 

2

v    

 

2 -200.000 g 0,2v

 

1 0,8v

 

2

Jika secara sebarang ditetapkan v

 

2 0, maka persamaan di atas menghasilkan 86 , 142 . 857 . 1 

g v

 

1 10.285.714,29 v

 

2 0

Selanjutnya adalah langkah perbaikan kebijakan. Berdasarkan nilai g dan

 

i [image:41.612.128.522.241.363.2]

v yang telah diperoleh, perhitungan untuk langkah perbaikan kebijakan diperlihatkan pad Tabel 3.2 berikut ini.

Tabel 3.2 Perbaikan Kebijakan (Iterasi 1) Keadaan

i

Alternatif

a Uji Kuantitas

1 1 7.000.000 + (0,5) (10.285.714,29) + (0,5) (0) = 12.142.857,14 2 6.800.000 + (0,8) (10.285.714,29) + (0,2) (0) = 15.028.571,43

2 1 -200.000 + (0,2) (10.285.714,29) + (0,8) (0) = 1.857.142,86

2 -1.800.000 + (0,4) (10.285.714,29) + (0,6) (0) = 2.314.285,71

Dari Tabel 3.2 uji kuantitas pada keadaan 1 (penjualan tinggi) yang menghasilkan nilai maksimum adalah alternatif 2 (melakukan pengiklanan) dengan laba sebesar Rp 15.028.571,43. Uji kuantitas pada keadaan 2 (penjualan rendah) yang menghasilkan nilai maksimum juga alternatif 2 (melakukan pengiklanan) dengan laba sebesar Rp 2.314.285,71. Jadi, kebijakan yang baru adalah melakukan pengiklanan baik pada keadaan penjualan rendah maupun penjualan tinggi. Karena kebijakan ini berbeda dari kebijakan semula (tidak melakukan pengiklanan), sehingga langkah penentuan nilai harus diulangi.

Iterasi 2

Probabilitas transisinya adalah:

       6 , 0 4 , 0 2 , 0 8 , 0 P

Ekspektasi labanya adalah:

Dari matriks tersebut dicari pendapatan rata-rata g dan nilai relatif v

 

i . Persamaan-persamaan dari penentuan nilainya adalah:

 

1 0,2

 

2 8 , 0 000 . 800 . 6

1 g v v

v    

 

1 0,6

 

2 4 , 0 000 . 800 . 1

-2 g v v

v    

Jika secara sebarang ditetapkan v

 

2 0, maka persamaan di atas menghasilkan

33 , 333 . 933 . 3 

g v

 

1 14.333.333,33 v

 

2 0

Selanjutnya adalah langkah perbaikan kebijakan. Berdasarkan nilai g dan

 

i [image:42.612.126.521.365.492.2]

v yang telah diperoleh, perhitungan untuk langkah perbaikan kebijakan diperlihatkan pad Tabel 3.3 berikut ini.

Tabel 3.3 Perbaikan Kebijakan (Iterasi 2) Keadaan

i

Alternatif

a Uji Kuantitas

1 1 7.000.000 + (0,5) (14.333.333,33) + (0,5) (0) = 14.166.666,67 2 6.800.000 + (0,8) (14.333.333,33) + (0,2) (0) = 18.266.666,66

2 1 -200.000 + (0,2) (14.333.333,33) + (0,8) (0) = 2.666.666,67 2 -1.800.000 + (0,4) (14.333.333,33) + (0,6) (0) = 3.933.333,33

BAB 4

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Setelah dilakukan perhitungan dengan metode pengiterasian kebijakan untuk mengambil keputusan, diperlihatkan bahwa metode pengiterasian kebijakan merupakan metode yang cukup efisien untuk mengambil keputusan. Karena diperoleh solusi optimum dalam jumlah iterasi yang relatif kecil.

4.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

Ching, W. K., Ng, M. K. 2006. Markov Chains: Models, Algorithms and Application. New York: Spriger Science.

Dimyati. T., Dimyati. A. 2010. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Bandung: Sinar Baru Algasindo.

Hasan, M. Iqbal. 2004. Pokok-Pokok Teori Pengambilan Keputusan. Bogor: Ghalia Indonesia.

Hine, William W dan Douglas C. Montgomery. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi Kedua. Jakarta: UI-Press.

http://en.wikipedia.org/wiki/markov_decision_process. Diakses tanggal 21 Januari 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/markov_chain. Diakses tanggal 15 Maret 2011.

Mangkusubroto, Kuntoro. 1987. Analisis Keputusan Pendekatan Sistem dalam

Manajemen Usaha dan Proyek. Bandung: Ganeca Exact Bandung.

Papoulis, Anthanasios. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik. Edisi Kedua. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Ross, Sheldon M. 1996. Stochastic Processes. Edisi Kedua. John Wiley & Sons, INC.

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional: Teori dan Aplikasi. Jakarta: UI Press.

Tijms, Henk C. 2003. A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons, Ltd.