ISNA ALDILLA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ii
ABSTRAK
ISNA ALDILLA
.
Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDIFluida Sisko merupakan fluida cair yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari dan banyak digunakan dalam proses industri. Model matematika untuk menjelaskan kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum dan dinyatakan dalam koordinat silinder. Dalam penurunan model, diasumsikan kecepatan partikel fluida hanya bergantung pada gerak melingkar sepanjang pipa. Model matematika yang diperoleh berupa masalah nilai batas yang bentuknya taklinear. Model ini diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini, penyelesaian model matematika untuk fluida Sisko dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan software Maple 13, kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diberikan dalam bentuk grafik. Berdasarkan grafik, diperoleh bahwa kecepatan partikel fluida meningkat pada pusat pipa dengan meningkatnya kekentalan fluida.
Flow in a Straight Pipe . Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI
Sisko fluid is a liquid, which has an important role in daily life as well as in industrial processes. A mathematical model to describe the flow velocity and shear stress of Sisko fluid is derived from the laws of mass and momentum conservations. The model can be expressed in cylindrical coordinates. In the model formulation, the velocity of fluid particle is assumed to depend only on the circular motion along the pipe. The obtained model is a nonlinear boundary value problem. The problem can be solved by homotopy perturbation method, which is an analytical method to solve a nonlinear problem. Using this method, the solution of Sisko fluid model is given in the form of power series. Using Maple 13 software, the flow velocity and shear stress for Sisko fluid are graphically sketched. Based on the graphs, it can be observed that the velocity of fluid at the center of the pipe increases by increasing viscosity.
iv
PENGGUNAAN METODE PERTUBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ALIRAN FLUIDA SISKO
PADA PIPA LURUS
ISNA ALDILLA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
NIM
: G54080017
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS.
Drs. Siswandi, M.Si.
NIP. 19651102 199302 1 001
NIP. 19640629 199103 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
vi
PRAKATA
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Nenek (atas doa dan dukungan yang terus menerus), Kakak dan adik-adikku (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih sayang), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun Ibu (terima kasih atas doa, kasih sayang, dan motivasinya),
2. Dr. Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran, ilmu dan masukkannya selama membimbing penulis,
3. Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan masukkannya selama membimbing penulis,
4. Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku dosen penguji, Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen pembimbing akademik, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Pak Bono, Pak Acep, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),
6. Teman-teman satu bimbingan: Santi Susilawati dan Tika Purwanti yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,
7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Vivi, Rischa, Wulan, Fenny, Aci, Gita, Bolo, Mega, Dina, Putri, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini, Dono, Prama, Chastro, izzudin, Fuka, Ade, Tiwi, Pipin, Fikri, Haryanto, Irwan, Ari, Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Ryan, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Hendri, Rianiko, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma dan semua atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 3 tahun di
Math’45,
8. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Ririh, Kak Yuyun, Kak Nurul, Kak Imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Della, Kak Tyas, Kak Fitri, Kak Denda, Kak Wenti, Kak Deva, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Cepy, dkk yang telah memberi bantuan serta dukungannya,
9. Sahabat terbaik SMA: Aeni, Aisah, Yuristinda, Iis, Hanni, Dwi atas motivasi, dukungannya serta kebersamaan yang penuh warna,
10. Adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47: Amel, Mirna, Ivon, Desyi, Syaepul, Rudi, Dian, Dio, Bari, Ihsan, Tita, Fenny, Uwie, Irma, Rahmi, Melisa, Windi, Putri, Yoyok, Andri, Reni, Dayat, dkk yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya,
11. Teman-teman Pondok Shinta I : Frida, Tiur, Della, Nuy, Tata, Dania, Anas dan Riska atas doa, motivasi dan dukungannya,
12. Teman-teman A24 TPB, Asrama Putri A3 lorong 2, EO Koperasi Mahasiswa dan GUMATIKA IPB atas rasa kekeluargaan yang telah diberikan,
13. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Mei 2012
bersaudara, anak dari pasangan Bapak Sudiyatmo dan Ibu Wahyu Harjanti. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN 15 Jakarta, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 9 Jakarta dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 58 Jakarta. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ……… ix
DAFTAR LAMPIRAN .……… ix
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……… 1
1.2 Tujuan ………. 1
1.3 Sistematika Penulisan ……… 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Koordinat Silinder ………... 2
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus ………... 2
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida ……… 3
2.4 Metode Perturbasi Homotopi ….………... 5
III PEMBAHASAN 3.1 Asumsi dan Model ………. 8
3.2 Analisis Metode .………. 9
3.3 Aplikasi Metode .……….. 10
IV SIMPULAN Simpulan ………..…. 15
DAFTAR PUSTAKA ………...… 16
1 Sistem Koordinat Silinder ………... 2
2 Kesetimbangan Massa ………. 4
3 Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal (2.16) ………... 7
4 Sistem fisis dengan kecepatan hanya dalam arah-z ……….. 8
5 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan nilai viskositas ………. 12
6 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan parameter pencampuran fluida ……… 12
7 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan nilai viskositas ………. 13
8 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan parameter pencampuran fluida ……….... 13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal (2.16) ……….………... 182 Penurunan Persamaan (3.11) ……….. 20
3 Penurunan Persamaan (3.12) ……….... 22
4 Penurunan Persamaan (3.21) ………. 23
6 Program Mapple untuk Gambar 5 ……….………... 30
8 Program Mapple untuk Gambar 6 ……… 32
9 Program Mapple untuk Gambar 7 ……… 34
10 Program Mapple untuk Gambar 8 ……… 36
x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring berkembangnya jaman, sektor industri dan teknologi semakin berkembang pesat dengan digunakannya fluida berbentuk cairan (liquid) dalam proses industri. Misalnya dalam bidang industri, fluida cair digunakan sebagai bahan pembuat plastik, cairan pelumas, pembuatan lilin dan sebagainya. Secara umum fluida yang memenuhi hukum Newton disebut fluida Newtonian di mana terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan gerak yang disebabkannya. Banyak jenis fluida yang bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis minyak dan berbagai jenis gas di mana kekentalannya tidak berubah seiring perubahan waktu. Namun kemajuan teknologi telah membawa dampak terhadap fluida dengan ditandainya berbagai penyimpangan terhadap hukum Newton yang mengakibatkan fluida Newtonian jarang digunakan dalam proses industri. Fluida non Newtonian merupakan bentuk dari penyimpangan fluida terhadap hukum Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat non Newtonian seperti cat, tinta, minyak pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak digunakan pada bidang industri. Pembahasan lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida yaitu mekanika fluida.
Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang memelajari perilaku fluida baik dalam keadaan diam (static) maupun bergerak (dynamic). Fluida memiliki sifat tidak menolak terhadap perubahan bentuk dan mengambil bentuk dari wadah yang ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan geser (shear stress) dalam pusat massa sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat penting dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida adalah zat atau entitas yang terdeformasi secara berkesinambungan apabila diberi tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya juga bersifat teknis, yaitu berhubungan dengan akibat gaya kohesif [Munson, Young, Okiishi, 2004].
Model matematika dapat digunakan sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena alam yang sering muncul dalam permasalahan di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan
lainnya. Salah satu model matematika yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini didasarkan pada jenis mekanika fluida bergerak (dynamic). Model cairan non Newtonian dalam aliran mampat menimbulkan persamaan differensial taklinear. Secara analitik masalah taklinear sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko merupakan salah satu jenis dari fluida non Newtonian karena perilakunya yang menyimpang dari hukum Newton membuat fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa adanya kerja yang diberikan. Permasalahan yang timbul akibat perilaku fluida Sisko tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja industri. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko yang telah ditentukan dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam pipa lurus dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh He (2000).
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model aliran fluida Sisko melalui pipa lurus.
2. Mengetahui profil kecepatan dan tegangan geser fluida Sisko berdasarkan nilai viskositas fluida dan parameter pencampuran fluida.
1.3 Sistematika Penulisan
2
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000].
2.1 Sistem Koordinat Silinder
Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat , dan . Koordinat adalah jarak radial dari sumbu- , adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap positif) dan adalah koordinat sepanjang sumbu- . Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut :
Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder.
Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan berikut :
.
Komponen-komponen kecepatan pada sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial , kecepatan tangensial dan kecepatan aksial . Selanjutnya, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai :
̂ ̂ ̂
di mana ̂ , ̂ dan ̂ masing-masing adalah vektor-vektor satuan dalam arah , dan .
Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan merupakan suatu operator turunan yang didefinisikan sebagai berikut :
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus
Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu. Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat , dan yang merupakan fungsi dari waktu. Secara matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut :
Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan dan aliran kental atau takkental.
Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] :
dengan
Aliran fluida dapat pula dikatakan taktermampatkan (incompressible), jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan. Secara matematis aliran fluida taktermampatkan dapat ditulis sebagai berikut:
taktermampatkan dan takkental disebut fluida ideal.
Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa sifat untuk penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut :
dengan merupakan vektor arah. Aliran fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan
(viscosity) fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida yang bergerak sesuai kecepatan masing-masing sehingga timbul tegangan geser. Besarnya tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi dan perlahan-lahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran.
Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian dan fluida non Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam hubungan berikut :
dengan merupakan tegangan geser pada fluida dan merupakan kekentalan fluida
(viscosity) [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham dan bentukknya berupa plastik padat. Tegangan
geser dan regangan geser fluida Sisko memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor dan kemudian kembali ke permukaan melalui Annulus (celah antara pipa bor dengan lubang sumur). Dengan demikian untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]:
(2.2)
dengan tekanan, tegangan indentitas, dan merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang didefinisikan sebagai berikut :
[ √
( )
]
(2.3)
di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]:
[ ( ) ] (2.4) dengan
Besaran dan merupakan parameter-parameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau.
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida
4
yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing-masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂. Rapat massa fluida dinyatakan oleh .
Gambar 2 Kesetimbangan Massa.
Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah :
̂ �̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂
dan pada arah sumbu- adalah : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
sehingga laju perubahan massa fluida adalah : ̂ ̂ �̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Untuk ̂ dan ̂ , diperoleh : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa ̅.
Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu ̂, yaitu :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Dalam notasi vektor, turunan total dari terhadap waktu ̂ dapat ditulis sebagai berikut:
̂ ̅ dengan ̅ ̂ ̂ . Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan
(incompressible), yaitu : ̂
maka persamaan (2.5) memberikan persamaan berikut :
̂�̂ ̂ ̂
atau
̅ (2.6)
[Faber, 1995].
Persamaan kontinuitas dapat digunakan sesuai dengan sistem koordinat silinder. Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] :
Jika fluida dengan kerapatan konstan di seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi : (2.7)
Hukum kekekalan momentum diturunkan dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan maupun gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya pada gaya gesekan (viskositas) yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier-Stokes adalah :
dengan tekanan, menyatakan tegangan geser pada fluida dan merupakan gaya badan, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada sistem. Gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik merupakan contoh dari gaya badan [Batchelor, 1967].
Misalkan fluida pada pipa lurus yang dinyatakan dalam sistem koordinat silinder, perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu- atau secara matematis dapat ditulis :
dan aliran fluida hanya sepanjang sumbu- (yaitu ), maka persamaan (2.7) menjadi:
Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja, maka persamaan (2.8) menjadi :
[ ]
(2.9) Persamaan (2.9) merupakan persamaan Navier-Stokes.
2.4 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan persamaan differensial sebagai berikut :
[ ] (2.10)
dengan suatu operator turunan taklinear dan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas . Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi :
[ ]
bila
(2.11) Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masing-masing merupakan operator linear dan taklinear. Jadi persamaan differensial (2.10) dapat ditulis:[ ] [ ] (2.12)
Misalkan pendekatan awal yang memenuhi persamaan (2.10) dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
[ ] , dan suatu fungsi H
sebagai berikut :
[ ] [ ]
atau
[ ] [ ] [ ]
(2.13)
Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut:
[ ] [ ]
dan
[ ]
Menurut persamaan (2.10) dan persamaan (2.11) diperoleh bahwa fungsi :
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
dan
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai dari [ ] [ ] ke [ ]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan [ ] [ ] dan [ ] disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal , sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian . Untuk menentukan dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan (2.13) diturunkan terhadap hingga kali dan dihitung pada kemudian dibagi oleh , maka diperoleh persamaan berikut :
6
dan dinotasikan
|
Deret Taylor dari fungsi terhadap disekitar adalah :
∑ | atau ∑ (2.14)
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi yang dinyatakan pada persamaan (2.14) merupakan penyelesaian dari persamaan :
Berdasarkan persamaan (2.13), maka diperoleh
[ ]
[ ]
Jadi untuk dari persamaan (2.14), diperoleh
∑
Karena , maka diperoleh
∑
(2.15) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.10) dengan pendekatan awal , dan , diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Jika persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13), maka diperoleh dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan . Selanjutnya, tinjau
masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem persamaan differensial berikut :
(2.16)
dengan syarat awal
|
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.16) adalah
. (2.18)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator linear sebagai berikut :
[ ]
dan
[ ]
Berdasarkan persamaan (2.13) diperoleh persamaan berikut :
(2.19) Misalkan penyelesaian persamaan (2.19) dinyatakan dalam persamaan berikut:
(2.20) Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.19), kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka koefisien memberikan persamaan berikut :
Jika persamaan (2.21) diintegralkan dua kali terhadap dan memilih pendekatan awal
Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1.
Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari persamaan (2.16) dengan syarat awal pada persamaan (2.17) hingga orde keempat sebagai berikut :
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal (2.16).
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan model Sisko dalam masalah aliran fluida non Newtonian melalui pipa lurus.
3.1 Asumsi dan Model
Berikut akan diturunkan suatu model matematika pada masalah aliran fluida melalui pipa lurus dalam sistem koordinat silinder. Persamaan dasar fluida yang ditinjau diberikan pada persamaan (2.6) dan (2.8) yang dituliskan sebagai berikut:
(3.1)
dan
Penurunan persamaan dasar fluida dilakukan berdasarkan asumsi-asumsi berikut: 1. Aliran fluida pada pipa dalam keadaan
tunak.
2. Aliran fluida merupakan aliran laminar dan seragam.
3. Gaya gravitasi diabaikan.
4. Aliran fluida hanya dalam arah sumbu- . Misalkan kecepatan aliran fluida dinyatakan dalam persamaan berikut :
( ) (3.3)
dengan adalah kecepatan fluida dalam arah sumbu- yang hanya bergantung pada . Domain fluida yang ditinjau diberikan oleh Gambar 4 dengan dan masing-masing sumbu vertikal dan horizontal.
Gambar 4 Sistem fisis dengan kecepatan hanya dalam arah- .
Berikut ini akan ditentukan berdasarkan persamaan (2.2). Jika persamaan
(3.3) disubstitusikan ke dalam sistem koordinat silinder yang ditinjau pada persamaan (2.4), maka diperoleh
√ ( ) sehingga dari persamaan (2.3) diperoleh
( ) Jadi, berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh
( )
( ) (3.5) Jika persamaan (2.1) dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) serta gaya badan diabaikan, maka diperoleh
( ) ( ) (3.6) hanya dalam arah sumbu- . Dalam arah dan
, masing-masing diperoleh (3.7) dan (3.8)
Dari persamaan (3.7) dan (3.8) dapat disimpulkan bahwa . Berdasarkan sistem fisis yang digambarkan pada Gambar 4 diperoleh syarat batas berikut :
(3.9)
Dengan demikian model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dinyatakan oleh masalah nilai batas berikut : ( ) ( ) dengan syarat batas :
(3.10) Tegangan geser aliran fluida Sisko yang dinyatakan oleh persamaan (3.4) dan kecepatan aliran fluida Sisko yang diperoleh dari masalah nilai batas pada persamaan (3.10) masih berupa variabel fisis. Oleh karena itu, perlu dilakukan penondimensionalan. Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut :
̅
̅
dengan ̅ didefinisikan sebagai berikut :
̅ ( ̅)
yang menyatakan rasio antara rata-rata kecepatan fluida pada pipa ( ̅) dengan jari-jari pipa ( ). Masalah nilai batas pada persamaan (3.10) menjadi :
( ) ( ) dengan syarat batas :
(3.11) setelah tanda (*) diabaikan.
Persamaan (3.11) merupakan model matematika kecepatan aliran fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa , tekanan , parameter pencampuran fluida tegangan geser fluida Sisko dan viskositas fluida . Untuk
fluida Newtonian , sedangkan untuk fluida Sisko yang merupakan fluida non Newtonian . Tekanan fluida pada kondisi stabil dinyatakan oleh :
̅
dengan tekanan dalam kondisi kesetimbangan. Jadi berdasarkan persamaan (3.4), tegangan geser dalam variabel tak berdimensi adalah
( )
Persamaan (3.12) merupakan model matematika tegangan geser fluida Sisko dalam pipa yang dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa dan viskositas fluida. Penurunan persamaan (3.11) dan (3.12) dapat dilihat pada lampiran 2 dan 3.
3.2 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah aliran fluida non Newtonian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang disarikan dari [Liao, 2004] seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi yang tidak hanya bergantung pada dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut : [ ] [ ] (3.13) Selanjutnya, misalkan fungsi merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : ( ) atau [ ] [ ]. Berdasarkan persamaan (3.13), maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut :
10
dan
[
Berdasarkan persamaan (2.10) dan persamaan (2.11), maka penyelesaian dari persamaan dan masing-masing adalah
dan
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu T (r). Pemilihan pendekatan awal , dan operator linear perlu memperhatikan validitas dari metode homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap [ ]. Turunan ke dari fungsi terhadap yang dihitung di adalah: dan dinotasikan
Deret Taylor dari fungsi di sekitar adalah
∑ atau ∑ Selanjutnya dengan pemilihan , ,
, dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari deret (3.15) di . Jadi untuk , dari persamaan (3.15) diperoleh
∑
(3.16) Karena , maka diperoleh
∑
(3.17) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.10) dengan pendekatan awal dan yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, di mana persamaan (3.15) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.14), kemudian menyamakan koefisien dari kepangkatan .
3.3 Aplikasi Metode
Pada aliran fluida Sisko dalam pipa, hubungan antara tegangan geser dan regangan gesernya bersifat linear. Oleh karena itu, perlu diketahui bagaimana profil kecepatan dan tegangan geser yang terjadi pada aliran fluida Sisko di dalam pipa. Untuk lebih memahami metode yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, tinjau persamaan (3.11) yang merupakan model matematika bagi kecepatan aliran fluida Sisko pada pipa lurus dan ditulis kembali sebagai berikut :
( )
( )
dengan syarat batas :
{
(3.18) Berdasarkan persamaan (3.14) dan persamaan (3.18) diperoleh
[
]
dengan [ ] suatu parameter dan merupakan pendekatan awal. Parameter mengalami peningkatan dari 0 sampai 1. Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.19) dinyatakan dalam deret kuasa berikut :
(3.20)
Jika persamaan (3.20) disubstitusi ke dalam persamaan (3.19), maka koefisien memberikan persamaan berikut
dengan syarat batas :
{
Koefisien memberikan persamaan berikut
( ) ( )
dengan syarat batas :
{
Koefisien memberikan persamaan berikut
( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( )
dengan syarat batas :
{
Sebagai pendekatan awal di pilih sehingga diperoleh penyelesaian untuk koefisien , yaitu :
Penyelesaian untuk koefisien adalah :
Penyelesaian untuk koefisien adalah :
Berdasarkan persamaan (3.20), maka penyelesaian dari masalah nilai batas pada persamaan (3.18) dapat ditulis :
( )
atau (3.21) Penurunan persamaan (3.21) dapat dilihat pada lampiran 4.
12
Jika persamaan (3.22) dikalikan dengan konstanta , maka besarnya gaya hambat pada tegangan geser fluida adalah
(3.23) Persamaan (3.21) dan (3.23) masing-masing merupakan kecepatan dan tegangan
geser aliran fluida Sisko dalam pipa. Berikut ini akan diberikan profil kecepatan aliran fluida Sisko dan tegangan geser secara grafis.
3.3.1 Grafik Kecepatan Aliran
Perubahan kecepatan fluida di dalam pipa sangat dipengaruhi oleh nilai viskositas dan parameter pencampuran fluida. Gambar 5 dan Gambar 6 menunjukkan grafik kecepatan aliran terhadap jarak dari pusat pipa ke partikel fluida . Berdasarkan kedua gambar tersebut, besarnya kecepatan aliran fluida pada suatu pipa akan mendekati nol pada dinding pipa dan kecepatan akan mencapai maksimum pada tengah-tengah pipa.
Gambar 5 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan nilai viskositas .
Gambar 6 Profil kecepatan fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan parameter pencampuran fluida .
Gambar 5 menunjukkan perubahan kecepatan partikel fluida dalam pipa sesuai dengan perubahan nilai viskositas dalam cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida Newtonian dengan nilai viskositas dalam kasus pencampuran dua fluida yang berbeda bergerak dari dinding pipa , ke dinding pipa . Pada , kecepatan partikel fluida Newtonian adalah nol dan saat mencapai pusat pipa maka kecepatan aliran maksimum yaitu 0.5 satuan kecepatan. Namun untuk partikel fluida Sisko dengan kenaikan nilai viskositas yaitu
, dan kecepatan
Newtonian. Namun saat mencapai pusat pipa kecepatan aliran fluida Sisko menjadi lebih besar dan semakin menjauhi fluida Newtonian.
Gambar 6 menunjukkan perubahan kecepatan fluida dalam pipa terhadap parameter pencampuran fluida dalam cairan yang berbeda. Kecepatan partikel fluida Newtonian dengan pencampuran dua fluida dalam pipa sama seperti kecepatan aliran pada Gambar 5. Namun untuk partikel fluida Sisko dengan nilai viskositas , kecepatan aliran bergerak dari dinding pipa , ke dinding pipa dengan kecepatan -0,1 dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimum dicapai sebesar 0.49 satuan kecepatan. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran tiga fluida yang
berbeda , kecepatan aliran bergerak dari dinding pipa , ke dinding pipa dengan kecepatan nol dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimumnya adalah 0.49 satuan kecepatan. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran empat fluida yang berbeda , aliran bergerak dari dinding pipa , ke dinding pipa dengan kecepatan -0,12 dan saat mencapai pusat pipa, kecepatan aliran maksimumnya adalah 0.495 satuan kecepatan. Hal ini menunjukkan bahwa dengan semakin banyaknya pencampuran fluida pada partikel fluida Sisko, maka kecepatan partikel fluida Sisko semakin mendekati kecepatan partikel fluida Newtonian
.
3.3.2 Grafik Tegangan Geser
Tegangan geser terjadi karena adanya pergerakan relatif antar partikel-partikel fluida sehingga dengan kecepatan aliran yang berbeda-beda pada setiap titiknya, tegangan geser yang terjadi pun berbeda-beda.
Berikut ini akan dibandingkan perubahan tegangan geser pada fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan viskositas fluida dan parameter pencampuran fluida
.
Gambar 7 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan viskositas .
Gambar 8 Profil tegangan geser fluida Newtonian dan fluida Sisko dengan perubahan parameter pencampuran fluida
Gambar 7 menunjukkan perubahan tegangan geser partikel fluida dalam pipa sesuai dengan nilai viskositas dalam cairan yang berbeda. Tegangan geser partikel fluida Newtonian dan fluida Sisko bergerak dari pusat pipa ke dinding pipa . Besarnya tegangan geser pada partikel fluida
14
, dan , diperoleh bahwa tegangan geser semakin besar saat menuju dinding pipa. Ini menunjukkan bahwa semakin tinggi gaya viskositas yang diberikan oleh pipa akan memperbesar tegangan geser fluida Sisko dari pusat pipa ke dinding pipa.
Gambar 8 menunjukkan perubahan tegangan geser sesuai dengan parameter pencampuran fluida . Untuk partikel fluida Newtonian pergerakan tegangan geser sama seperti tegangan geser pada Gambar 7. Untuk partikel fluida Sisko dengan parameter pencampuran tiga fluida yang berbeda dan empat fluida yang berbeda , tegangan geser mencapai maksimum
diasumsikan berupa aliran fluida yang tunak, laminar dan seragam. Masalah aliran fluida Sisko pada pipa lurus diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode analitik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model fluida Sisko pada suatu aliran dalam pipa lurus ternyata sederhana, karena hanya melibatkan pengintegralan biasa. Berdasarkan metode perturbasi homotopi diperoleh bahwa semakin tinggi orde yang digunakan semakin terlihat perilaku fluida Sisko dalam pipa.
Profil kecepatan dan tegangan geser fluida Sisko terhadap viskositas dan parameter pencampuran fluida pada pipa lurus digambarkan secara grafis dengan menggunakan bantuan software Maple 13. Berdasarkan grafik diperoleh bahwa besarnya kecepatan aliran fluida pada pipa akan
kecepatan aliran akan mencapai maksimum pada pusat pipa. Sebaliknya, besarnya tegangan geser fluida pada pipa akan mendekati nol pada pusat pipa dan tegangan geser akan mencapai maksimum pada dinding pipa.
DAFTAR PUSTAKA
Acheson DJ. 1990. Elementary Fluid Dynamics, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Cambdridge Univ. Press. London.
Batchelor GK. 1967. An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press. London.
Faber TE. 1995. Fluid Dynamics for Physicists. Cambdridge Univ. Press. London.
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems.
International Journal Nonlinear Mechanic., Vol.35, No.1:37-43.
Khan M, Munawar S, Abbasbandy S. 2010. Steady Flow and Heat Transfer of a Sisko Fluid In Annular Pipe (Journal of Heat and Mass Transfer). 53: 10 1290-1297. Departmen of Mathematics, Pakistan.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopi Analysis Method. Boca Raton,London, New York Washington, D.C.
Munson BR, Young DF, Okiishi TH. 2004. Mekanika Fluida. Edisi Keempat
Harinaldi dan Budiarso, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Fundamental of Fluid Mechanics.
Shafieenejad I, Moallemi N, Afshari HH, Novinzadeh AB. 2009. Application of
18
Lampiran 1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal (2.16)
Perhatikan persamaan (2.16) berikut :
dengan syarat awal
dan
Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh
dengan nilai awal , , dan sebagai pendekatan awal.
Setelah dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan dari , koefisien masing-masing memberikan persamaan berikut :
Jika persamaan di atas diintegralkan dua kali terhadap , koefisien masing-masing memberikan penyelesaian berikut :
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal (2.16) dengan syarat awal dan hingga orde keempat adalah
20
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.11)
Tinjau persamaan (3.10) yang merupakan persamaan kecepatan aliran dari fluida Sisko
( ) ( )
Definisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut
̅ ̅ dengan ̅ ( ) ̅ dan ̅ Karena ̅ dan ( ) ( ̅ ) ̅
maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan (3.10) dapat ditulis :
̅ ( ̅ ) ̅ ̅ ( ̅ ) ̅ atau ̅ ( ̅ ) ( ) ̅ ̅ ( ̅ ) ( ) ̅
Jika kedua ruas pada persamaan di atas dikalikan dengan
̅, maka diperoleh
atau
(
)
(
)
Jika tanda (*) diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut :
(
)
(
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.12)
Tinjau persamaan (3.4) yang merupakan persamaan tegangan geser bagi fluida Sisko berikut :
( )
Didefinisikan variabel tak berdimensi sebagai berikut
̅ ̅
̅
dengan
̅ ( ) ̅ Karena
̅
maka bentuk persamaan tak berdimensi dari persamaan (3.4) dapat ditulis :
̅ ( ̅ )
̅ ( ̅ ) ( )
̅ ( ) ̅ ( ) ( ) ̅
̅ ̅ ̅ ( )
sehingga diperoleh
̅
̅ (
)
atau
̅ (
)
Jika tanda (*) diabaikan, maka diperoleh persamaan berikut
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.21)
Tinjau persamaan (3.20) sebagai berikut :
Jika persamaan (3.20) diturunkan terhadap , maka diperoleh
Jika persamaan diatas diturunkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh
Jika bentuk dan turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan (3.19), maka diperoleh
(
)
( )
atau
(
)
( )
24
atau
(
)
( ) ( )
[ (
)
( ) ( )
( ) ]
atau
(
)
( )
( )
( )
( )
[ ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ]
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
atau
(
)
(
)
( )
( )
[ ( ) ( ) ]
(
) (
)
(
)
26
(
)
(
) (
)
(
)
( ) ( )
(
) (
)
( )
Koefisien memberikan persamaan berikut :
Koefisien memberikan persamaan berikut :
(
)
(
) (
)
Koefisien memberikan persamaan berikut :
(
)
(
)
( )
(
) (
)
( )
Berikut ini akan ditentukan bentuk syarat batasnya. Berdasarkan persamaan (3.20) dan syarat batas (3.18), maka diperoleh
koefisien memberikan syarat batas
{
koefisien memberikan syarat batas
koefisien memberikan syarat batas
{
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian , , dan . Misalkan dipilih , maka diperoleh
Jika bentuk dan turunan-turunannya disuubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk
berikut
(
)
(
) (
)
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh
[ [ ] ]
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh sehingga
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh
sehingga
28
Jika bentuk dan serta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam masalah nilai batas untuk berikut
(
)
(
)
( )
(
) (
)
( )
dengan syarat batas berikut
maka diperoleh
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas di atas digunakan, maka diperoleh sehingga
Jika persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Jika syarat batas digunakan, maka diperoleh
sehingga
Maka penyelesaian persamaan (3.20) dapat ditulis
atau
30
Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 5
32
Lampiran 6 Program Maple untuk Gambar 6
34
Lampiran 7 Program Maple untuk Gambar 7
36
Lampiran 8 Program Maple untuk Gambar 8
.
ii
ABSTRAK
ISNA ALDILLA
.
Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Aliran Fluida Sisko pada Pipa Lurus. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDIFluida Sisko merupakan fluida cair yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari dan banyak digunakan dalam proses industri. Model matematika untuk menjelaskan kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum dan dinyatakan dalam koordinat silinder. Dalam penurunan model, diasumsikan kecepatan partikel fluida hanya bergantung pada gerak melingkar sepanjang pipa. Model matematika yang diperoleh berupa masalah nilai batas yang bentuknya taklinear. Model ini diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini, penyelesaian model matematika untuk fluida Sisko dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan software Maple 13, kecepatan aliran dan tegangan geser fluida Sisko diberikan dalam bentuk grafik. Berdasarkan grafik, diperoleh bahwa kecepatan partikel fluida meningkat pada pusat pipa dengan meningkatnya kekentalan fluida.
Flow in a Straight Pipe . Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI
Sisko fluid is a liquid, which has an important role in daily life as well as in industrial processes. A mathematical model to describe the flow velocity and shear stress of Sisko fluid is derived from the laws of mass and momentum conservations. The model can be expressed in cylindrical coordinates. In the model formulation, the velocity of fluid particle is assumed to depend only on the circular motion along the pipe. The obtained model is a nonlinear boundary value problem. The problem can be solved by homotopy perturbation method, which is an analytical method to solve a nonlinear problem. Using this method, the solution of Sisko fluid model is given in the form of power series. Using Maple 13 software, the flow velocity and shear stress for Sisko fluid are graphically sketched. Based on the graphs, it can be observed that the velocity of fluid at the center of the pipe increases by increasing viscosity.
x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring berkembangnya jaman, sektor industri dan teknologi semakin berkembang pesat dengan digunakannya fluida berbentuk cairan (liquid) dalam proses industri. Misalnya dalam bidang industri, fluida cair digunakan sebagai bahan pembuat plastik, cairan pelumas, pembuatan lilin dan sebagainya. Secara umum fluida yang memenuhi hukum Newton disebut fluida Newtonian di mana terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan gerak yang disebabkannya. Banyak jenis fluida yang bersifat Newtonian seperti air, beberapa jenis minyak dan berbagai jenis gas di mana kekentalannya tidak berubah seiring perubahan waktu. Namun kemajuan teknologi telah membawa dampak terhadap fluida dengan ditandainya berbagai penyimpangan terhadap hukum Newton yang mengakibatkan fluida Newtonian jarang digunakan dalam proses industri. Fluida non Newtonian merupakan bentuk dari penyimpangan fluida terhadap hukum Newton. Kebanyakan fluida yang terdapat di alam tidak bersifat Newtonian tetapi bersifat non Newtonian seperti cat, tinta, minyak pelumas, lumpur, dan sebagainya yang banyak digunakan pada bidang industri. Pembahasan lebih rinci mengenai dinamika fluida terdapat dalam ilmu yang memelajari perilaku fluida yaitu mekanika fluida.
Mekanika fluida adalah suatu ilmu yang memelajari perilaku fluida baik dalam keadaan diam (static) maupun bergerak (dynamic). Fluida memiliki sifat tidak menolak terhadap perubahan bentuk dan mengambil bentuk dari wadah yang ditempatinya. Sifat ini biasanya dikarenakan ketidakmampuan fluida mengadakan tegangan geser (shear stress) dalam pusat massa sehingga keberadaan tekanan menjadi sangat penting dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Dapat disimpulkan bahwa fluida adalah zat atau entitas yang terdeformasi secara berkesinambungan apabila diberi tegangan geser sekecil apapun. Berdasarkan definisi, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya juga bersifat teknis, yaitu berhubungan dengan akibat gaya kohesif [Munson, Young, Okiishi, 2004].
Model matematika dapat digunakan sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena alam yang sering muncul dalam permasalahan di bidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan
lainnya. Salah satu model matematika yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini didasarkan pada jenis mekanika fluida bergerak (dynamic). Model cairan non Newtonian dalam aliran mampat menimbulkan persamaan differensial taklinear. Secara analitik masalah taklinear sulit untuk dicari solusinya. Fluida Sisko merupakan salah satu jenis dari fluida non Newtonian karena perilakunya yang menyimpang dari hukum Newton membuat fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa tanpa adanya kerja yang diberikan. Permasalahan yang timbul akibat perilaku fluida Sisko tersebut akan menjadi penghambat bagi kerja industri. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida Sisko yang telah ditentukan dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai perilaku fluida Sisko dalam pipa lurus dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang diperkenalkan oleh He (2000).
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model aliran fluida Sisko melalui pipa lurus.
2. Mengetahui profil kecepatan dan tegangan geser fluida Sisko berdasarkan nilai viskositas fluida dan parameter pencampuran fluida.
1.3 Sistematika Penulisan
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000].
2.1 Sistem Koordinat Silinder
Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat , dan . Koordinat adalah jarak radial dari sumbu- , adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap positif) dan adalah koordinat sepanjang sumbu- . Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut :
Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder.
Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan berikut :
.
Komponen-komponen kecepatan pada sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial , kecepatan tangensial dan kecepatan aksial . Selanjutnya, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai :
̂ ̂ ̂
di mana ̂ , ̂ dan ̂ masing-masing adalah vektor-vektor satuan dalam arah , dan .
Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan merupakan suatu operator turunan yang didefinisikan sebagai berikut :
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus
Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu. Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat , dan yang merupakan fungsi dari waktu. Secara matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut :
Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan dan aliran kental atau takkental.
Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] :
dengan
Aliran fluida dapat pula dikatakan taktermampatkan (incompressible), jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan. Secara matematis aliran fluida taktermampatkan dapat ditulis sebagai berikut:
3
taktermampatkan dan takkental disebut fluida ideal.
Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa sifat untuk penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut :
dengan merupakan vektor arah. Aliran fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan
(viscosity) fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida yang bergerak sesuai kecepatan masing-masing sehingga timbul tegangan geser. Besarnya tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi dan perlahan-lahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran.
Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian dan fluida non Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam hubungan berikut :
dengan merupakan tegangan geser pada fluida dan merupakan kekentalan fluida
(viscosity) [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham dan bentukknya berupa plastik padat. Tegangan
geser dan regangan geser fluida Sisko memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor dan kemudian kembali ke permukaan melalui Annulus (celah antara pipa bor dengan lubang sumur). Dengan demikian untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]:
(2.2)
dengan tekanan, tegangan indentitas, dan merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang didefinisikan sebagai berikut :
[ √
( )
]
(2.3)
di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]:
[ ( ) ] (2.4) dengan
Besaran dan merupakan parameter-parameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau.
2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida
yang merupakan fungsi dari waktu ̂. Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu ̂. Peubah ̂ dan ̂ masing-masing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂. Rapat massa fluida dinyatakan oleh .
Gambar 2 Kesetimbangan Massa.
Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah :
̂ �̂ ̂ ̂ �̂ �̂ ̂
dan pada arah sumbu- adalah : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
sehingga laju perubahan massa fluida adalah : ̂ ̂ �̂ ̂ �̂ �̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Untuk ̂ dan ̂ , diperoleh : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa ̅.
Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu ̂, yaitu :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Dalam notasi vektor, turunan total dari t
