Komputer dan sistem digital lainnya mempunyai fungsi utama mengolah
informasi. Sehingga diperlukan metode metode dan sistem sistem untuk
merepresentasikan informasi dalam bentuk yang dapat dimanipulasi dan disimpan
oleh perangkat elektronik. Bab ini membahas tentang sistem bilangan dan kode
bilangan yang sering digunakan di dalam komputer dan sistem digital lainnya.
Topik sistem bilangan mencakup sistem bilangan desimal, biner, oktal, dan
heksadesimal serta sistem pengkonversian dari satu sistem bilangan ke sistem
bilangan yang lain. Sedangkan kode bilangan mencakup kode
(BCD), 3, , dan
(ASCII).
Sistem bilangan yang kita gunakan sehari hari adalah sistem bilangan
desimal. Ketika berbicara angka, pikiran kita langsung terhubung dengan suatu
digit dari 0 s/d 9. Di dalam sistem digital selain bilangan desimal, ada lagi sistem
bilangan yang umum dipakai yaitu sistem bilangan biner, oktal, dan heksadesimal.
Peralatan elektronika digital menggunakan sistem bilangan biner. Beberapa sistem
komputer ada yang menggunakan sistem bilangan oktal. Komputer digital dan
sistem yang berdasarkan mikroprosesor menggunakan sistem bilangan
heksadesimal.
Sistem bilangan desimal menggunakan simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan
9. Sistem bilangan desimal disebut juga sistem atau . Radiks
dan basis merupakan istilah yang mempunyai arti yang sama, yaitu menyatakan
Contoh : 28510 atau 285(10). Khusus untuk bilangan desimal, boleh tidak
mencantumkan basis tersebut pada bilangannya. Dengan kata lain, setiap bilangan
yang dalam penyajian tidak terdapat simbol radiks nya, berarti bilangan tersebut
adalah bilangan desimal.
Sistem bilangan mempunyai karakteristik nilai tempat ( ! " ), yang
masing masingnya mempunyai bobot sendiri sendiri sesuai dengan tempat
dimana angka/digit tersebut berada. Bobot untuk bilangan desimal adalah :
Bobot satuan : 100 = 1
Bobot puluhan : 101 = 10
Bobot ratusan : 102 = 100
Bobot ribuan : 103 = 1000 , dst
Nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian setiap
angka/digit dengan bobot tempat angka tersebut berada. Misalnya : bilangan
desimal 347. Pada bilangan tersebut angka 3 menempati posisi satuan, angka 4
pada posisi puluhan, dan angka 7 pada posisi ratusan. Sehingga penjumlahan
300+40+7 menghasilkan angka desimal total sebesar 347.
ratusan puluhan satuan
34710 = (3 x 102) + (4 x 101) + (7 x 100)
= 300 + 40 + 7
Sistem digital biasanya dikonstruksi dengan dua keadaan, seperti saklar,
transistor, dan komponen komponen elektronika lainnya yang digunakan dalam
sistem digital. Sistem bilangan yang cocok untuk merepresentasikan bilangan di
dalam sistem digital adalah sistem bilangan biner. Itulah sebabnya mengapa kita
perlu mempelajari sistem bilangan biner ketika kita ingin bekerja dalam sistem
digital.
Bilangan biner merupakan bilangan dengan radiks 2. Simbol yang
digunakan hanya 0 dan 1. Setiap digit biner ( ) disebut bit.
bit ke 5 bit ke 4 bit ke 3 bit ke 2 bit ke 1 bit ke 0
Bobot 25 24 23 22 21 20
Desimal 32 16 8 4 2 1
Bit ke 0 (bit paling kanan) dari bilangan biner merupakan
(LSB, # ), sedangkan bit paling kiri dari bilangan
biner merupakan (MSB, $ ). Contoh :
B5 B4 B3 B2 B1 B0
1 0 1 0 1 1
MSB LSB
! " # " $ " % " & '
(% ( ) " " * * # " # +
, "
Sistem bilangan oktal menggunakan 8 macam simbol bilangan, yaitu 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, dan 7, oleh karena itu bilangan oktal merupakan bilangan dengan
radiks 8. Sistem bilangan ini merupakan metode dari kelompok bilangan biner
(pengelompokan 3 bit), dan biasanya digunakan oleh perusahaan komputer yang
menggunakan kode 3 bit untuk merepresentasikan instruksi/operasi. Pada sistem
yang demikian, bilangan oktal digunakan sebagai perwakilan pengganti bilangan
biner, sehingga pengguna dapat dengan mudah membuat ataupun membaca
instruksi komputer.
Untuk lebih memudahkan dalam memahami bilangan oktal, dapat dilihat
pada tabel 2.1 berikut ini :
Tabel 2.1 Bilangan Desimal yang direpresentasikan dengan Bilangan Biner dan Oktal
Desimal Biner Oktal
3
Sistem bilangan heksadesimal menggunakan 16 simbol, yaitu : 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Huruf A untuk cacahan 10, B untuk 11, C untuk
12, D untuk 13, E untuk 14, dan F untuk 15. Sistem bilangan ini merupakan
metode dari pengelompokan 4 bit. Komputer digital dan sistem yang berdasarkan
mikroprosesor menggunakan sistem bilangan heksadesimal. Untuk lebih
memudahkan dalam memahami bilangan heksadesimal, dapat dilihat pada tabel
2.2 berikut ini :
Tabel 2.2 Bilangan Desimal yang direpresentasikan dengan Bilangan Biner dan
9
Dalam mengubah sistem bilangan desimal ke sistem bilangan lainnya
dapat dilakukan dengan % # ( ( dengan radiksnya.
Langkah langkah metode pembagian untuk mengubah bilangan desimal menjadi
bilangan biner (radiks 2) adalah sebagai berikut :
1. Berturut turut bagi bilangan desimal yang diketahui itu dengan 2.
2. Letakkan hasil baginya tepat di bawah bilangan yang dibagi itu.
3. Letakkan sisa pembagian itu di samping hasil bagi tersebut.
4. Bilangan biner setaranya akan terbentuk oleh sisa pembagian itu dengan
" $ " # dan # $ "
" .
0 1 ( :
2 115 sisa 1
2 57 sisa 1
2 28 sisa 0
2 14 sisa 0
2 7 sisa 1
2 3 sisa 1
1
Jadi, 115(10) = 1110011(2)
Untuk bilangan pecahan desimal, pengubahan bilangan tersebut menjadi
bilangan biner dapat dilakukan dengan langkah langkah berikut :
1. Berturut turut kalikanlah pecahan desimal itu dengan 2.
2. Tulislah hasil perkalian itu dengan lengkap, tetapi pisahkan bagian bulat dari
bagian pecahannya.
3. Letakkan hasil kali tersebut tepat di bawah bilangan yang dikalikan itu.
4. Lakukan perkalian itu hanya untuk bagian pecahannya saja dengan
mengabaikan bagian bulatnya sampai semua angka di bagian pecahannya
sama dengan nol atau sampai banyaknya angka yang diperlukan untuk derajat
ketepatannya telah dicapai.
5. Bagian bilangan bulat hasil perkalian tersebut yang pertama yang diperoleh
dari perkalian yang pertama merupakan bagian pecahan bilangan biner yang
pertama.
Untuk bilangan desimal yang merupakan gabungan antara bilangan bulat
dan bilangan pecahan, masing masing bagian itu (bulat dan pecahannya)
dikerjakan secara terpisah.
0 1 ( 2
0,6875 0,375 0,750 0,500
x 2 x 2 x 2 x 2
,375 3,75 ,500 ,000
Jadi, 0,6875(10) = 0,1011(2)
, % / " "
Konversi bilangan desimal ke bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara
membagi bilangan desimal tersebut dengan 8 secara terus menerus, dan hasilnya
dibaca dari bawah ke atas.
% % , Ubahlah bilangan desimal 574 menjadi bilangan oktal. 0 1 ( 2
8 574 sisa 6
8 71 sisa 7
8 8 sisa 0
1
Jadi,
574(10) = 1076(8)
Konversi bilangan pecahan desimal ke bilangan oktal dapat dilakukan
dengan cara mengalikan bilangan pecahan desimal tersebut dengan 8 secara terus
menerus, sampai diperoleh bilangan nol di belakang koma. Jika setelah beberapa
kali perkalian tidak menghasilkan bilangan nol di belakang koma, ambil beberapa
digit sampai banyaknya angka yang diperlukan untuk derajat ketepatan. Berarti
nilai tersebut adalah nilai aproksimasi (pendekatan).
0 1 ( 2
0,1875 0,500
x 8 x 8
,500 -,000 Jadi,
0,1875(10) = 0,14(8)
, , % / " . "
Konversi bilangan desimal ke bilangan heksadesimal dapat dilakukan
dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 16 secara terus menerus,
dan hasilnya dibaca dari bawah ke atas.
Konversi bilangan pecahan desimal ke bilangan heksadesimal dapat
dilakukan dengan mengalikan bilangan pecahan desimal tersebut dengan 16
secara terus menerus, sampai diperoleh bilangan nol di belakang koma.
% % 4 Ubahlah bilangan desimal 586 menjadi bilangan heksadesimal. 0 1 ( 2
16 586 sisa 10 = A
16 36 sisa 4
2
Jadi,
498(10) = 24A(H)
% % 5 Ubahlah bilangan pecahan desimal 0,5 menjadi bilangan heksadesimal.
0 1 ( 2
0,5
x16
8,000
Jadi,
- % /
- % / "
Konversi bilangan biner ke bilangan desimal dapat dilakukan dengan 2
(dua) cara, yaitu :
Cara I : Kalikan setiap bit dengan bobot faktor biner yang bersesuaian lalu
jumlahkan hasilnya.
Cara II : Tulis bilangan binernya, lalu tulis bobot faktor biner di bawah masing
masing bit. Setelah itu coret bobot faktor biner di bawah bit 0, dan
jumlahkan semua bobot faktor boner yang tidak dicoret.
% % 6 Ubahlah bilangan biner 1110010 menjadi bilangan decimal. 0 1 ( 2
Cara I :
1010110(2) = (1x26) + (1x25) + (1x24) + (0x23) + (0x22) + (1x21) + (0x20)
= 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0
= 114(10)
Cara II :
1 1 1 0 0 1 0 (tulis binernya)
26 25 24 23 22 21 20
64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 114(10) (jumlahkan
bilangan yang tidak
dicoret)
% % 7 Ubahlah bilangan biner 1001,1110 menjadi bilangan decimal. 0 1 ( 2
1 0 0 1 , 1 1 1 0
23 22 21 20 21 22 23 24
8 + 0 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0 = 9,875(10)
% % + Ubahlah bilangan biner 10010111(2) menjadi bilangan octal.
0 1 ( 2
0 1 0 0 1 0 1 1 1(2) = 227(8)
2 2 7
% % 3Ubahlah bilangan biner 1110,100101 menjadi bilangan oktal. 0 1 ( 2
0 0 1 1 1 0 , 1 0 0 1 0 1(2) = 16,45(8)
1 6 4 5
- , % / " . "
Untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesimal dapat dilakukan
dengan mengelompokkan bilangan biner itu # ( 8 # ( dimulai dari bit LSB, kemudian mengubah masing masing kelompok tersebut menjadi setara
heksadesimalnya.
% % Ubahlah bilangan biner 101001001110 menjadi bilangan heksadesimal.
0 1 ( 2
1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0(2) = A4E(16)
A 4 E
4 % / "
4 % / " "
Konversi bilangan oktal ke bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara
mengalikan setiap digit dengan bobot faktor oktal yang bersesuaian lalu
jumlahkan hasilnya.
0 1 ( 2
415(8) = (4x82) + (1x81) + (5x80)
= 256 + 8 + 5
= 269(10)
4 % / " "
Konversi bilangan oktal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengubah
setiap digit oktal menjadi bilangan biner 3 bit.
% % ,Ubahlah bilangan oktal 745 menjadi bilangan biner. 0 1 ( 2
7 4 5(8)
111 100 101(2)
Jadi,
745(8) = 111100101(2)
5 % / . "
5 % / . " "
Konversi bilangan heksadesimal ke bilangan desimal dapat dilakukan
dengan cara mengalikan setiap digit dengan bobot faktor heksa yang bersesuaian
lalu jumlahkan hasilnya.
% % -Ubahlah bilangan oktal 1C7 menjadi bilangan desimal. 0 1 ( 2
1C7(H) = (1x162) + (12x161) + (7x160)
= 256 + 192 + 112
= 560(10)
% % ,Ubahlah bilangan heksadesimal D2A menjadi bilangan biner. 0 1 ( 2
D 2 A(8)
1101 0010 1010(2)
Jadi,
D2A(H) = 110100101010(2)
6 %
Data yang diproses di dalam sistem digital umumnya direpresentasikan
dengan menggunakan kode tertentu. Terdapat berbagai macam sistem kode seperti
(BCD), gray, excess 3, dan ASCII. Dengan menggunakan
kode bilangan, dapat disajikan berbagai macam jenis data seperti bilangan, simbol
maupun huruf ke dalam besaran digital.
Kode kode tersebut disusun dengan suatu cara menggunakan bilangan
biner yang membentuk kelompok tertentu. Beberapa istilah yang berhubungan
dengan pengelompokkan bilangan biner, yaitu :
(( adalah kode biner 4 bit Contoh : 1001, 1010, dan 1110
) adalah kode biner 8 bit Contoh : 10011101 dan 10100110
: 1 byte = 8 bit
1 KB (baca : Kilobyte) = 1024 byte = 210 byte
9% adalah kode biner 16 bit
% ( 9% adalah kode biner 32 bit
6 % : ;
Kode BCD digunakan untuk merepresentasikan digit desimal 0 s.d. 9.
kombinasi yang berbeda, sehingga pada system kode BCD terdapat 6 buah kode
yang tidak digunakan ( ! ), yaitu : 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, dan
1111. Kode BCD untuk digital 0 s.d 9 dapat dilihat pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Kode BCD
% % -Tulislah kode BCD untuk bilangan decimal 3973. 0 1 ( 2
dilakukan konversi baliknya (mengubah kode BCD menjadi bilangan decimal).
0 1 ( 2
1001 0110 0111 0010
9 6 7 2
Jadi,
1001 0110 0111 0010 (BCD) = 9672 (10)
Sekilas kode BCD nampak seperti sistem biner, tetapi pada kenyataannya
keduanya adalah berbeda. Untuk melihat perbedaan keduanya, perhatikan contoh
2.16 berikut.
% % 5 Ubahlah bilangan desimal 129 menjadi bilangan biner dan kode BCD.
0 1 ( 2
Dengan menggunakan metode bagi 2, dapat ditemukan :
129(10) = 10000001(2) Sistem Biner
Konversi sistem desimal ke kode BCD :
129(10) = 0001 0010 1001(BCD) Kode BCD
Keunggulan kode BCD adalah mudahnya mengubah dari dan ke bilangan
desimal. Kerugiannya adalah kode BCD tidak dapat digunakan untuk operasi
aritmatika yang hasilnya melebihi 9.
Kode BCD digunakan pada sistem digital bila informasi desimal
diperlukan sebagai masukan atau diperagakan sebagai keluaran. Voltmeter digital,
jam digital, dan termometer digital merupakan contoh alat yang menggunakan
kode BCD karena alat itu memperagakan keluarannya dalam desimal. Kalkulator
juga menggunakan kode BCD karena bilangan masukannya diberikan dalam
bentuk desimal melalui tombol tombolnya dan keluarannya diperagakan dalam
bentuk desimal.
Beberapa komputer jaman dulu mengolah bilangan BCD, tetapi jenis
komputer ini lebih lambat dan lebih rumit dibandingkan komputer biner. Sebuah
bekerja dengan data data non numerik yang lain. Dengan kata lain, sebuah
komputer modern harus dapat memproses data alfanumerik (huruf alfabet,
bilangan, dan simbol simbol lain. Karena itulah komputer modern menggunakan
CPU yang memproses bilangan biner dan bukan bilangan BCD.
Dalam bidang teknik digital terdapat rangkaian yang dapat
membangkitkan kode BCD dari suatu bilangan desimal yang dimasukkan ke
dalam inputnya, dan rangkaian tersebut dinamakan pengkode desimal ke BCD
(decimal to BCD encoder). Terdapat pula rangkaian yang fungsinya merupakan
kebalikan dari fungsi encoder, yaitu decoder BCD ke desimal. Untuk pembahasan
yang lebih mendalam tentang encoder dan decoder, dapat dilihat pada Bab V.
6 % <* =, :> =,;
Excess 3 artinya kelebihan tiga. Sesuai dengan namanya, penetapannya
diperoleh dari penambahan 3 pada nilai binernya. Tabel 2.2 berikut ini
menunjukkan kode XS 3.
Tabel 2.2 Kode Excess 3
% % 6Kodekan bilangan decimal 129 ke system XS 3. 0 1 ( 2
1 2 9
0001 0010 1001 Setara binernya
0011 0011 0011 + Tambah tiga
0100 0101 1100
Jadi, 129(10) = 0100 0101 1100 (XS 3)
% % 7 Kembalikan kode XS 3 0110 1001 1100 1000 menjadi bilangan desimal.
0 1 ( 2
0110 1001 1100 1000
6 9 12 8 Setara desimalnya
3 3 3 3 Dikurang tiga
3 7 9 5
Jadi, 0110 1001 1100 1000(XS 3) = 3795(10)
Kode XS 3 ini dirancang untuk mengatasi kesulitan kode BCD dalam
perhitungan aritmatika. Penjumlahan dengan menggunakan kode XS 3 dapat
dilakukan dengan mengikuti aturan berikut :
1. Penjumlahan mengikuti aturan penjumlahan biner biasa
2. a. Jika hasil penjumlahan untuk suatu kelompok menghasilkan suatu
simpanan desimal, tambahkan 0011 ke kelompok tersebut.
b. Jika hasil penjumlahan untuk setiap kelompok tidak menghasilkan
simpanan desimal, kurangkan 0011 dari kelompok tersebut.
0 1 ( 2
63 → 1001 0110
26 + → 0101 1001 +
89 → 1110 1111 penjumlahan biner biasa
0011 0011 –
1011 1100
Penjumlahan contoh 2.19 di atas tidak mempunyai simpanan decimal. Untuk
proses penjumlahan yang mempunyai simpanan desimal dapat dilihat pada contoh
2.20.
% % 3 Jumlahkan bilangan decimal 38 dengan 29 dengan menggunakan system penjumlahan kode XS 3.
0 1 ( 2
38 → 0110 1011
29 + → 0101 1100 +
67 → 1100 0111 penjumlahan biner biasa
0011 0011 +
1001 1010
6 , % )
Kode gray merupakan kode 4 bit tanpa bobot dan tidak sesuai untuk
operasi aritmatika. Kode gray memiliki keunikan, yaitu hanya satu bit yang
berubah dalam setiap dua kata berurutan. Atau dengan kata lain, hanya satu bit
yang berubah bila dicacah dari atas ke bawah. Kode gray biasanya digunakan
sebagai data yang menunjukkan posisi dari suatu poros mesin yang berputar.
Tabel 2.4 Kode Gray
% )
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
8 1000 1100
9 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000
6 - % : ;
Untuk memperoleh informasi yang keluar dan masuk pada computer, kita
perlu menggunakan semacam kode alfanumerik (bilangan, huruf, dan symbol
simbol lainnya) untuk unit I/O dari computer yang bersangkutan. Dulu pernah
terjadi bahwa setiap pabrik menggunakan kode yang berbeda dan menimbulkan
segala macam kerancuan. Akhirnya industri industri computer sepakat untuk
menciptakan system kode untuk unit I/O tersebut yang dikenal sebagai ASCII.
Dengan system kode ini setiap pabrik dapat membakukan perangkat keras I/O
seperti keyboard, printer, monitor, dan lain lain.
Kode ASCII adalah kode 7 bit dengan format susunan :
a6
a5
a4
a3
a2
a1
a0
Setiap
a
disusun dalam digit 0 dan 1. Kode 7 bit menghasilkan 128 karakter yangTabel 2.5 Kode ASCII
Pada prakteknya, masing masing karakter direpresentasikan dengan
menggunakan 2 digit heksadesimal. Beberapa contohnya dapat dilihat pada tabel
2.6, sedangkan Tabel 2.7 menampilkan representasi karakter ke dalam
heksadesimal secara lengkap.
Tabel 2.6. Contoh Representasi Kode ASCII dalam Heksadesimal untuk kata “Digital”
" % % . "
D
i
g
i
t
a
l
1000100
1101001
1100111
1101001
1110100
1100001
1101100
44
69
67
69
74
61
Tabel 2.7. Kode ASCII dalam Heksadesimal
Data informasi dibawa dengan menggunakan karakter control (
). Contoh : STX ( ) dan ETX ( ) digunakan untuk
menentukan batas/limit suatu data/text. Karakter karakter kontrol dapat dilihat
pada tabel 2.8 berikut :
Tabel 2.8. Karakter ASCII untuk Kontrol Informasi
Komputer modern menggunakan kode ASCII 8 bit ( ASCII) yang
merupakan perluasan dari ASCII 7 bit dengan tambahan 128 karakter lagi yang
7 % = %
1. Konversikan bilangan biner berikut ke bilangan desimal :
(a) 11001101 (b) 1010011,1 (c) 10,1101
2. Konversikan bilangan oktal berikut ke bilangan desimal :
(a) 735 (b) 1034 (c) 13,456
3. Konversikan bilangan heksadesimal berikut ke bilangan desimal :
(a) 26A (b) 1C3B (c) 12,A63
4. Konversikan bilangan desimal berikut ke bilangan biner :
(a) 87 (b) 176 (c) 12,376
5. Konversikan bilangan desimal berikut ke bilangan oktal :
(a) 376 (b) 1146 (c) 72,546
6. Konversikan bilangan desimal berikut ke bilangan heksadesimal :
(b)986 (b) 2136 (c) 523,675
7. Sebuah sistem PC menggunakan kode pengalamatan 20 bit untuk mengidentifikasi
lokasi lokasi memorinya.
a. Berapa banyak karakter heksadesimal yang dibutuhkan untuk mengidentifikasi
alamat untuk setiap lokasi memori?
b. Berapa heksadesimal 5 digit lokasi memori untuk alamat yang ke 100 ?
c. Jika menggunakan 50 lokasi memori untuk menyimpan data dan dimulai pada
lokasi 00096H, berapa lokasi data yang terakhir ?
8. Tentukan basis x dari bilangan di bawah ini :
(a) 361(10) = 551(x) (b) 859(10) = 5B7(x) (c) 982(10) = 1726(x)
9. 210(10) = ……….. (2) = ………… (8) = …………. (16)
10. Ubahlah bilangan desimal 305 ke bilangan biner, oktal, heksadesimal, dan
BCD
11. Kodekan bilangan desimal berikut ke dalam kode BCD dan 3 :
(a) 39 (b) 195 (c) 1475
12. Kembalikan kode BCD berikut menjadi bilangan desimalnya :
(a) 1001 1000 0110 (b) 1000 0111 0100 1001 0001
13. Berapa representasi BCD yang dikirim ke display 2 digit thermometer digital
15. Kodekan masing masing karakter berikut ke dalam kode ASCII.
Representasikan dengan menggunakan bilangan heksadesimal.
Cara mengubah bilangan desimal menjadi kode gray dapat dilihat pada contoh
2.21 berikut ini.
