Yohanes Private Matematika ,

(1)

Yohanes Private

Matematika 3

081519611185, 08119605588  Irisan kerucut:  Lingkaran  Parabola  Elips  Hiperbola LINGKARAN  Bentuk umum : y x2 + y2 = r2  pusat: (0 , 0) ; jari-jari = r (x – a) 2_{+ (y – b)} 2_{= r}2_{ pusat: (a , b) ; jari-jari = r r} b x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0  pusat: (-½A , -½B) jari-jari = ½ √¯_A2 _{+ B}2 _{– 4C} x a  Garis singgung:

1. Gradien garis singgung diketahui • y = mx  r √m2 + 1

• y – b = m (x – a)  r √m2 + 1 2. Titik singgung ( x1 , y1) diketahui

• x . x1 + y. y1 = r2

• (x – a) (x1 – a ) + (y – b) (y1 – b) = r2

Garis polar:

• x . x1 + y. y1 = r2

• (x – a) (x1 – a ) + (y – b) (y1 – b) = r2

 Kuasa, panjang garis singgung dan garis kuasa:

• Kuasa dari titik ( x1 , y1) terhadap lingkaran L

1. K = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 - r2

2. K = x12 + y12 + A x1 + B y1 + C (koefisien x2 dan y2 harus = 1)

• Panjang garis singgung dari ( x1 , y1) terhadap L : d = √K ( x1 , y1) di luar L

• Garis kuasa : g ≡ L1 – L2 = 0

• Titik kuasa pada 3 lingkaran : - cari garis kuasa antara L1 dan L2

- cari garis kuasa antara L1 dan L3

- Koordinat titik kuasa adalah perpotongan kedua garis tersebut  Titik potong 2 lingkaran

1. Cari garis kuasa kedua lingkaran (yaitu g)

2. Substitusi g pada salah satu lingkaran, jadikan bentuk persamaan kuadrat 3. Periksa diskrimnan persamaan kuadrat yang terjadi:

• D > 0 : kedua lingkaran berpotongan di 2 titik • D = 0 : kedua lingkaran berpotongan di 1 titik • D < 0 : kedua lingkaran tidak berpotongan

r

(2)

PARABOLA

Parabola relasi Parabola fungsi

Bentuk kurva y direktriks p p b F a x y F p b p direktriks

Definisi Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap (disebut focus) dan sebuah garis tertentu (disebut direktris)

Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu (yaitu focus) dan garis tertentu (yaitu direktris) sama dengan 1 (eksentrisitas = e = 1)

Persamaan (y – b)2_{= 4p (x – a)} _{(x – a)} 2_{= 4p (y – b)}

Puncak (a , b) (a , b)

Parameter P → + : membuka ke kanan – : membuka ke kiri P → + : membuka ke atas – : membuka ke bawah Fokus (a + p, b) (a , b + p) Direktris x = a – p y = b – p Sb. simetri y = b x = a Eksentrisitas e = 1 e = 1 Latus rectum LR = 4p LR = 4p Garis singgung • m diketahui y – b = m (x – a) + p/m y – b = m ( x – a) – pm2 • ttk sg. diketahui (y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)

rumus bagi adil, (x1,y1) pada parabola

(x – a)(x1 – a) = 2p (y + y1 – 2b)

rumus bagi adil, (x1,y1) pada parabola

Garis polar (y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)

rumus bagi adil, (x1,y1) di luar parabola

(x – a)(x1 – a) = 2p (y + y1 – 2b)

rumus bagi adil, (x1,y1) di luar parabola

Grs. Tengah sekawan

y – b = 2(p/m) x – a = 2pm

CATATAN :

Menentukan rumus bagi adil : • Bentuk x2_{dipecah menjadi x x}

1 • Bentuk y2 dipecah menjadi y y1

(3)

ELIPS

Elips ( datar ) Elips ( tegak )

Bangun kurva y direktriks direktriks a f c q f b p x y direktriks q a b direktriks x p Definisi Tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (disebut

focus) adalah tetap harganya (yaitu sama dengan 2a)

Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan garis tertentu adalah kurang dari 1 ( 0 < e < 1 )

Persamaan (x – p)2 (y – q)2 --- + --- = 1 a2_b2 (x – p)2 (y – q)2 --- + --- = 1 b2_a2 Pusat (p , q) (p , q) Parameter • a, b, c → a2_{= b}2_{+ c}2 • a > b > 0

• sumbu panjang = 2a (sejajar sb. x) • sumbu pendek = 2b (sejajar sb. y)

• a, b, c → a2_{= b}2_{+ c}2

• a > b > 0

• sumbu panjang = 2a (sejajar sb. y) • sumbu pendek = 2b (sejajar sb. x)

Fokus (2) (p  c , q) (p, q  c)

Puncak (4) (p, q  b) dan (p  a, q) (p, q  a) dan (p  b, q)

Direktriks (2) x – p =  (a2/c) y – p =  (a2/c)

Sb. simetri x = p dan y = q x = p dan y = q

Eksentrisitas e = (c/a) ; 0 < e < 1 e = (c/a) ; 0 < e < 1

Latus rectum LR = 2b2 a LR = 2b2 A Garis singgung • m diketahui y – q = m(x – p)  √(a2m2 + b2) y – q = m(x – p)  √(b2m2 + a2) • ttk singgung diketahui (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q) --- + --- = 1 a2_b2

rumus bagi adil (x1 , y1) pada elips

(x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q)

--- + --- = 1 b2_a2

rumus bagi adil (x1 , y1) pada elips

Garis polar (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q)

--- + --- = 1 a2 b2 rumus bagi adil (x1 , y1) diluar elips

(x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q)

--- + --- = 1 b2 a2

rumus bagi adil (x1 , y1) diluar elips

Garis tengah sekawan -b2 y – q = --- (x – p ) a2m -a2 y – q = --- (x – p ) b2m F F F c F

(4)

HIPERBOLA

Hiperbola (datar) Hiperbola (tegak)

Bentuk kurva y asimtot asimtot c q F F b a p x y b F a q c F p x Definisi Tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (disebut

fokus) adalah tetap harganya (yaitu sama dengan 2a) Tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan ke

garis tertentu adalah lebih dari 1 (e > 1) Persamaan (x – p)2 (y – q)2 --- - --- = 1 a2 b2 (y – q)2 (x – p)2 --- - --- = 1 a2 b2 Pusat (p , q) (p , q) Parameter • a, b, c, → c2 = a2 + b2

• sumbu transfer = 2a ( sejajar sumbu x ) • sumbu imajiner = 2b ( sejajar sumbu y )

• a, b, c, → c2_{= a}2_{+ b}2

• sumbu transfer = 2a ( sejajar sumbu y ) • sumbu imajiner = 2b ( sejajar sumbu x )

Fokus (2) ( p  c , q ) ( p , q  c ) Puncak (2) ( p  a , q ) ( p , q  a ) Direktris (2) a2 x – p =  ---- c a2 y – q =  ---- c

Sb simetri x = p dan y = q x = p dan y = q

Eksentrisitas c e = --- ; e > 1 a c e = --- ; e > 1 a Latus rectum 2 b2 LR = --- a 2 b2 LR = --- a Asimtot b y – q =  --- (x – p) a a y – q =  --- (x – p) b Garis singgung

• m diketahui y – p = m (x – p)  √(a2_m2_{– b}2₎ _{y – p = m (x – p)  √(a}2_{– b}2_m2₎

• ttk sg. diketahui (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q)

--- - --- = 1 a2 b2

rumus bagi adil, (x1 , y1) pada hiperbola

(y – q)(y1 – q) (x – p)(x1 – p)

--- - --- = 1 a2 b2

rumus bagi adil, (x1 , y1) pada hiperbola

Garis polar (x – p)(x1 – p) (y – q)(y1 – q)

--- - --- = 1 a2 b2

rumus bagi adil, (x1 , y1) di luar hiperbola

(y – q)(y1 – q) (x – p)(x1 – p)

--- - --- = 1 a2 b2

rumus bagi adil, (x1 , y1) di luar hiperbola

Grs. Tengah sekawan b2 y – q = --- (x – p) a2 m a2 y – q = --- (x – p) b2 m

(5)

CATATAN • Elips

- Sumbu panjang disebut sumbu mayor, dan sumbu pendek disebut juga sumbu minor

• Hiperbola

1. Hiperbola sekawan x2 _y2_x2_y2

--- - --- = 1 dan --- - --- = -1 adalah dua hiperbola yang sekawan a2 b2 a2 b2

Ciri :

- pusat sama

- sumbu nyata hiperbola yang satu merupakan sb. imajiner hiperbola lainnya - garis-garis asimtotnya sama

- jarak semua fokus ke pusat adalah sama panjang

- hiperbola sekawan umumnya tidak “sama dan sebangun” 2. Hiperbola orthogonal / hiperbola sama sisi

adalah hiperbola yang asimtotnya saling tegak lurus, atau a = b → Mencari garis singgung jika titik singgung telah diketahui

Cara yang termudah (tidak perlu mengetahui bentuk kurva dan tidak perlu menghafal rumus garis singgung) adalah dengan menggunakan differensial, mengingat bahwa m = y’

Contoh :

Cari persamaan garis singgung di (5, 3) pada elips : x2 + 4y2 – 6x –16y + 17 = 0 Jawab : Differensialnya = 2x + 8yy’ – 6 – 16y’ = 0

Di (5, 3) → 2.5 + 8.3.y’ – 6 – 16y’ = 0 → y’ = -½ Persamaan garis singgung : y – 3 = -½ (x – 5) 2y – 6 = -x + 5 x + 2y = 11

→Mencari garis singgung dari titik (x1 , y1) di luar kurva (untuk semua bentuk kurva)

Ada dua cara :

I. Menggunakan rumus garis singgung jika m diketahui

Langkah : 1. Misalkan garis singgung seolah-olah m (gradien) diketahui 2. Substitusi titik (x1 , y1) ke persamaan garis singgung tersebut

- diperoleh suatu persamaan dalam m

- pecahkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh nilai m

3. Gunakan rumus: y – y1 = m (x – x1) untuk mendapatkan persamaan garis singgung

II. Menggunakan bantuan garis polar

Langkah : 1. Cari persamaan garis polar titik (x1 , y1) (gunakan rumus bagi adil)

2. Substitusi garis polar ke persamaan kurva - pecahkan persamaan tersebut

- diperoleh koordinat dari kedua titik singgung

3. Gunakan rumus bagi adil untuk mendapatkan persamaan garis singggung Contoh:

Cari persamaan garis singung yang ditarik dari (7, 1) pada lingkaran x2 + y2 = 25 Cara I :

Jawab :

Karena lingkaran tersebut berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r = 5, maka garis singgungnya jika m telah diketahui ialah………. → y = mx  5 √(m2_{+ 1)} garis lewat (7, 1) → 1= m.7 5 √(m2 + 1) 1 – 7m =  5 √(m2 + 1) (1 – 7m)2_{= 25 (m}2_{+ 1)} 1 – 14m + 49m2 = 25m2 + 25 24m2 – 14m – 24 = 0 m = 4/3 m= -3/4 → y – 1 = 4/3 (x – 7) serta y – 1 = -3/4 (x – 7)

(6)

Cara II Jawab :

Persamaan bagi adil : xx1 + yy1 = 25

1. Persamaan garis polar : x.7 + y.1 = 25 →7x + y = 25 → y = 25 – 7x 2. Substitusi ke lingkaran: x2 + (25 – 7x)2 = 25 x2 + 625 – 350x + 49x2 = 25 50x2_{– 350x + 600 = 0} x2 – 7x + 12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0 x1 = 4 → y1 = 25 – 7.4 = -3 → (4, -3) x2 = 3 → y2 = 25 – 7.3 = 4 → (3, 4)

3. persamaan garis singgung di (4, -3) : x.4 + y(-3) = 25 → 4x – 3y – 25 = 0 persamaan garis singgung di (3, 4) : x.3 + y4 = 25

→ 3x + 4y –25 = 0

Jenis kurva irisan kerucut

Persamaan secara umum : Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Jika :

Lingkaran : A = B

Elips : A ≠ B, A = +, B = + Hiperbola : A = 0 atau B = 0 Garis lurus: A = 0 dan B = 0

Kedudukan garis terhadap irisan kerucut

D < 0 : garis tidak memotong kurva D = 0 : garis menyinggung kurva

D > 0 : garis memotong kurva di dua titik