Kumpulan Soal dan Jawaban Matematika Das

(1)

TUGAS INDIVIDU SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA DAN STATISTIKA

Oleh:

Rizki Amalia Arifiani (NIM. 051711133037/B)

Dosen Pembimbing: Siti Zahidah, S.Si.,M.Si.

FAKULTAS FARMASI UNIVERSITAS AIRLANGGA

(2)

BAB I

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

1. Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang farmasi memproduksi 3 jenis obat-obatan, yaitu Pamol, Sanmol, dan Praxion yang penggunaannya haruslah dikonsumsi secara bersamaan. Masing-masing jenis obat mempunyai 3 unsur utama. 1 kapsul Pamol mengandung 2 gr paracetamol, 5 gr ibuprofen dan 1 gr aspirin. 1 kapsul Sanmol mengandung 1 gr paracetamol, 2 gr ibuprofen, dan 10 gr aspirin. 1 kapsul Praxion mengandung 3 gr paracetamol, 7 gr ibuprofen, dan 1 gr aspirin. Seseorang yang sedang demam akan sembuh dalam beberapa hari apabila mengkonsumsi 15 gr paracetamol, 34 gr ibuprofen, dan 64 gr aspirin. Jika harga 1 kapsul Pamol Rp 500,00, 1 kapsul Sanmol Rp 700,00, dan 1 kapsul Praxion Rp 400,00. Tentukan banyaknya masing-masing obat yang harus dibeli agar orang tersebut sembuh dan total biaya yang dibutuhkan!

Penyelesaian: Diketahui:

Misalkan, x = Pamol

y = Sanmol

z = Praxion

Paracetamol Ibuprofen Aspirin

Pamol (x) 2 5 1

Sanmol (y) 1 2 10

Praxion (z) 3 7 1

Total bahan aktif

yang diperlukan 15 34 64

Harga 1 kapsul Pamol = Rp 500,00

Harga 1 kapsul Sanmol = Rp 700,00

Harga 1 kapsul Praxion = Rp 400,00

Ditanya: Banyaknya obat yang dibutuhkan dan jumlah biaya yang harus dikeluarkan?

Jawab:

(3)

{

2x+y+3z=15…(i)

5x+2y+7z=34…(ii)

x+10y+z=64…(iii)

Salah satu cara yang dapat digunakan adalah dengan metode eliminasi.

Eliminasi persamaan (i) dan persamaan (iii)

2x+y+3z=15 (x 1) 2x+y+3z=15

x+10y+z=64 (x 3) 3 x+30y+3z=192

−x−29y=−177 … (iv)

Eliminasi persamaan (i) dan persamaan (ii)

2x+y+3z=15 (x 7) 1 4x+7y+21z=105

5x+2y+7z=34 (x 3) 15x+6y+21z=102

−x+y=3 … (v)

Eliminasi persamaan (iv) dan (v)

−x−29y=−177

−x+y=3

−30y=−180

y=6

Subsitusikan nilai y ke persamaan (v) −x+y=3

−x+6=3 x=3

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (i) 2x+y+3z=15

2.3+6+3z=15

12+3z=15

(4)

Maka didapat banyaknya obat yang dibutuhkan yaitu 3 kapsul Pamol, 6 kapsul Sanmol, dan 1 kapsul Praxion. Sehingga, uang yang harus dikeluarkan untuk mendapatkan obat tersebut adalah

3(500)+6(700)+1(400)=Rp6.100,00.

2. Banyak bilangan bulat positif dari solusi pertidaksamaan x2−2|x|−3

x−1 ≤0 adalah …. Pembahasan:

x2

−2|x|−3

x−1 ≤0 

(|x|−3)(|x|+1)

x−1 ≤0 Yang mana nilai (|x|+1) selalu bernilai positif.

+¿ ¿

(|x|−3)¿ ¿

Pengenol pembilang: |x| - 3 = 0

|x| = 3  x = 3 V x = -3 Pengenol penyebut: x – 1 = 0

x = 1

Sehingga didapat garis bilangan,

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah { x∈R∨x ≤−3atau1<x ≤3 } Bilangan positif yang termasuk ke dalam himpunan tersebut adalah {2 , 3}  ada 2.

---

++

---+

1 3

-3

(5)

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK

1. Suatu obat medis tertentu diberikan kepada pasien. Setelah t jam, banyaknya obat (dalam milligram) yang tersisa pada aliran darah pasien tersebut dimodelkan sebagai berikut.

D(t) = 50.e-0,2t

Berapa milligram obat yang tersisa pada aliran darah pasien selama 3 jam? Penyelesaian:

Oleh karena t = 3, maka: D(3) = 50. e-0,2.3

Sedangkan, diketahui e adalah bilangan natural, nilai e ≈ 2,718

 D(3) = 50(2,718)-0,6_mg

 D(3) = 27,44058047 mg

Jadi, obat yang tersisa pada aliran darah pasien setelah 3 jam adalah 27,44058047 mg.

2. Di sebuah laboratorium mikrobiologi, dilakukan percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri pada suhu 250_{C. Data percobaan disajikan dalam bentuk tabel yang menunjukkan} konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam mol per liter) setelah t menit.

t 0 2 4 6 8

C(t) 0.400 0.352 0.304 0.256 0.208

Sketsa grafiknya dan perkirakan konsentrasi asam tersebut saat detik ke-3, 4, dan 5! Penyelesaian:

Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik (4, 0.304) dan (8, 0.208), maka persamaan fungsinya adalah

C(t)−0,0304 0,0208−0,0304=

(6)

Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai C(t) yang diinginkan.

C(3) = 0,328 C(5) = 0,280 C(7) = 0,232

(7)

BAB III LIMIT FUNGSI

1. Hitunglah nilai dari lim x→0

√

2+

√

x−

√

2−

√

x

√

x ! Penyelesaian:

lim x→0

√

2+

√

x−

√

2−

√

x

√

x .

√

2+

√

x+

√

2−

√

x

√

2+

√

x+

√

2−

√

x

= lim x→0

2

√

x

√

x(

√

2+

√

x+

√

2−

√

x)=

2

√

2+

√

2= 1 2

√

2

2. Jika lim x →4

ax+b−

√

x x−4 =

3

4 , maka tentukan a + b! Penyelesaian:

Bentuk di atas jika x = 4 maka harus berbentuk 0 0 . Jadi, 4a + b – 2 = 0, atau 4a + b = 2 … (1)

Dengan menggunakan bantuan turunan, maka:

lim x →4

a− 1

2

√

x

1 =

3 4

 a−1

4= 3

4  a = 1

4.1 + b = 2  b = -2 a + b = 1 – 2 = -1

3. Tentukan nilai dari lim x → ∞(

1+x x−1)

6x !

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan ini jadikan dalam bentuk rumus umum lim x → ∞(1+

1 n)

n

=e

lim x → ∞

(1+x

x−1) 6x

lim x → ∞(

1+x−1+1 x−1 )

6x

lim x → ∞(

x−1+2 x−1 )

(8)

lim x → ∞(1+

2 x−1)

6x

lim x → ∞(1+

1 x−1

2

)

6x

Jadi, n disini adalah x−₂1

Untuk pangkat langsung kalikan dengan n

n sehingga diperoleh: 6x . x−1

2 x−1

2

untuk

membuat fungsi menjadi e .

lim z → ∞

(

1

+ 1

x−1 2

)

x−1 2 ₌_e

Lalu, untuk sisa pangkat 6x x−1

2

dicari dengan nlai limit tak hingga.

lim x → ∞

6x x−1

2

=12.

(9)

BAB IV

FUNGSI KONTINYU 1. Apakah fungsi f(x)=x

2

−1

x−1 kontinyu di titik x = 1? Penyelesaian:

Untuk mengetahui apakah fungsi di atas kontinyu di titik x = 1, maka kita harus mengecek ketiga syarat.

 Nilai fungsi f(1)=1

2

−1 1−1=

0

0 . Karena hasilnya 0

0 maka nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi.

Satu syarat tidak dipenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x)=x

2

−1

x−1 tidak kontinu (diskontinu) di titik x = 1.

2. Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,

f(x)=

{

_xax2 +3,untuk x ≤2

+1,untuk2<x ≤4 5−bx , untuk x>4

Tentukan nilai a+b ! Penyelesaian:

 Fungsi f(x) tidak kontinu di titik x = 2 dan x = 4  Penyelesaian di titik x = 2

f(x)= lim x→2+¿

f(x)

¿

x →2−¿ ¿

lim

(10)

ax+3= lim x →2+¿

x2

+1

¿

x →2−¿ ¿

lim

¿ ¿

a.2+3=22

+1

2a+3=5

2a=2 a=1

 Penyelesaian di titik x = 4 f(x)= lim

x→4+¿ f(x)

¿

x →4−¿ ¿

lim

¿ ¿

x2+1= lim x →4+¿

5−bx

¿

x →4−¿ ¿

lim

¿ ¿

42

+1=5−b.4

17=5−4b 4b=−12 b=−3

Sehingga, nilai a+b=1+(−3)=−2 Jadi, nilai a+b=−2

BAB V

TURUNAN FUNGSI

1. Seorang apoteker membuat usaha kecil berupa pembuatan obat herbal tradisional dengan harga Rp 10.000,00 per botol. Jika banyaknya produksi x botol, biaya totalnya memenuhi

(5.000 .000+6500x+0,5x2) , berapa botolkah produk yang harus dijual agar mendapat

keuntungan maksimum? Penyelesaian:

Pendapatan total = 10.000x

Biaya total ¿5.000.000+6500x+0,5x2 Misal keuntungan = L(x)

L(x)=10.000x−

(

5.000 .000+6500x+0,5x2

)

Keuntungan akan mencapai maksimum jika L’(x) = 0 L'(x)=0  3500−0,5x=0

x=7000

(11)

L(7.000)=3.500(7.000)−5.000 .000−0,5(7.000)

L(7.000)=24.500 .000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksi terjual 7.000 botol dan keuntungan maksimum sebesar Rp 24.500.000,00

2. Seorang pasien yang didiagnosa caries dentis diberikan obat penghilang nyeri “X” oleh seorang apoketer. Reaksi obat tersebut t jam setelah diminum memenuhi persamaan

f(t)=3t2

−t3 _{. Pada jam keberapa reaksi maksimum tercapai?} Penyelesaian:

Syarat untuk mencapai maksimum, jika f'(t)=0 , maka

6t−3t2=0

3t(2−t)=0

Jadi, t=0 atau t=2

Untuk t=0 , diperoleh f(0)=3(0)2−03=0 Untuk t = 2, diperoleh f(2)=3(2)2−23

=4

Jadi, reaksi obat tersebut mencapai maksimum saat 4 jam setelah diminum.

BAB VI

INTEGRAL TAK TENTU 1. Tentukan nilai dari

∫

9 1

√

x+

√

9 xdx ! Penyelesaian:

∫

dx

2

√

9x= 1 2

∫

dx

x 1 9

=1

2

∫

x

−1 9 _dx

¿1

2

[

1

−1 9 +1

. x

−1 9 +1₊_C

]

¿1

2. 1 8 9

. x 8 9₊1

2C

¿ 9

16 9

(12)

2. Tentukan nilai dari

∫

2

3+4xdx ! Penyelesaian:

Misalkan, 4x

=u .

lnu=ln 4x

lnu=xln 4

1

udu=ln 4dx 1

uln 4du=dx

∫

2

3+4xdx=

∫

2 3+u(

1 uln 4du)

¿ 2

ln 4

∫

1 u(3+u)du

∫

_u₍₃1₊_u₎du=…?

1 u(u+3)=

A u−

B u+3

1 u(u+3)=

A(u+3)−Bu u(u+3)

0u+1 u(u+3)=

(A−B)u+3A u(u+3)

3A=1 dan A−B=0

A=1

3 1 3=B Sehingga diperoleh bentuk:

1 u(u+3)=

1 3 u−

1 3 u+3

¿ 1

3u− 1 3(u+3)

Dan bentuk integralnya menjadi:

∫

_u₍_u1₊₃₎du=

∫

1

(13)

Sekarang ditulis ulang pertanyaannya: 2

ln 4

∫

1

u(u+3)du=

2 ln 4

∫

1 3u−

1 3(u+3)du

2 2 ln 2

∫

1 3u−

1 3(u+3)du

1 3 ln2

∫

1 u−

1

u+3du 1

ln 23

∫

1 u−

1 u+3du 1

ln 8

∫

1 u−

1 u+3du 1

ln 8

∫

1 udu−

1 ln 8

∫

1 u+3du

1 ln 8

∫

1

u+3du=… ? Misalkan p=u+3

dp=du

1 ln 8

∫

1 u+3du=

1 ln 8

∫

1 pdp

¿ 1

ln 8.lnp+C

¿lnp

ln 8+C

¿ln(u+3)

ln 8 +C 2

ln 4

∫

1

u(u+3)du=

1

ln8.lnu−

ln(u+3)

ln 8 +C

¿lnu

ln 8−

ln(u+3)

ln 8 +C

¿lnu−ln(u+3)

ln 8 +C

¿ln 4

x

−ln(4x

+3)

ln 8 +C ¿

xln 4−ln(4x

+3)

(14)

INTEGRAL TENTU 1. Tentukan nilai dari

∫

2 3

x

√

x2−1 !

Penyelesaian: Misalkan, u=x2

−1

du dx=2x 1

2du=x dx

Penentuan batas integrasi

Batas bawah: Untuk x=2 , maka u=22−1=3 Batas atas: Untuk x=3 , maka u=32

−1=8 .

∫

2 3

x

√

x2−1dx=

∫

3 8

√

u1 2du

¿1

2

∫

₃ 8 u 1 2_du ¿1 2

[

1 1 2+1

u 1 2+1

]

3 8 ¿1 2

[

1 3 2 u 3 2

]

3 8 ¿1

3

[

u 3 2

]

3 8

¿1

3

√

8− 1 3

√

3

= 1₃(

√

8−

√

3)

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2−4x+3 , sumbu x, dan sumbu y! Penyelesaian:

(15)

Luas=L₁+L₂

¿

∫

0 1

f(x)dx−

∫

1 3

f(x)dx

¿

∫

0 1

(

x2−4x+3

)

dx+

∫

3 1

(

x2−4x+3

)

dx

¿

[

1

3x 3

−2x2+3x

]0

1

+

[

1

3x 3

−2x2+3x

]3

1

¿

[

1

3(1) 2

−2(1)2+3(1)−0

]

+

[

1

3(1) 3

−2(1)2+3(1)

]

−

[

1

3(3) 3

−2(3)2+3(3)

]

¿11

3+1 1 3−0=2

2

3satuan L₂

(16)

BAB VIII

PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. Tentukan solusi khusus dari persamaan berikut jika y = 3 untuk x = 0.

exdy dx=4 Penyelesaian:

exdy dx=4→

dy dx=4e

−x Maka,

y=

∫

4e−x_dx

=−4e−x

+c

Dengan mengetahui y = 3 untuk x = 0, dapat dihitung nilai c yaitu: y=−4e−x

+c ↔3=−4+c ;c=7

Sehingga solusi khusus adalah: y=

∫

4e−x_dx₌₋₄_e−x₊₇

2. Selesaikan PDB dy_dx=−x−2y

y2

−2x , y(0)=3 ! Penyelesaian:

Bentuk diferensial dari PDB tersebut adalah: y

(¿¿2−2x)dy=0

(x−2y)dx+¿

Uji ke-eksak-an PD ini: ∂ M

∂ y =−2; ∂ N

∂ x =−2

Misalkan dipilih M untuk diintegralkan, maka: Q(x , y)=

∫

M(x , y)dx+g(y)

(17)

¿1

2 x 2

−2xy+g(y)

Lalu, menyamakan turunan Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y) ∂

∂ y

(

1 2x

2

−2xy+g(y)

)

=y2

−2x

0−2x+g'(y)=y2−2x g'(y)=y2

Integralkan g’(y), sehingga diperoleh

g(y)=1

3y 3

Penyelesaian umum dalam bentuk implisit Q(x,y) = c: 1

2 x 2

−2xy+1

3 y 3

=c

Diketahui y(0) = 3, diperoleh C = 9, sehingga penyelesaian khususnya adalah: 1

2 x 2

−2xy+1

3 y 3