Kumpulan Soal dan Jawaban Statistika Das

(1)

TUGAS INDIVIDU SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA DAN STATISTIKA

Oleh:

Rizki Amalia Arifiani (NIM. 051711133037/B)

Dosen Pembimbing: Ir. Elly Ana, M.Si

FAKULTAS FARMASI UNIVERSITAS AIRLANGGA

(2)

BAB 1

PENGANTAR TEORI PROBABILITAS

1. Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah:

a. kartu warna merah b. kartu As atau King c. kartu hitam dan Ratu Jawab :

Ruang sampel ada 52 kemungkinan.

a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah 26₅₂ = 1₂ b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah

4 52 +

4 52 =

8 52 =

2 13

Catatan: Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi anggota kedua kejadian tersebut.

c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya

adalah 26₅₂ × ₅₂4 = ₂₇₀₄104 = ₂₆1

Catatan: Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya tidak saling mempengaruhi satu sama lain.

2. Pada sebuah rak buku terdapat 5 buku Kimia Organik dan 4 buku Kimia Medisinal. Berapakah banyak cara supaya 2 buku Kimia Organik tertentu akan terletak berdampingan?

Jawab:

Apabila dianggap bahwa 2 buku Kimia Organik tertentu dapat digantikan sebagai 1 buku sehingga ada total 8 buku yang dapat diatur sehingga ada permutasi 8 buku dari 8 buku yang tersedia yaitu 88P=8! Cara dan

diantara 2 buku tersebut dapat dibuat permutasi 22P=2! sehingga total ada

(3)

BAB 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS

1. Sebuah apotek melaporkan bahwa diantara 500 orang pelanggan tetap mereka, 125 orang memilih menggunakan jasa pesan antar obat melalui panggilan telepon. Apabila 10 orang di antara pelanggan tetap tersebut diambil secara acak, berapa probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek untuk membeli obat?

Diketahui:

Banyak pelanggan tetap  N = 500 Banyak sampel  n = 10

Menggunakan jasa pesan antar obat  q = x n =

125 500 =

1

4 = 0,25 Datang langsung ke apotek  p = 1 – q = 1 – 0,25 = 0,75

Ditanya: P(X=4) ? Jawab:

Karena n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik ini dapat dihampiri dengan distribusi binomial.

h(x;N,n,k)  b(x;n,p)

b(x;n,p) =

(

n_x

)

pxqn−x

P(X=4)  b(4;10, 0,25) =

(

10

4

)

(0,75) 4

(0,25)10−4

P(X=4) = 210(0,3164)(0,00024) P(X=4) = 0,0159.

Jadi, probabilitas tepat ada 4 orang yang memilih datang langsung ke apotek untuk membeli obat adalah 0,0159.

(4)

a. Lebih dari 70 b. Kurang dari 45 c. 50 sampai 60 Diketahui: µ = 63,8 σ = 6,5 Ditanya: a. P(X>70) b. P(X<45) c. P(50<X<60) Jawab:

Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep distribusi normal.

P(x1 < X < x2)  var. random X ditransformasikan menjadi var. random Z = X−µ

σ

a. P(X>70) = P( Z>70−63,8

6,5 ) = P(Z>0,9538) = 1 – P(Z<0,9358) = 1 – 0,8238 = 0,1762

b. P(X<45) = P( X<45−63,8

6,5 ) = P(Z < -2,8923) = 0,0019

c. P(50<X<60) = P( 50−63,8 6,5 <Z<

60−63,8 6,5 ) = P(-2,123 < Z < -0,584)

(5)

= 0,719 – 0,0170 = 0,702

BAB 3

PENDUGAAN PARAMETER

1. Di suatu apotek, dua obat yang paling laris manis terjual setiap hari adalah obat sakit kepala dan obat maag. Setiap harinya terdapat stok obat sakit kepala sebanyak 150 kaplet dan obat maag sebanyak 100 kaplet. Didapatkan hasil bahwa jumlah rata-rata obat sakit kepala yang terjual adalah 95 kaplet dengan simpangan baku 13 kaplet, sedangkan jumlah rata-rata obat maag yang terjual adalah 53 kaplet dengan simpangan baku 10. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih rata-rata nilainya.

(6)

2. Suatu perusahaan obat pemutih kulit memproduksi krim jenis baru. Dari sampel acak 1000 orang yang menggunakan krim tersebut menunjukkan bahwa 750 orang merasa bahwa krim tersebut dapat memutihkan kulih dengan cepat. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya pengguna yang tertolong oleh krim tersebut.

---Diketahui:

n = 1000 x = 750

=

pp X_n = ₁₀₀₀750 = 0,75

= 1 -

qp pp = 1 – 0,75 = 0,25 α = 100% - 95% = 5% = 0,05

α 2 =

0,05

2 = 0,025 Ditanya:

Selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya. Jawab:

P( - pp zα 2

√

pp qp

n < p < + pp zα 2

√

pp qp

n ) = SK

P(0,75 - z_0,025

√

(0,75)(0,25)

1000 < p < 0,75 - z0,025

√

(0,75)(0,25)

1000 ) = 0,95 P(0,75 – 1,96

√

0,0001875 < p < 0,75 + 1,96

√

0,0001875 ) = 0,95 P(0,75 – 1,96.0,0136 < p < 0,75 + 1,96.0,0136) = 0,95

(7)

BAB 4

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Suatu apotek menyatakan bahwa jangka waktu obat A aman dikonsumsi melebihi jangka waktu obat B selama selambat-lambatnya 11 hari. Untuk menguji pernyataan ini, 40 tablet dari masing-masing jenis obat tersebut diuji dibawah kondisi yang sama. Hasil uji menunjukkan obat A mempunyai jangka waktu ketahanan rata-rata 97,2 hari dengan simpangan baku 5,6 hari. Sedangkan obat B mempunyai jangka waktu ketahanan rata-rata 85,5 hari dengan simbangan baku 4 hari. Ujilah pernyataan apotek tersebut dengan menggunakan taraf nyata 0,05. ---Diketahui:

d0 = 11 n1 = 40

xx1 = 97,2

σ1 = 5,6 n2 = 40

xx2 = 85,5

σ2 = 4 α = 0,05

Ditanya:

Ujilah pernyataan apotek tersebut. Jawab:

H0 : µ1 - µ2 = d0  H0 : µ1 - µ2 = 11 H1 : µ1 - µ2 > d0  H0 : µ1 - µ2 = 11 Daerah Kritis: Tolak H0 jika Z > Zα Statistik uji:

Z =

´

x1−´x2−d0

√

σ12

n1 + σ22

(8)

=

97,2–85,5–11

√

(5,6)2

40 + 42 40

= 0,7

√

0,784+0,4

= 0,7

√

1,184

= 0,7 1,088 = 0,643 Zα = 1,64 Z > Zα

Keputusan: diterima H0, ditolak H1

Kesimpulan: Tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa jangka waktu obat A aman dikonsumsi melebihi jangka waktu obat B selama selambat-lambatnya 11 hari.

2. Suatu suplemen penambah massa otot diduga hanya 40% efektif. Seorang farmasis bermaksud melakukan riset dan perancangan suplemen penambah massa otot jenis baru dengan memberikan kepada 75 orang dewasa yang kekurangan massa otot dan dipilih secara acak, hasilnya menunjukkan bahwa suplemen tersebut 75% efektif. Apakah ini merupakan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa suplemen baru lebih baik daripada yang beredar sekarang? (Gunakan α = 5%)

---0,643 1,64

(9)

Diketahui: p0 = 0,4 q0 = 0,6 n = 75

(10)

Ditanya:

Apakah cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa suplemen baru lebih baik daripada yang sekarang beredar?

Jawab:

H0 : p = p0  H0 : p = 0,4 H1 : p > p0 H1 : p > 0,4

Daerah Kritis: Tolak H0 jika Z > Zα Statistik Uji:

Z = x−n p0

√

n p₀q₀

= 75–75(0,4)

√

75(0,4)(0,6)

= 45

√

18

= _4,2445

= 10,6132 Zα = 2,04 Z > Zα

Keputusan: ditolak H0, diterima H1

Kesimpulan: Suplemen baru tersebut memang lebih baik.

2,04 Z tabel

(11)

BAB 5

ANALISIS VARIANSI

1. Dari 4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang diberikan kepada 16 orang yang menderita dysmenorrhea dicatat jumlah tablet yang diperlukan agar sembuh dari nyeri tersebut. Ke-16 orang tersebut dibagi secara acak ke dalam 4 kelompok dan masing-masing diberi satu jenis obat. Diperoleh data sebagai berikut.

Obat pereda dysmenorrhea

Feminax Emnagidon Mefinal Proris

3 2 4 7

5 5 6 5

2 4 2 7

3 6 4 6

Total 13 17 16 21 67

ni 4 4 4 4 16

Gunakan analisis variansi untuk menguji hipotesis bahwa rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat pereda dysmenorrhea yang dibutuhkan untuk sembuh dari dysmenorrhea adalah sama. Gunakan tingkat signifikan 0,05. ---Jawab:

Hipotesis :

H0 : Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat Pereda dysmenorrhea yang dibutuhkan agar sembuh dari dysmenorrhea adalah sama.

H1 : Tidak semua rata-rata banyaknya tablet yang dibutuhkan dari ke-4 jenis obat pereda dysmenorrhea tersebut sama.

Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2) F > F(0,05,3,12)

(12)

Perhitungan: 110,25 – 280,5625

= 8,1875 JKE = 78, 4375 - 8,1875 = 70,25

Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut

Sumber Derajat

Perlakuan 3 8,1875 2,7292 0,4662

Error 12 70,25 5,8542

total 15 78, 4375

Keputusan : Terima H0 karena nilai F = 0,4662 di luar daerah kritis Kesimpulan : Rata-rata banyaknya tablet dari ke-4 jenis obat pereda

dysmenorrhea tersebut yang dibutuhkan agar sembuh dari dysmenorrhea adalah sama.

2. Dalam suatu laboratorium, empat orang apoteker sedang membuat obat kapsul jenis A, B, dan C. Masing-masing apoteker harus membuat obat kapsul jenis A, B,dan C dalam waktu 30 menit. Setelah 30 menit, diperoleh jumlah obat kapsul sebagai berikut.

Apoteker 1 A = 20 B = 18 C = 23

Apoteker 2 A = 15 B = 22 C = 10

Apoteker 3 A = 25 B = 18 C =16

Apoteker 4 A = 10 B = 14 C = 20

Ujilah hipotesis dengan tingkat signifikan 0,05 bahwa rataan jumlah obat kapsul yang dibuat oleh keempat apoteker adalah sama.

---Jawab:

Hipotesis :

(13)

α1= pengaruh obat kapsul jenis A α2= pengaruh obat kapsul jenis B α3= pengaruh obat kapsul jenis C

H1 : sekurang-kurangnya ada satu αi tidak sama dengan nol Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika : F > F(α,v1,v2)

F > F(0,05,2,6) F > 5,14 Tabel analisis variansi 2 arah :

Apoteker (B)

Jenis obat (P) Total

A B C

JKE = 252,9167 – 1,1667 – 72,2497 = 179,5003

Hasil perhitungan dapat disusun dalam tabel analisis variansi sebagai berikut

(14)

bebas tengah

Jenis obat (p) 2 1,1667 0,58335 0,02

Apoteker (b) 3 72,2497 24,0832

Error 6 179,5003 29,91671667

Total 11 252,9167 54,5832667

Keputusan : Terima H0 karena nilai F = 0,02 di luar daerah kritis Kesimpulan : Rataan jumlah obat kapsul yang dibuat oleh keempat

apoteker adalah sama tidak ada pengaruh apapun dari jenis obatnya.

BAB 6

(15)

1. Suatu percobaan pembuatan obat cair baru dilakukan untuk menentukan apakah ada hubungan antara penambahan pelarut dalam ml (X) dengan berkurangnya konsentrasi larutan yang ditambahkan pelarut dalam persen (Y). Hasil percobaan diperoleh data sebagai berikut :

X 5 9 12 15 20 7

Y 13 18 26 30 36 15

a. Dugalah model regresi linear sederhana berdasarkan data sampel tersebut. b. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi antara penambahan pelarut dengan

konsentrasi yang berkurang.

c. Gunakan α = 0,05 untuk menguji apakah korelasi tersebut secara signifikan berbeda dari nol?

d. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk parameter β0.

e. Dugalah rata-rata konsentrasi larutan yang berkurang untuk penambahan pelarut 23 ml.

--- Pembahasan

a. Model regresi linear adalah Yi = β0 + β1Xi. Berdasarkan data diatas diperoleh :

ΣXi = 68 ΣYi = 138 ΣXiYi = 1814 ΣXi2 = 924 ΣYi2 = 3590 ´x = 11,3333

Ӯ = 23

Sehingga diperoleh :

β1 =

ΣX i Y i – n´xӮ

Σ X i2

−nx´2 =

1814−(6)(11,3333)(23)

924−6(11,3333)2 = 1,6304

β0 = - βӮ 1 ´x = 23 – (1,6304 x 11,3333) = 4,5222

Penduga model regresi linear sederhana adalah y = 4,5222 + 1,6304 X

b. r = ΣX iY i – n´xӮ

√

Σ X i2

−n´x2

_√

_{Σ Y i}2

−nӮ2 = 1814−(6)(11,3333)(23)

√

924−(6)(11,3333)2

√

3590−(6) (23)2

(16)

Nilai r = 0,9899, artinya ukuran keeratan hubungan kedua variabel sebesar 98,99 %

c. Hipotesis :

H0 : ρ = 0 ρ = korelasi antara variabel X dan Y H1 : ρ ≠ 0

Daerah kritis untuk α = 0,05 : Tolak H0 jika :│t│ > t (α,v) │t│ > t (0,024, 4) │t│ > 2,776

Statistik Uji : t = r

√

n−2

√

1−r2 =

0,9899

√

6−2

√

1−(0,9899)2 = 13,9619

Keputusan: Tolak H0 karena nilai t = 13,9619 memenuhi daerah kritis

Kesimpulan: Korelasi antara variabel X dan Y berbeda dengan nol. d. Interval kepercayaan 95% untuk parameter β0 adalah sebagai berikut.

β0 – t α 2

Se

√

Σ X i2

√

n Sx < β0 < β0 + t α 2

Se

√

Σ X i2

√

n Sx

4,5222 – 2,776 1,4485

√

942

√

6(12,3830) < β0 < 4,5222 + 2,776

1,4485

√

942

√

6(12,3830)

0,4925 < β0 < 8,5519 Keterangan :

Sxx = Σ X i2−n´x2 = 924−(6) (11,3333)2=¿ 153,3379

Syy = ΣY i2

−nӮ2 _{= 3590}₋₍₆₎₍₂₃₎2

(17)

2. Presentase aktivitas penangkapan radikal bebas diperkirakan merupakan jumlah konsentrasi ekstrak vitamin E yang ditambahkan pada sampel. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut:

% Aktivitas Antiradikal

42,72 48,53 55,22 65,82 73,74

Ekstrak Vitamin E (μg /ml)

10 25 50 75 100

a. Dugalah model regresi linier sederhana berdasarkan data di atas!

b. Gunakan α = 10% untuk menguji apakah jumlah konsentrasi ekstrak berpengaruh terhadap aktivitas antiradikal?

c. Buat interval kepercayaan 90% untuk parameter β 1!

d. Dugalah rata-rata presentase aktivitas antiradikal untuk konsentrasi ekstrak vitamin E sebesar 20 μg /ml!

Penyelesaian:

a. Dalam kasus ini variabel respon Y adalah aktivitas antiradikal (%), sedangkan variabel predictor X adalah konsentrasi ekstrak vitamin E.

Berdasarkan data tersebut diperoleh:

¿5;

∑

, sehingga persamaan regresi dapat diduga dengan: ´

16711,95−5.52 .57,206

18850−5(52)2 = 0,345 ^

β 0 = Y´− ^β 1 ( ´X) = 57,206 – 0,345 (52) = 39,27

(18)

b. Untuk menguji apakah ada pengaruh konsentrasi ekstrak vitamin E terhadap presentase aktivitas antiradikal, maka harus diuji:

H0: ^β 1 = 0 lawan H0: β 0 ≠ 0 ; α = 10% = 0,1; α/2 = 0,05; v = n-2 =

5-Keputusan: H0 ditolak karena t = 28,80 memenuhi daerah kritis.

Kesimpulan: Konsentrasi ekstrak vitamin E mempengaruhi presentase aktivitas antiradikal.

c. Interval kepercayaan 90% untuk β1 adalah …

^ konsentrasi ekstrak vitamin E = 20 μg /ml:

E (Y|X = 20) = 39,27 + 0,345 (20) = 46,17 %

(19)