Mendapatkan Invers Matriks
Bujursangkar Orde Tiga dengan Metode
Dekomposisi
LU
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan matriks bujur sangkar orde tiga nonsingular1 :
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
. (1)
InversA:
A−1= x1 x2 x3 , (2)
adalah matriks bujur sangkar yang memenuhi persamaan:
AA−1=I, (3)
dengan:
x1=
x11 x21 x31
,x2=
x12 x22 x32
,x3=
x13 x23 x33
masing-masing adalah vektor kolom dan:
I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
,
adalah matriks identitas.
Di sini, vektorx1,x2, danx3akan diperoleh dengan menerapkan metode dekom-posisi LU. Ini diawali dengan dengan mendekomposisi A menjadi matriks se-gitiga atas (upper triangular matrix):
U=
a11 a12 a13 0 ˜a22 a23˜ 0 0 a33ˆ
, (4)
1Suatu matriks disebut nonsingular jika dan hanya jika determinannya tidak sama dengan
dengan ˜a22, ˜a23dan ˆa33nilai yang diperoleh dengan menerapkan eliminasi maju padaA; dan matriks segitiga bawah dengan entri ’1’ pada diagonal utamanya (lower unitriangular matrix):
L=
denganf21,f31f32˜ adalah faktor yang menghasilkan angka nol padaU, masing-masing pada entri (2,1), (3,1) dan (3,2). Dalam hal iniA,U, danLmemenuhi persamaan
A=LU.
Menerapkan metode substitusi maju pada:
bn=Ldn (6)
denganbn masing-masing:
b1=
menghasilkan nilaidn, masing-masing dalam hal ini:
d1=
Akhirnya, nilai dari masing-masing vektor xn diperoleh dengan menerapkan
substitusi balik pada persamaan:
Ux1=d1 (7)
Ux2=d2 (8)
Ux3=d3. (9)
2
Komputasi
2.1
Dekomposisi
MatriksUdiperoleh dari penerapan eliminasi maju pada (1). Nilai ˜a22 dan ˜a23 pada (4) diperoleh dengan mengurangkan baris ke-2 dengan a21
a11 baris pertama
2 . Di sini:
˜
2Jika a11 = 0 maka eliminasi maju tidak dapat dilakukan. Salah satu cara menang-gulanginya adalah denganterlebih dahulumelakukan operasi baris elementer yaitu
dengan nilai entri (1,1) padaU diperoleh dari:
Sementara itu, nilai ˆa33 diperoleh dengan terlebih dahulu mengurangkan baris ke-3 dengan a31
a11 baris ke pertama A. Hasil operasi tersebut diberi notasi ˜a32
dan ˜a32, yaitu:
dengan nilai entri (2,1) padaU diperoleh dari:
a31−
a31
a11
a11= 0.
Dari (12) dan (13), diperoleh:
ˆ
dan nilai entri (3,2) padaUadalah:
˜
Dari eliminasi maju tersebut di atas, diperoleh pula nilaif21,f31, dan ˜f32pada L, yaitu:
f21= a21
2.2
Menghitung x
1Bentuk persamaan (6) untuk menghitungx1 adalah:
Ld1=b1,
Menerapkan substisusi maju pada (18) menghasilkan:
d11= 1 (19)
d21=−f21 (20) d31=− f31+ ˜f32d21
Sementara itu, persamaan (7) dapat ditulis sebagai:
a11 a12 a13 0 a22˜ ˜a23
Mensubstitusikan nilai-nilai (19)-(21) ke dalam (22), menghasilkan:
x31= d31
2.3
Menghitung x
2Bentuk persamaan (6) untuk menghitungx2 adalah:
Ld2=b2,
Menerapkan substitusi maju pada (26), menghasilkan:
d12= 0 (27)
d22= 1 (28)
d32=−f˜32. (29)
Persamaan (8) dapat ditulis sebagai:
a11 a12 a13 0 a22˜ ˜a23
Dari (27)-(29) dan (38) dapat dihitung:
x32= d32
a12x22+a13x32 a11
(33)
2.4
Menghitung x
3Bentuk persamaan (6) untuk menghitungx3 adalah:
atau:
1 0 0
f21 1 0 f31 f˜32 1
d13 d23 d33
=
0 0 1
. (34)
Menerapkan substitusi maju pada (34), menghasilkan:
d13= 0 (35)
d23= 0 (36)
d33= 1. (37)
Persamaan (9) dapat ditulis sebagai:
a11 a12 a13 0 a22˜ ˜a23 0 0 ˆa33
x13 x23 x33
=
d13 d23 d33
. (38)
Mensubstitusikan nilai-nilai (35)-(37) ke dalam (38), menghasilkan:
x33= 1 ˆ
a33 (39)
x23=− ˜ a23x33
˜
a22 (40)
x13=−
a12x23+a13x33 a11
. (41)
3
Contoh
Menerapkan dekomposisiLU dapatkanA−1 yang merupakan invers matriks:
A=
4.0000 −2.0000 −4.0000
1.5000 2.0000 −5.0000
1.0000 −6.0000 8.0000
. (42)
dengan ketelitian perhitungan 10−4.
masing-masing menggunakan (10)-(14):
˜
a22= 2.0000−
1.5000
4.0000
(−2.0000)
= 2.7500
˜
a23=−5.0000−
1.5000
4.0000
(−4.0000)
=−3.5000
˜
a32=−6.0000−
1.0000
4.0000
(−2.0000)
=−5.5000
˜
a33= 8.0000−
1.0000 4.0000
(−4.0000)
= 9.0000
ˆ
a33= 9.0000−
−5.5000
2.7500
(−3.5000)
= 2.0000.
Dengan demikian, matriksUpada soal adalah:
U=
4.0000 −2.0000 −4.0000
0 2.7500 −3.5000
0 0 2.0000
.
Sementara itu, untuk mendapatkan L, nilaif21,f31, dan ˜f32 dihitung masing-masing menggunakan (15)-(17):
f21=1.5000 4.0000 = 0.3750
f31=1.0000 4.0000 = 0.2500
˜
f32=−5.5000 2.7500 =−2.0000.
MatriksLpada soal adalah:
L=
1 0 0
0.3750 1 0
0.2500 −2.0000 1
.
Menghitung x1. Menyubstitusikan nilai-nilai numerik yang diperoleh ke dalam persamaan (20)-(21) diperoleh:
d21=−0.3750
d31=−[0.2500 + (−2.0000)(−0.3750)]
dengan mengingat bahwa dari (19) telah diperoleh nilai d11 = 1. Menyub-stitusikan nilai-nilai numerik d11, d21, dan d31 ke dalam persamaan (23)-(25), diperoleh nilai x1:
x31= −1.0000 2.0000 =−0.5000
x21= −0.3750−(−3.5000)(−0.5000) 2.7500
=−0.7727
x11=
1−(−2.0000)(−0.7727)−(−4.0000)(−0.5000)
4.0000 =−0.6364,
yang dalam bentuk vektor kolom dinyatakan sebagai:
x1=
−0.6364
−0.7727
−0.5000
.
Menghitung x2. Dari perangkat persamaan (27)-(29), tampak bahwa hanya (29) yang masih harus dihitung, dalam hal ini:
d32=−(2.0000) = 2.0000,
sementara dari (27) dan (36) tampak bahwa d12 = 0 dand22 = 1. Menyubsti-tusikan nilai-nilai numerik d32 ke dalam persamaan (31), diperoleh nilaix2:
x32=2.0000 2.0000 = 1.0000
x22=1−(−3.5000)(1.0000) 2.7500
= 1.6364
x12=−
(
−2.0000)(1.6364) + (−4.0000)(1.0000)
4.0000
= 1.8182,
yang dalam bentuk vektor kolom:
x2=
1.8182 1.6364 1.0000
.
diperoleh dengan menggunakan persamaan (39)-(41):
x33= 1 2.0000 = 0.5000
x23=−
(−3.5000)(0.5000)
2.7500 = 0.6364
x13=−
(4.0000)(0.6364) + (
−2.0000)(0.6364)
4.0000
= 0.8182.
yang dalam bentuk vektor kolom:
x3=
0.8182 0.6364 0.5000
.
Dengan demikian invers matriks:
A=
4.0000 −2.0000 −4.0000
1.5000 2.0000 −5.0000
1.0000 −6.0000 8.0000
,
adalah:
A−1= x1 x2 x3 =
−0.6364 1.8182 0.8182
−0.7727 1.6364 0.6364
−0.5000 1.0000 0.5000
Catatan. AA−1 dalam soal ini tidak sama persis dengan I. Selisih antara
I dan AA−1 di sini merupakan galat pembulatan akibat pembatasan jumlah
angka penting dalam perhitungan.
Kepustakaan
1. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya.
