Trik Matematika SMA Trik Matematika SMA Trik Matematika SMA

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₁ Teknik 5.1 (Substitusi Langsung) Nilai limit dari fungsi 𝑓 𝑥 untuk 𝑥 yang mendekati 𝑘 adalah 𝑓 𝑘 , sehingga ditulis

lim

𝑥→𝑘𝑓 𝑥 =𝑓 𝑘 .

5. LIMIT FUNGSI

Kata kunci: Akar Sekawan, Metode Horner dan Teorema Faktor

5.1 Definisi dan Sifat Limit

Definisi 5.1*) 1 Secara intuitif, limit fungsi didefinisikan sebagai

lim

𝑥→𝑘𝑓 𝑥 =𝐿

yang berarti bahwa jika nilai 𝑥 mendekati 𝑘 maka nilai 𝑓 𝑥 terbatas di 𝐿.

Notasi ”→ 𝑘” dibaca “mendekati𝑘”, baik dari arah kiri maupun dari kanan titik 𝑎 pada garis bilangan. Contoh 1 Tentukan

lim 𝑥→3 𝑥

2_{− 𝑥+ 1 .}

⋙ Untuk menentukan limitnya, dapat diperhatikan tabel nilai fungsi di bawah ini

𝑥 … 2.9 2.99 2.999 →3← 3.001 3.01 3.1 …

𝑥2_{− 𝑥+ 1} …. _{6.4351 6.9426 6.9942 →7← 7.0057 7.0576 7.5851} …

Tampak bahwa untuk nilai 𝑥 yang mendekati 3 baik dari arah kiri maupun kanan, nilai 𝑥2− 𝑥+ 1 terbatas di 7. Oleh karenanya dikatakan

lim 𝑥→3 𝑥

2_{− 𝑥+ 1 = 7.∎}

Seberapa pun dekat substitusi 𝑥 terhadap 3, nilai fungsi tidak akan mencapai nilai limitnya yaitu 7. Adapun nilai limit 7 hanya diperoleh jika 𝑥= 3.

Contoh 2

1. lim 𝑥→2

𝑥2₋₄

𝑥3_{+ 1}=

22−4 23_{+ 1}=

0

9= 0. 2. lim𝑥→𝜋/2 𝑥 −sin 2𝑥 =

𝜋

2−sin 2∙ 𝜋

2 =

𝜋 2−0 =

𝜋 2.

Dari teknik substitusi langsung di atas dapat disimpulkan sifat-sifat dasar dari limit fungsi berikut:

Sifat Dasar Limit Jika diasumsikan

lim

𝑥→𝑘𝑓 𝑥 =𝑓 𝑘 dan lim𝑥→𝑘𝑔 𝑥 =𝑔 𝑘

maka

1. lim

𝑥→𝑘𝑐=𝑐, 𝑐 ≔konstan 2. lim

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₂ Teknik 5.2 (Pemfaktoran) Jika fungsi 𝑓 𝑥 dan g 𝑥 merupakan fungsi aljabar dengan 𝑓 𝑘 =𝑔 𝑘 = 0, maka terdapat dengan tunggal fungsi aljabar 𝑕 𝑥 dan 𝑗 𝑥 sehingga

Oleh karenanya, jika

maka

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑘 𝑕 𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑘 𝑗 𝑥 .

𝑕 𝑘 𝑗 𝑘 ≠

0 0

lim 𝑥→𝑘

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑘

𝑥 − 𝑘 𝑕 𝑥 𝑥 − 𝑘 𝑗 𝑥 =

𝑕 𝑘 𝑗 𝑘 .

3. lim_𝑥→𝑘 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = lim_𝑥→𝑘𝑓 𝑥 + lim_𝑥→𝑘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑘 +𝑔 𝑘

4. lim

𝑥→𝑘 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 ∙𝑥→𝑘lim𝑔 𝑥 =𝑓 𝑘 ∙ 𝑔 𝑘 , dan

lim 𝑥→𝑘

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =

lim 𝑥→𝑘𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑘𝑔 𝑥

=𝑓 𝑘

𝑔 𝑘 , 𝑔 𝑘 ≠0,

5. lim 𝑥→𝑘 𝑓 𝑥

𝑛

= lim 𝑥→𝑘𝑓 𝑥

𝑛

= 𝑓 𝑘 𝑛, dan

lim

𝑥→𝑘 𝑓 𝑥 𝑛

= lim

𝑥→𝑘𝑓 𝑥

𝑛 ₌ 𝑛 _{𝑓 𝑘}

, 𝑓 𝑘 dapat diakarkan.

Meski masalah limit seolah menjadi hal yang sangat mudah yaitu cukup dengan mensubstitusi 𝑘 ke 𝑓 𝑥 menjadi 𝑓 𝑘 . Namun kenyataannya ada beberapa bentuk yang mana dengan substitusi nilai limitnya belum bisa diketahui. Salah satu bentuk dari hasil substitusi yang dimaksud adalah 𝟎/𝟎, bentuk ini disebut sebagai bentuk tak tentu. Sebagai contoh,

lim 𝑥→3

𝑥2₋₉

𝑥 −3 = 32−9

3−3 = 0 0, lim𝑥→1

1− 2− 𝑥

𝑥 −1 =

1− 2−1

1−1 =

0

0 dan lim𝑥→0 sin 2𝑥

4𝑥 = sin 0 4∙0 =

0 0.

5.2 Limit Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar terdiri atas fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat tinggi (fungsi kubik, pangkat empat dst), fungsi pecahan, fungsi akar (kuadrat) dan fungsi akar pangkat 𝑛, 𝑛 ≥3.

Contoh 3

1. lim 𝑥→3

𝑥2₋₉ 𝑓 𝑥 𝑥 −3

𝑔 𝑥

= lim 𝑥→3

𝑥 −3 𝑥 + 3 𝑕 𝑥

𝑥 −3 ∙ 1

𝑗 𝑥

= lim 𝑥→3

𝑥+ 3

𝑕 𝑥

1

𝑗 𝑥 = 6

𝑕 3

1 𝑗 3

= 6.

2. lim 𝑥→1

1− 3−2𝑥

𝑓 𝑥 𝑥 2₋₁

𝑔 𝑥

= lim 𝑥→1

𝑥 −1 ∙ 2 1 + 3−2𝑥

𝑕 𝑥

𝑥 −1 𝑥 + 1

𝑗 𝑥

=

2 1 + 3−2∙1

𝑕 1

1 + 1

𝑗 1

=1 2.

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₃

Kasus 1: Pecahan dari fungsi berpangkat tinggi (suku banyak). Cara termudah yaitu dengan menerapkan pembagian sintetis Horner. Sebagai contoh, menentukan faktor 𝑕 𝑥 pada fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥2_{−9 yaitu} Dengan demikian, 𝑥2_{−9 = 𝑥 −3 𝑥+ 3} Selanjutnya, bagi yang telah memahami pembagian sintetis Horner di atas dengan baik, berikut ini akan diperkenalkan metode yang disebut metode Horner bertingkat untuk menyelesaikan masalah limit fungsi suku banyak. Contoh 4 Tentukan nilai limit fungsi berikut lim 𝑥→4 𝑥2_{−2𝑥 −8} 𝑥3_−3𝑥2_−4𝑥. Trik 1 (Metode Horner Bertingkat) Dengan demikian lim 𝑥→4 𝑥2_{−2𝑥 −8} 𝑥3_−3𝑥2_−4𝑥= 6 20= 3 10. (Pembilang) (Penyebut) Adapun secara prosedural, Contoh 4 dikerjakan sebagai berikut lim 𝑥→4 𝑥2_{−2𝑥 −8} 𝑓 𝑥 𝑥3_−3𝑥2_−4𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→4 𝑥 −4 𝑥 + 2

𝑕 𝑥 𝑥 −4 𝑥 2_+𝑥 𝑗 𝑥 = lim 𝑥→4 𝑥+ 2 𝑕 𝑥 𝑥 2_+𝑥 𝑗 𝑥 = 6 𝑕 4 20 𝑗 4 = 3 10.∎ Kasus 2: Pecahan akar. Caranya yaitu dengan mengalikan fungsi akar tersebut dengan akar sekawannya. Sebagai contoh, menentukan faktor 𝑕 𝑥 pada fungsi 𝑓 𝑥 = 1− 3−2𝑥 dengan akar sekawannya yaitu 𝑓 𝑥 = 1 + 3−2𝑥. 1− 3−2𝑥 𝑓 𝑥 _{= 1−} 𝑓 𝑥 _{3−2𝑥 ×}1 + 3−2𝑥 𝑓 𝑥 1 + 3−2𝑥 𝑓 𝑥 =1 2_{− 3−2𝑥} 2 1 + 3−2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 −1 2 1 + 3−2𝑥 𝑕 𝑥 . Berdasarkan fakta ini, Contoh 3 dapat dikerjakan sebagai berikut: lim 𝑥→1 1− 3−2𝑥 𝑥2−₁ = lim_𝑥→1 1− 3−2𝑥 𝑥2−₁ × 1 + 3−2𝑥 1 + 3−2𝑥= lim𝑥→1 2 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥+ 1 1 + 3−2𝑥 = 2

1 + 1 1 + 3−2∙1 = 1 2. 1 5 20

1 1 0 0

4 20

1 -3 -4 0

4 4 0

4 4 1 6

1 2 0

4

1 -2 -8

4 8

4 4 1 3 0

1 0 -9

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₄ Definisi 5.2 Bentuk tak hingga ∞ merupakan simbol yang mewakili sesuatu yang tidak terukur yang disebabkan nilainya sangat besar.

Contoh 5

1. lim 𝑥→1

𝑥+ 1− 3− 𝑥 𝑥 −1 = lim𝑥→1

𝑥+ 1− 3− 𝑥

𝑥 −1 ×

𝑥+ 1 + 3− 𝑥 𝑥+ 1 + 3− 𝑥×

𝑥 −1 𝑥 −1

= lim 𝑥→1

2 𝑥 −1 𝑥+ 1

𝑥 −1 𝑥+ 1 + 3− 𝑥 =

2 1 + 1 1 + 1 + 3−1=

4

2 2= 2.

Trik 2 Jika 𝑏𝑎+𝑐 − 𝑑𝑎+𝑒 = 0 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑗 𝑥 maka

lim 𝑥→𝑎

𝑏𝑥+𝑐 − 𝑑𝑥+𝑒

𝑔 𝑥 =

𝑏 − 𝑑 2𝑗 𝑎 𝑏𝑎+𝑐=

𝑏 − 𝑑 2𝑗 𝑎 𝑑𝑎+𝑒.

Contoh 6

1. lim 𝑥→1

1− 3−2𝑥 𝑥2₋₁ = lim_𝑥→1

1− 3−2𝑥 𝑥 −1 𝑥+ 1 =

0− −2 2 1 + 1 ∙1=

1 2.

2. lim 𝑥→0

2𝑥2− 𝑥

5− 𝑥− 2𝑥+ 5= lim𝑥→0

𝑥 2𝑥 −1

5− 𝑥 − 2𝑥+ 5=

2 2∙0−1 5−0

−1−2 =

2 3 5.

Trik 3 Jika 𝑏𝑎+𝑐 − 𝑑𝑎+𝑒= _𝑝𝑎+𝑞 − 𝑟𝑎+𝑠= 0, maka

lim 𝑥→𝑎

𝑏𝑥+𝑐− 𝑑𝑥+𝑒 𝑝𝑥+𝑞− 𝑟𝑥+𝑠=

𝑏 − 𝑑 𝑝𝑎+𝑞 𝑝 − 𝑟 𝑏𝑎+𝑐 =

𝑏 − 𝑑 𝑟𝑎+𝑠 𝑝 − 𝑟 𝑑𝑎+𝑒,

Contoh 7

1. lim 𝑥→1

𝑥+ 1− 3− 𝑥

𝑥 −1 =

1− −1 ∙1 1−0 1 + 1 =

2

2= 2.

2. lim 𝑥→2

2− 2𝑥 4𝑥+ 1−3=

0−2 ∙3 4−0 ∙2=−

3 4.

5.3 Limit Tak Hingga

Berdasarkan definisi tersebut, akan diperoleh

lim

𝑥→∞𝑥=∞ dan lim𝑥→∞ 1 𝑥= 0.

Tabel berikut dapat menjelaskan mengapa nilai limitnya demikian.

𝑥 … 10 100 1000 10000 100000 1000000 → ∞

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₅ Teknik 5.3 Untuk menyelesaikan masalah limit ∞/∞, baik pembilang maupun penyebut dinyatakan ke dalam bentuk faktor, dengan salah satu faktornya adalah 𝑥 berpangkat tertinggi. Sebagai contoh, dimisalkan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi aljabar dengan pangkat tertinggi masing-masing 𝑚 dan 𝑛 maka terdapat 𝑕 𝑥 dan 𝑗 𝑥 sehingga

lim 𝑥→∞

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim𝑥→∞

𝑥𝑚_{𝑕 𝑥}

𝑥𝑛_{𝑗 𝑥} .

Selanjutnya, tidak sulit untuk menunjukkan bahwa

lim 𝑥→∞𝑥

𝑛 _{=∞ dan lim} 𝑥→∞

1

𝑥𝑛 = 0, 𝑛> 0.

Contoh 8

1. lim 𝑥→∞ 3𝑥

6_{+ 7𝑥}3_{+ 10𝑥 = 3 lim}

𝑥→∞𝑥

6 _{+ 7 lim}

𝑥→∞𝑥

3 _{+ 10 lim}

𝑥→∞𝑥=∞.

2. lim 𝑥→∞ 5−

3 𝑥+

1

𝑥2 = lim_𝑥→∞5−3 lim_𝑥→∞ 1 𝑥+ lim𝑥→∞

1

𝑥2= 5−3∙0 + 0 = 5.

3. lim 𝑥→∞ 𝑥

2₋1

2𝑥 = lim𝑥→∞𝑥

2_{− lim}

𝑥→∞ 1

2𝑥= lim𝑥→∞𝑥

2₋1

2𝑥→∞lim𝑥=∞. 4. lim

𝑥→∞ 1− 𝑥

3 _{= lim}

𝑥→∞1−𝑥→∞lim 𝑥

3_=−∞.

Dalam limit di tak hingga, bentuk hasil substitusi ∞/∞ merupakan bentuk yang tidak tentu. Meski simbol yang digunakan sama, namun secara kuantitas, simbol ∞ pada pembilang secara umum tidak sama dengan simbol ∞ pada penyebut. Sebagai contoh

lim 𝑥→∞

3𝑥2−7𝑥+ 3 5𝑥3_{+ 2𝑥}2 =

∞

∞ dan lim𝑥→∞

𝑥+ 1 2𝑥+ 𝑥2_+𝑥=

∞ ∞.

Contoh 9

1. lim 𝑥→∞

3𝑥2−7𝑥+ 3 5𝑥3_{+ 2𝑥}2 = lim_𝑥→∞

𝑥2 ₃₋7

𝑥+𝑥32

𝑥3 _{5 +}2

𝑥

= lim 𝑥→∞

1

𝑥∙𝑥→∞lim

3−7_𝑥+ 3 𝑥2 5 +2

𝑥

=0∙3−0 + 0 5 + 0 = 0.

2. lim 𝑥→∞

𝑥+ 1

2𝑥+ 𝑥2_+𝑥= lim_𝑥→∞

𝑥+ 1

2𝑥+𝑥 1 +1_𝑥 = lim

𝑥→∞

𝑥 1 +1 𝑥

𝑥 2 + 1 +1_𝑥

= 1 + 0

2 + 1 + 0= 1 3.

3. lim 𝑥→∞

2𝑥+ 4 2 4𝑥 −10 = lim𝑥→∞

𝑥 2 +4 𝑥

2

𝑥 4−10_𝑥

= lim

𝑥→∞𝑥∙𝑥→∞lim

2 +4_𝑥 2

4−10_𝑥

=∞ ∙ 2 + 0 2

4−0 =∞.

Trik 4 (Fokus pada pangkat tertinggi) Diberikan fungsi aljabar 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 dengan pangkat tertinggi berturut-turut 𝑚 dan 𝑛. Selanjutnya misalkan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 dapat dinyatakan sebagai

𝑓 𝑥 =𝑐1𝑥𝑚 +𝑝 𝑥 dan 𝑔 𝑥 =𝑐2𝑥𝑛+𝑞 𝑥 , 𝑐1,𝑐2 ≔ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₆ lim

𝑥→∞ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim𝑥→∞

𝑐1𝑥𝑚

𝑐2𝑥𝑛.

Contoh 10

1. lim 𝑥→∞

3𝑥2−7𝑥+ 3

5𝑥3_{+ 2𝑥}2 = lim_𝑥→∞

3𝑥2 5𝑥3=

3 5𝑥→∞lim

1 𝑥=

3

5∙0 = 0,

2. lim 𝑥→∞

𝑥+ 1

2𝑥+ 𝑥2₊𝑥= lim𝑥→∞ 𝑥

2𝑥+ 𝑥2= lim𝑥→∞

𝑥

2𝑥+𝑥= lim𝑥→∞ 𝑥

3𝑥= lim𝑥→∞ 1 3=

1 3,

3. lim 𝑥→∞

2𝑥+ 4 2 4𝑥−10 = lim𝑥→∞

2𝑥 2 4𝑥 = lim𝑥→∞

4𝑥2

4𝑥 = lim𝑥→∞𝑥=∞.

Dalam limit tak hingga pada fungsi akar terkadang dijumpai bentuk ∞ − ∞ yang tergolong tak tentu. Sebagai contoh:

lim

𝑥→∞ 2𝑥 − 2𝑥+ 1 dan lim𝑥→∞ 𝑥

2_{+ 9𝑥 −36− 𝑥}2_{− 𝑥+ 7 .}

Contoh 7

1. lim

𝑥→∞ 2𝑥 − 2𝑥+ 1 = lim𝑥→∞

−1

2𝑥+ 2𝑥+ 1= lim𝑥→∞ 1

2𝑥+ 2𝑥= 1

2 2𝑥→∞lim 1

𝑥=

1

2 2∙0 = 0.

2. lim

𝑥→∞ 6𝑥+ 4− 𝑥 −24 = lim𝑥→∞

5𝑥+ 28

6𝑥+ 4 + 𝑥−24= lim𝑥→∞ 5𝑥

6𝑥+ 𝑥= lim𝑥→∞

5𝑥 6 + 1 𝑥

= 5

6 + 1 ∙𝑥→∞lim 𝑥= 5

6 + 1 ∙0 = 0.

3. lim 𝑥→∞ 𝑥

2_{+ 9𝑥 −36− 𝑥}2_{− 𝑥+ 7 = lim}

𝑥→∞

10𝑥−36

𝑥2_{+ 9}𝑥 −_{36 +} 𝑥2− 𝑥_{+ 7}= lim𝑥→∞

10𝑥

𝑥2₊ 𝑥2

= lim 𝑥→∞

10𝑥

2𝑥 = lim𝑥→∞5 = 5.

4. lim 𝑥→∞ 2𝑥

2_{− 𝑥 −1− 𝑥}2_{−4𝑥+ 11 = lim}

𝑥→∞

𝑥2_{+ 3𝑥 −12}

2𝑥2_{− 𝑥 −1 + 𝑥}2_{−4𝑥+ 11} = lim

𝑥→∞

𝑥2

2𝑥2_{+ 𝑥}2

= lim 𝑥→∞

𝑥2

2 + 1 𝑥= 1

2 + 1∙𝑥→∞lim𝑥=∞. 5.4 Limit Fungsi Trigonometri

Dalam trigonometri, bentuk limit dasar dan penting dengan hasil substitusi 0/0 yaitu

lim 𝑢→0

sin𝑢

𝑢 dan lim𝑢→0 tan𝑢

𝑢 .

Adapun nilai limitnya dapat dilihat pada Tabel berikut:

𝑢 1 0.75 0.5 0.25 0.1 0.01 →0

sin𝑢

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₇ tan𝑢

𝑢 1.557408 1.242129 1.092605 1.021368 1.003347 1.000033 →1

Dari tabel disimpulkan bahwa

lim dasar di atas menjadi

lim

Trik 5 Dengan menggunakan sifat limit bentuk pembagian diperoleh

lim

Dalam limit trigonometri, terdapat dua bentuk dasar yang melibatkan fungsi cosinus, yaitu

cos𝑝𝑥 −cos𝑞𝑥=−2 sin 𝑝+𝑞 2 𝑥 sin

oleh: Abu Nuh AsySyahrani ₈ 1−cos𝑝𝑥= 2 sin2 𝑝

2𝑥 . Contoh 10

1. lim 𝑥→0

1−cos𝑥 𝑥sin 2𝑥 = lim𝑥→0

2 sin2 1₂𝑥 𝑥sin 2𝑥 = lim𝑥→0

2∙1₂𝑥 ∙1₂𝑥 𝑥 ∙2𝑥 =

1 4.

2. lim 𝑥→0

cos 4𝑥 −1 𝑥tan 8𝑥 = lim𝑥→0

−(1−cos 4𝑥) 𝑥tan 8𝑥 = lim𝑥→0

−2 sin22𝑥 𝑥tan 8𝑥 = lim𝑥→0

−2∙2𝑥 ∙2𝑥

𝑥 ∙8𝑥 =−1.

3. lim 𝑥→0

tan 2𝑥cos 8𝑥 −tan 2𝑥

16𝑥3 =−_𝑥→lim₀

2𝑥 1−cos 8𝑥

16𝑥3 =−_𝑥→lim₀

2 sin24𝑥

8𝑥2 =−_𝑥→lim₀ 4𝑥 2 4𝑥2 =−4.

Trik 4

lim

𝑥→0 cos𝑝𝑥 −cos𝑞𝑥 =−

𝑝+𝑞 𝑝 − 𝑞 𝑥2

2 ,

lim

𝑥→0 1−cos𝑝𝑥 = lim𝑥→0

𝑝2_𝑥2

2 dan lim𝑥→0 1−cos

2_{𝑝𝑥 = lim}

𝑥→0𝑝 2_𝑥2

Contoh 11

1. lim 𝑥→0

1−cos𝑥 𝑥sin 2𝑥 = lim𝑥→0

12𝑥2 2 2𝑥2 =

1 4.

2. lim 𝑥→0

cos 4𝑥 −1 𝑥tan 8𝑥 = lim𝑥→0

−42₂𝑥2

8𝑥2 =−1.

3. lim 𝑥→0

tan 2𝑥cos 8𝑥 −tan 2𝑥 16𝑥3 = lim_𝑥→0

2𝑥 cos 8𝑥 −1

16𝑥3 =−_𝑥→lim₀ 2𝑥 ∙8

2_𝑥2 2

16𝑥3 =−4.

4. lim 𝑥→0

7𝑥2+ sin 2𝑥2 tan2_3𝑥 = lim_𝑥→0

9𝑥2 3𝑥 2= 1.

5. lim 𝑥→0

cos 4𝑥 −1

cos 5𝑥 −cos 3𝑥= lim𝑥→0

−42₂𝑥2 − 5 + 3 ₂5−3 𝑥2

= lim 𝑥→0

8𝑥2 8𝑥2= 1.

6. lim 𝑥→2

1−cos2 𝑥 −2

3𝑥2−₁₂𝑥_{+ 12}= lim_𝑥→2

𝑥 −2 2

3 𝑥2−₄𝑥_{+ 4} = lim_𝑥→2

𝑥 −2 2 3 𝑥 −2 2=

1 3.

7. lim 𝑥→0

4−4 cos2𝑥 𝑥sin 2𝑥 = lim𝑥→0

4 1−cos2𝑥 2𝑥2 = lim_𝑥→0

4𝑥2 2𝑥2= 2.

8. lim 𝑥→0

sin 2𝑥

3− 2𝑥+ 9= lim𝑥→0

2𝑥 3 + 2𝑥+ 9

−2𝑥 =− 3 + 2∙0 + 9 =−6.

9. lim 𝑥→𝜋

𝑥2_{sin 2𝑥}

𝑥 − 𝜋 =𝜋2𝑥→𝜋lim

2 sin𝑥cos𝑥

𝑥 − 𝜋 =𝜋2𝑥→𝜋lim

2 sin 𝜋 − 𝑥 cos𝑥

𝑥 − 𝜋 =𝜋2∙2∙ −1 ∙ −1 = 2𝜋2.