SOAL DAN PEMBAHASAN TKD SAINTEK
MATA UJI MATEMATIKA SBMPTN 2014
1. Jika � adalah matriks berukuran 2 × 2 dan
[� 1]� ��1�=�2+ 5�+ 8, maka matriks � yang mungkin adalah …
Pembahasan Karena masing-masing matriks [� 1] dan ��1� memiliki komponen variabel � dan polinomial pada ruas kanan berderajat dua, maka semua komponen dari matriks � haruslah konstanta. Selain itu, suku-�2 pada ruas kanan memiliki koefisien 1, sehingga komponen pada baris pertama dan kolom pertama pada matriks �, �11, haruslah 1. Dari persamaan tersebut, kita dapatkan
�+�= 5; dan
� = 8.
Pembahasan Pertama kita perhatikan persamaan yang diberikan berikut,
1 + log3(tan�) + (log3(tan�))2+ (log3(tan�))3+⋯ =2 3
Ruas kiri dari persamaan tersebut merupakan deret geometri tak hingga dengan,
�1 = 1, dan
�=log3(tan�)
1 = log3(tan�)
Sehingga ruas kiri dari persamaan tersebut dapat kita sederhanakan menjadi bentuk,
= 1 bernilai real adalah …
Pembahasan Agar �(�) = log(4�+� ∙2�+�+ 3), maka
4�+� ∙2�+�+ 3 > 0⟺(2�)2+� ∙2�+�+ 3 > 0
Misal �= 2� maka pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan,
�2+��+�+ 3 > 0,
Sehingga selesaian untuk kasus ini adalah � > 0
Kasus 2: − �
Jadi, berdasarkan kasus 1 dan 2, selesaian dari permasalahan ini adalah
� ≥ −2 (Jawaban B).
5. Misalkan diberikan titik �(1, 0) dan �(0, 1). Jika � bersifat
|������|: |������| =√�:√�, maka � terletak pada lingkaran dengan persamaan …
Pembahasan Dengan menggunakan rumus jarak,
(� −1)2+�2
Selanjutnya kita selesaiakan persamaan (6.3).
�(−5) =−5�+� subsitusi –5 ke �
7. Penyelesaian pertidaksamaan log1
(|�|+1)
Penyebut dari pertidaksamaan di atas beberbentuk |�| + 1. Karena
|�|≥ 0 untuk semua � ∈ ℝ, maka |�| + 1 > 0. Oleh karena itu, agar
Sehingga selesaian untuk kasus ini �> 0.
2� −|�| + 2 > 0 pembuat positif
⟺ 2� −(−�) + 2 > 0 sifat harga mutlak
⟺ 3�+ 2 > 0 sederhanakan
⟺ 3� > −2 kurangi kedua ruas dengan 2
⟺ � >−2
3 bagi kedua ruas dengan 3
Diperoleh selesaian untuk kasus ini −2�3< �< 0.
Sehingga secara keseluruhan, 2� −|�| + 2 > 0 jika �> −2�3. Maka selesaian untuk pertidaksamaan,
log1
(|�|+1)
� (2�+ 3) < 1
adalah �> −2�3 (Jawaban A).
8. Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis �=−2, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis 4�+� = 4. Titik puncak parabola tersebut adalah …
Pembahasan Diketahui sumbu simetri dari parabola, misalkan �(�) =
��2+��+� dengan � ≠0, simetris terhadap garis �=−2. Hal ini berarti,
− �
2� =−2⟺ �= 1 4�
Selanjutnya, garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis
4�+�= 4, sehingga gradien dari garis singgung tersebut adalah −4. Padahal persamaan garis singgung parabola tersebut sama dengan turunan pertamanya. Sehingga,
�′(�) = 2��+� turunan pertama
⟺ �′(0) = 2�(0) +� substitusi �= 0
⟺ −4 = � gradien di (0, 1) sama dengan –4
Sehingga, �= 1 4� ∙ −4 =−1. Karena parabola tersebut melalui titik (0, 1), maka
�(0) = 1 melalui (0, 1)
⟺ −02−4(0) +� = 1 subsitusi �= 0 ke �(�)
Sehingga diperoleh persamaan parabola tersebut adalah �(�) =−�2 − 4�+ 1. Maka,
�(−2) =−(−2)2−4(−2) + 1 = 5.
Jadi, titik puncak dari parabola tersebut adalah P(–2, 5) (Jawaban E). 9. Diberikan limas �.���. Misalkan �= �������⃗, � =�������⃗, � =�������⃗. Jika �
adalah titik berat ∆���, maka �������⃗=… Pembahasan Perhatikan gambar di bawah ini.
Misalkan � =�������⃗, �= �������⃗, dan �= �������⃗. Berdasarkan gambar limas
Sehingga dengan menjumlahkan ketiga vektor di atas, didapatkan
��= ��= �. Misalkan � adalah irisan bidang yang melalui �, �, dan �. Luas alas yang berada di bawah bidang � adalah … �2. Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar tersebut, kita bisa melihat bahwa
∠��� ≅ ∠��� (bertolak belakang)
∠��� ≅ ∠��� (sudut siku-siku)
Sehingga, ∆���~∆���. Karena ∆��� merupakan segitiga sama kaki, maka ∆��� juga merupakan segitiga sama kaki dengan ��=� =��. Berdasarkan sd.sd (∠��� ≅ ∠��� dan ∠��� ≅ ∠���) maka diperoleh ∆���~∆���. Karena ��:��= (2�): (�) = 2: 1, maka
��:�� = 2: 1. Padahal diketahui ��= 3�. Sehingga, ��= 2� dan
�� =�. Dengan kata lain, ∆��� dan ∆��� merupakan dua segitiga sama kaki.
Selanjutnya, dikontruksi bahwa ������ ∥ ������. Sehingga ∆��� merupakan segitiga sama kaki. Didapatkan, proyeksi segitiga tersebut ke bidang
���� (bidang yang sejajar dengan bidang ���), yaitu ∆��� juga merupakan segitiga sama kaki.
Selanjutnya luas dari segienam tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
������� =�����−(�∆���+����)
= (3�)2− �2� ∙2�
2 +
� ∙ �
2 �
= 9�2−5 2�
2
=13 2 �
2
Jadi, luas alas yang berada di bawah bidang � adalah 13� �2 2 satuan luas (Tidak ada pilihan jawaban)
11. Jika 3 sin�+ 4 cos� = 5, maka nilai maksimum 3 cos�+ 4 sin�
adalah …
Pembahasan Dengan menguadratkan kedua ruas dari persamaan
3 sin�+ 4 cos�= 5, kita peroleh
(3 sin�+ 4 cos�)2 = 52
⟺ 9 sin2�+ 24 sin�cos�+ 16 cos2� = 25 …(11.1)
Misalkan 3 cos�+ 4 sin�=�, maka dengan menguadratkan kedua ruas dari persamaan tersebut diperoleh
(3 cos�+ 4 sin�)2 =�2
⟺ 9 cos2�+ 24 cos�sin�+ 16 sin2� =�2 …(11.2)
Dengan menjumlahkan persamaan (11.1) dan (11.2), kita mendapatkan
9(sin2�+ cos2�) + 24(sin�cos�+ cos�sin�) +
Karena sin2�+ cos2� = 1 dan sin�cos�+ cos�sin�= sin(�+�) maka persamaan (11.3) dapat disederhanakan menjadi
9(1) + 24(sin(�+�)) + 16(1) = 25 +�2
24 memberikan nilai maksimum untuk �
⟺ �2 = 24 kalikan kedua ruas dengan 24 barisan aritmetika tersebut adalah …
Pembahasan �, �+�, �, �, dan � merupakan 5 suku pertama suatu barisan aritmetika, maka beda dari barisan tersebut adalah
(�+�)− � =� suatu barisan geometri. Sehingga,
�+�
� =
�+ 5�
�+� rasio dari barisan geometri
⟺ �2+ 2��+�2 =�2+ 5�� kalikan dengan �(�+�)
⟺ �2−3�� = 0 sederhanakan
⟺ �(� −3�) = 0 faktorkan
⟺ �= 0 atau �= 3� hasil
Jika �= 0 maka suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah �. Jika �= 3�, maka dengan mensubstitusikan nilai � tersebut ke persamaan (12.1) diperoleh
3�+ 9(3�) = −15 substitusi 3� ke �
⟺ 30� = −15 sederhanakan
⟺ � = −1
2 bagi kedua ruas dengan 30
Sehingga, �= 3(−1 2⁄ ) =−3 2⁄ . Maka suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah
�10 =−
1
2+ 9�− 3
2�= −14
(Jawaban B)
13. Misalkan �(�) menyatakan luas daerah di bawah kurva �= ��2, 0≤
� ≤ �. Jika titik �(�0, 0) sehingga �(�0):�(1) = 1: 8, maka perbandingan luas trapesium ����:���� =…
Pembahasan Karena �(�0):�(1) = 1: 8 maka
� ���0 2�� 0
:� ��2��
1
0
⟺ �13��3�
2 akar pangkat tigakan
Sehingga perbandingan luas trapesium ���� dan ���� dapat ditentukan sebagai berikut. 14. Banyak cara menyusun 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku
kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah … Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Terdapat 3 jenis buku, yang terdiri dari 4, 3, dan 2 buku matematika, fisika, dan kimia. Sehingga banyaknya cara menyusun buku-buku tersebut agar buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah
lim
padahal seperti yang diberikan soal,
lim
Selanjutnya, kita sederhanakan fungsi C yang diberikan sebagai berikut.
�(�) =1 Atau dengan kata lain,
��(�0) +�(�0)��0 = [�(�0)− �(0) +�(�0)− �(0)]
Padahal, sesuai definisi integral tentu
[�(�0)− �(0) +�(�0)− �(0)] =� ��(�) +�(�)���
�0
0 Sebagai akibatknya, kita memperoleh
� ��(�) +�(�)���
�0
0 = ��
(�0) +�(�0)��0
Selanjutnya kita gunakan hasil tersebut untuk menentukan nilai dari
= 1
�0∙ ��(�0) +�(�0)��0
= �(�0) +�(�0)
