Ruang Contoh adalah suatu gugus

(1)

Metode Statistika

(STK211)

Konsep Peluang

( Probabilit y Concept )

Pendahuluan

Suat u fenom ena dikat akan “ acak” j ika Suat u fenom ena dikat akan “ acak” j ika hasil dari suat u percobaan bersifat t idak hasil dari suat u percobaan bersifat t idak past i

past i

Fenom ena “ acak” sering m engikut i suat u Fenom ena “ acak” sering m engikut i suat u pola t ert ent u

pola t ert ent u p

p

Ket erat uran “ acak” dalam j angka panj ang Ket erat uran “ acak” dalam j angka panj ang dapat didekat i secara m at em at ika

dapat didekat i secara m at em at ika

St udi m at em at ika m engenai “ keacakan” St udi m at em at ika m engenai “ keacakan” ÆÆ TEORI PELUANG

TEORI PELUANG –– peluang m erupakan peluang m erupakan suat u bent uk m at em at ika dari sifat acak suat u bent uk m at em at ika dari sifat acak t ersebut

t ersebut

Teori Peluang

Ada dua t ipe percobaan:

Det erm inist ik : Det erm inist ik :

Suat u percobaan yang Suat u percobaan yang m enghasilkan out put m enghasilkan out put

yang sam a yang sam a

Probabilist ik : Probabilist ik :

Hasil dari percobaan bisa Hasil dari percobaan bisa sem barang kem ungkinan sem barang kem ungkinan

hasil yang ada hasil yang ada

We ar e wait ing t he bus

Lam a m enunggu sam pai bus dat ang

Bagaim ana m enghit ung banyaknya

kem ungkinan?

–

–ÆÆperlu penget ahuan m engenai KAI DAH perlu penget ahuan m engenai KAI DAH PENGGANDAAN KOMBI NASI &

PENGGANDAAN KOMBI NASI & PENGGANDAAN, KOMBI NASI , & PENGGANDAAN, KOMBI NASI , & PERMUTASI

PERMUTASI –

–ÆÆdapat dihit ung peluang kej adian dari dapat dihit ung peluang kej adian dari suat u percobaan

suat u percobaan

Ruang Contoh dan Kejadian

Ru a n g Con t oh

adalah suat u gugus

yang m em uat sem ua hasil yang

berbeda, yang m ungkin t erj adi dari

suat u percobaan.

–

– Not asi dari ruang cont oh adalah sebagai Not asi dari ruang cont oh adalah sebagai berikut :

berikut :

S = { e1, e2, …, en} , n = banyaknya hasilS = { e1, e2, …, en} , n = banyaknya hasil

n bisa t erhingga at au t ak t erhingga n bisa t erhingga at au t ak t erhingga

Contoh (1)

Pelem paran sebut ir dadu yang

seim bang

Sem ua kem ungkinan nilai yang m uncul

S= { 1 2 3 4 5 6}

Pelem paran coin set im bang

S= { 1,2,3,4,5,6}

(2)

Contoh

Contoh ((1

1))

lanjutan

lanjutan…

…..

..

Jenis Kelam in Bayi

S= { Laki- laki,Perem puan}

Pelem paran dua keping coin

set im bang

S= { GG, GA, AG, AA}

Ruang kejadian

adalah anak gugus dari ruang cont oh,

yang m em iliki karakt erist ik t ert ent u.

–

– Ruang kej adian biasanya dinot asikan Ruang kej adian biasanya dinot asikan dengan huruf kapit al ( A B )

dengan huruf kapit al ( A B ) dengan huruf kapit al ( A, B, …) . dengan huruf kapit al ( A, B, …) .

Contoh (2)

Percobaan : pelem paran 2 coin set im bangPercobaan : pelem paran 2 coin set im bang Kej adian : m unculnya sisi angka

Kej adian : m unculnya sisi angka

A= { GA AG AA}

R u a n

Percobaan : Pelem paran dua dadu sisi Percobaan : Pelem paran dua dadu sisi enam set im bang

enam set im bang

Kej adian : m unculnya sisi ganj il pada Kej adian : m unculnya sisi ganj il pada dadu I

dadu I

A= { GA, AG, AA}

B = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

g

K e j a d i a n

Bagaimana cara

menghitung banyaknya

ruang contoh & kejadian?

Mengingat kembali apa itu Faktorial

Jika n adalah bilangan bulat posit if, m akaJika n adalah bilangan bulat posit if, m aka n! = n ( n

n! = n ( n-- 1) ( n1) ( n-- 2) ... ( 3) ( 2) ( 1) 2) ... ( 3) ( 2) ( 1) n! = n ( n

n! = n ( n-- 1) !1) !

Kasus khusus 0! Kasus khusus 0! ÆÆ 0! = 1 0! = 1

Cont oh :Cont oh :

4! = 4.3.2.1 = 244! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 1205! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120

6! = 6.5! = 7206! = 6.5! = 720

7! = 7.6! =7! = 7.6! =

Penggandaan (1)

–

– Pengandaan dapat digunakan j ika set iap Pengandaan dapat digunakan j ika set iap kem ungkinan dibent uk dari kom ponen kem ungkinan dibent uk dari kom ponen--kom ponen yang saling bebas.

kom ponen yang saling bebas. N( S) = n1 x n2 x … x n1 N( S) = n1 x n2 x … x n1( )( ) –

– Cont ohCont oh

Melem par 3 buah m at a uang: Melem par 3 buah m at a uang:

(3)

–

– Perm ut asiPerm ut asi m erupakanm erupakan kej adiankej adian dim anadim ana SUSUNAN

SUSUNAN OBJEKOBJEK yangyang t erpiliht erpilih DI PERHATI KAN

DI PERHATI KAN..

–

– MisalkanMisalkan m em ilihm em ilih orangorang unt ukunt uk b k

b k kk

Permutasi (2)

m em bent uk

m em bent uk kepengurusankepengurusan suat usuat u or ganisasi,

or ganisasi, dim anadim ana j ikaj ika Si ASi A t er piliht er pilih m enem pat i

m enem pat i posisiposisi ket uaket ua ber bedaber beda m aknany a

m aknany a dengandengan SiSi AA t erpiliht erpilih m enem pat i

m enem pat i posisiposisi wakilwakil ket uaket ua..

Lanjutan Permutasi (2)

–

– MisalkanMisalkan t erdapatt erdapat 55 kandidatkandidat .. AkanAkan dibenukdibenuk susunan

susunan penguruspengurus yangyang t erdir it erdir i dar idar i Ket ua,Ket ua, Wakil

Wakil Ket ua,Ket ua, dandan BendaharaBendahara ::

5 4 3 Per m ut asi t ingkat 3 dar i 5 obj ek

Per m ut asi t ingkat r dar i n unsur / obj ek dapat Per m ut asi t ingkat r dar i n unsur / obj ek dapat dir um uskan sebagai ber ikut :

dir um uskan sebagai ber ikut :

! 0 ... ) 1 ( ) ( ! 0 ... ) 2 ( ) 1 ( )! ( ! x x r n x r n x x n x n nx r n n Pn

r ₋ ₋ ₋ − − = − =

K WK B

= 60

60 ! 2 ! 2 . 3 . 4 . 5 ! 2 ! 5 )! 3 5 ( ! 5 5

3= ₋ = = =

P

Kombinasi

(3)

–

– Kom binasi m erupakan kej adian dim ana Kom binasi m erupakan kej adian dim ana SUSUNAN OBJEK yang t erpilih TI DAK SUSUNAN OBJEK yang t erpilih TI DAK DI PERHATI KAN

DI PERHATI KAN

–

– Misalkan m em ilih sej um lah orang unt uk Misalkan m em ilih sej um lah orang unt uk m enem pat i suat u sej um lah kursi t em pat m enem pat i suat u sej um lah kursi t em pat duduk, dim ana susunan t em pat duduk duduk, dim ana susunan t em pat duduk t idak m enj adi perhat ian.

t idak m enj adi perhat ian.

Lanjutan Kombinasi (3)

–

– Misalkan t erdapat 5 orang yang akan dipilih 3 Misalkan t erdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang unt uk m asuk ke dalam t im cepat t epat orang unt uk m asuk ke dalam t im cepat t epat

Kom binasi 3 dai 5 A B C

A B D A B E A C D

! ! 0 ... ) 1 ( ) ( ! 0 ... ) 2 ( ) 1 ( ! )! ( ! xr x x r n x r n x x n x n nx r r n n Cn

r ₋ ₋ ₋

− − = − = Kom binasi t ingkat r dar i n

Kom binasi t ingkat r dar i n unsur / obj ek dapat dir um uskan unsur / obj ek dapat dir um uskan sebagai ber ikut :

sebagai ber ikut :

10 ! 3 ! 2 ! 3 . 4 . 5 ! 3 ! 2 ! 5 ! 3 )! 3 5 ( ! 5 3 5 = = = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ A C D

A C E A D E B C D B C E B D E C D E

Contoh (3)

Dalam sat u kepengurusan t erdiri dari 5 Dalam sat u kepengurusan t erdiri dari 5 laki

laki-- laki dan 4 perem puan. Jika akan dipilih laki dan 4 perem puan. Jika akan dipilih sat u t im yang t erdiri dari 2 orang laki sat u t im yang t erdiri dari 2 orang laki-- laki laki dan seorang perem puan unt uk m ewakili dan seorang perem puan unt uk m ewakili dalam m unas, ada berapa susunan t im dalam m unas, ada berapa susunan t im yang m ungkin t erbent uk!

yang m ungkin t erbent uk!

(4)

Peluang Klasik

Pendekat an klasik t erhadap

penent uan nilai peluang diberikan

dengan m enggunakan nilai frekuensi

relat if

relat if.

Andaikan dilakukan percobaan

sebanyak N kali, dan kej adian A

t erj adi sebanyak n

≤≤

N

N kali m aka

kali m aka

peluang A didefinisikan sebagai P( A)

= n/ N

Hukum Bilangan Besar

P( A)

≈≈

m / n

Jika suat u proses at au percobaan diulang Jika suat u proses at au percobaan diulang sam pai beberapa kali ( DALAM JUMLAH sam pai beberapa kali ( DALAM JUMLAH BESAR = n) , dan j ika karakt erist ik A BESAR = n) , dan j ika karakt erist ik A m uncul m kali m aka frekuensi relat if, m / n, m uncul m kali m aka frekuensi relat if, m / n, m uncul m kali m aka frekuensi relat if, m / n, m uncul m kali m aka frekuensi relat if, m / n, dari A akan m endekat i peluang dari A dari A akan m endekat i peluang dari A

Peluang Subyektif

Berapa peluang hidup di m ars?

Berapa peluang dapat bert ahan

hidup dalam kondisi dingin?

Aksioma Peluang

Beberapa kaidah sebaran peluang,

yait u:

1.

1. 0 0 ≤≤p( xi) p( xi) ≤≤1, unt uk i= 1,2, …, n1, unt uk i= 1,2, …, n 2.

2. Jum lah peluang seluruh kej adian dalam Jum lah peluang seluruh kej adian dalam pp gg jj ruang cont oh adalah 1,

ruang cont oh adalah 1,

3.

3. p( A1+ A2+ …+ Am ) = p( A1+ A2+ …+ Am ) =

p( A1) + p( A2) + …+ p( Am ) , j ika A1, A2, p( A1) + p( A2) + …+ p( Am ) , j ika A1, A2, …, Am m erupakan kej adian

…, Am m erupakan kej adian-- kej adian kej adian yang t erpisah.

yang t erpisah.

1 ) ( 1

=

∑

= n

i i x p

Contoh (4):

1.

1. Sebuah dadu dilem par, m aka ruang cont ohnya:Sebuah dadu dilem par, m aka ruang cont ohnya: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , n( S) = 6

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , n( S) = 6

j ika set iap sisi seim bang m aka peluangnya j ika set iap sisi seim bang m aka peluangnya p( 1) = p( 2) = ….= p( 6) = 1/ 6

p( 1) = p( 2) = ….= p( 6) = 1/ 6

2.

2. Sebuah kej adian yang diharapkan adalah sisi Sebuah kej adian yang diharapkan adalah sisi

yang m uncul kurang at au sam a dengan em pat yang m uncul kurang at au sam a dengan em pat m aka ruang kej adiannya:

m aka ruang kej adiannya: A = { 1, 2, 3, 4} , n( A) = 4 A = { 1, 2, 3, 4} , n( A) = 4 Maka peluang kej adian A adalah: Maka peluang kej adian A adalah:

Lanjutan Contoh (4)

Dalam sat u kepengurusan t erdiri dari 5 lakiDalam sat u kepengurusan t erdiri dari 5 laki-- laki laki dan 4 perem puan. Jika akan dipilih sat u t im dan 4 perem puan. Jika akan dipilih sat u t im yang t erdiri dari 2 orang laki

yang t erdiri dari 2 orang laki-- laki dan seorang laki dan seorang perem puan unt uk m ewakili dalam m unas, perem puan unt uk m ewakili dalam m unas, berapa peluang dari t im t ersebut t erbent uk? berapa peluang dari t im t ersebut t erbent uk? pp pp gg

40 4 10 1 4

2 5

= = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

x ₈₄

! 6 ! 3

! 6 . 7 . 8 . 9 ! 6 ! 3 ! 9 3 9

= = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

A = kej adian t er bent uknya t im yang t er dir i 2 laki- lak i dan 1 per em puan

(5)

Hukum Penj um lahan dalam Peluang

Jika t erdapat dua kej adian A dan B m aka P( A∪B) = P( A) + P( B) – P( A∩B)

Jika A dan B saling lepas ( m ut ually exclusive) , P( A∩B) = 0, sehingga

P( A∪B) = P( A) + P( B)

A B

A A ∩B B

P( A∪B) = P( A) + P( B)

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika t erdapat dua kej adian A dan B m aka P( A∩B) = P( A) P( B| A) = P( B) P( A| B)

Jika A dan B saling bebas, P( A∩B) = P( A) P( B)

Kejadian Saling Bebas

Kej adian saling bebas adalah

kej adian

kej adian-- kej adian yang t idak saling

kej adian yang t idak saling

m em pengaruhi.

Peluang dari dua buah kej adian yang

saling bebas adalah:

P( A

∩

B) = P( A) .P( B)

Contoh (5)

Peluang bayi berj enis kelam in laki

Peluang bayi berj enis kelam in laki-- laki

laki

diket ahui 0.6. Jika j enis kelam in anak

pert am a ( A) dan kedua ( B) saling

bebas berapa peluang j enis kelam in

bebas, berapa peluang j enis kelam in

anak pert am a dan anak kedua laki

anak pert am a dan anak kedua

laki--laki?

laki?

P( A

∩

B) =

B) = P( A) .P( B) = 0.6* 0.6= 0.36

P( A) .P( B) = 0.6* 0.6= 0.36

Peluang Bersyarat

PeluangPeluang bersyaratbersyarat adalahadalah peluangpeluang suat usuat u kej adian

kej adian ( A) ( A) j ikaj ika kej adiankej adian lain ( B) lain ( B) diket ahui

diket ahui t elaht elah t erj adit erj adi. .

PeluangPeluang A A bersyaratbersyarat B B dinot asikandinot asikan P( A| B) , P( A| B) , dim ana

dim ana:: dim ana dim ana:: P( A| B) = P( A

P( A| B) = P( A∩∩B) / P( B)B) / P( B)

JikaJika kej adiankej adian A A dengandengan B B salingsaling bebasbebas m aka

m aka,, P( A| B) = P( A

P( A| B) = P( A∩∩B) / P( B) B) / P( B) = P( A) .P( B) / P(

= P( A) .P( B) / P( BB) = P( A)) = P( A)

Contoh (5):

Dalam sebuah kot ak berisi 2 bola

m erah dan 3 bola biru. Jika diam bil

dua buah bola t anpa pem ulihan.

Berapakah peluang bola kedua

b

h ( A) j ik

d

b

h ( A) j ik

d

berw arna m erah ( A) j ika pada

pengam bilan pert am a diket ahui

berw arna biru ( B) .

P( A

P( A|| B) = P( AB) = P( A∩∩B) / P( B) B) / P( B)

I I 2/ 4

MI salkan : MI salkan :

A= t eram bilnya bola m erah A= t eram bilnya bola m erah pada pengam bilan I I pada pengam bilan I I

B = t eram bilnya bola bir u B = t eram bilnya bola bir u pada pengam bilan I pada pengam bilan I A

B

P( A

P( A|| B) P( AB) P( A∩∩B) / P( B) B) / P( B)

= ( 3/ 5) ( 2/ 4) / ( 3/ 5) = ( 3/ 5) ( 2/ 4) / ( 3/ 5) = 2/ 4

= 2/ 4

(6)

Pengam bilan

I

3/ 5

A

2/ 4 2/ 4

2/ 5

3/ 4

1/ 4 A

Unt uk m engerj akan Unt uk m engerj akan kasus diat as, dapat kasus diat as, dapat j uga dilakukan j uga dilakukan sebagai berikut : sebagai berikut :

MI salkan B = MI salkan B = t eram bilnya bola biru t eram bilnya bola biru pada pengam bilan I pada pengam bilan I

A= t eram bilnya bola A= t eram bilnya bola

Pert ama Pert ama Kedua Kedua

Merah Merah (B (B--₎₎

Biru (B) Biru (B) Tot alTot al

Merah Merah (A) (A)

2/ 20

2/ 20 6/ 206/ 20 8/ 208/ 20

Biru Biru (A (A--₎₎

6/ 20

6/ 20 6/ 206/ 20 12/ 2012/ 20

m erah pada m erah pada pengam bilan I I pengam bilan I I

Tot al

Tot al 8/ 208/ 20 12/ 2012/ 20 20/ 2020/ 20

P( A ∩B) = P( A) .P( B)

Perhat ikan

Perhat ikan t abelt abel kem ungkinankem ungkinan P( A

P( A|| BB) = ( 6/ 20) / ( 12/ 20) = 1/ 2) = ( 6/ 20) / ( 12/ 20) = 1/ 2

Teorema Bayes

Contoh (6)

Kot a Bogor disebut kot a huj an karena peluang Kot a Bogor disebut kot a huj an karena peluang t erj adinya huj an ( H) cukup besar yait u sebesar t erj adinya huj an ( H) cukup besar yait u sebesar 0.6. Hal ini m enyebabkan para m ahasisw a harus 0.6. Hal ini m enyebabkan para m ahasisw a harus siap

siap-- siap dengan m em baw a payung ( P) . Peluang siap dengan m em baw a payung ( P) . Peluang seorang m ahasisw a m em baw a payung j ika hari seorang m ahasisw a m em baw a payung j ika hari huj an 0 8 sedangkan j ika t idak huj an 0 4 huj an 0 8 sedangkan j ika t idak huj an 0 4 huj an 0.8, sedangkan j ika t idak huj an 0.4. huj an 0.8, sedangkan j ika t idak huj an 0.4. Berapa peluang hari akan huj an j ika diket ahui Berapa peluang hari akan huj an j ika diket ahui m ahasisw a m em baw a payung?

m ahasisw a m em baw a payung?

Huj an at au t idak huj an harus siap- siap bawa payung nih, soalnya ga

bisa diprediksi

Misalkan : Misalkan : H = Bogor huj an, H = Bogor huj an,

P = m ahasisw a m em baw a payung P = m ahasisw a m em baw a payung P( H) = 0.6 P( TH) = 1

P( H) = 0.6 P( TH) = 1-- 0.6= 0.4 P( P| H) = 0.80.6= 0.4 P( P| H) = 0.8 P( P| TH) = 0.4

P( P| TH) = 0.4

Dit anya : P( H| P) Dit anya : P( H| P) Jaw ab :

Jaw ab :

) / ( ) ( ) / ( ) (

) / ( ) ( )

( ) (

) ( )

( ) ( ) / (

+ =

∩ + ∩

∩ =

TH P P TH P H P P H P

H P P H P P

TH P P H P

P H P P

P P H P P H P

Sesuai hukum per kalian peluang

Teorema

Teorema Bayes

Bayes

Suat uSuat u gugusgugus universumuniversum disekatdisekat m enj adim enj adi beberapa

beberapa anakanak gugusgugus B1, B2, …, B1, B2, …, BnBn dandan A A suat u

suat u kej adiankej adian padapada U U dengandengan p( B)p( B)≠≠0 0 m aka

m aka,,,, P( A) =

P( A) = ΣΣP( Bi) P( AP( Bi) P( A|| Bi)Bi)

PeluangPeluang BBkk bersyaratbersyarat A, A, dapatdapat dihit ungdihit ung

sebagai

sebagai berikutberikut :: P(

(7)

Perhat ikan diagram berikut :Perhat ikan diagram berikut : –

– Ruang cont oh dipecah Ruang cont oh dipecah m enj adi kej adian B1, m enj adi kej adian B1, B2,…,Bn saling t erpisah B2,…,Bn saling t erpisah –

– Disam ping it u ada Disam ping it u ada kej adian A, yang dapat kej adian A, yang dapat t erj adi pada kej adian B1, t erj adi pada kej adian B1, B2,…,Bn. Dengan B2,…,Bn. Dengan dem ikian, A= ( A dem ikian, A= ( A∩∩B1) + B1) +

(( )) (( ))

B1 ………. Bn

Kej adian A

( A

( A∩∩B2) + …. + ( AB2) + …. + ( A∩∩Bn)Bn) –

– Peluang kej adian A Peluang kej adian A adalah: P( A) =

adalah: P( A) = P( AP( A∩∩B1) + B1) + P( A

P( A∩∩B2) + …. + P( AB2) + …. + P( A∩∩Bn)Bn) –

– Dengan m em anfaat kan Dengan m em anfaat kan sifat peluang bersyarat , sifat peluang bersyarat , diperoleh peluang Bk diperoleh peluang Bk bersyarat A adalah: bersyarat A adalah:

P(

P( BkBk|| A) = P(A) = P( BkBk) P( A) P( A|| BkBk) / ) / ΣΣP( Bi) P( AP( Bi) P( A|| BiBi))

quiz

Tiga kant ung berisi kelereng sebagai berikut : Kant ung 1: 3 Merah, 7 Put ih

Kant ung 2: 5 Merah, 5 Put ih Kant ung 3: 6 Merah, 4 Put ih

Sebuah kelereng diam bil secara acak dari kant ung 1. Jika kelereng ini m erah, sebuah kelereng diam bil dari kant ung 2; j ika kelereng ini put ih sebuah kelereng diam bil dari kant ung j ika kelereng ini put ih, sebuah kelereng diam bil dari kant ung 3.

( a) Berapa peluang t eram bilnya kelereng m erah pada am bilan

yang ke dua?

( b) Misalkan dari am bilan kedua diperoleh kelereng m erah.