Matematika Teknik 2 – Bab 3 – Invers Laplace

BAB 3

INVERS LAPLACE

Pokok Pembahasan :

Prinsip Dasar

Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Ekspansi Parsial

1. PRINSIP DASAR

Inverse Laplace adalah kebalikan dari t ransf ormasi Laplace, yait u t ransf ormasi F(s) menj adi f (t ).

L-1 _{F(s) = f (t ) ( 3-1 )}

⊕ Pernyat aan invers Laplace dinyat akan dengan simbol “ L-1 _“

⊕ Invers Laplace dapat dilakukan t erhadap semua f ungsi :

• Fungsi-f ungsi Element er

• Fungsi-f ungsi Non Element er

2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER

3. FRAKSI PARSIAL (PART IAL FRACT ION₎

Ekspansi Heaviside merupakan salah sat u cara penyelesaian invers Laplace unt uk f ungsi-f ungsi non element er.

Bila bent uk Transf ormasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyat akan dengan :

( 3-2 )

⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s

⊕ Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s).

⊕ A(s) = a_msm _{+ a}

m-1sm-1 + . . . + a1s + a0

A(s) F(s) =

⊕ B(s) dapat diuraikan menj adi :

• B(s) = b_n(s-s₁)(s-s₂) . . . (s-s_k) . . . (s-s_n)

• s₁, s₂, s₃, . . . s_n = akar-akar B(s).

⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa :

• Bilangan nyat a (riel)

• Bilangan imaj iner (khayal)

• Bilangan kompleks.

⊕ Akar-akar B(s) meliput i akar-akar :

• Berharga t ak sama (berbeda).

Cont oh pembagian f ungsi polinomial rasional (t erukur) :

Sehingga F(s) menj adi :

3

2

3s + 2s + 1 F(s) =

s + s + 2

2

-s + 7 F(s) = 3s - 3 +

s + s + 2

2 3

( s + s + 2 ) 3 s + 2 s + 1

3 2

3 s + 3 s + 6 s 3 s - 3

2

- 3 s − 4 s + 1

-2

- 3 s − 3 s − 6

3. 1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama

Bila akar-akar B(s) t ak ada yang sama dan m < n, maka :

Besaran-besaran k₁, k₂, k₃ . . . k_n dapat dit ent ukan dengan rumus :

( 3-3 )

1 2 k n

A ( s )

F ( s ) =

b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . ( s - s )

1 2 k n

n 1 2 k n

k k k k

1

F ( s ) = . . . .

b s s s s s s s s

⎡ ⎤

⎢ _{+ + + + +} ⎥

⎢ _{− − − −} ⎥

⎣ ⎦

k

k n k

S S

A (s)

k = b (s s ).

B(s)

=

⎛ _⎞⎟

⎜ _{− ⎟}

⎜ _⎟

⎜ ⎟

Cont oh :

L-1 ₌ L-1

L-1 ₌ L-1

f (t ) = -½ u(t ) + 1/ 6 e2t _{u(t ) + 1/ 3 e}-t _{u(t )}

{

}

2

s = 2

1

1

k = (s-2)

=

6

s(s-2)(s+1)

1

s ( s - 2 ) ( s + 1 )

3

1 2 k

k k

s ( s - 2 ) ( s + 1 )

⎛ _⎞⎟ ⎜ _{+ + ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

{

}

1

s = 0

1 1

k = s =

-2 s ( s - 2 ) ( s + 1 )

{

}

3

s = -1

1

1

k = (s+1)

=

3

s(s-2)(s+1)

1

s ( s - 2 ) ( s - 1 )

1 1

1

6 3

2

s ( s - 2 ) ( s + 1 )

3. 2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama

Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :

Bila t erdapat p buah akar yang sama, maka :

1 2 k n

A ( s )

F ( s ) =

b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . ( s - s )

1 p 1 p -1 _{1 1}

p p -1

n 1 1 1

k k _k

A ( s ) 1

= + + ...+ + ....

B ( s ) b ( s -s ) ( s -s ) ( s -s )

⎡ ⎢ ⎢⎣

p+1 p+2 _n

p+1 p+2 n

k

k

k

+

+....+

+ ... +

(s-s

)

(s-s

)

(s-s )

dengan :

( 3-4a )

( 3-4b )

( 3-4c )

1

p

1 p n 1

s = s

A ( s )

k

= b

( s - s )

B ( s )

1

p

1 p - 1 n 1

s s

d A ( s )

k = b ( s - s )

d s B ( s ) ₌

1

p - k

p n

1 k _{p - k} 1

s = s

b

d

A ( s )

k

=

( s - s )

Cont oh :

L-1

L-1

f (t ) = 3t e-t _{– 3e}-t _{+ 3e}-2t _{= 3 [ (t -1)e}-t _{+ e}-2t_]

2 2

1 _{s 1} 2

s 1

3

k (s 1) F(s) (s 1) 3

(s 1) (s 2)

=− =− ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ = + = + ⎜_{⎜ ⎟⎟} = ⎜ + + ⎝ ⎠ 3 1 2 2 k k k F(s)

(s 1) s 1 s 2

= + +

+ + +

2

3 F(s)

(s 1) (s 2)

= + + 2 2 2 s 1 d 3

k = (s + 1 ) 3

d s (s + 1 ) (s + 2 ) ₌₋ = −

3 2

s 2

3

k (s 2) 3

(s 1) (s 2) ₌₋

= + =

+ +

2 2

3 3 3 3

Cara lain unt uk mencari nilai k₂ :

⊕ Subst it usikan harga k₁ yang t elah di dapat .

⊕ Pindahkan ke ruas kiri.

⊕ Hit ung k₂ dengan met ode f raksi parsial dengan akar berbeda.

3 2 2 2 k k 3 3

(s 1) (s 2) (s 1)+ + − + =(s 1)+ +(s 2)+

2 2

1 _{s 1} 2

s 1

3

k (s 1) F(s) (s 1) 3

(s 1) (s 2)

=− =− ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ = + = + ⎜_{⎜ ⎟⎟} = ⎜ + + ⎝ ⎠ 3 2 2 2 k k 3 3

(s 1) (s+ +2) = (s 1)+ + (s 1)+ + (s+2)

2

3

k = (s + 1 ) 3

(s + 1 ) (s + 2 ) = −

3

2 k

k 3

(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)

−

= +

3. 3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar Kompleks

Akar-akar kompleks t erj adi dalam pasangan konj ugasinya Bila

( 3-5 )

( 3-6 )

( 3-7a )

( 3-7b )

1 2

k

k

F ( s ) =

s -

α

- j

β

+

s -

α

+ j

β

F ( s ) =

α

±

j

β

1 s = + j

k = ( s -α - j ) F ( s ) |β _{α β}

2 s = -j

Bila

( 3-8 )

( 3-9 )

r 2

r r 1 r 2

d d

(s p) F(s) [A (s p)A (s p) A ....)

ds − =ds + − − + − − +

r r-1 1

1

r r r 1

1

A A A

N(s)

F(s) = ... F (s)

D (s)(s− p) = (s− p) + (s− p) − + + (s− p) +

r

r 1 r 2

d d

(s p) F(s) [A 2(s p)A ....]

Cont oh : 1.

t t o

f (t)

=

−

e

−

+

2 e cos (t 45 )

−

−

s

F(s)

(s 1)(s 1 j1)(s 1)(s 1 j1)

=

+ + − + + +

2

s F(s)

(s 1)(s 2s 2)

=

+ + +

2

s 1

s

A 1

s 2s 2 ₌₋

= =−

+ +

o

s 1 j1

s 1 j1 1

B 45

(s 1)(s 1 j1) _{= +} 2 2

−

= = = ∠−

+ + +

A B B*

F(s)

(s 1) (s 1 j1) (s 1 j1)

= + +

2.

Bila p – p*=2j dan p+1 = j , maka : B [ 4 2 ( j) ( 2 j) ] 1

( 1) (1 6 ) 2

− − +

= =

−

2 2

A B A * B * C

F(s)

(s p) s p (s p*) s p * s 1

= + + + +

− − − − +

2 2

1 F(s)

(s 1)(s 2s 2)

=

+ + +

2 2 2

s p

1 1 1 1

A j

(s 1)(s p*) ₌ (p 1)(p p*) ( j)(2 j) 4

= = = =

+ − + − +

2

2 2 4

d 1 [(s p*) 2(s 1)(S p*)]

ds (s 1)(s p*) (S 1) (S p*)

− − + + −

=

+ − + −

2

2 4

[(p

p*)

2(p 1)(p

p*)]

B

(p 1) (p

p*)

− −

+

+

−

=

Selanj ut nya

f (t ) = At ept _{+ Be}pt _{+ A* t e}p*t _{+ B*e}p*t _{+ Ce}-t

Bila A = (1/ 4) ∠ 90o _{dan B = ½} ∠ ₀o

f (t ) = t e-t _{cos( t + 90}o _{) + e}-t _{cos t + e}-t 2

s 1

1

C 1

s 2s 2 ₌₋

= =

4. KONVOLUSI

Bila f (t ) merupakan inverse F(S) dan g(t ) merupakan inverse G(S), maka h(t ) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S).

h(t ) disebut konvolusi dan dit uliskan dengan :

Unt uk τ > 0.

Dengan def inisi G(S) dan t eori pergeseran, didapat kan :

t

0

h(t) (f *g)(t)

=

=

∫

f ( )g(t

τ

− τ τ

)d

( 3-10 )

s st

e

G(S)

e

g(t

) dt

∞

− τ

=

−

− τ

Sehingga :

Sif at -sif at dasar operasi arit mat ik konvolusi

a. Komut at if f * g = g * f

b. Dist ribut if f *( g₁ + g₂ ) = f * g₁ + f * g₂ c. Asosiat if ( f * g ) * v = f * ( g * v )

f * 0 = 0 * f = 0

Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karena

t st

0 0

H(S)

F(S) G(S)

e

f ( )g(t

)d dt

∞ −

Cont oh Soal dan Penylesaian

1. H(S) = 1/ [ (S2_)(S- ω_{)] ; t ent ukan h(t ) !} Jawab :

2

1

1

F(S) =

dan G(S)

S -

S

=

ω

t t

0

h(t)

=

t *e

ω

=

∫

f ( )g(t

τ

− τ τ

)d dt

t

f (t) = t dan g(t) e

=

ω

t

t (t )

0

h(t)

=

t *e

ω

= τ

∫

e

ω −τ

d

τ

t

t t )

h(t)

=

t *e

ω

=

e

ω

∫

τ

e

−ωτ

d

τ

2 t

1

h(t)

=

(e

ω

− ω −

1)

SOAL-SOAL LATIHAN

Tent ukan f (t ) dari persamaan berikut dengan met ode konvolusi

2

1

1

1.

2.

s(s- )(s- )

(s- )

ω

α

β

α ≠ β

2 2 2 2 2

1

s

3.

4.

s(s + )

ω

(s +

ω

)

2 2 2 2

1

1

5.

6.

s (s - )

ω

s (s +5)

2 2 2

6s

2s + 1

9.

10.

s(s + 1)

+

1

(s + 4s + 13)

2 2 2

s

1

7.

8.

SOAL-SOAL TAMBAHAN

Tent ukan f (t ) dari persamaan-persamaan berikut :

Selesaikan t ransf ormasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

Bila diket ahui Z₁ ∠ ( ωt + θ ) dan Z₂ ∠ ( ωt - θ ) , maka hit ung :

2 2

s

1

1.

2.

(s

+

1)(s 2)

+

(s +3s+1)

2 2 2

s

s + 2

3.

4.

(s + 5s 5)

+

s (s -

ω

)

at

5. t cos( t+ ) 6. e sin( t+ )

ω θ

ω θ

3 2

7. ( 4t + t + 3 ) cos( t

ω + α

) 8. sin( t

ω + α

) cos( t

ω + β

)

at

1 2

1

1