M01157

(1)

Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika LSM XXI pada tanggal 22 Februari 2014 yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta., ISBN, 978 – 979 – 17763 – 7 – 0,hal.65-73.

ANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN

MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI

Herlina D. Tendean1), Hanna A. Parhusip2), Bambang Susanto2)

1)

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

1)herlinadwitendean@gmail.com,2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 2) bsusanto5@gmail.com

Abstrak

Model denyut jantung manusia yang berbentuk

��1=−(�13− ��1+�2)

�2=�1− �

dianalisa dengan menggunakan teori bifurkasi karena variasi parameter dalam model yang dapat menyebabkan perubahan sifat kualitatif titik setimbang. Model tersebut merupakan model tak linier maka model akan dilinierkan dengan mengunakan linierisasi deret Taylor. Untuk melihat perbandingan antara model linier dan tak linier yang sesuai dengan sistem kerja jantung manusia, maka kedua model diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Model linier tidak sesuai dengan sistem kerja jantung manusia karena dalam model linier tidak terjadi proses sistole dan diastole, sehingga model tak linier lebih valid karena sesuai dengan sistem kerja jantung manusia. Solusi yang didapatkan dari model tak linier merupakan bifurkasi homoklinik yang terjadi karena adanya siklus periodik dan sifat stabilitas titik setimbang cenderung tidak stabil.

Kata kunci : Jantung, Bifurkasi Homoklinik, Titik Setimbang.

Pendahuluan

Pada proses pemompaan darah pada jantung memiliki dua jenis gerakan yang disebut kontraksi (sistole) dan relaksasi (diastole). Sistole adalah gerakan jantung pada saat tekanan darah terjadi kontraksi pada otot-otot jantung, sedangkan diastole adalah gerakan jantung pada saat jantung beristirahat pada saat pemompaan . Denyut jantung terjadi pada saat jantung berada dalam kondisi sistole dan diastole yang terjadi berulang-ulang.

(2)

Model denyut jantung manusia harus memiliki 3 siklus dasar (Jones dan Sleeman,1983) :

1. Model yang dibuat harus berdasarkan keadaan setimbang dengan laju perubahan panjang serabut otot dan gelombang aktifitas elektrokimia sama dengan nol

2. Terdapat ambang batas yang memicu gelombang elektrokimia yang menyebabkan jantung berkontraksi

3. Model diharapkan dapat cepat kembali dalam keadaan setimbang

Model denyut jantung yang diteliti dalam paper ini berbentuk (Thanom dan Robert, 2011):

��1 = −(�13− ��1+�2) �> 0 (1)

�2 =�1− � (2)

dengan

�1 : Panjang serabut otot

�2 : Variabel aktifitas elektrokimia

� : Konstanta parameter bernilai positif kecil yang berhubungan dengan nilai eigen

� : Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole

� : Ketegangan dalam otot.

Pada literatur nilai parameter yang diketahui adalah � = 0, � = 0.2 dan �= 1. Persamaan (1) dan (2) merupakan sistem persamaan yang memiliki bentuk

umum �

� = (� ,�), persamaan (1) dan (2) akan dianalisis dengan menggunakan

teori bifurkasi. Model dianalisis dengan menggunakan teori bifurkasi diharapkan dapat menunjukan sifat sistem kerja jantung apabila parameter berubah-ubah.

Teori Bifurkasi

Bifurkasi adalah perubahan sifat kualitatif titik setimbang dari sistem

persamaan diferensial �

� = (� ,�) yang terjadi karena variasi parameter. Titik

setimbang adalah solusi � =� ∗ yang menyebabkan �

� = 0 . Terdapat 3 jenis

(3)

1. Bifurkasi pelana (saddle node bifurcation) yaitu dimana titik setimbang � ∗ bertabrakan dan menghilang. Bifurkasi pelana diperoleh dengan mendeteksi :

det⁡(� )

� ,� = 0 , (��(� )≠0)

dengan � adalah matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial.

Matriks Jacobian dibentuk dari turunan parsial dari sistem persamaan

diferensial dari (� ,�) terhadap �, dengan = 1,…,� dan = 1,…,�.

Berdasarkan komponennya, � ditulis

� =

� 1

��1

�1

��

⋱

��

��1 …

��

. (3)

2. Bifurkasi hopf yaitu berubahnya jenis kestabilan titik setimbang persamaan diferensial, yang terjadi karena munculnya sepasang nilai eigen dari matriks Jacobian yang bernilai imajiner. Bifurkasi hopf dapat diperoleh jika sistem persamaan diferensial memenuhi :

det⁡(� )

� ,� > 0 , (�� = 0)

Nilai eigen disini adalah nilai skalar � yang memenuhi persamaan

� =�� . (4)

Matriks A adalah matriks Jacobian dari persamaan diferensial yang dihitung pada titik setimbangnya. Sehingga nilai eigen pada matriks Jacobian dicari dengan menyelesaikan (Mahmud, 2009)

det − �Ι = 0 (5)

3. Bifurkasi homoklinik yaitu adanya siklus periodik pada suatu persamaan diferensial, yang muncul karena sepasang nilai eigen (5) dari matriks Jacobian tidak sama dengan nol (Maoan dkk, 2012). Bifurkasi homoklinik dapat dideteksi jika persamaan diferensial memenuhi :

det⁡(� )

� ,� > 0 , (�� ≠0)

Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang maka sistem persamaan diferensial tak linier perlu diketahui sifat nilai eigen dari matriks Jacobian yaitu matriks pada persamaan (3).

(4)

1. Titik setimbang hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang tidak nol).

2. Titik setimbang non hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang bernilai nol).

Sifat kestabilan untuk titik setimbang hiperbolik dibagi berdasarkan jenis dan tanda dari nilai eigen. Beberapa sifat kestabilan titik setimbang (Golubitsky dan Dellnitz,1999) :

1. Jika semua nilai eigen riil dan mempunyai tanda sama, stabil apabila nilai eigen positif dan tidak stabil apabila nilai eigen negatif.

2. Jika semua nilai eigen riil dan berbeda tanda (positif dan negatif) maka jenis kestabilan adalah pelana (saddle) dan selalu tak stabil.

3. Jika salah satu nilai eigen riil dan nilai eigen kompleks yang semua nilai eigen bernilai negatif maka jenis kestabilan adalah stabil, tetapi apabila semua nilai eigen bertanda positif maka jenis kestabilan adalah tak stabil. Jenis kestabilan ini disebut fokus titik (focus node).

4. Jika salah satu nilai eigen riil dengan tanda yang berlawanan dari nilai eigen yang kompleks, maka jenis kestabilannya disebut titik pelana fokus (saddle focus), titik setimbang ini selalu tidak stabil.

Karena model 1 yang digunakan bersifat tak linier maka sebagai langkah awal model dilinierkan dengan deret Taylor di sekitar titik setimbang � ∗.

Linierisasi sistem persamaan tak linier dengan menggunakan Deret Taylor

Linierisasi didasarkan dari fungsi (� ) yang terletak dekat dengan titik

setimbang, dengan � ∗ = 0 yang kemudian disusun sistem persamaan pada

sekitar titik setimbang �∗.

�

� = (� ) = (� ∗) + � � ∗(� − � ∗) + (6)

Dari persamaan (6) selanjutnya yang lebih tinggi dbuang, sehingga persamaan menjadi

� � =

�1

�

��

�

=

�1

��1 …

�1

��

⋱

��

��1

� �

��

�1− �1∗

��− ��∗

(7)

Persamaan (7) merupakan model sistem persamaan linier yang berada di sekitar

(5)

Metode Runge-Kutta orde 4 untuk model denyut jantung persamaan (1) dan (2)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial tak linier pada persamaan (1) dan (2) dapat digunakan metode Runge-Kutta (Yang dkk, 2005) persamaan (1) dan (2) mempunyai penyelesaian

� �+1₌_��₊ℎ

(6)

Dalam penilitian ini persamaan (1) dan (2) akan dicari nilai titik setimbangnya untuk mengetahui sifat stabilitas titik setimbang � ∗. Secara analitik didapatkan nilai titik setimbang

�1∗=�

Menentukan sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan variansi parameter

Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang persamaan (1) dan (2) maka dicari nilai eigen dengan membentuk matriks Jacobian sesuai dengan persamaan (3)

eigennya real dan bertanda positif dengan tipe titik setimbang hiperbolik.

Sifat kestabilan berdasarkan nilai eigen dengan memvariasi parameter �, � dan � ditunjukan pada table 1.

(7)

Tabel 1. Nilai eige, determinan dan trace dari matriks Jacobian untuk beberapa variasi parameter �

No Nilai

Parameter

Nilai Eigen Det

/Trace

Matriks Jacobian Gambar pplane7

`1 �= 0.19

Setelah memvariasi parameter � dapat terlihat nilai eigen selalu positif dan sifat kestabilan titik setimbang akan terjadi tidak stabil apabila � 0.25 dan sifat kestabilan pelana fokus terjadi apabila nilai � > 0.25. Dapat dikatakan

bahwa sifat titik setimbang dengan memvariasi parameter � adalah pelana fokus dan tidak stabil.

2. Apabila parameter −0.5 � < 0 atau 0.5 � > 0 maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil dan pelana fokus dan apabila � = 0 sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil.

3. Parameter � divariansi � 1 maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil

Setelah melakukan variansi parameter �, � dan � persamaan(1) dan (2) merupakan bifurkasi homoklinik karena persamaan (1) dan (2) memiliki siklus periodik. Dengan menggunakan bantuan pplane7 maka akan terlihat siklus yang terjadi pada persamaan (1) dan (2) dalam bidang fase.

(8)

Gambar 2. �1= panjang serat otot, �2= Variabel aktifitas elektrokimia dimana � = 0, �= 0.2

dan �= 1.

Gambar 2 menunjukan bahwa medan vektor dalam garis AB dan BC berjalan menuju garis B dan C yang membentuk siklus. Titik-titik AB dan BC merupakan titik setimbang yang stabil sedangkan titik yang berada disekitar garis BC merupakan titik setimbang yang tidak stabil disebabkan pada garis B dan C merupakan ambang batas yang menyebabkan jantung berkontraksi (Thanom dan Robert, 2011). Titik setimbang dikatakan tidak stabil karena jantung merupakan organ tubuh yang tidak berhenti beraktifitas sehingga dapat dikatakan bahwa jantung tidak pernah berada pada kondisi yang stabil.

Linierisasi sistem persamaan tak linier

(9)

�1

� �2

�

=

−3�12+�

� �1− � + 1

� �2−

(−� 3+�� )

�

�1− �

(8)

Persamaan (8) adalah hasil linierisasi persamaan (1) dan (2).

Metode Runge-Kutta orde 4

Hasil Metode Runge-Kutta orde 4 akan diaplikasikan pada persaman (1) dan (2) dengan dibantu Matlab R2009a, dengan titik awal yang dipilih adalah -0.35 dan -0.35.

Gambar 3. Gambar dari persamaan (1) dan (2) dengan �= 0.2, �= 1 dan � = 0

Gambar 3 merupakan gambar pada persamaan (1) dan (2) yang dibawa dalam fungsi � dengan titik awal yang dipilih adalah pada saat �₁ � =−0.35 dan �2 � = 0.35, titik awal dipilih berdasarkan perpotongan antara AB dan BC pada

gambar 2. Pada gambar 3 menjelaskan �₁ adalah panjang serabut otot dan �₂ adalah variabel aktifitas elektrokimia, pada saat �₁ = 5 dan �₂ = 5 terlihat pada garis putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan diastole maka panjang serabut otot semakin melebar dan aktifitas elektrokimia akan semakin mengecil karena tidak terjadi kontraksi pada otot jantung, tetapi pada garis yang tidak putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan sistole maka panjang serabut otot akan semakin mengecil dan variabel aktifitas elektrokimia semakin membesar karena terjadi kontraksi dalam jantung yang dapat menghasilkan listrik didalam jantung.

Dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 persamaan (8) disusun

seperti persamaan yang tak linier dan dibawa ke dalam fungsi waktu (�) untuk

0 5 10 15 20 25

-2 -1 0 1 2

x1

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

x2

(10)

melihat kedekatan antara model yang linier dengan sistem kerja jantung. Dengan menggunakan bantuan Matlab R2009a maka persamaan (1),(2) dan (8) diaplikasikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 yang ditunjukan pada gambar 4.

Gambar 4. Gambar dari persamaan (1), (2) dan (8)

Pada gambar 4 terlihat bahwa sistem persamaan yang telah dilinierkan tidak sesuai dengan keadaan jantung manusia, karena keadaan panjang serabut otot dan variabel aktifitas elektrokimia semakin meningkat dan terlihat bahwa jantung tidak mengalami proses sistole dan diastole.

Dimensi Analisis untuk Persamaan (1) dan (2)

Model pada persamaan (1) dan (2) merupakan model yang tak berdimensi sehingga pada kasus ini akan dilakukan analisis untuk menjadikan model yang tak berdimensi menjadi berdimensi.

Misalkan berdasarkan dari literatur diberikan dimensi pada setiap variabel : �1 = panjang serabut otot (meter)

�2 = aktivitas variabel elektrokimia (tegangan listrik = Volt)

� = Tegangan (Pascal atau Newton/meter2)

� = Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole (meter)

� = waktu (detik)

Untuk mendapatkan informasi tentang satuan pada parameter pada persamaan (1) dan (2) tersebut maka perlu dilakukan terlebih dahulu analisa dimensi sebagaimana ditunjukkan berikut ini. Model ditulis dalam bentuk

�1=− �13+ ��1− �2 (9)

0 5 10 15 20 25

-2 0 2 4

x1

0 5 10 15 20 25

-20 0 20 40 60

x2

t Linier

Linier Tak linier

(11)

�2= (�1− � ), , , , ,�> 0 (10)

Penyekalaan umum yang dapat digunakan adalah

�1=�1, �2=�2, � =�_� . (11)

dengan A, B dan � merupakan skala referensi untuk panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu. Skala referensi adalah nilai-nilai panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu yang biasa digunakan pada saat pengukuran jantung. Misalkan A adalah panjang serabut otot jantung dalam keadaan normal bagi orang sehat ketika jantung berkontraksi dalam satuan meter, B adalah tegangan listrik yang terjadi dalam jantung pada saat berkontranksi dalam satuan volt dan �adalah waktu yang digunakan pada saat jantung mengalami sistole dan diastole dalam satuan detik. Dengan menggunakan penyekalaan umum (11) pada persamaan (9) dan (10) diperoleh

�� 1 =− 3�13+ � � −1 �2 (12)

�� 2= (� − � 1 ) (13)

selanjutnya perlu dicari , , dan dengan

�= , sehingga �= = =

� � 1=− 3

�13+�� −1 �2

� adalah � pada persamaan (1) yang sehingga dapat menjadi � =

1

�.Ekspresi

3

dapat disederhanakan menjadi 2 = 1 sehingga menyebabkan 2 = jadi

= . Selanjutnya = 1 jadi = = .

Jadi model pada persamaan (1) dan (2) setelah dilakukan penyekalaan akan menjadi

�� 1=−�13+�� − �1 2 (14)

� 2=� − � 1 (15)

(12)

Kesimpulan

Berdasarkan analisis model denyut jantung yang dilakukan terlihat bahwa teori bifurkasi telah digunakan untuk menganalisis suatu persamaan diferensial yang mempunyai perubahan sifat kualitatif pada titik setimbang yang dikarenakan perubahan parameter. Persamaan tak linier yang sudah ada juga telah memenuhi sistem kerja jantung pada saat sistole dan diastole. Pada persamaan (1) dan (2) merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang timbul karena adanya siklus periodik dengan sifat titik setimbang yang cenderung tidak stabil. Sifat titik setimbang adalah tidak stabil yang berarti bahwa jantung sedang berada pada kondisi sistole dan diastole yang berulang-ulang pada nilai parameter � 0.25 dan � 0.25, −0.5 � 0.5 dan � 1.

Ucapan Terima Kasih :

Terima kasih kepada Bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, M. Sc yang telah berkontribusi pada analisis dimensi model yang akan digunakan untuk penelitian lebih lanjut.

Daftar Pustaka

[1]. Golubitsky, M and Dellnitz, M. (1999). Liniear Algebra and Differential Equation Using Matlab. Brooks/Cole Publishing Company. [2]. Imrona, Mahmud. (2009). Aljabar Linier Dasar. Jakarta : Erlangga. [3]. Jones, D.S and Sleeman, B. D. (1983). Differential Equations And

Mathematical Biology. Departement of Mathematical Sciences, University of Dundee. London.

[4]. Maoan Han, Junmin Yang and Dongmei Xiao. (2012). Limit Cycle Bifurcation Near a Double Homoclinic Loop with a Nilpotent Saddle. International Journal of Bifurcation and Chaos.

[5]. Pangase, Yulin. (2013). Penyelesaian Untuk Model Reaktor Reaksi Kimia (Continuous Flow Stirred Chemical Tank Reactor (Cstr)) Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi. Fakultas Ilmu Alam dan Teknologi Rekayasa Universitas Halmahera.

(13)

Engineering Center for Robotics and Advanced Automation Oakland University Rochester. USA.