INTERPOLASI & REGRESI

PENCOCOKAN KURVA

PENCOCOKAN KURVA

((

C

CUR

URVE F

VE F II TTI

TTI NG 

NG 

))

Ada 2 pendekatan dalam curve fitting:

Ada 2 pendekatan dalam curve fitting:

1.

1. INTERPOLASI

INTERPOLASI

2.

2. REGRESI

REGRESI

Perhatikan dua kurva di bawah dengan titik-titik data yang Perhatikan dua kurva di bawah dengan titik-titik data yang sama:

sama:

Interpolasi Regresi

Interpolasi Regresi

TERLIHAT BAHWA PADA INTERPOLASI SEMUA TERLIHAT BAHWA PADA INTERPOLASI SEMUA TITIK DATA DILALUI

TITIK DATA DILALUI GARIS SEDANG PADA REGRESIGARIS SEDANG PADA REGRESI TIDAK SEMUA DATA

Perbandingan regresi dan interpolasi Perbandingan regresi dan interpolasi Perbedaan masing-masing: Perbedaan masing-masing: Interpolasi Regresi Interpolasi Regresi Interpolasi Interpolasi

Interpolasi berangkat dari asumsi bahwa titik-titik data Interpolasi berangkat dari asumsi bahwa titik-titik data memiliki akurasi yang tinggi (atau ralat dapat dianggap memiliki akurasi yang tinggi (atau ralat dapat dianggap

tidak ada), maka kurva fitting yang dihasilkan harus melalui tidak ada), maka kurva fitting yang dihasilkan harus melalui semua titik, maka dikatakan menginterpolasi titik-titik data semua titik, maka dikatakan menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi.

dengan sebuah fungsi. Regresi:

Regresi berangkat dari asumsi bahwa sekumpulan titik data merupakan serangkaian data hasil pengukuran yang

mengandung ralat, karena itu kurva fittingnya tidak harus melalui semua titik, yang penting adalah bahwa kurva yang dihasilkan mewakili trend titik-titik data secara

keseluruhan.

Kurva fitting yang terbentuk harus memiliki jumlah total ralat (selisih antara titik data dengan titik kurva) sekecil mungkin, sehingga metode ini disebut juga regresi kuadrat terkecil (least squar e regr ession )

Ralat yang timbul pada data disebabkan oleh banyak faktor diantaranya: kesalahan dalam mengukur, ketelitian alat

ukur dll.

Metode ini banyak digunakan untuk kurva fitting data berketelitian rendah seperti data hasil pengamatan, hasil

penelitian laboratorium atau data statistik. Data-data seperti ini disebut sebagai data hasil pengukuran

BAGAIMANA MEMILIH METODE YANG TEPAT UNTUK SUATU KUMPULAN DATA, APAKAH PERSAMAANNYA AKAN DIPEROLEH MELALUI INTERPOLASI atau REGRESI ?

BEBERAPA KRITERIA YANG BISA MENJADI ACUAN:

1. Harus diketahui dahulu, apakah data-data tersebut kira-kira cukup teliti atau tidak, kalau data hasil peneltian, pengamatan, data statistik maka biasanya kurang teliti atau mentolerir adanya ralat, maka

sebaiknya memakai regresi

2. Bila sebaran data acak dan rapat maka gunakan metode regresi 3. Bila data diperoleh dari penggunaan dari suatu fungsi yang rumit

namun akan diganti mjd fungsi yang sederhana, maka pakailah interpolasi

4. Bila ada data yang nilai x nya sama tetapi nilai y=f(x) beda (ada 2 data dititik yg sama) maka gunakan regresi.

INTERPOLASI

Interpolasi yang umum dan banyak digunakan

adalah

INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON

Berdasarkan jumlah data yang tersedia, ada beberapa bentuk interpolasi polinom Newton:

a. Interpolasi linier

Bila hanya ada dua titik data, maka interpolasinya akan membentuk interpolasi linier

berlaku persamaan:

)

)(

(

.

₀ 0 1 0 1 0 0  x x  x  x  y  y  y  x m  y  y       

atau ditulis dalam bentuk lain:

Polinomial yang terbentuk merupakan polinomial orde satu yang menghubungkan 2 titik menjadi garis lurus.

Contoh soal:

Penduduk suatu negara ditabelkan sbb:

Jawab:

)

)(

(

.

₀ 0 1 0 1 0 0  x x  x  x  y  y  y  x m  y  y          juta  y

)(

1968

1960

)

198

,

4

1960

1970

3

,

179

2

,

203

(

3

,

179

)

1968

(

     

Pers polinomial orde 1: y = 179,3 + 2.39 (x -1960) Interpolasi kuadratik

Bila ada tiga titik data, maka data dapat didekati dengan interpolasi kuadratik:

dengan pendekatan polinomialnya merupakan pengembangan dari interpolasi linier:

dimana interpolasi linier: maka

interploasi kuadratik: atau

Terlihat gradien a₂ merupakan kombinasi masing-masing gradien dari dua titik

Kurvanya:

Soal:

Data-data entalpi pada berbagai suhu suatu senyawa

(diambil dari data referensi....shg dianggap ketelitian sangat tinggi):

Suhu oF entalpi (Btu/lb) 220 1153,4

240 1160,6 260 1167,4 280 1173,8

Perkirakan entalpi pada 252oF menggunakan interpolasi kuadratik!!!

Jawab:

Karena yg diminta adalah interpolasi kuadratik, maka dipilih 3 titik acuan.

Suhu 252 berada dalam range suhu 240 –  260, maka 3 titik acuan bisa dipilih dalam range 220-260 atau 240-280. Krn 252 lbh dekat ke range 240-280 maka diambil sebagai

x₀=240 ; x₁= 260 ; x₂ =280 interpolasi kuadratik: Maka a0= yo = f(x0) = 1160,6 btu/lb =

₂₆₀

₂₄₀

)

0

,

34

6

,

1160

4

,

1167

(

  

Shg bentuk interpolasi liniernya berdasar 2 titik pertama adalah y = 1160,6 + 0,34 (x - 240) =   0,0015 240 280 240 260 6 , 1160 4 , 1167 260 280 4 , 1167 8 , 1173         Maka p2(x) =1160,6 + 0,34(x-240)-0,0015(x-240)(x-260) p2(252) =1160,6 + 0,34(252-240)-0,0015(252-240)(252-260) =1160,6 + 4,08 + 0,144 = 1164,824 btu/lb

Latihan: entalpi pada suhu 248F?

Interpolasi Kubik dan Derajat Lebih Tinggi Untuk interpolasi data yang lebih tinggi, maka

dikembangkan dari interpolasi derajat lebih rendah, dengan tahapan:

Maka persamaan interpolasi:

dengan a₁dan a₂ seperti di atas dan a₃ diperoleh dari selisih gradien (m) masing-masing titik secara berurutan:

0 3 0 2 1 3 3 ) 0 , 1 ( ) 1 , 2 ( ) 1 , 2 ( ) 2 , 3 (  x  x  x  x m m  x  x m m a       

Dengan memasukan semua data yang dimiliki dan

disederhanakan maka akan diperoleh suatu pers. polinomial orde/derajat 3 sebagai fungsi dari f(x)

Cara lain yg lbh mudah (

short-cut 

) dalam

menentukan persamaan interpolasi polinomial

dari suatu seri data:

Misalkan: data

x 0 1 -1 2 -2

y -5 -3 -15 39 -9

Jawab:

Dengan interpolasi dgn cara spt diatas (sebelumnya) relatif panjang, maka gunakan cara “short-cut” berikut:

Langkah:

1. Gunakan titik pertama (0,-5) sebagai titik konstanta Sehingga P0(x)= a0=-5

2. Gunakan interpolasi linier pada 2 titik pertama yaitu titik (0,-5) dan titik (1,-3) untuk menemukan pers.

Interpolasi linier:

P₁(x) = P₀(x) + a₁(x-x₀) = -5 + a₁(x-0)

Karena P1(x) menginterpolasi titik (1,-3) maka harus

dipenuhi

-3=-5+a1(1-0) ...diperoleh a1= 2

Maka

P₁(x) = -5 + 2(x-0)=-5 + 2x (pers. Interpolasi linier)

3. Gunakan interpolasi kuadratik yang menginterpolasi 3 titik yaitu (0,-5), (1,-3), dan (-1,-15)

P₂(x)= P₁(x) + a₂(x-x₀)(x-x₁) = -5 +2x + a2(x-x0)(x-x1)

= -5 +2x + a2(x-0)(x-1)

Karena P₂(x) menginterpolasi titik (-1,-15), maka harus dipenuhi -15 = -5 +2(-1) + a2((-1)-0)((-1)-1) -15 = -5 - 2 + a₂ (-1) (-2) -8 = 2 a2  ...a2=-4 Shg persamaannya: P2(x)= -5 +2x + a2(x-0)(x-1) = -5 +2x - 4(x)(x-1)

4. Gunakan interpolasi kubik yang menginterpolasi 4 titik yaitu (0,-5), (1,-3), (-1,-15) dan (2,39)

P₃(x)= P₂(x) + a₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)

=-5 +2x - 4(x)(x-1) + a3(x-0)(x-1)(x-(-1))

Karena P3(x) menginterpolasi titik (2,39), maka harus

dipenuhi 39 =-5 +2(2) - 4(2)(2-1) + a₃(2-0)(2-1)(2-(-1)) =-5 +4 -8 + 6 a3 48 = 6 a3 ...a3 = 8 Maka polinomialnya P3(x)= P2(x) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8(x-0)(x-1)(x-(-1)) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8x(x-1)(x+1)

4. akhirnya gunakan interpolasi berderajat lebih tinggi yang menginterpolasi 5 titik yaitu (0,-5), (1,-3), (-1,-15), (2,39) dan (-2,-9)

P₄(x)= P₃(x) + a₄(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

=-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8x(x-1)(x+1) + a4(x-0)(x-1)

(x+1)(x-2) Karena P₄(x) menginterpolasi titik (-2,-9) maka harus dipenuhi: -9 =-5 +2(-2) - 4(-2)(-2-1) + 8(-2)(-2-1)(-2+1) + a4(-2-0) (-2-1)(-2+1)(-2-2) -9 =-5-4-24-48 + 24 a4  ...a4 =72/24 =3 Jadi polinomialnya: P4(x)=-5 +2x - 4x(x-1) + 8x(x-1)(x+1) + 3x(x-1) (x+1)(x-2)

atau disederhanakan dalam bentuk polinomial pangkat 4 P4(x)=-5 +12x - 15x2 + 2x3 + 3x4

Latihan (sebaiknya gunakan short-cut ): Data-data entalpi pada berbagai suhu:

Suhu oF entalpi (Btu/lb) 220 1153,4

240 1160,6 260 1167,4 280 1173,8

Tentukan pers. interpolasi polinomial yg memenuhi dan carilah nilai entalpi pada suhu 252 F dengan interpolasi kubik

Catt: semakin banyak titik data yang digunakan untuk menginterpolasi maka kurva polinomial yang dihasilkan akan semakin mendekati data (akurat).

PR. soal terapan interpolasi:

INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

Perbedaan keduanya dapat diterangkan dalam skema berikut:

Jadi ekstrapolasi adalah penaksiran nilai f(x) untuk nilai x yang berada diluar selang titik-titik data.

Teknisnya adalah menentukan terlebih dahulu rumus interpolasi dalam range yang ditentukan, selanjutnya melakukan extrapolasi menggunakan rumus interpolasi.

REGRESI

Ada beberapa teknik regresi, seperti regresi linier, regresi non linier, regresi polinom.

REGRESI LINIER

Misalkan terdapat data hasil percobaan:

Maka bila dikehendaki suatu garis lurus yang dapat mewakili trend semua data maka garis lurus tersebut haruslah memiliki total ralat (RMS=Roots Mean Square Eror) yang terkecil terhadap data percobaan.

Inilah dasar dari regresi linier Pers. garis lurus tsb adalah

Y=f(x)= a+ bx

Berdasarkan data-data pembentuknya maka nilai a dan b diperoleh dari perkalian matrix

Contoh temukan pers regresi linier untuk data x dan y berikut:

Maka komponen-komponen matrik di atas dicari dan diperoleh:

6a + 3.3b = 7.54

3.3a + 2.21b = 4.844

Pers regresi liniernya:

Y=f(x)= a+ bx = 0,2862 + 1,7645 x Mencari ralatnya

REGRESI NON LINIER

DAN

LINIERISASI-NYA

Untuk mengetahui apakah suatu titik-titik data akan didekati dengan regresi linier atau tidak, maka harus diketahui dahulu bentuk trend data, dengan cara

menggambarkannya dalam diagram kartesian Perhatikan gambar berikut:

Titik-titik data yang tidak cocok didekati dengan regresi linier (Garis Q)

Titik-titik data lebih tepat didekati dengan kurva pers. non linier (garis P).

Bagaimana menentukan persamaan utk garis P?

SEBETULNYA DI EXCEL JUGA TELAH TERSEDIA FASILITAS UNTUK MENENTUKAN PERSAMAAN YANG COCOK REGRESI NON LINIER DARI DATA YANG TERSEDIA, DIPILIH BERDASAR NILAI R 2 YG MENDEKATI = 1

NAMUN PADA PERKULIAHAN INI PERLU JUGA DIPERKENALKAN TEKNIK LINIERISASI DATA REGRESI NON LINIER

Jawab:

Persamaan non linier yang digunakan diperkirakan terlebih dahulu dengan melihat trend data

Misalkan dapat didekati dengan persamaan model eksponensial:

Untuk mencari nilai C dan b maka, pers tsb dapat dilinierkan terlebih dahulu menjadi:

Maka persamaan liniernya:

Ubah data (x,y) menjadi (x, ln(y))

Dengan mem-plot semua nilai x dan ln(y) pada diagram kartesian maka akan diperoleh titik-titik data linier baru, kemudian cari pers regresi liniernya seperti cara di atas (atau dapat dengan excell).

Maka akan diperoleh pers. regresi linier

dengan nilai a= ln(c) dan b=gradien kemiringan sehingga diperoleh nilai c dan b

Soal: Tentukan persamaan regresi yang dapat mewakili data berikut:

Jawab:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 x      y

Misalkan kurva lebih mendekati bentuk:

Perlu dicari nilai c dan b dengan melinierkannya: Bentuk liniernya:

Kemudian temukan (ln(x), ln(y)), lalu ditabelkan:

Data-data ln(x) VS ln(y) kemudian dicari persamaan regresi liniernya baik cara manual maupun menggunakan excell.

Bila cara manual dipakai, maka komponen matrix

perlu dicari:

Dengan perkalian matrix diperoleh: Maka pers liniernya

Y = a + b X=1,8515 + 0,1981 X Bukti dengan excell:

y = 0,1981x + 1,8515 R2 = 0,9858 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Dari pers linier

Y = a + b X=1,8515 + 0,1981 X

Ln(c) = a ...

BENTUK LINIERISASI DARI BEBERAPA PERS REGRESI NON LINIER

Maka bentuk liniernya???? Jawab:

Maka bentuk kliniernya?: Jawab:

Pers regresinya:

Kemudian lakukan pengubahan dari data-data (x,y) menjadi (1/x , 1/y), lalu hitung a dan b dengan cara regresi linier

RANGKUMAN BEBERAPA FUNGSI NON LINEAR DAN BENTUK LINIERNYA

Latihan

Transformasikan pers berikut menjadi bentuk linier

Tentukan fungsi linier yang mencocokan titik-titik data berikut dengan metode regresi