BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Beberapa Definisi dan Teorema Definisi 1 Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan S daerah asal dari fungsi f, yang memuat titik c. Maka :
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai
minimum.
(Purcell 1984) Definisi 2 Bilangan Kritis
Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal f sedemikian sehingga f ′(c) = 0 atau f ′(c) tidak ada. Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah bilangan kritis f.
(Purcell 1984) Teorema 1 : Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal
Misalkan ′ dan ′′ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan ′ = 0.
(i) Jika ′′(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
(ii) Jika ′′(c) > 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f
Bukti : (Lihat Purcell 1984) Definisi 3 Fungsi Polinom Fungsi P disebut polinom jika
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ an-1xn-1 + anxn
dengan n adalah bilangan bulat tak negatif dan bilangan a0, a1, a2, …, an adalah
konstanta yang disebut koefisien polinom. Daerah asal sembarang polinom adalah ( = (-∞,∞). Jika koefisien an ≠ 0, maka derajat polinom adalah n.
(Stewart J 2001) Definisi 4 Akarciri dan Vektorciri
Jika A adalah matriks berukuran nxn maka skalar λ dan vektor x ≠ 0 yang memenuhi Ax = λx masing-masing disebut akarciri dan vektorciri matriks A.
Akarciri juga disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue), nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root).
Untuk mendapatkan penyelesaian λ dari persamaan Ax = λx dengan x ≠ 0 atau (A- λI)x = 0 sedemikian sehingga vektor penyelesaiannya tak trivial, haruslah dipenuhi det(A- λI) = 0.
Fungsi pA(λ) = det(A- λI) disebut polinom karakteristik matriks A, dan
persamaan pA(λ) = det(A- λI) = 0 disebut persamaan karakteristik matriks A.
(Anton H 1989) Teorema 2:
Jika A adalah matriks berukuran n×n maka berlaku : (i) det(A- λI) merupakan polinom pA(λ) berderajat n.
(ii) Akarciri matriks A merupakan penyelesaian dari pA(λ) = 0.
Bukti :
(i) Akan dibuktikan dengan induksi matematika.
Jika A berukuran 2×2 maka det(A- λI) = (a11 – λ)(a22 – λ) – a12a21 merupakan
polinom λ yang berderajat 2.
Jika A berukuran k×k, andaikan benar bahwa det(A- λI) merupakan polinom λ berderajat k.
Jika A berukuran (k+1)×(k+1) maka
det(A- λI) = ∑ (-1)i+j det(Mij) (1)
untuk suatu i = 1, 2, …, k+1, dengan
aij = unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j matriks (A- λI).
Mij = matriks (A- λI) yang telah dihapus baris ke-i dan kolom ke-j.
Dengan mengambil i sebagai baris ke-(k+1) matriks (A- λI), diperoleh : det(A- λI) = ∑ (-1)(k+1)+j det(M(k+1)j) (2)
Karena M(k+1)j merupakan anak matriks (A-λI) yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-(k+1) dan kolom ke-j, maka matriks M(k+1)j
berukuran k×k. Dengan demikian det(M(k+1)j) merupakan polinom λ berderajat
k, dan berderajat 1. Akibatnya persamaan (2) merupakan polinom
λ berderajat k+1.
(ii) Misalkan λ merupakan akarciri matriks A maka terdapat x yang tidak nol sedemikian sehingga :
↔ Ax – λx = 0 ↔ (A – λI)x = 0
Karena (A – λI)x = 0 akan mempunyai penyelesaian yang tak nol jika dan hanya jika det(A – λI) = 0, dan det(A – λI) = pA(λ), maka λ memenuhi
persamaan pA(λ) = 0. Berarti λ merupakan penyelesaian bagi pA(λ) = 0.
(Anton H 1989) Definisi 5 Akarciri dan Vektociri dominan
Jika A adalah matriks berukuran n×n dan λ1, λ2, …, λn adalah akarciri-akarciri
matriks A, λi dikatakan sebagai akarciri dominan matriks A jika berlaku |λ | > λ
untuk suatu i = 1, 2, 3, … dan untuk semua j ≠ i. Vektorciri yang bersesuaian dengan λi disebut sebagai vektorciri dominan mariks A.
(Anton H 1989) 2.2 Pengertian Migrasi
Migrasi adalah perpindahan penduduk dari suatu tempat ke tempat lain, baik melewati batas politis negara maupun batas administrasi/batas bagian dalam suatu negara dengan tujuan untuk menetap. Migrasi sering diartikan sebagai perpindahan yang relatif permanen dari suatu tempat ke tempat yang lain. Data migrasi dapat disusun berdasar pola migrasi keluar, migrasi masuk, menurut umur, dan jenis kelamin (BPS 1995).
Data migrasi yang tersedia berdasarkan hasil sensus penduduk hanya dapat membedakan tiga jenis migran, yaitu migran seumur hidup (a lifetime migrant), migran total dan migran risen (recent migrant). Migran seumur hidup adalah mereka yang pindah dari tempat lahir ke tempat tinggal sekarang tanpa melihat kapan pindahnya. Dalam konsep ini migrasi diperoleh dari keterangan tempat lahir dan tempat tinggal sekarang, jika kedua keterangan tersebut berbeda maka termasuk migran seumur hidup. Migran total adalah mereka yang pindah sehingga tempat tinggal sebelumnya berbeda dengan tempat tinggal sekarang. Migrasi ini diperoleh dari keterangan tempat tinggal sebelumnya dan tempat tinggal sekarang. Sedangkan migran risen adalah mereka yang pernah pindah dalam kurun waktu 5 tahun terakhir, keterangan ini diperoleh dari pertanyaan tempat tinggal 5 tahun yang lalu dan tempat tinggal sekarang. Jika keterangan tersebut berbeda maka termasuk migran risen (BPS 1995).
Menurut Rogers et al. (1978) pola pengamatan migrasi menurut umur secara matematis terdiri atas empat komponen penting yaitu :
1. Pra-angkatan kerja (pre-labor force), yang ditunjukkan dengan suatu persamaan eksponensial dengan angka penurunan sebesar α1 yaitu :
f1(x) = a1 exp(-α1x) ; ∀x ∈ (+ (3)
2. Angkatan kerja (labor force), yaitu suatu persamaan eksponensial ganda dengan satu titik puncak, dengan usia rata-rata µ2, serta memiliki angka
kenaikan λ2 dan penurunan α2 yaitu :
f2(x) = a2 exp{-α2(x - µ2) – exp[-λ2(x-µ2)]} ; ∀x ∈ (+ (4)
3. Pasca angkatan kerja (post-labor force), yaitu suatu persamaan eksponensial ganda, dengan usia rata-rata µ3, serta memiliki angka kenaikan λ3 dan
penurunan α3 yaitu :
f3(x) = a3 exp{-α3(x - µ3) – exp[-λ3(x-µ3)]} ; ∀x ∈ (+ (5)
4. Suatu konstanta c, yaitu suatu persamaan yang diperlukan untuk memperbaiki ketepatan matematis penaksiran skedul ini yaitu :
f4(x) = c (6)
Penjumlahan dari keempat persamaan diatas dirumuskan oleh persamaan model skedul migrasi sebagai berikut:
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ c x x a x x a x a x M + )]} -( ) -( {-exp + )]} -( ) - ( {-exp + ) (-exp = ) ( 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 μ λ μ α μ λ μ α α ∀ x ∈ (+ (7)
Pola migrasi menurut kelompok umur di suatu wilayah belum tentu sama dengan model seperti yang dikemukakan di atas. Pola dapat berbeda sesuai dengan karakteristik individu penduduk atau wilayahnya. Pola yang dihasilkan oleh negara maju belum tentu sama dengan pola dari negara berkembang. Namun demikian Rogers (1984) telah menyederhanakan pola yang ada menjadi tiga keluarga model skedul migrasi berdasarkan bentuk pola migran pada umur pasca-angkatan kerja, yaitu:
1. Model penuh. Pada model ini mempunyai bentuk persamaan eksponensial ganda pada usia pasca-angkatan kerja yang diperlihatkan oleh persamaan (7).
2. Model tidak penuh. Dalam model ini tidak terdapat puncak pada umur pasca angkatan kerja. Sehingga persamaan matematisnya menjadi:
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ c x a x x a x a x M + ) ( exp + )]} -( ) - ( {-exp + ) (-exp = ) ( 3 3 2 2 2 2 2 1 1 α μ λ μ α α ∀ x ∈ (+ (8)
3. Model sederhana. Dalam model ini tidak ada pola pada usia pasca-angkatan kerja. Sehingga persamaan matematisnya menjadi:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ c x x a x a x M + )]} -( ) - ( {-+ ) (-= ) ( 2 2 2 2 2 1 1 μ λ μ α α exp exp exp ∀ x ∈ (+ (9)
Ledent dan Termote (1992) didalam Chotib (1998) telah memperlihatkan pola yang berbeda dari migran yang keluar dari DKI Jakarta dan dari luar DKI Jakarta berdasarkan data SP 1980 dan SP 1990.
Angka Migrasi menurut kelompok umur (Age Specific Migration
Rate/ASMR) diperoleh dari proporsi penduduk yang berstatus migran (propinsi
tempat tinggal sekarang berbeda dengan propinsi tempat tinggal lima tahun yang lalu) pada umur tertentu. Indeks yang menunjukkan ringkasan dari ASMR adalah GMR yang dirumuskan sebagai berikut:
GMR = ∑ , dimana i = umur migran.
2.3 Metode Kuadrat Terkecil Persamaan Polinom
Di dalam pengepasan kurva, misalkan diberikan n titik yang berupa pasangan bilangan (x1,f(x1), (x2, f(x2), …, (xn, f(xn) dan diminta untuk menentukan
sebuah fungsi P(x) sedemikian rupa sehingga P(xi)≈ f(xi) , dengan i = 1, 2, 3,…,n.
Misalkan P(x) merupakan jenis fungsi polinomial yang dicocokkan (fitted) terhadap data f(xi). Sifat fitting tidak selalu P(xi) = f(xi) untuk semua i. Sehingga
nilai-nilai parameter yang diperoleh dari sebuah percobaan akan mengandung galat percobaan. Pada kasus yang sederhana pengepasan kurva dapat dilakukan cukup dengan mata telanjang. Namun jika titik itu terpencar, maka cara ini tidak dapat diandalkan sehingga lebih baik digunakan metode kuadrat terkecil.
Prinsip penentuan fungsi polinom P(x) berderajat m dengan metode kuadrat terkecil:
(i) P(x) merupakan polinomial berderajat m dengan bentuk umum:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ amxm (10)
dengan a0, a1, a2, …, am merupakan nilai-nilai parameter.
(ii) Selisih antara P(x) dan f(x) untuk titik data tertentu adalah:
∆i = f(xi) – P(xi), (i=1, 2, 3, …, n) (11)
(iii) Sedangkan jumlah kuadrat selisih antara P(x) dan f(x) utuk semua titik data adalah:
S = ∑ 1∆2 ∑ 1 2
= ∑ 2 ∑ ∑
= ∑ 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(iv) Syarat yang harus dipenuhi agar S minimum adalah :
0,…, 2∑ 2 ∑ ∑ = 0 (j = 0,1, …m) Sehingga akan membangkitkan suatu sistem persamaan sebagai berikut:
∑ 0 ∑ 1 ∑ 1 (j = 0,1, …,m) (12) Berikut ini sistem persamaan untuk m+1 parameter yang belum diketahui:
a0n + a1∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
+ + … +
∑ ∑ ∑ ∑
Dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = ∑ ∑ ∑ atau A =
Sehingga a0, a1, …, am dapat diperoleh sebagai solusi persamaan linear dari:
2.4 Metode Kuadrat Terkecil Persamaan Nonlinear
Misalkan diberikan n titik data berupa pasangan bilangan (x1,y1), (x2, y2), …,
(xn, yn) dan akan ditentukan sebuah fungsi nonlinear f (x,p1,p2,…,pm) sedemikin
rupa sehingga f(xi,p1,p2,…,pm)≈ yi , dimana pi, i = 1, 2, …, m<n adalah parameter.
Diasumsikan utuk n titik data yang diberikan adalah :
y1 = f(x1,p1,p2,…,pm) y2 = f(x2,p1,p2,…,pm)
yn = f(xn,p1,p2,…,pm)
Dapat dicari nilai-nilai parameter dari fungsi dengan meminimumkan
zi = yi - f(xi,p1,p2,…,pm), i = 1, 2, … n.
Turunan zi terhadap parameter-parameter adalah
= ∑
Atau dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai
d = Ad , dimana
A = , d = , dan d =
Dengan pemberian nilai awal parameter-parameter: = ,
dan perhitungan dilakukan untuk nilai i = 1, 2, …, n, maka diperoleh:
∆ = ∆ ∆ ∆
Sistem ini akan bekerja secara iterasi dengan ∆ ,
dimana ∆ ∆
sehingga: ∆ , , , … ,
Nilai-nilai parameter akan diperoleh dengan cara meminimumkan ∆ , sehingga: ∆ < , dimana adalah galat terkecil.
2.5 Kecocokan Model Skedul Migrasi
Untuk menilai kecocokan model (goodness-of-fit) yang tersedia dalam model skedul bila hal tersebut diterapkan pada data yang diamati, kita menghitung
PE (Proportional Error), dengan menggunakan nilai dari persamaan berikut :
PE = ∑ ∑| | , M(x) = aktual , = dugaan (13) (Wei WWS 1990) 2.6 Model Proyeksi Penduduk Multiregional
Perhitungan jumlah dan komposisi penduduk dilakukan dengan memperhatikan komponen fertilitas, mortalitas dan migrasi secara terpisah. Ketiganya kemudian mempengaruhi jumlah dan komposisi penduduk di suatu wilayah. Dalam demografi multiregional, jumlah dan komposisi penduduk di suatu wilayah merupakan hasil dari interaksi antara ketiga komponen tersebut secara bersamaan, dimana primadona dari ketiga komponen tersebut sebenarnya adalah migrasi (Chotib 1998). Secara umum baik dalam perspektif uniregional maupun multiregional perhitungan sederhana tentang jumlah penduduk sebagai hasil interaksi dari tiga komponen di atas adalah sebagai berikut :
K(t+1) = (1+r) K(t) , (14)
dimana :
K(t+1) = Jumlah penduduk pada tahun (t+1)
r = angka pertumbuhan penduduk
K(t) = Jumlah penduduk pada awal tahun (t)
Angka pertumbuhan penduduk (r) merupakan penjumlahan dari pertumbuhan penduduk alami (natural increase), yaitu perbedaan angka kelahiran dan kematian (b-d) dan angka migrasi netto (i-o). Dan secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut :
r = b – d + i – o ,
dimana b, d, i dan o masing-masing adalah angka kelahiran, angka kematian, angka migrasi masuk dan angka migrasi keluar. Perbedaan antara uniregional dan multiregional terletak pada pengukuran parameter migrasi masuk (i). Dalam uniregional, pembagi migrasi masuk adalah penduduk wilayah yang didatangi, sedangkan pada multiregional pembaginya adalah penduduk wilayah asal migran.
2.7 Life Table Uniregional
Menurut Brown (1997) Life Table adalah suatu gambaran yang menunjukkan riwayat kematian dalam masyarakat pada waktu tertentu yang meliputi:
l(x) adalah jumlah orang yang bertahan hidup dari lahir hingga tepat umur ke-x. d(x) adalah banyaknya kematian antara umur x hingga x+1, dimana
d(x) = l(x) – l(x+1) (15)
p(x) adalah peluang bertahan hidup dari umur x hingga umur x+1, dimana
p(x) = ) ( ) 1 ( x l x l + (16)
q(x) adalah peluang kematian seseorang yang hidup pada tepat umur x dan akan
mati sebelum mencapai umur x+1, dimana q(x) = ) ( ) ( x l x d = ) ( ) 1 ( ) ( x l x l x l − + (17)
L(x) adalah banyaknya penduduk pertengahan tahun yang hidup antara umur x dan x+1, dimana
L(x) = l(x) - 21d(x) = 2
1(l(x) + l(x+1)) (18)
T(x) adalah total waktu hidup yang akan dijalani oleh l(x) penduduk berumur x,
dimana
T(x) = L(x) + L(x+1) + L(x+2) + .... (19)
e0(x) adalah angka harapan hidup bagi penduduk umur x, dimana
e0(x) = ) ( ) ( x l x T (20)
m(x) adalah tingkat kematian bagi penduduk umur x, dimana
m(x) = ) ( ) ( x L x d (21)
Dalam menentukan life table uniregional dapat dilakukan dengan menggunakan modifikasi Brass yang dikenal dengan sistem model logit life table (Anonim 1983). Brass telah menemukan adanya hubungan linear antara l*(x) dan
l(x). Misalkan λ(l(x) menyatakan transformasi dari nilai l(x), maka dapat ditulis
hubungan linear antara λ(l*(x)) dan λ(l(x) sebagai berikut:
dimana l*(x) dan l(x) menyatakan dua nilai life table yang berbeda level, α dan β merupakan konstanta. Persamaan (22) akan berlaku untuk semua nilai x jika λ didefinisikan sebagai :
λ(l(x)) = logit (1.0 – l(x)) = 0,5 ln ((1.0 – l(x))/l(x)) (23)
Dari persamaan (22) dan persamaan (23) dapat diturunkan sebuah persamaan:
l*(x) = (1.0 + exp(2α + 2βλ(l(x))))-1 (24)
(Bukti: Lihat Lampiran 14)
Persamaan (24) dapat digunakan untuk membuat life table uniregional secara sederhana dengan menggunakan nilai α dan β yang sesuai dengan level. 2.8 Konsep Demografi Multiregional
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa konsep berkaitan dengan demografi multiregional yang meliputi survivorship, life table multiregional, dan kelahiran. Berikut definisi dan notasi yang digunakan :
hp
ij (x) : peluang seseorang yang sekarang berumur x dan tinggal di wilayah-i,
dan bertahan hidup hingga umur x+h dan tinggal di daerah-j
hq
i (x) : peluang seseorang yang sekarang berumur x dan tinggal di wilayah-i,
akan mati sebelum mencapai umur x+h.
hp
ii (x) : peluang seseorang yang sekarang berumur x dan tinggal di wilayah i,
bertahan hidup hingga umur x+h dan tidak pindah ke wilayah lain.
hp ii (x) = 1 -
∑
= m j 1 hp ij (x) - hqi (x) i,j = 1, 2, ....,m ixlj (y) : banyaknya penduduk yang bertahan hidup hingga umur y tahun dantinggal di wilayah j dari li(x) penduduk yang pada saat umur x tahun
tinggal di wilayah i
ixLj (y) : total jumlah penduduk yang pada umur y ada di daerah j dan
sebelumnya tinggal di daerah i pada umur x.
ixLj (y) = 2h[ ixlj (y)]
bji (x) : intensitas kelahiran bayi dalam selang waktu x sampai x+4 dan pada
awal interval waktu yang tinggal di wilayah j dan pada akhir interval tinggal di wilayah i
sji (x) : proporsi penduduk dari semua umur x hingga x+4 yang tinggal di
daerah j pada periode t dan bertahan hingga 5 tahun. Kemudian umur
x+5 hingga x+9 tinggal di wilayah i pada periode t+1. S(x) : matriks sij (x) dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j. K(t)
i (x) : total jumlah penduduk pada wilayah i pada periode t pada kelompok
umur x sampai x+4.
α
: usia reproduksi terendahβ : usia reproduksi tertinggi
2.8.1 Survivorship
Berikut ini adalah sistem penduduk dengan m-daerah, jumlah penduduk pada kelompok umur x sampai x+4 pada daerah i adalah :
K(t) i (x) =
∑
= m j t i jK x 1 ) ( ( ) , i = 1, 2, ...., m (25) dimana (t) ijK (x) adalah individu lahir di daerah-j, yang ada di daerah-i pada
kelompok umur x sampai x+4 pada saat t.
Survivorship adalah proporsi penduduk yang bertahan hidup pada suatu
periode sampai periode berikutnya, dinyatakan dengan:
sij (x) = ) ( ) 5 ( x L x L ij j i + (26)
Pada populasi multiregional penduduk yang diharapkan bertahan hidup sampai interval waktu 5 tahun adalah:
Kj (x+5) =
∑
= m i i ij x K x s 1 ) ( ) ( , j = 1, 2, ..., m (27) dimana sij (x) adalah proporsi bahwa individu di daerah-i umur x sampai x +4 dantinggal di daerah-j pada saat umur x+5 sampai umur x+9.
Dari hubungan persamaan (25) dan persamaan (27) dan fakta bahwa bayi yang lahir di daerah-i tidak dapat menjadi anggota populasi bayi yang lahir di daerah-j, atau sebaliknya maka:
) 1 (t+ i jK (x+5) =
∑
= m k t k j ki x K x s 1 ) ( ( ) ) ( i,j = 1,2,3,...,m (28) atau dalam bentuk matriks :) ( ) ( ) 5 ( () ) 1 ( x S x K x Kt+ + = t (29) dengan : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 1 ) ( x K x K x K x K x K x K x K x K x K x K t m m t m t m t m t t t m t t t
Dengan matriks survivorship dari sij (x):
S(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11 x s x s x s x s x s x s x s x s x s mm m m m m … … …
Sehingga dari persamaan (26) untuk sistem populasi dua wilayah elemen baris ke j, kolom ke i dapat diformulasikan:
sij(x)
=
i,j = 1,2 (30)2.8.2 Life Table Multiregional
Perhitungan life table multiregional dimulai dengan pendugaan migrasi keluar menurut umur dan tingkat kematian. Setelah menyusun life table, kita dapat mencari matriks G yaitu matriks operator pertumbuhan multiregional untuk memprediksi jumlah penduduk pada satu interval waktu tertentu. Pada dasarnya semua fungsi life table berasal dari matriks peluang transisi P(x) yang didefinisikan untuk semua umur dan untuk mengkonstruksinya dilakukan dengan cara mentransformasikan tingkat migrasi dan tingkat kematian menurut umur A(x) atau proporsi survivorship S(x) ke matriks transisi.
Ada dua prosedur dalam melakukan pendugaan A(x), P(x), S(x). Prosedur pertama difokuskan pada tingkat migrasi dan tingkat kematian menurut umur yang diamati, sedangkan prosedur kedua difokuskan pada proporsi survivorship. Menurut Rogers(1975) dalam Rogers(1995) kedua jenis penduga ini disebut dengan “metode Option I” dan “metode Option II”
a. Pendugaan menggunakan metode Option I
Pada metode ini pendugaan dimulai dengan mendefinisikan matriks migrasi dan kematian yaitu:
A(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11 x M x M x M x M x M x M x M x M x M mm m m m m dimana Mii(x) =
∑
≠ + i j ij id x M x M ( ) ( )yang menyatakan bahwa Mid(x) adalah tingkat kematian tahunan menurut umur di
daerah-i dan
∑
Mij(x) adalah jumlah tingkat migrasi menurut umur dari daerah-ike daerah-j, untuk semua j, j≠i.
Rogers dan Ledent(1976) dalam Rogers(1995) menunjukkan bahwa matriks peluang P(x) untuk interval 5 tahunan dihitung dari matriks A(x) menggunakan persamaan : P(x) =
[
]
1 2 5 ( )− + A x I[
I−25A(x)]
, (32) dimana : P(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11 x p x p x p x p x p x p x p x p x p mm m m m mDengan pij(x) adalah peluang individu hidup di daerah-i pada tepat umur x
kehidupan dan hidup 5 tahun setelahnya di daerah-j. b. Pendugaan menggunakan metode Option II
Dalam metode ini akan digunakan jika data migrasi dan kematian tidak ada yaitu dengan menggunakan data survivorship. Ledent dan Rees (1986) dalam Rogers (1995) mengatakan bahwa metode ini dimulai dengan mendefinisikan hubungan antara matriks P(x) dan matriks proporsi survivorship
S(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11 x s x s x s x s x s x s x s x s x s mm m m m m … … …
Proporsi survivorship untuk interval waktu umur 5 tahunan dihitung dengan cara:
ij S~ (x-5) =
∑
= m k ik ij x K x K 1 ) ( ) ( (33)Dimana Kij(x) menunjukkan jumlah migran yang dicatat dengan sensus dari
daerah-i pada waktu t-5 di daerah-j pada waktu t dan
∑
Kik(x) adalah jumlahmigran dari daerah-i pada waktu t-5 untuk semua k daerah pada waktu t, proporsi tersebut mengacu pada kelompok umur 5 tahun lebih muda dari umur yang dilaporkan ketika sensus diambil.
Matriks peluang transisi bersyarat P~(x)diperoleh dari matriks proporsi
survivorship bersyarat menurut umur, S~(x), menggunakan interpolasi linear
pertama yang diberikan oleh Rees dan Wilson(1977) dalam Rogers(1995):
P(x) = P~(x)P(x) 21
[
S~(x 5) S~(x)]
P(x) σ σ = − + (34) ) ( ~ x S = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ( ) ~ ~ ) ( ~ 2 1 2 22 12 1 ) ( 21 11 x s x s x s x s x s x s x s s x s mm m m m m x ) ( ~ x P = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ( ) ~ ) ( ~ ) ( ~ 2 1 2 22 12 1 21 11 x p x p x p x p x p x p x p x p x p mm m m m mDan Pσ(x)adalah matriks diagonal dari peluang bertahan hidup tidak bersyarat, bentuk matriksnya : ) (x Pσ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 2 1 x p x p x p mσ σ σ
Formula untuk menghitung setiap elemen diagonal dalam Pσ(x)menggambarkan definisi uniregional dari peluang bertahan hidup (Ledent & Rees 1986, diacu dalam Rogers 1995): ) (x Piσ =
∑
= + − m k id ik id x M x p x M 1 2 5 2 5 ) ( ) ( ~ 1 ) ( 1 (35)dimana Mid(x)adalah tingkat kematian umur x sampai x+4 di daerah-i. 2.8.3 Kelahiran
Proyeksi penduduk multiregional tidak lengkap tanpa memperkirakan jumlah total kelahiran yang bertahan hidup selama satu selang waktu.
Tingkat kelahiran penduduk wanita pada usia x di daerah-i dinotasikan dengan Fi(x)= ) ( ) ( x x i i ρ β , dimana (x) i
β
merupakan banyaknya kelahiran pada waktu umur xdi daerah-i dan
ρ
i(x)merupakan banyaknya penduduk wanita pada waktu umur x di daerah i.Jumlah bayi yang lahir selama selang interval 5 tahun adalah:
= ∑ 5 5
Jumlah bayi yang bertahan hidup di daerah-j sampai akhir selang interval adalah: 0 5 0
Sehingga diperoleh jumlah bayi yang lahir dari wanita usia reproduksi α sampai β selama selang waktu 5 tahun adalah:
0 = ∑ 0 0 5 5
= ∑ 0 0 5
= ∑ elemen pada baris ke-i kolom ke-j matriks B(x) adalah: bji(x) = 21 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + +
∑
= m k k k i k jk j j i j F x l L x S x F l L 1 0 0 ( 5) ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( (31) Dengan matriks kelahiran dari bji (x) :B(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 12 1 21 11 x b x b x b x b x b x b x b x b x b mm m m m m … … …
2.9 Matriks Proyeksi Multiregional
Dari matriks survivorship dan matriks kelahiran, dapat di susun matriks operator pertumbuhan penduduk secara multiregional (Rogers 1995) yaitu :
G = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 ) 5 ( 0 0 0 0 0 0 ) 10 ( 0 0 0 0 ) 5 ( 0 0 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 5 ( ) 5 ( 0 0 z S S S S B Bα β
Matriks G di atas yang kemudian disebut sebagai proses pertumbuhan dengan generalisasi matriks Leslie. Setelah membuat matriks operator G maka dapat dilakukan proyeksi penduduk dengan menggunakan model proyeksi :
K(t+1) = G K(t) (36)
Dari persamaan (36) kita dapat memperoleh persamaan-persamaan berikut:
K(t+1) = G K(t)
K(t+2) = G K(t+1) = G2 K(t) …
K(t+n) = Gn K(t) (37)
Dengan demikian apabila kita mengetahui vektor sebaran umur awal K(t)
dan matriks G, maka kita dapat menentukan vektor sebaran umur populasi di waktu yang akan datang.
Model proyeksi di atas kemudian disebut dengan model proyeksi generalisasi matriks Leslie yang melibatkan migrasi secara multiregional, dimana:
K(t) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) 5 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( z K x K K K t t t t , K(t)(x) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ) ( 2 ) ( 1 x K x K x K t m t t
Pada populasi yang telah mencapai sebaran umur stabil maka jumlah penduduk pada periode t+1 adalah jumlah penduduk pada periode t dikali laju perubahannya, sehingga terjadi persamaan :
K(t+1) = λ K(t), (38)
dimana λ adalah laju perubahan. Apabila λ > 1 maka terjadi kenaikan, λ < 1 terjadi penurunan, dan untuk λ = 1 maka konstan.
Dari persamaan (38) di atas kita dapat memperoleh persamaan-persamaan berikut: K(t+1) = λ K(t)
K(t+2) = λ K(t+1) = λ2 K(t)
…
K(t+n) = λn K(t) (39)
Dalam model proyeksi generalisasi matriks Leslie yang melibatkan komponen migrasi secara multiregional diketahui bahwa:
sehingga jika suatu populasi dengan model matriks Leslie yang telah mencapai sebaran umur stabil akan berlaku :
K(t+1) = G K(t) = λ K(t) (40)
dimana λ adalah konstanta akarciri dominan dari matriks G. Dari persamaan (37) dan (39) dapat diformulasikan :
K(t+n) = Gn K(t) = λn K(t) (41)
Berdasarkan teorema 2 untuk mendapatkan penyelesaian λ pada persamaan (40) maka terdapat K(t) ≠ 0 sedemikian rupa sehingga (G-λI) K(t) = 0 akan
mempunyai penyelesaian yang tak nol harus dipenuhi det(G- λI) = 0. Untuk mengetahui gambaran populasi setelah sebaran umur stabil tercapai, maka dapat dilakukan penelusuran terhadap akarciri matriks Leslie.
Pada populasi yang telah mencapai sebaran usia stabil maka akarciri matriks
G adalah bersifat positif, tunggal dan real (sebut sebagai λ1) dan berlaku λ1> , j = 2, 3, …, dan berdasarkan definisi 5 maka λ1 adalah akarciri dominan dari
matriks G. Di dalam Jatminingtias (1996) telah ditunjukkan bahwa akarciri positif matriks Leslie (λ1) hanya satu. Vektorciri (x1) yang berpadanan dengan λ1
memiliki unsur-unsur yang positif. Jika terdapat dua kelas umur atau lebih yang berurutan, maka akarciri dominan matriks Leslie adalah akarciri positifnya.
Di dalam Brown (1997) model laju pertumbuhan penduduk pada populasi stabil dapat nyatakan sebagai :
K(t+1) = er K(t) (42)
dimana r merupakan laju pertumbuhan penduduk. Sehingga dari persamaan (40) dan (42) laju pertumbuhan penduduk pada populasi mencapai kondisi stabil untuk interval umur 5 tahunan dapat ditentukan dengan:
