4.Log Linear 2 Dimensi

BAB 4

LOG LINEAR 2 DIMENSI 4.1 Pendahuluan

Diketahui Persamaan Regresi sebagai berikut

) 1 . 4 ( ˆ ... ˆ ˆ ˆi β₀ β₁X₁i βkXki µ = + + +

Dalam Modul 2, Tabel 2.1 (b) tidak terlihat secara jelas bagaimana peran A dan B dalam menentukan Pij. Jika info ini diperlukan, maka kita harus memodelkan Pij. Melihat pada kasus Tabel kontingensi 2 x 2 diketahui besarnya Pij sebagai berikut :

Tabel 4.1 Tabel kontingensi 2x2

B1 B2 Total

A1 P11 P12 P1.

A2 P21 P22 P2.

Ar Pr1 Pr2 P..=1

Sebut Vij = ln Pij , dengan Pij tergantung pada A, B dan interaksi antara A dan B Model : V = + + + AB (i=1,2;j=1,2) ij B j A i ij µ λ λ λ µ A = rataan umum A i

λ = kontribusi dari baris B

i

λ = kontribusi dari lajur

AB ij

λ = interaksi antara baris dan lajur

Model ini disebut Loglinear. Model log linier adalah suatu model untuk memperoleh model statistika yang menyatakan hubungan antara variabel dengan data yang bersifat kualitatif (skala nominal atau ordinal). Dengan menggunakan pendekatan log linier bisa diketahui model matematikanya secara pasti serta level atau kelas mana yang cenderung menimbulkan adanya hubungan atau dependensi.

Agar µ , λiA, B i

λ , AB

ij

λ dapat diduga , maka

) 2 . 4 ( 0

∑

=

∑

=

∑

=

∑

= i i j AB ij AB ij j B j A i λ λ λ λ    

Ada 4 Pij akan digunakan untuk menduga 4 parameter, Db sisa= 0 (jenuh)

Sehingga:

∑

∑

− = → = − = → = B B B j A A A i 2 1 2 1 0 0 λ λ λ λ λ λ

Berapa besarnya ke-4 parameter tadi?

∑

=

∑ ∑

+ +

∑

+

∑

i i i i i ij B j A i ij v µ λ λ λ Sehingga : 1. = +0+ B+0 j ij r r v µ λ

∑

= + iA +0+ j ij c c v _{µ λ} 2. vi.=cµ +cλiA 0 0 0+ + + =

∑∑

v rcµ i j ij 3. v.. =rcµ Didapat: 1. .. v.. rc v = = µ 2. λ_iA =v_i.−v_.. 3. v.j v.. B j = − λ 4. λ_ijAB =v_ij−vi.−v.j +v.. 5. v_.. =

∑∑

v_ij /rc 6. =

∑

j ij i v c v. / 7. =

∑

i ij j v r v_. /

Jadi, jika Pij diketahui maka parameter µ , λiA, B i

λ , λijAB dapat ditentukan.

Dalam praktek, Pij tidak diketahui yang kita amati adalah nij, sehingga 4 parameter tadi hanya dapat diduga. Bagaimana menduga 4 parameter ini ?

Pada Tabel 2 x 2 : 4 22 21 12 11 1 v v v v A + − − = λ (4.3) 4 22 21 12 11 1 v v v v B ₌ − + − λ (4.4) 4 22 21 12 11 11 v v v v AB ₌ − − + λ (4.5) 4 ˆ ₌ v11+v12 +v21+v22 µ (4.6) dimana : 4 2 2 2 12 11 12 11 . 1 v v v v v = + = + , 4 22 21 12 11 .. v v v v v = + + + .. . 1 1 v v A _{= −} λ sehingga 2 v2. v.. A _{= −} λ (4.7) .. 1 . 1 v v B _{= −} λ sehingga 2 v.2 v.. B _{= −} λ (4.8) misal yij = ln nij maka yij =lnnij −lnn.. +lnn.. , dimana =

∑∑

i j

ij

i n

n. Sehingga :

ingat vij =lnPij →ada hubungan antara yij dengan vij sehingga yij bisa digunakan untuk menduga vij. Jadi untuk model : V_ij =µ+λ_iA +λ_jB +λ_ijAB

jika kita memperoleh pengamatan nij maka

(

)

4 ˆ ˆ 11 12 21 22 1 .. . y y y y y y_i A A i − − + = → − = λ λ (4.9)

(

)

4 ˆ ˆ 11 12 21 22 1 .. . y y y y y y B j B j − + − = → − = λ λ (4.10)

(

)

4 ˆ ˆ 11 12 21 22 11 .. . . y y y y y y y y AB j i ij AB ij + − − = → + − − = λ λ (4.11) ta kons P n n n y ij ij ij tan ˆ ln ln ln _.. .. + = +     =

Contoh:

Tabel 4.2 Hubungan Partai dengan Jenis kelamin

Jenis Kelamin Partai Total　

　 buruh konservatif Laki 222 115 337 Perempuan 240 185 425 Total　 462 300 762 Penyelesaian:

Model log linear :

) 2 , 1 ; 2 , 1 ( = = + + + = i j v AB ij B j A i ij µ λ λ λ Keterangan:

vij = logaritma natural dari peluang sel (i, j)

µ = rataan umum A

i

λ = kontribusi jenis kelamin B

j

λ = kontribusi partai

AB ij

λ = interaksi (menunjukkan bebas tidaknya A dan B dalam membentuk Pij) ln nij :

Tabel 4.2 ln nij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif

Laki 5.4 4.74

Perempuan 5.48 5.22

1 . 0 23 . 0 14 . 0 21 . 5 48 . 5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 . 0 23 . 0 14 . 0 21 . 5 40 . 5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 21 . 5 ˆ 21 1 2 21 11 1 1 11 − + + = + + + = ← + + − = + + + = = AB B A AB B A v v λ λ λ µ λ λ λ µ µ jenuh

Jika diinginkan menilai bebas / tidaknya A dan B, maka ujilah AB ij λ

Hipotesis:

H0 : A dan B bebas

(

Pij =Pi.P.j ,∀ij

)

Kalau H0 benar maka :

(1) v_ij =µ+λ_iA +λ_jB (i=1,2;j=1,2) (2) Frekuensi harapan sel (i, j) adalah

(

P.P.

)

f.. e_ij = _{i j} ∗ .. . . n n ni j =

Sehingga apabila H0 benar maka isi sel (i, j) :

Tabel 4.3 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif

Laki 204.32 132.68

Perempuan 257.68 167.32

(a)

Jenis Kelamin Partai

1 . 0 ˆ 1 . 0 ˆ 1 . 0 ˆ 10 . 0 4 22 . 5 48 . 5 74 . 4 4 . 5 ˆ 23 . 0 ˆ 23 . 0 4 22 . 5 48 . 5 74 . 4 4 . 5 ˆ 14 . 0 ˆ 14 . 0 4 22 . 5 48 . 5 74 . 4 4 . 5 ˆ 22 21 12 1 1 2 1 2 1 = − = − = → = + − + − = − = → = − + − = = → − = − − + = AB AB AB AB B B A A λ λ λ λ λ λ λ λ

buruh konservatif Laki 5.32 4.89 Perempuan 5.55 5.12 (b) 22 . 5 4 12 . 5 55 . 5 82 . 4 32 . 5 ˆ 216 . 0 ˆ 216 . 0 4 12 . 5 55 . 5 89 . 4 32 . 5 ˆ 116 . 0 ˆ 116 . 0 4 12 . 5 55 . 5 89 . 4 32 . 5 ˆ 2 1 2 1 = + + + = − = → = − + − = = → − = − − + = µ λ λ λ λ B B A A

Evaluasi λˆijAB dilakukan dengan cara membandingkan model ijAB B j A i ij v =µ +λ +λ +λ dengan model B j A i ij v =µ+λ +λ

Dengan kriteria pembandingan nisbah kemungkinan (likelihood ratio).

(

)

(

)

[

]

( ) 3.841 9 . 6 12 . 5 22 . 5 185 ... 32 . 5 40 . 5 222 2 ln 2 05 . 0 1 2 2 = = − + + − =         =

∑

χ ij ij ij e n n G

H0 : A dan B bebas ditolak karena penghapusan AB ij λˆ dalam model AB ij B j A i ij

v =µ+λ +λ +λ signifikan menurunkan kecocokan model. Sehingga, Pemilihan partai berkaitan dengan jenis kelamin

Hipotesis lainnya

• Peluang kategori B sama

H0 : Peluang kategori B sama (Model v_ij =µ +λ_iA) H1 : Peluang kategori B tidak sama (Model jB)

A i ij

v =µ+λ +λ

dengan frekuensi harapan :

. 2 22 21 . 1 12 11 e e e e e e = = = =

Tabel 4.4 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori B sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori B sama

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif

Laki 168.5 168.5

Perempuan 212.5 212.5

(a)

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif Laki 5.12 5.12 Perempuan 5.36 5.36 (b)

(

5.12 5.12 5.36 5.36

)

0.12 4 1 1 = + − − =− A λ

• Peluang kategori A sama

H0 : peluang kategori A sama (Model vij =µ +λiB)

H0 : peluang kategori A tidak sama (Model ) B j A i ij v =µ+λ +λ

dengan frekuensi harapan :

2 . 22 21 1 . 12 11 e e e e e e = = = =

Tabel 4.5 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif

Laki 231.0 150.0

Perempuan 231.0 150.0

(a)

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif Laki 5.36 5.01 Perempuan 5.36 5.01 (b)

( )

( )

(

)

_0.215 4 2 01 . 5 2 36 . 5 1 = − = B λ

• Peluang kategori (i,j) sama

H0 : peluang kategori A sama (Model vij =µ)

dengan frekuensi harapan : e11 =e12 =e21 =e..

Tabel 4.6 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif

Laki 190.5 190.5

Perempuan 190.5 190.5

(a)

Jenis Kelamin Partai

buruh konservatif Laki 5.25 5.25 Perempuan 5.25 5.25 (b)

(

ln ln

)

51.4 2 2 ₌

∑

_{− =} ij ij ij n e n G

Rekapitulasi :

Tabel 4.7 (a), (b) Rekapitulasi untuk model log linear

Model Parameter db sisa _y2

Jenuh µ , λ A_{, λ} B_{, λ} AB ₀ 0 A, B bebas µ , λ A_{, λ} B ₁ 6.9 Peluang B sama µ , λ A ₂ 42.72 Peluang A sama µ , λ B _{2 17.04} Peluang A, B sama µ 3 51.4 (a)

Model Parameter db sisa y2 _{Perubahan y}2

A, B bebas µ , λ A_{, λ} B ₁ 6.9 _35.82

Peluang B sama µ , λ A ₂ 42.72 _35.82

(b)

Jika didalam model ada µ dan λ A _{maka penambahan λ} B _{menurunkan y}2 _{= 35.82} ( )

3

.

841

~

2 2 10.05 2

₌

−

χ

G

_, λ B _nyata

→

_H

0 : peluang kategori B sama, ditolak

Tabel 4.8 Rekapitulasi untuk model log linear untuk Penurunan y2 Parameter db y2 _{Penurunan y}2 _{( )} 05 . 0 1 2

χ

µ 3 51.4 µ , λ A _{2 42.72} 8.68* 3.841 µ , λ A_{, λ} B _{1 6.9} 35.82* 3.841 µ , λ A_{, λ} B_{, λ} AB _{0 0 6.9* 3.841}

Model loglinear yang dibahas tadi adalah jenis hierarkhi, yaitu model jika komponen AB ada dalam model maka semua komponen penyusun AB adapula didalam model. Maksudnya jika λ AB _{ada, maka λ} A _{, λ} B _{juga ada. Secara umum} jika

λ

x ...1 xk ada didalam model maka λx1,λx2,_,λxk, λx1x2,_,λx1xk ada pula dalam model.



bukan

hierarki

hierarki

bukan

←

+

+

+

+

=

←

+

=

↓ ↓ ↓ BC AC AB ABC ijk C k B j A i ijk AB ij ij

v

v

λ λ λ

λ

λ

λ

λ

µ

λ

µ

Tabel 4.9 Rekapitulasi untuk model log linear non hierarki

Model Lambang A i ij v =µ+λ (A) B j A i ij v =µ+λ +λ (A,B) AB ij B j A i ij v =µ+λ +λ +λ (AB) B j ij v =µ+λ (B)

Model loglinear untuk tabel 2 arah/dimensi dapat dikembangkan untuk Tabel berdimensi lebih tinggi, misal Tabel 3 arah, 4 arah dan seterusnya. Hanya saja, semakin tinggi dimensi dari Tabel, semakin banyak kemungkinan model selain model jenuhnya.

4.2 Latihan Soal

1. Dalam suatu penelitian perusahaan, sejumlah data dikumpulkan untuk menentukan apakah proporsi barang yang cacat (A) yang dhasilkan oleh karyawan sama untuk giliran shift pagi, sore atau malam (B). data berikut menggambarkan barang yang diproduksi yang cacat untuk shift pagi, sore atau malam.

Tabel 4.10 Hubungan antara Shift dengan Proporsi cacat

shift pagi sore malam

cacat 45 55 70

tidak cacat 905 890 870

Tentukan dugaan parameter log linear AB ij

λ untuk i =1,2 _dan j =1,2,3

2. Pada data nomer 1 buat model log linearnya kemudian isikan Tabel di bawah ini

Tabel 4.11 Rekapitualasi

Model Parameter db _y2 _{Penurunan y}2

1 Peluang A, B sama µ

3 Peluang B sama µ,λB 4 A, B bebas µ,λA_,λB 5 Jenuh µ, A λ ,_λB_, AB λ