LOG LINEAR 2 DIMENSI
1.1 Teori Log Linear 2 Dimensi
Model log linier adalah suatu model untuk memperoleh model statistika yang menyatakan hubungan antara variabel dengan data yang bersifat kualitatif (skala nominal atau ordinal). Dengan menggunakan pendekatan log linier bisa diketahui model matematikanya secara pasti serta level atau kelas mana yang cenderung menimbulkan adanya hubungan atau dependensi.
Pada tabel kontingensi dua dimensi terdiri dari dua faktor, yaitu faktor I sebagai faktor baris dan faktor J sebagai faktor kolom. Jika kedua faktor ini independen, maka peluang pengamatan �ij= �i+ . �+j, dimana : i = 1, 2, . . ., I dan j = 1, 2, . . ., J
dimana frekuensi nilai harapannya adalah sebagai berikut. � �� = �++���
= �++��+�+� (3)
Jika persamaan (3) dinyatakan dalam bentuk logaritma, maka didapatkan : ��� ��� = log �++ + log ��+ + log �+� (4) Bila dijumlahkan untuk semua i (baris) maka.
Ii 1 ��� ��� = � log �++ + ��+ + � log �+�
Dan bila dijumlahkan untuk semua j (kolom), maka model menjadi :
J
j 1 ��� ��� = � log �++ + � log ��+ + log �+�
Sehingga bila dijumlahkan untuk semua i dan j, didapat : ��� ��� = � � log �++ + � log ��+ + �� =1
Selanjutnya jika dimisalkan :
µ = n++ +
J j j I i i 1 1 1 log 1 log
I i i i x i 1 1 log log
J j j j x j 1 1 log log Maka persamaan (4) menjadi sebagai berikut.
Model (5) inilah yang disebut dengan model Log Linier Independen pada tabel kontingensi dua dimensi (Agresti,1990). Dalam model tersebut � menunjukkan efek rata-rata secara umum, �� � menunjukkan efek utama kategori ke-i variabel X, �� � menunjukkan efek utama kategori ke-j variabel Y.
Dimana juga berlaku
Jj yj Ii x
i 1
1 0
Jika ada dependensi antara kedua variabel, dengan nilai mij > 0 dan dimisalkan ��� = log ��� ��+ =
Jj ij J n 1 �+j =
Ii ij I n 1 µ = �++ =
I i J j ij IJ n 1 1Serta jika ditetapkan x i = ��+ − �++ x j = �+j − �++ xy ij = ��� − ��+ − �+� + �++ Maka modelnya menjadi sebagai berikut.
��� ��� = � + x i + x j + xy ij (6)
Model (6) disebut dengan model jenuh. Selanjutnya dicari nilai dari derajat bebasnya (df). Derajat bebas adalah banyaknya sel dikurangi dengan banyaknya parameter yang diestimasi. Untuk model independen (5), merupakan kasus khusus dari model jenuh (6) dimana ��� �� = 0. Jumlah parameter yang diestimasi = I + (I-1) + (J-1). Sehingga untuk model independen, mempunyai derajat bebas
df = (IJ – 1) – [(I – 1) + (J – 1)] = IJ – 1 – J + 1
= (I – 1) (J – 1)
Uji Goodness of Fit adalah uji untuk membandingkan atau menentukan ada atau tidaknya jarak antara observasi dan model. Untuk menguji hipotesis pada tiap model digunakan uji Person Chi-Square (χ2) atau Likelihood Ratio Test (G2) adalah sebagai berikut.
Uji Person Chi Square (χ2) χ2 hit =
ijk ijk ijk e e n 2 Uji Likelihood Ratio Test (G2) yaituG2 = -2 log λ ~ χ2 (1) = 2 i j ij ij ij e n n ln = 2 i j i j j j i i ij ij n n n n n n n n ln .ln . . ln . ..ln ..
(Wulandari, Salamah, & Susilaningrum, 2009). b. Uji K-Way
Uji K-Way digunakan untuk mengetahui apakah ada efek order antara 2 variabel yang saling berhubungan. Pengujian ini mempunyai 2 jenis pengujian adalah sebagai berikut.
1. Pengujian interaksi pada derajat K atau lebih sama dengan nol . Uji ini didasarkan pada hipotesis bahwa efek order ke-K dan yang lebih tinggi sama dengan nol, sehingga pada model log linear hipotesisnya adalah sebagai berikut.
Untuk K = 2
H0 : Efek order ke-2 = 0
H1 : Efek order ke-2 ≠ 0
Untuk K = 1
H0 : Efek order ke-1 dan yang lebih tinggi = 0
H1 : Efek order ke-1 dan yang lebih tinggi ≠ 0
2. Pengujian interaksi pada derajat K sama dengan nol. Uji ini didasarkan pada hipotesis efek order ke-K sama dengan nol, sehingga pada model log linear hipotesisnya adalah sebagai berikut.
Untuk K = 1
H1 : Efek order ke-1 ≠ 0
Untuk K = 2
H0 : Efek order ke-2 = 0
H1 : Efek order ke-2 ≠ 0
Kriteria penolakan G2 > χ2
(db;α) maka tolah H0.
c. Uji Asosiasi Parsial
Pengujian ini mempunyai tujuan untuk menguji semua parameter yang mungkin dari suatu model lengkap baik untuk satu variabel yang bebas maupun untuk hubungan ketergantungan beberapa variabel yang merupakan parsial dari suatu model lengkap. Hipotesisnya ialah sebagai berikut.
Hipotesis :
1. H0 : Efek interaksi antara variabel 1 dan variabel 2 = 0
H1 : Efek interaksi antara variabel 1 dan variabel 2 ≠ 0
2. H0 : Efek variabel 1= 0 H1 : Efek variabel 1 ≠ 0 3. H0 : Efek variabel 2 = 0 H1 : Efek variabel 2 ≠ 0 Statistik Uji :
n i n j ij ij ij E E O 1 1 2 2 ( ) Daerah Kritis : Tolak H0 jika,
2hitung
2(db,)d. Backward Elimination
Metode ini pada dasarnya menyelesaikan model dengan menggunakan prinsip hierarki, yaitu dengan melihat model terlengkap sampai dengan model yang sederhana. Berikut ialah beberapa kemungkinan model yang terbentuk.
Tabel 2.1 Model Backward Elimination
Model Hipotesis Statistik Uji
AB ij B j A i ij v
H0: Peluang A dan B bebas
H1: Peluang A dan B tidak
bebas
ij ij ij e n n G2 2 ln B j A i ijH1: Peluang A dan B tidak bebas A i ij v H0: Peluang B sama
H1: Peluang B tidak sama
B j ij
v H0: Peluang A sama
H1: Peluang A tidak sama
ij
v H0: Peluang A sama
H1: Peluang A tidak sama dimana n n n e i j ij
nij = Nilai Observasi/pengamatan baris ke-i kolom ke-j
eij = Nilai Ekspektasi baris ke-i kolom ke-j
I = Banyak baris J = Banyak kolom Daerah Kritis :
Tolak H0 jika
G
2
2(db,)(Wulandari, Salamah, & Susilaningrum, 2009). 1.2 Komputasi Log Linear 2 Dimensi
Langkah-langkah tahapan menggunakan SPSS log linear 2 dimensi 1. Memasukkan data kemudian memberi bobot
1.3 Interpretasi Log Linear 2 Dimensi
Hubungan kegiatan anak di jalan dengan keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah. Model log linier untuk hubungan antara kedua variabel tersebut adalah : xy ij y j x i ij m Log Uji Goodness of Fit
Hipotesis:
H0 : tidak ada hubungan antara variabel kegiatan dan keterlibatan
H1 : ada hubungan antara variabel kegiatan dan keterlibatan
Taraf signifikan : 0,05
Tabel 1.1 Goodness of Fit
Nilai df P-Value Likelihood Ratio 12.184 3 0.007 Pearson Chi-Square 11.384 3 0.010
Daerah Kritis : Tolak H0 jika chi-square hitung > Chi-square tabel,
dimana chi-square tabel= 7.815 Keputusan: Tolak H0 karena 12,184>7,815
Kesimpulan: ada hubungan antara variabel kegiatan dan keterlibatan
Pada pengujian efek order ke-K atau lebih sama dengan nol dijabarkan sebagai berikut.
Hipotesis: Untuk K = 1
H0 : Efek order ke-1atau lebih = 0
H1 : Efek order ke-1atau lebih ≠ 0
Diperoleh statistik uji G2
hit = 46,715 > χ2(7,5%) = 14,067 atau dapat dilihat pada
nilai Pvalue yang kurang dari nilai α = 5% yaitu 0,000. Sehingga H1 didukung oleh
data, artinya efek interaksi order kedua terdapat dalam model. Untuk K = 2
H0 : Efek order ke-2 = 0
H1 : Efek order ke-2 ≠ 0
Diperoleh statistik uji G2
hit = 12,184 > χ2(3,5%) = 7,815 atau dapat dilihat pada
nilai Pvalue yang kurang dari nilai α = 5% yaitu 0,007 Sehingga H1 didukung oleh
data, artinya efek interaksi order kedua terdapat dalam model.
Pada pengujian efek order ke-K sama dengan nol dijabarkan sebagai berikut. Hipotesis:
Untuk K = 1
H0 : Efek order ke-1 = 0
H1 : Efek order ke-1 ≠ 0
Diperoleh statistik uji G2
hit = 34,531 > χ2(4,5%) = 9,488 atau dapat dilihat pada
nilai Pvalue yang kurang dari nilai α = 5% yaitu 0,000. Sehingga H1 didukung oleh
data, artinya efek interaksi order kedua terdapat dalam model. Untuk K = 2
H0 : Efek order ke-2 = 0
H1 : Efek order ke-2 ≠ 0
Diperoleh statistik uji G2
hit = 12,184 > χ2(3,5%) = 7,815 atau dapat dilihat pada
nilai Pvalue yang kurang dari nilai α = 5% yaitu 0,007. Sehingga H1 didukung oleh
data, artinya efek interaksi order kedua terdapat dalam model. Output tabel yang dihasilkan sebagai berikut.
Tabel 1.2 K-Way Higer-Order
K df Likelihood Ratio Pearson Number ofIterations Chi-Square P-value. Chi-Square P-Value.
K-way and Higher Order Effects
1 7 46.715 0.000 46.795 0.000 0
2 3 12.184 0.007 11.384 0.010 2
K-way Effects 1 4 34.531 0.000 35.411 0.000 0
2 3 12.184 0.007 11.384 0.010 0
Uji Asosiasi Parsial
Tabel 1.3 Asosiasi Parsial
Variabel df Partial Chi-Square P-value Number ofIterations
KETERLIBATAN 1 4.188 0.041 2 Hasil uji asosiasi parsial, dengan hipotesis sebagai berikut.
H0 : Efek variabel kegiatan= 0
H1 : Efek variabel kegiatan ≠ 0
Diperoleh nilai Partial Chi-Square > χ2(3,5%) yaitu 30,343 > 7,815 atau Pvalue < 0,05 maka tolak H0
Kesimpulan yang dapat diambil adalah ada efek variabel kegiatan. H0 : Efek keterlibatan = 0
H1 : Efek keterlibatan ≠ 0
Diperoleh nilai Partial Chi-Square > χ2(1,5%) yaitu 4,188 > 3,841 atau Pvalue < 0,05 maka tolak H0
Kesimpula yang dapat diambil adalah ada efek variabel keterlibatan.
Seleksi Model
Tahap Effects Chi-Square df P-value Number ofIterations Deleted
Effect 1 KEGIATAN*KETERLIBATAN 12.184 3 0.007 2
Generating
Class KEGIATAN*KETERLIBATAN .000 0 .
Seleksi model dengan menggunakan metode Backward Elimination dimulai dari model umum atau semua kemungkinan dimasukkan. Untuk memilih model terbaik menggunakan hipotesis sebagai berikut.
H0 : Model 1 adalah model terbaik
H1 : Model 0 adalah model terbaik
Daerah Kritis : Tolak H0 jika G2 > χ2(df,α)
Keputusan dan kesimpulan : Model 0 adalah model terbaik karena G2 > χ2(df,α)
Model 0 lengkap sebagai model lengkap
Adanya hubungan antara variabel kegiatan dengan keterlibatan dimana pengaruh efek utama variabel kegiatan dan variabel keterlibatan juga masuk dalam model. µ = 2,52556
Tabel 1.5 Tabel Estimasi Parameter
Effect Parameter Estimate Std.
Error Z P-value
95% Confidence
Interval Lower
Bound BoundUpper KEGIATAN*KETERLIBATA N 1 0.478 0.172 2.774 0.006 0.140 0.815 2 -0.023 0.150 -0.151 0.880 -0.316 0.271 3 0.168 0.188 0.897 0.369 -0.199 0.536 KEGIATAN 1 0.166 0.172 0.964 0.335 -0.172 0.504 2 0.764 0.150 5.105 0.000 0.471 1.058 3 -0.143 0.188 -0.765 0.444 -0.511 0.224 KETERLIBATAN 1 -0.255 0.115 -2.219 0.027 -0.481 -0.030
Interpretasi dari model adalah adanya hubungan antara variabel kegiatan anak di jalan dengan variabel keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah.
Kegiatan anak di jalan
Keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah Ya Tidak Asongan Koefisien 0.478 -0.478 Z-value 2.774 -2.774 Pengamen Koefisien -0.023 0.023 Z-value -0.151 0.151
Pemulung Koefisien Z-value 0.1680.897 -0.168-0.897 Bermain Koefisien Z-value -0.623-3.520 0.6233.520 diketahui bahwa anak jalanan yang memiliki kegiatan sebagai penjual asongan cenderung memiliki keterlibatan konflik dengan dengan aparat pemerintah. Kemudian anak jalanan yang memiliki kegiatan di jalan bermain cenderung tidak memiliki keterlibatan konflik dengan aparat.
1.4 Perhitungan Manual
Berikut perhitungan ekspetasi secara manual pada data hubungan kegiatan anak di jalan dengan keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah.
127
34.252 75 58 748 . 23 127 52 58 307 . 18 127 75 31 693 . 12 127 52 31 2 22 2 21 2 12 2 11 e e e e
127
9.449 75 16 551 . 6 127 52 16 992 . 12 127 75 22 008 . 9 127 52 22 2 42 2 41 2 32 2 31 e e e e Uji Goodness of Fit
Berikut perhitungan uji goodness of fit secara manual pada data hubungan kegiatan anak di jalan dengan keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah.
384 . 11 449 . 9 449 . 9 14 551 . 6 551 . 6 2 ... 307 . 18 307 . 18 12 693 . 12 693 . 12 19 2 2 2 2 2 2 2 2 ij ij ij e e n184 . 12 449 . 9 14 ln 14 551 . 6 2 ln 2 307 . 18 12 ln 12 693 . 12 19 ln 19 2 ln 2 2 2 2 G G e n n G i j ij ij ij Uji K-Way
Berikut perhitungan uji K-Way secara manual pada data hubungan kegiatan anak di jalan dengan keterlibatan konflik dengan aparat pemerintah.
K=2