2.PEMROGRAMAN LINIER NT (1) (1) (1)

www.esaunggul.ac.id

Dr. Ir. Nofi Erni, MM

2

PENELITIAN OPERASIONAL 1

PEMROGRAMAN LINIER

PENGERTIAN LINIEAR PROGRAMMING PENGERTIAN LINIEAR PROGRAMMING

 Merupakan salah satu teknik OR yang paling luas Merupakan salah satu teknik OR yang paling luas penggunaanya, dasar pengembangan teknik OR lain.

penggunaanya, dasar pengembangan teknik OR lain.



Adalah suatu cara untuk menyelesaikan Adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa

yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing.

aktivitas yang bersaing.

 Merupakan model matematika yang digunakan untuk Merupakan model matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan penggunaan sumber daya terbatas mengoptimalkan penggunaan sumber daya terbatas untuk mencapai tujuan

untuk mencapai tujuan

 Deterministik (parameter diketahui dengan pasti)Deterministik (parameter diketahui dengan pasti)



Programming Programming = perencanaan = perencanaan

Linear Linear = fungsi yang linear = fungsi yang linear

Langkah Penyelesaian Langkah Penyelesaian



Tahap pemodelan dan penyelesaian Tahap pemodelan dan penyelesaian

1.1.

Identifikasi variabel keputusan, variabel Identifikasi variabel keputusan, variabel kriteria, parameter, kendala

kriteria, parameter, kendala

2.2.

Formulasikan fungsi tujuan dan fungsi Formulasikan fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam persamaan atau

kendala dalam persamaan atau ketidaksamaan linear

ketidaksamaan linear

3.3.

Cari solusi optimal (metode grafik atau Cari solusi optimal (metode grafik atau metode simpleks)

metode simpleks)

Model Linier Programing Model Linier Programing



Model LP disusun atas 3 elemen : Model LP disusun atas 3 elemen :

• Variabel keputusan : merupakan variabel yang Variabel keputusan : merupakan variabel yang akan dicari

akan dicari

• Variabel kriteria : variabel yang dicari untuk Variabel kriteria : variabel yang dicari untuk evaluasi variabel keputusan

evaluasi variabel keputusan

• Tujuan : merupakan kondisi optimum yang akan Tujuan : merupakan kondisi optimum yang akan dicapai

dicapai

• Kendala : batasan yang harus dipenuhiKendala : batasan yang harus dipenuhi



Ketiga elemen tersebut akan disusun dalam Ketiga elemen tersebut akan disusun dalam bentuk model matematika linier :

bentuk model matematika linier :

• Persamaan fungsi tujuanPersamaan fungsi tujuan

• Persamaan fungsi kendalaPersamaan fungsi kendala

Simbol persamaan LP Simbol persamaan LP

 Z = var kriteria (nilai fungsi tujuan)Z = var kriteria (nilai fungsi tujuan)

 xx_{j j} = var keputusan/level aktivitas (x= var keputusan/level aktivitas (x₁₁, x, x_{2, 2,} ,… x,… x_nn))

 cc_{j j} = kontribusi var keputusan terhadap tujuan = kontribusi var keputusan terhadap tujuan

 aaij _ij = penggunaan s. daya ke i oleh aktivitas j = penggunaan s. daya ke i oleh aktivitas j (a(a₁₁₁₁, … a, … a_mnmn))

 bb_{j j} = jumlah sumber daya tersedia= jumlah sumber daya tersedia (j = 1, 2,…n)

(j = 1, 2,…n) (i = 1, 2, …m) (i = 1, 2, …m)

 Solusi layak (feasible solution) : solusi yang memenuhi seluruh Solusi layak (feasible solution) : solusi yang memenuhi seluruh fungsi kendala pada masalah LP

fungsi kendala pada masalah LP

 Solusi optimum : nilai terbaik bagi fungsi tujuan yang terdapat pada Solusi optimum : nilai terbaik bagi fungsi tujuan yang terdapat pada daerah solusi layak,

daerah solusi layak,

 Umumnya hanya terdapat satu solusi optimum.Umumnya hanya terdapat satu solusi optimum.

Model matematik Model matematik

Formulasi matematika untuk bentuk baku model LP Formulasi matematika untuk bentuk baku model LP

 a. Fungsi tujuan (Max , Min)a. Fungsi tujuan (Max , Min)

_nn

Maksimumkan Z =

Maksimumkan Z =  c c_jj x x_jj atau atau

_j=1j=1

Maksimumkan Z = cMaksimumkan Z = c₁₁ xx₁₁ + c + c₂₂ xx₂₂ + …. + …. + c+ c_nnxx_nn

 b. Fungsi kendalab. Fungsi kendala

aa₁₁₁₁ xx ₁₁ + a + a₁₂₁₂ x x ₂₂ + …+ a + …+ a_1n1n xx _nn < b< b₁₁ aa₂₁₂₁ xx ₁₁ + a + a₂₂₂₂ xx ₂₂ + …+ a + …+ a_2n2n xx _nn << b b₂₂ aa_m1m1 xx ₁₁ + a + a_m2m2 xx ₂₂ + …+ a + …+ a_mnmn xx _nn < b< b_mm xx ₁₁, , xx ₂₂ , x , x _nn > > 0 0

Fungsi kendala juga dapat berbentuk = atau Fungsi kendala juga dapat berbentuk = atau >>

Asumsi model LP Asumsi model LP

1. Proportionality 1. Proportionality

Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya (aij) yang tersedia akan berubah Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya (aij) yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan (xij)

secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan (xij)

2. Additivity 2. Additivity

Nilai fungsi tujuan dari tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dianggap Nilai fungsi tujuan dari tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan bahwa kenaikan dari nilai tujuan yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai z yang diperoleh dari kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai z yang diperoleh dari kegiatan lain.

lain.

3. Divisibility 3. Divisibility

Nilai solusi dari variabel keputusan dari setiap kegiatan dapat berupa bilangan Nilai solusi dari variabel keputusan dari setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan (non integer)

pecahan (non integer) 4. Deterministic

4. Deterministic

Semua parameter model LP ( a

Semua parameter model LP ( a_ijij, b, bi_i, , c, , cj_j) adalah konstanta yang dapat diketahui ) adalah konstanta yang dapat diketahui dengan pasti meskipun jarang dapat dipenuhi dengan tepat.

dengan pasti meskipun jarang dapat dipenuhi dengan tepat.

Asumsi model LP Asumsi model LP

5. ACCOUNTABILITY FOR RESOURCES 5. ACCOUNTABILITY FOR RESOURCES Sumber yang tersedia harus dapat Sumber yang tersedia harus dapat

dihitung dihitung

6. LINEARITY OF OBJECTIVES 6. LINEARITY OF OBJECTIVES Fungsi tujuan dan kendala- Fungsi tujuan dan kendala-

kendalanya harus dapat dinyatakan kendalanya harus dapat dinyatakan

sebagai suatu fungsi linear

sebagai suatu fungsi linear

Contoh 1 Contoh 1

 Suatu perusahaan bermaksud akan memproduksi Suatu perusahaan bermaksud akan memproduksi peralatan dapur yang membutuhkan dua jenis

peralatan dapur yang membutuhkan dua jenis sumber yaitu tenaga buruh dan bahan baku.

sumber yaitu tenaga buruh dan bahan baku.

Perusahaan telah merencanakan tiga jenis model Perusahaan telah merencanakan tiga jenis model

dan ketiganya membutuhkan sumber dan dan ketiganya membutuhkan sumber dan memberikan keuntungan sebagai berikut : memberikan keuntungan sebagai berikut :

Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari

adalah 200 kg, sedangkan kapasitas tenaga kerja yang adalah 200 kg, sedangkan kapasitas tenaga kerja yang

dimiliki adalah 150 jam/hari. Bagaimana perumusan dimiliki adalah 150 jam/hari. Bagaimana perumusan

programa linearnya sehingga keuntungan totalnya programa linearnya sehingga keuntungan totalnya

maksimal untuk menentukan kecepatan produksi maksimal untuk menentukan kecepatan produksi

harian.

harian.

JAWAB : JAWAB :

LANGKAH 1 : LANGKAH 1 :

Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi

harian dari ketiga model.

harian dari ketiga model.

Misalkan :

Misalkan : X X

A_A

= Produksi harian dari model = Produksi harian dari model A A

X X

B_B

= Produksi harian dari model B = Produksi harian dari model B

X X

C_C

= Produksi harian dari model A = Produksi harian dari model A

 Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari adalah 200 kg, sedangkan kapasitas tenaga hari adalah 200 kg, sedangkan kapasitas tenaga

kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari. Bagaimana kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari. Bagaimana

perumusan programa linearnya sehingga perumusan programa linearnya sehingga

keuntungan totalnya maksimal untuk menentukan keuntungan totalnya maksimal untuk menentukan

kecepatan produksi harian.

kecepatan produksi harian.

JAWAB : JAWAB :

LANGKAH 1 : LANGKAH 1 :

Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian

dari ketiga model.

dari ketiga model.

Misalkan :

Misalkan : XX_AA = Produksi harian dari model A = Produksi harian dari model A XXB_B = Produksi harian dari model B = Produksi harian dari model B

XX_CC = Produksi harian dari model A = Produksi harian dari model A

LANGKAH 2 :

LANGKAH 2 : Menentukan kendala Menentukan kendala

Dalam masalah ini, kendala yang dihadapi Dalam masalah ini, kendala yang dihadapi adalah kapasitas dari kedua sumber yaitu adalah kapasitas dari kedua sumber yaitu tenaga kerja dan bahan baku. Untuk setiap unit tenaga kerja dan bahan baku. Untuk setiap unit produk A, dibutuhkan 7 jam buruh, sehingga XA produk A, dibutuhkan 7 jam buruh, sehingga XA

untuk produk A dibutuhkan 7 X

untuk produk A dibutuhkan 7 XA_A (Jam buruh). (Jam buruh).

Model B akan membutuhkan 3X

Model B akan membutuhkan 3XB _B dan model C dan model C akan membutuhkan 6X

akan membutuhkan 6XC_C. Maka kebutuhan . Maka kebutuhan tenaga kerja total adalah 7 X

tenaga kerja total adalah 7 XA_A + 3X + 3XB_B + 6X + 6XC_C yang yang tidak boleh lebih dari 150 jam/hari, maka :

tidak boleh lebih dari 150 jam/hari, maka : 7 X7 XA_A + 3X + 3XB_B + 6X + 6XC_C ≤ 150 ≤ 150

dan kebutuhan bahan baku adalah : dan kebutuhan bahan baku adalah : 4 X4 XA_A + 4X + 4XB_B + 5X + 5XC_C ≤ 200 ≤ 200



LANGKAH 3 : LANGKAH 3 : Menentukan Tujuan Menentukan Tujuan Tujuannya yaitu memaksimalkan Tujuannya yaitu memaksimalkan

keuangan, dengan formulasi berikut : keuangan, dengan formulasi berikut :

Z = 40 X

Z = 40 X

_AA

+ 20 X + 20 X

_BB

+ 30 X + 30 X

_CC

Contoh 2 Contoh 2 : :

Misalkan kebutuhan makanan per hari adalah 100 Misalkan kebutuhan makanan per hari adalah 100

kg. Makanan harus mengandung : kg. Makanan harus mengandung :

Paling sedikit 0.8 % Ca tapi tida

Paling sedikit 0.8 % Ca tapi tidak k lebih dari 1.2%lebih dari 1.2%

Paling sedikit 22% protein Paling sedikit 22% protein

Paling banyak 5% serat mentah.

Paling banyak 5% serat mentah.

Ketiga bahan tersebut di atas dapat diperoleh Ketiga bahan tersebut di atas dapat diperoleh

dari kapur (Ca), jagung dan kacang kedelai.

dari kapur (Ca), jagung dan kacang kedelai.

Kandungan gizi dari ketiga bahan tersebut : Kandungan gizi dari ketiga bahan tersebut :

Bagaimana komposisi ketiga bahan makanan Bagaimana komposisi ketiga bahan makanan tersebut agar ongkos totalnya minimum, tetapi tersebut agar ongkos totalnya minimum, tetapi

syarat gizinya terpenuhi ? syarat gizinya terpenuhi ? JAWAB :

JAWAB :

1.1. VARIABEL KEPUTUSANVARIABEL KEPUTUSAN

XX₁₁ = Jumlah kapur yang dibutuhkan untuk = Jumlah kapur yang dibutuhkan untuk membuat 100

membuat 100 kg makanan (dalam kg).kg makanan (dalam kg).

XX2₂ = Jumlah jagung yang dibutuhkan per 100 kg = Jumlah jagung yang dibutuhkan per 100 kg makanan makanan

XX₃₃ = Jumlah kacang kedelai per 100 kg makanan = Jumlah kacang kedelai per 100 kg makanan

2.2.

KENDALA KENDALA



0.38 X 0.38 X

₁₁

+ 0.001 X + 0.001 X

₂₂

+ 0.002 X + 0.002 X

₃₃

Calcium tidak Calcium tidak boleh lebih dari 0.012 (100)

boleh lebih dari 0.012 (100)



Untuk calcium juga tidak boleh kurang dari Untuk calcium juga tidak boleh kurang dari 0.008 (100)

0.008 (100)



Untuk protein 0.09 X Untuk protein 0.09 X

₂₂

+ 0.50 X + 0.50 X

₃₃

≥ 0.22 (100) ≥ 0.22 (100)



Untuk serat 0.02 X Untuk serat 0.02 X

₂₂

+ 0.08 X + 0.08 X

₃₃

≤ 0.05 (100) ≤ 0.05 (100)



Jumlah komposisi ketiga bahan tersebut di Jumlah komposisi ketiga bahan tersebut di atas harus sama dengan 100 kg

atas harus sama dengan 100 kg

PERUMUSAN PROGRAMA LINEAR : PERUMUSAN PROGRAMA LINEAR :

Minimasi Z = 165 X1 + 465 X2 + 1250 Minimasi Z = 165 X1 + 465 X2 + 1250 X3 X3

Kendala : Kendala :

0.38 X

0.38 X

₁₁

+ 0.001 X + 0.001 X

₂₂

+ 0.002 X + 0.002 X

_{3 3}

≥ 0.8 ≥ 0.8 0.38 X

0.38 X

₁₁

+ 0.001 X + 0.001 X

₂₂

+ 0.002 X + 0.002 X

_{3 3}

≤ 1.2 ≤ 1.2

0.09 X 0.09 X

₂₂

+ 0.50 X + 0.50 X

₃₃

≥ 22 ≥ 22

0.02 X 0.02 X

2₂

+ 0.08 X + 0.08 X

3 ₃

≤ 5 ≤ 5

X X

₁₁

+ X + X

₂₂

+ X + X

_{3 3}

= 100 = 100

X X

₁₁

, X , X

₂₂

, X , X

_{3 3}

≥ 0 ≥ 0