Materi Pemrograman Linier

(1)

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

Semester Ganjil 2011/2012

(2)

Contoh untuk Algoritma Simpleks

Dakota’s Problem



Perusahaan furniture Dakota

memproduksi bangku, meja dan kursi.



Untuk setiap jenis furniture dibutuhkan

bahan baku kayu dan 2 jenis waktu

pengerjaan:

finishing & carpentry



Bahan baku dan waktu pengerjaan

terbatas



Ingin ditentukan jumlah produksi setiap

(3)

Dakota’s Problem dalam Tabel

Sumber daya

Bangku

Meja

Kursi

Ketersediaan

Kayu (m2)

8

6

1

48

Finishing (jam)

4

2

1.5

20

Carpentry (jam)

2

1.5

0.5

8

Profit

60

30

20

Peubah

Keputusan?

kursi

produksi

:#

meja

produksi

:#

bangku

produksi

:#

3 2 1

(4)

LP untuk Dakota’s

Problem

Sumber daya

Bangku

X1

Meja

X2

Kursi

X3

Ketersediaan

Kayu (m2)

8

6

1

48

Finishing (jam)

4

2

1.5

20

Carpentry (jam)

2

1.5

0.5

8

Profit($)

60

30

20

(5)

Algoritma Simpleks

Tentukan BFS:

BV

&

NBV

Mula

i

BFS

optimal?

Selesa

i

Lakukan iterasi

untuk

menentukan

BFS:

BV & NBV

yang baru

Ya

(6)

Langkah 1 Algoritma Simpleks



Rubah ke bentuk Standar

Digunakan slack

variabel karena

semua kendala

≤

Kendala kayu

Kendala

finishing

Kendala

carpentry

0

,

0

,

0

hour)

(Carpentry

8

5

.

0

5

.

1

2

hour)

(Finishing

20

5

.

1

2

4

(Kayu)

48

6

8

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

















x

t

s

x

z

48

6

8

x

₁



x

₂



x

₃



8

x

₁



6

x

₂



x

₃



s

₁



48

20

5

.

1

2

4

x

₁



x

₂



x

₃



4

x

₁



2

x

₂



1

.

5

x

₃



s

₂



20

8

5

.

0

5

.

1

(7)



Bentuk Standar LP

Baris 0

Baris 1

Baris 2

Baris 3



Modifikasi baris 0 menjadi:

Semua peubah di

ruas kiri,

konstanta di ruas

kanan tanda =

0

,

8

5

.

0

5

.

1

2

20

5

.

1

2

4

48

6

8

.

20

30

60

max

3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1

















s

x

s

x

s

x

s

x

t

s

x

z

0

20

30

0

6

₁



₂



₃





x

(8)



Bentuk Tableau

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Baris 1

0

8

6

1

0

48

Baris 2

0

4

2

1.5

0

1

0

20

Baris 4

0

2

1.5

0.5

0

1

8

(9)

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Baris 1

0

8

6

1

0

48

Baris 2

0

4

2

1.5

0

1

0

20

Baris 3

0

2

1.5

0.5

0

1

8

Tentukan BFS (BV dan NBV).

BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang

berbentuk kanonik.

BV

z=0

s1=48

s2=20

s3=8



s

₁

,

s

₂

,

s

₃



BV



NBV





x

₁

,

x

₂

,

x

₃



8

,

20

,

48

,

0

(10)



Apakah BFS tersebut sudah optimal?



Dapat dilihat dari koefisien baris 0.

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Satu unit penambahan x

₁

,

menaikkan z sebesar $ 60

8

,

20

,

48

,

0

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



BFS

 

0

30

 

0

20

 

0

60

20

30

60

₁ ₂ ₃











x

(11)



Interpretasi koefisien baris 0

◦

Bagi

NBV



Variabel dengan Koefisien

-c

: satu unit penambahan

variabel tsb menaikkan Z sebesar

c.



Variabel dengan koefisien

+c

: satu unit penambahan

variabel tsb menurunkan Z sebesar

c.

◦

Variabel dengan koefisien 0: BV

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

•

Semua koefisien bagi

NBV

adalah < 0

•

Ada beberapa kemungkinan menaikkan nilai

Z

dengan menaikkan nilai peubah keputusan:

menambah produksi

(12)

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Produksi satu unit x1 (Bangku) akan menaikkan Z

(profit) sebesar 60 ($)

Produksi satu unit x2 (Meja) akan menaikkan Z

Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z

Pilih

Entering Variable:

Peubah NBV

yang meningkatkan Z paling besar,

untuk menggantikan salah satu

peubah di

BV

1

(13)



Menentukan peubah

BV

yang mana yang akan

digantikan oleh

x

1



Dengan melakukan

Ratio Test

, agar pergantian

peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Baris 1

0

8

6

1

0

48

Baris 2

0

4

2

1.5

0

1

0

20

Baris 3

0

2

1.5

0.5

0

1

8

BV

z=0

s1=48

s2=20

s3=8

Baris 1

Baris 2

Baris 3

Peubah

selainn

ya

tetap =

0

8 , 20 , 48 , 0 : 3 2 1 3 2 1       s s s x x x

BFS





3 2 1

,

s

,

s

BV



NBV





x

₁

,

x

₂

,

x

₃



48

8

x

₁



s

₁



agar

₀

6

8

48 1

1





x





s

20

4

x

₁



s

₂



agar

₀

5

4

20 1

2





x





s

8

2

x

₁



s

₃



agar

₀

4

2 8 1

3





x





(14)



Semua syarat:



Terpenuhi pada: di baris 3



Ratio Test

: agar pergantian peubah tetap berada di dalam

wilayah feasibel, dipilih peubah dengan nilai

ratio test

terkecil

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

1

-60

-30

-20

0

Baris 1

0

8

6

1

0

48

Baris 2

0

4

2

1.5

0

1

0

20

Baris 3

0

2

1.5

0.5

0

1

8

BV

z=0

s1=48

s2=20

s3=8



Pada

BFS

berikutnya

x1

adalah peubah

NBV

yang akan

menggantikan

s3

salah satu dari

BV



Dengan

ERO

–

Elementary Row Operation

4

,

5

,

6

₁ ₁

1



x



x



x

4

1



(15)



(Operasi

baris elementer): operasi antar baris

untuk menentukan bentuk kanonik

yang baru (

BV

&

NBV

yang baru)



Di dalam bentuk kanonik baru:

Peubah di dalam

BV

harus

mempunyai bentuk kanonik

B1 B2 B3



s

₁

,

s

₂

,

x

₁



BV



NBV





s

₃

,

x

₂

,

x

₃



0

1

0

1

0

(16)

Operasi Baris Elementer

z

X1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 0

0

Baris 1

0

1

0

Baris 2

0

1

Baris 3

1

0

Pada Iterasi berikutnya ingin diperoleh

Tableau sbb:



s

₁

,

s

₂

,

x

₁



(17)

Operasi Baris Elementer

Tableau

0 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris 1 0 8 6 1 1 0 0 48

Baris 2 0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris 3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

Tableau

1

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

Dengan ERO ingin diperoleh Tableau

1:

: baris 3 didahulukan (pivot

row)

2

)

0

(

3

)

1

(

3

Baris

(18)

Tableau

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris 1 0 8 6 1 1 0 0 48

Baris 2 0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris 3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

Tableau

1

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1

(pivot row)

Baris 0 1 0 15 -5 0 0 30 240

)

1

(

3

*

60

)

0

(

0

)

1

(

0

Baris

(19)

Tableau

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris 1 0 8 6 1 1 0 0 48

Baris 2 0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris 3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

Tableau

1

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

(pivot row)

Baris 0 1 0 15 5 0 0 30 240

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16

)

1

(

3

*

8

)

0

(

1

)

1

(

1

Baris

(20)

Tableau

Baris 0 1 -60 -30 -20 0 0 0 0

Baris 1 0 8 6 1 1 0 0 48

Baris 2 0 4 2 1.5 0 1 0 20

Baris 3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 8

BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

Tableau

1

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4

Initial Tableau (Tableau 0):

(pivot row)

Baris 0 1 0 15 -5 0 0 30 240

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4

BV z=240 s1=16 s2=4 x1=4

)

1

(

3

*

4

)

0

(

2

)

1

(

2

Baris

(21)

Tableau hasil iterasi: Tableau 1

Tableau

1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 0 15 -5 0 0 30 240 z=240

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Pada tableau 1:



Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal?



Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan

nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?

Peubah dengan Koefisien baris

0 <0?



s

₁

,

s

₂

,

x

₁



BV



NBV





s

₃

,

x

₂

,

x

₃



240

,

0

,

4

,

16

,

0

,

4

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



BFS

3

(22)

Langkah 3 Algoritma Simpleks,

Iterasi ke-2

Tableau

Produksi satu unit x2 (Meja) akan menurunkan Z

Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (profit)

sebesar 5 ($)

Pilih

Entering Variable:

Peubah NBV

yang meningkatkan Z paling besar,

untuk menggantikan salah satu

peubah di

BV



BFS yang ada belum optimal.

3

x



s

₃

,

x

₂

,

x

₃



NBV



(23)

Iterasi 2



Menentukan peubah

BV

yang mana yang akan

digantikan oleh

x

2



Dengan melakukan

Ratio Test

, agar pergantian

peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Baris 1

Pada baris dengan koefisien negatif, tidak

perlu dilakukan ratio test



s

₁

,

s

₂

,

x

₁



BV



0

semua

untuk

0

16

₁ ₃ ₃

1

3













(24)

Iterasi 2

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Baris 2

Baris 3



Pemenang ratio test (terkecil): di baris 2



x3 akan menggantikan s2

8

0

agar

₀4_.₅ 3

2





x





s

6

1

0

agar

₀_.4₂₅ 3

1





x





(25)

Iterasi 2

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4



Pada

BFS

berikutnya

x3

adalah peubah

NBV

yang akan

menggantikan

s2

salah satu dari

BV



Dengan

ERO

–

Kolom

pivot

Kolo

m

pivot

Tableau 2 mempunyai bentuk kanonik baru:

Tableau

2 z X1 x2 X3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 0 0 0

Baris 1 0 0 1 Baris 2 0 1 0 Baris 3 1 0 0



s

₁

,

x

₃

,

x

₁



BV





s

₃

,

x

₂

,

s

₂



(26)

Dengan ERO untuk memperoleh

Tableau 2:

baris 2 didahulukan

(pivot row)

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tableau 2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 2

0

-2

1

0

2

-4

8

5

.

0

)

1

(

2

)

2

(

2

Baris

(27)

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tableau 2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 2

0

-2

1

0

2

-4

8

(pivot row)

Baris 0

1

0

5

0

10

280

)

2

(

2

*

5

.

0

)

1

(

0

)

2

(

0

Baris

(28)

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tableau 2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 2

0

-2

1

0

2

-4

8

(pivot row)

Baris 0

1

0

5

0

10

280

Baris 1

0

-2

0

1

2

-8

24

)

2

(

2

*

)

1

(

)

1

(

1

)

2

(

1

Baris

(29)

Tableau

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16

Baris 2 0 0 -1 0,5 0 1 -2 4 s2=4

Baris 3 0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 4 x1=4

Tableau 2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

Baris 2

0

-2

1

0

2

-4

8

(pivot row)

Baris 0

1

0

5

0

10

280

Baris 1

0

-2

0

1

2

-8

24

Baris 3

0

1

1.25

0

-0.5

1.5

2

)

2

(

2

*

25

.

0

)

1

(

3

)

2

(

3

Baris

(30)

Tableau Hasil Iterasi: Tableau 2

Tableau

2

z

x1

x2

x3

s1

s2

s3

rhs

BV

Baris 0

1

0

5

0

10

280

z=280

Baris 1

0

-2

0

1

2

-8

24

s1=24

Baris 2

0

-2

1

0

2

-4

8

x3=8

Baris 3

0

1

1.25

0

-0.5

1.5

2

x1=2



Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal?



Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan

menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan?



Semua koefisien baris 0 >=0. Tidak mungkin lagi

menaikkan nilai z.

BFS sudah Optimal



s

₁

,

x

₃

,

x

₁



BV



NBV





s

₃

,

x

₂

,

s

₂



280

,

0

,

24

,

8

,

0

,

2

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



(31)

Solusi Optimal Dakota’s Problem

Agar keuntungan maksimum, dan

produksi yang sesuai dengan kendala

(bahan baku dan jam pengerjaan), harus

diproduksi sejumlah 2 buah bangku (x1), 8

buah kursi (x3), tanpa memproduksi meja

kursi

produksi

:#

meja

produksi

:#

bangku

produksi

:#

3 2 1

x

280

,

0

,

24

,

8

,

0

,

2

:

x

₁



x

₂



x

₃



s

₁



s

₂



s

₃



z



(32)

Langkah-langkah Algoritma

Simpleks untuk Masalah Max

Langkah

1

Rubah LP ke bentuk standar,

tuliskan dalam bentuk tableau.

Langkah

2

Tentukan BFS (BV dan NBV).

BV dapat ditentukan dari elemen

tableau yang berbentuk kanonik.

Langkah

3

Jika semua koefisien baris 0 >=0,

BFS solusi optimal

Selainnya, pilih koefisien paling

negatif untuk masuk ke dalam BV

Langkah

4

Ratio test (terkecil) untuk

(33)

Langkah-langkah Algoritma

Simpleks untuk Masalah Max

Langkah

4

Lakukan ERO untuk membentuk

bentuk kanonik baru, BFS baru

(Tableau baru)