2.1 Program Stokastik
Keputusan adalah suatu kesimpulan dari suatu proses untuk memilih tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif yang ada, sedangkan pengambilan keputu-san adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan kegiatan yang dilakukan, guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik tersebut. Oleh karena itu diperlukan teknik analisis yang berkenaan dengan pengambilan keputusan mela-lui berbagai model. Selanjutnya persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan untuk menentukan nilai mak-simum atau minimum.
Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh adanya keterbatasan sumber dana, tenaga, waktu dan yang lainnya. Sebagai contoh misalnya disebabkan bertambahnya biaya marginal atau menurunnya per-olehan marginal dari sebuah proses produksi atau proses penjualan atau proses investasi dan lain sebagainya.
Mujio (2009) menjelaskan bahwa program stokastik merupakan bagian dari program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada fungsi tujuan (fungsi objektif) atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan dengan distribusi peluang pada parameternya. Selanjutnya dalam proses pengambilan ke-putusan terhadap suatu persoalan secara logis, yang diperlukan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan yang telah diambil, dan ini dikenal sebagai model rekursif (recourse).
Progran Linier acak dari tipe ini adalah ;
inf x∈X,y(w)∈R+m
{cx+q(w)y(w) :T(w)x+W(w)y(w) =h(w)}.
Parameter acak ξ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A) dan himpunanX ⊂x∈Rn+ :Ax=b, mengandung semua kendala deterministik
variabel-variabel slack yang tepat, dan model yang ditunjukkan sebagai model dengan dua tahap.
Selanjutnya bentuk model rekursif dibentuk dengan menambahkan ukuran fungsi objektif, yang dinyatakan dengan model seperti berikut;
inf
x∈X{c(w)x+φ(x, ξ(w))}. dimana,
Φ(x, ξ(w)) = inf
y∈Rn+{qy:T(w)x+W y=h(w)}.
Sekarang setiap fungsi R :Z →R, berapa nilai ekspektasi, dan merupakan uku-ran resiko atau jumlah bobot keduanya (ekspektasi dan resiko) dapat digunakan sebagai ukuran fungsi objektifnya.
2.2 Program Stokastik Linier
Berdasarkan paradigma standar program stokastik dua tahap, variabel keputusan dari sebuah problema optimasi oleh ketidakpastian dibagi menjadi dua himpunan, yaitu variabel-variabel tahap pertama telah ditentukan sebelum direalisasi secara nyata dari parameter ketidakpastian dan selanjutnya mendesain atau memper-baiki kebijakan cara kerjanya yang dapat dilakukan dengan memilih sebuah cost yang pasti pada variabel-variabel dari tahap kedua (recourse).
Mujio (2009) menjelaskan bahwa konsep rekursif telah banyak diaplikasikan pada program stokastik linier, program integer dan program nonlinier. Khusus untuk program stokastik linier dua tahap mempunyai bentuk standar berikut;
min{Ctx+Ew∈
Ω[Q(x,w)] untuk x∈X}.
dengan,
Q(x, w) =minf(w)ty untuk D(w)y≥h(w) +T(w)x, y ∈Y
dimana x⊂Rn1 dan y ⊂Rn2 adalah himpunan polyhedral. Disini C ∈Rn1, dan
w sebuah variabel acak dari ruang probabilitas (Ω, E, IP) dengan Ω ⊆ Rk, f : Ω→Rn2, h : Ω→Rm2, D : Ω→Rm2×n2 dan T : Ω→Rm2×n1. Problema di atas
dengan variabel x merupakan tahap pertama yang diperlukan untuk ditentukan terlebih dahulu guna merealisasikan parameter ketidakpastian w∈Ω, sedangkan y merupakan variabel tahap kedua.
Berdasarkan asumsi distribusi diskrit pada parameter ketidakpastian, prob-lema dapat diekivalensikan rumusnya sebagai satu program linier untuk skala yang luas yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik standar program linier, serta sifat konveksitas dari fungsi rekursif cukup efektif digunakan dalam strategi penyelesaian berdasarkan dekomposisi, untuk parameter distribusi kon-tinu. Sifat-sifat ini telah digunakan untuk pengembangan sampling berdasarkan dekomposisi dan skema aproksimasi sama seperti algoritma dasar gradien. For-mulasi dua tahap dengan mudah dapat digunakan untuk problema multi tahap yang dipasangkan dengan model ketidakpastian sebagai sebuah proses filtrasi. Berdasarkan distribusi diskrit, reduksi ini untuk sebuah pohon skenario oleh re-alisasi parameter dan skema dekomposisi membagi waktu secara bertahap sama seperti membagi ruang skenario yang telah dikembangkan untuk program linier multi tahap.
2.3 Program Stokastik Linier dengan Recourse Integer
sebuah program linier acak untuk model ini sebagai berikut ;
inf x∈X,y(w)∈R+m
{cx+q(w)y(w) :T(w)x+W(w)y(w) =h(w)}.
Parameter acak ǫ := (q, T, w, h) terdefinisi pada ruang probabilitas (ω, IP, A) dan himpunanX ⊂x∈Rn+ :Ax=b, mengandung semua kendalaxyang
deter-ministik. Persamaan kendala dapat digunakan untuk persamaan di atas dengan memperkenalkan slack variabel yang sesuai dan model di atas yang diarahkan untuk sebuah model dua tahap, sebagai kendala yang mencakup parameter acak yang berarti feasibel dan optimasi tidak jelas, oleh karenanya dilengkapi model rekursif dengan menambah sebuah fungsi objektif yang standar.
2.4 Metode Simpleks
Karena kesulitan menggambar grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masa-lah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini, kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Algoritma Sim-pleks yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dari dua variabel.
Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simpleks ini me-lalui perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.
Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode sim-pleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Dimulai pada titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut se-bagai solusi awal).
3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tidak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi op-timum diperoleh.
Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah :
1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal dengan menetapkan (n−m) variabel non basis sama dengan nol. Dimananjumlah variabel dan m banyaknya kendala.
2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika tidak ada, maka berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak, lanjutkan ke langkah satu.
3. Pilih sebuah leavingvariable diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi variabel non basis (nilainya menjadi nol) ketika variabel entering menjadi variabel basis.
4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat variabelentering dan variabel leaving menjadi non basis. Kembali ke langkah dua.
2.5 Metode L-Shaped
Cerisola, et al (2005) menjelaskan bahwa Benders atau dekomposisi L-Shaped mempertimbangkan masalah optimisasi dua tahap yang dapat diformulasikan (P) sebagai berikut:
min(cx+qy), T x+W y=h, x∈X, y ∈Y.
dimana x adalah keputusan tahap pertama dan y meliputi variabel tahap kedua yang daerah layaknya adalahX =A1x≤a1, x∈Rn1+ danY =A2x≤a2, y ∈Rn2+.
Solusi problem (P) ekuivalen terhadap solusi master problem (MP) berikut:
dimana Q(x) adalah fungsi rekursif yang terdefinisi subproblem (SPx) sebagai berikut:
Q(x) =min{qy, W y =h−T x, y∈Y}
Algoritma L-Shaped menempatkan fungsi rekursif Q(x) dalam master pro-blem (MP) melalui deskripsi parsial yang selanjutnya digunaan sebagai proses al-goritma. Deskripsi fungsi rekursif ini diperoleh dari aplikasi dualitas linier. Oleh karena itu, fungsi rekursifQ(x) juga dipresentasikan sebagaimaxi∈I{πi(h−T x) + ρia
2}, dimana{(πi, ρi)i∈I}merupakan koleksi solusi dualitas ekstrim. Amati
bah-wa representasi dari fungsi rekursif ini adalah tergantung pada pemotongan linier. Aproksimasi dari fungsi rekursif ini berkomplemen dalam algoritma dekomposisi melalui aproksimasi daerah layak tahap pertama, yaitu koleksi solusi tahap per-tama yang disajikan pada subproblem (SPx) adalah feasibel. Daerah layak dapat direpresentasikan sebagai {x/0 ≥ bπj(h−T x) +
b
ρja2}
j∈J, dimana {(bπj,ρbj)j∈J} merupakan koleksi solusi dual ekstrim yang hasilnya berasal dari minimisasi keti-daklayakan (SPx)
Algoritma dekomposisi memecahkan masing-masing iterasi sebagai Relaxed Master Problem (RMP) sebagai berikut:
min(cx+θ),
0≥θj +bπjT(xj0−x), j ∈J,
θ ≥θi +πbiT(xi0−x), i∈I, x∈X.
Masing-masing iterasi dari metode ini dimulai dengan solusi (RMP) dan so-lusi tahap awal x0. Solusi ini kemudian digunakan untuk mengevaluasi fungsi
rekursif dengan menyelesaikan (SPx0). Deskripsi fungsi rekursif pada (RMP) dibangun dengan pemotongan optimalitas i pada kelayakan subproblem. Di samping itu, daerah layah (RMP) berkendala pada pemotongan kelayakanj. Al-goritma L-Shaped ini akan berhenti ketika selisih relatif lebih kecil dari pada nilai toleransi yang diberikan.
Gambar 2.1 Algoritma metode L-Shaped
