vii ABSTRAK
Catharina Mara Apriani. 2016. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.
ANALISIS REPRESENTASI MATEMATIS SISWA SMP DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Penelitian ini bertujuan untuk (1) mengetahui macam-macam representasi matematis siswa yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika kontekstual dan (2) mengetahui faktor-faktor mempengaruhi siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif kualitatif. Subjek penelitian adalah 4 siswa SMP kelas VIII semester genap tahun ajaran 2015/2016. Subyek penelitian berasal dari Kabupaten Bantul dan 3 dari 4 subyek penelitian bersekolah di luar Kabupaten Bantul. Pengambilan data dengan cara memberikan soal tes tentang masalah matematika kontekstual kemudian mewancarai siswa tentang proses pemecahan masalah dan faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan. Bentuk data dalam penelitian adalah data hasil tes dan wawancara.
Berdasarkan penelitian ini macam-macam representasi matematis yang digunakan siswa dalam memecahkan masalah adalah representasi visual, aritmatika, aljabar, dan teks tertulis. Dalam memecahkan masalah matematika bisa menggunakan lebih dari satu representasi. Adapun faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan, yaitu: memudahkan siswa membuat simbol, memudahkan siswa menemukan penyelesaian, mempermudah siswa merepresentasikan gambaran yang dibayangkan, siswa terbiasa mengerjakan soal matematika dengan langsung mengoperasikan bilangan yang diketahui, bentuk soal, mempermudah menemukan penyelesaian lainnya, dan siswa kesulitan membuat kalimat matematika (persamaan).
viii ABSTRACT
Catharina Mara Apriani. 2016. Mathematics Education, Department of Mathematics and Natural Sciences. Faculty of Teacher Training and Education. University of Sanata Dharma.
ANALYSIS MATHEMATICAL REPRESENTATION OF THE JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS IN MATH PROBLEM SOLVING
CONTEXTUAL
This study aims to (1) know the kinds of mathematical representation of students used to solve the problem of contextual and (2) Determine the factors in determining the students' mathematical representation that is used to resolve the contextual problems.
The method used in this research is descriptive qualitative. The subjects were four junior high school students of class VIII second semester of the 2015/2016 academic year. The research subjects are from Bantul and 3 of the 4 subjects of research study outside Bantul. Collecting data by providing test questions about mathematical problems contextual then interviewed the students about the process of solving the problem and the factors in determining the students' mathematical representation used. Data in the form of research is data test results and interviews.
Based on this research a variety of mathematical representations used by students in solving the problem is the visual representation, arithmetic, algebra, and written text. In solving a mathematical problem can use more than one representation. The factors of students in determining the mathematical representation used, namely: lets students create symbols, easy for students to find a solution, facilitate students represent picture imaginable, students terbisa do math to directly operate the numbers are known, form matter, makes it easy to find other settlement and Students trouble making sentences math (equations).
DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
CATHARINA MARA APRIANI NIM. 121414033
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
CATHARINA MARA APRIANI NIM. 121414033
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tuhan tak selalu mengabulkan yang kita minta tapi
pasti memberi yang kita perlukan...
Siapapun yang belum pernah melakukan kesalahan
tidak pernah mencoba sesuatu yang baru.
~Albert Einstein~
Skripsi ini kupersembahkan untuk
Orangtua, kakak, dan seluruh keluarga
Para sahabat, teman P.mat’12, dan
teman-teman kost Gratia.
vii ABSTRAK
Catharina Mara Apriani. 2016. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.
ANALISIS REPRESENTASI MATEMATIS SISWA SMP DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Penelitian ini bertujuan untuk (1) mengetahui macam-macam representasi matematis siswa yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika kontekstual dan (2) mengetahui faktor-faktor mempengaruhi siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif kualitatif. Subjek penelitian adalah 4 siswa SMP kelas VIII semester genap tahun ajaran 2015/2016. Subyek penelitian berasal dari Kabupaten Bantul dan 3 dari 4 subyek penelitian bersekolah di luar Kabupaten Bantul. Pengambilan data dengan cara memberikan soal tes tentang masalah matematika kontekstual kemudian mewancarai siswa tentang proses pemecahan masalah dan faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan. Bentuk data dalam penelitian adalah data hasil tes dan wawancara.
Berdasarkan penelitian ini macam-macam representasi matematis yang digunakan siswa dalam memecahkan masalah adalah representasi visual, aritmatika, aljabar, dan teks tertulis. Dalam memecahkan masalah matematika bisa menggunakan lebih dari satu representasi. Adapun faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan, yaitu: memudahkan siswa membuat simbol, memudahkan siswa menemukan penyelesaian, mempermudah siswa merepresentasikan gambaran yang dibayangkan, siswa terbiasa mengerjakan soal matematika dengan langsung mengoperasikan bilangan yang diketahui, bentuk soal, mempermudah menemukan penyelesaian lainnya, dan siswa kesulitan membuat kalimat matematika (persamaan).
viii ABSTRACT
Catharina Mara Apriani. 2016. Mathematics Education, Department of Mathematics and Natural Sciences. Faculty of Teacher Training and Education. University of Sanata Dharma.
ANALYSIS MATHEMATICAL REPRESENTATION OF THE JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS IN MATH PROBLEM SOLVING
CONTEXTUAL
This study aims to (1) know the kinds of mathematical representation of students used to solve the problem of contextual and (2) Determine the factors in determining the students' mathematical representation that is used to resolve the contextual problems.
The method used in this research is descriptive qualitative. The subjects were four junior high school students of class VIII second semester of the 2015/2016 academic year. The research subjects are from Bantul and 3 of the 4 subjects of research study outside Bantul. Collecting data by providing test questions about mathematical problems contextual then interviewed the students about the process of solving the problem and the factors in determining the students' mathematical representation used. Data in the form of research is data test results and interviews.
Based on this research a variety of mathematical representations used by students in solving the problem is the visual representation, arithmetic, algebra, and written text. In solving a mathematical problem can use more than one representation. The factors of students in determining the mathematical representation used, namely: lets students create symbols, easy for students to find a solution, facilitate students represent picture imaginable, students terbisa do math to directly operate the numbers are known, form matter, makes it easy to find other settlement and Students trouble making sentences math (equations).
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, kasih, dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada program studi pendidikan matematika.
Selama pembuatan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu, mendukung, dan membimbing penulis. Oleh karena itu, penulis hendak mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
3. Prof. Dr. St. Suwarsono, selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan dan dukungan.
4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S. Pd., selaku dosen pembimbing yang telah bersedia menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk memberikan bimbingan kepada penulis. Terima kasih atas segala kesabaran, motivasi, saran, dan kritik selama penyusunan skripsi.
5. Segenap dosen dan karyawan JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing, membantu, dan memberikan ilmunya selama belajar di Universitas Sanata Dharma.
x
7. Ibu Lucia Jurami, Almarhum Bapak Marjono, Mara Meikenanto, Natalia Anggi Kasalatu, Mara Dwi, Lek Muji, Lek Ji, Lek Mus, Budhe Suyut, Anis, serta si imut Natanael Satya Arkananta selaku keluarga penulis yang telah memberikan doa, semangat, dukungan, dan kasih sayang. 8. Sahabat sejak SMA Coni, Wulan, Danu, Iput yang selau memberi
semangat, hiburan serta bantuan selama penyusunan skripsi ini.
9. Para sahabatYaya, Ceha, Galuh, Heni, Venta, Siska, Adi, Aprik, Nadus, Rini, Helen, Dewi yang selalu saling menyemangati, menghibur serta membantu selama penyusunan skripsi ini.
10. Teman-teman Kost Gratia: Bu Panji dan Panji, Reny, Iput, Lina, Christin, Helen, Ester, Evi, Alma, Restu, Astrid, Tina, Ita, Novi, Bertha, Lutfi, Dewi yang telah memberikan semangat dan hiburan selama penyusunan skripsi ini.
11. Teman-teman Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma angkatan 2012, yang telah memberikan dukungan dan semangat.
12. Semua pihak yang telah membantu penyusunan skripsi ini sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan di masa yang akan datang. Penulis juga berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kemajuan dan perkembangan pendidikan
Yogyakarta, 11 Agustus 2016
xi DAFTAR ISI
Contents
HALAMAN SAMPUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ... Error! Bookmark not defined.vi ABSTRAK ... vii
ABSTRACT... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI... xi
DAFTAR TABEL... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR DIAGRAM... xvi
DAFTAR LAMPIRAN ... xvii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Identifikasi Masalah ... 3
C. Rumusan Masalah ... 3
D. Batasan Masalah... 4
F. Batasan Istilah ... 4
H. SistematikaPenelitian ... 5
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
A. Masalah Kontekstual ... 7
B. Berpikir ... 7
C. Tahap Operasi Formal... 8
D. Pemecahan Masalah ... 13
E. Komunikasi Matematis ... 14
F. Representasi Matematis ... 15
G. Penalaran ... 17
H. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ... 18
I. Bangun Datar (Persegi dan Persegi Panjang)... 23
J. Bangun Ruang Sisi Datar (Balok dan Kubus)... 24
K. Peluang... 26
L. Kerangka Berpikir... 26
BAB III METODE PENELITIAN... 28
A. Jenis Penelitian... 28
B. Tempat dan Waktu Penelitian ... 28
C. Subjek Penelitian... 29
D. Objek Penelitian ... 29
E. Bentuk Data... 29
F. Metode Pengumpulan Data ... 29
H. Teknis Analisis Data ... 34
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 37
A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian... 37
B. Profil Subyek Penelitian... 37
C. Reduksi data ... 38
D. Kategorisasi data ... 56
E. Sintesis data... 59
F. Analisis data wawancara ... 59
G. Pembahasan... 70
H. Kelemahan Penelitian... 77
BAB V PENUTUP... 79
A. Kesimpulan ... 79
B. Saran... 80
xiv
DAFTAR TABEL
Contents
Tabel 2.1. Indikator Kemampuan Representasi Matematis ... 17
Tabel 3.1 Kisi-kisi Instrumen Tes ... 31
Tabel 3.2 Instrumen Tes... 32
Tabel 4.1 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 1... 39
Tabel 4.2 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 2... 43
Tabel 4.3 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 3... 48
Tabel 4.4 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 4... 52
Tabel 4.5 Kategorisasi Data ... 56
Tabel 4.6 Perbandingan Teori dengan Hasil Pekerjaan Siswa... 70
Tabel 4.7 Pembahasan Analisis Faktor Representasi Visual ... 72
Tabel 4.8 Pembahasan Analisis Faktor Representasi Aljabar... 72
Tabel 4.9 Pembahasan Analisis Faktor Representasi Visual dan Aritmatika ... 73
Tabel 4.10 Pembahasan Analisis Faktor Representasi Aritmatika ... 74
Tabel 4.11 Pembahasan Analisis Faktor Teks Tertulis dan Aritmatika... 75
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik Penyelesaian...20
Gambar 2.2. Persegi Panjang ...23
Gambar 2.3. Persegi ...24
Gambar 2.4. Balok ...25
xvi
DAFTAR DIAGRAM
Contents
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
A. Soal Tes...84
B. Kunci Jawaban Soal Tes...85
C. Lembar Jawaban Siswa...92
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Berdasarkan pengalaman peneliti selama PPL (Program Pengalaman Lapangan) dan memberi les privat, ketika siswa mengerjakan soal matematika siswa cenderung berpedoman dengan langkah-langkah yang diajarkan guru. Selain itu siswa juga hanya menghafal bentuk soal dan langkah-langkah penyelesaiannya. Kecenderungan ini mengakibatkan siswa kurang mengembangkan kemampuan matematikanya. Sehingga ketika siswa dihadapkan pada masalah matematika kontekstual, siswa belum tentu bisa menggunakan ilmu matematikanya untuk memecahkannya sendiri.Pada pemecahan masalah matematika memerlukan representasi matematis sebagai sarana mengkomunikasikan ide pemecahan mereka. Menurut Hudiono (2010),keterbatasan pengetahuan guru dan kebiasaan belajar siswa di kelas dengan cara konvensional belum memungkinkan untuk menumbuhkan atau mengembangkan daya representasi siswa secara optimal.
dan ketrampilan yang perlu dimiliki siswa tercakup dalam standar prosesyaitu: kemampuan pemecahan masalah, penalaran, komunikasi, koneksi, dan representasi.Hal ini menunjukkan bahwa representasi merupakan salah satu kemampuan yang harus dimiliki dan dikembangkan oleh siswa.
Representasi yang muncul dari siswa merupakan ungkapan-ungkapan dari gagasan atau ide-ide matematika yang disampaikan siswa dalam upayanya untuk mencari suatu solusi dari masalah yang sedang dihadapinya(NCTM, 2000:206). Pemikiran gagasan atau ide-ide yang berbeda-beda dari setiap siswa akan memunculkan bermacam-macam representasi, apalagi jika siswa diberikan kebebasan dalam mengungkapkan ide-idenya.Pastinya ada berbagai alasan siswa untuk menentukan representasi yang akan digunakan. Dari ide tersebut yang diungkapkan dalam representasi matematis, dapat diketahui kemampuan pemahaman matematika siswa. Selain itu, dari berbagai macam representasi maatematis yang digunakan siswa dapat diketahui juga bagaimana siswa menggunakan pengetahuan matematikanya untuk menghadapi permasalahan matematika.
ide-idedalam berbagai cara. Keberhasilan merekamemecahkan masalah-tingkat yang lebih tinggi dalam semuabidang matematikatergantungpada kemampuan mereka untukmahirmengekspresikan diridalam format yang berbeda, dan juga dalam bersusah payah menghadapi beberaparepresentasiyang berbedadarimasalah yang sama (Santulli, 2009).
Berdasarkan latar belakang tersebut peneliti tertarik untuk melakukan analisis terhadap macam-macam representasi matematis siswa dalam memecahkan masalah matematika kontekstual. Selain itu, peneliti juga ingin mengetahui faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi siswa dalam menentukan representasi yang digunakan.
B. Identifikasi Masalah
Identifikasi masalah dari latar belakang yang dijelaskan diatas, sebagai berikut.
1. Ketika siswa mengerjakan soal matematika siswa cenderung berpedoman dengan langkah-langkah yang diajarkan guru.
2. Representasi merupakan salah satu kemampuan yang harus dimiliki dan dikembangkan oleh siswa supaya siswa dapat mengembangkan kemampuan matematikanya serta dapat mengkomunikasikan ide pemecahan masalah kepada orang lain.
C. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari latar belakang penelitian ini sebagai berikut:
2. Apa saja faktor-faktor yang mempengaruhi siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontekstual?
D. Batasan Masalah
Batasan masalah penelitian ini adalah macam-macam representasi matematis siswa faktor-faktornya dalam memecahkan masalah kontekstual.
E. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini sebagai berikut.
1. Mengetahui macam-macam representasi matematis siswayang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
2. Mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi siswa dalam menentukan representasi matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
F. Batasan Istilah
1. Representasi Matematis
Representasi matematis siswa adalah penyajian ide matematis yang ditampilkan siswa untuk menemukan solusi dari masalah yang dihadapinya.
Pemecahan masalah adalah mencari solusi terhadap suatu masalah dengan menggunakankemampuan, pemahaman, dan pengetahuanyang diperoleh sebelumnya.
3. Masalah Matematika Kontekstual
Masalah matematika kontekstual merupakan situasi atau keadaan yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari yang dihadapkan pada siswa yang harus diselesaikan dan memerlukan ilmu matematika yang pernah dipelajari sebelumnya untuk menyelesaikannya.
G. Manfaat Penelitian
Penelitian bermanfaat untuk menambah pengetahuan dan wawasan bagi peneiliti dan guru tentang macam-macam representasi matematis siswa dalam memecahkan masalah kontekstual serta faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi matematis siswa. Dari hasil penelitian ini diharapkan peneliti dan guru dapat lebih berinovasi dalam melaksanakan pembelajaran untuk dapat lebih mengembangkan kemampuan representasi matematis siswa. Dengan siswa mengetahui dan mempelajari macam-macam representasi matematis diharapkan siswa dapat mengkomunikasikan ide pemikirannya dengan lebih baik.
H. SistematikaPenelitian
Skripsi ini terdiri dari 5 bab yang yang masing-masing bab akan membahas :
masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, batasan istilah, dan manfaat penelitian.
BAB II Landasan teori :Bab ini akan membahas teori apa saja yang melandasi penelitan, yaitu: Masalah kontekstual, berpikir, tahap operasi formal, pemecahan masalah, komunikasi matematis, representasi matematis, penalaran, SPLDV, bangun datar (persegi dan persegi panjang), bangun ruang (balok dan kubus), dan peluang.
BAB IIIMetodologi Penelitian :Bab ini akan membahas tentang jenis penelitian, subyek penelitian, obyek penelitian, bentuk data, metode dan instrument pengumpulan data, teknis analisis yang digunakan dalam penelitian.
BAB IV Analisis Data dan Pembahasan : Bab ini akan menjelaskan tentang analisis data hasil penelitian dan pembahasannya.
7 BAB II
LANDASAN TEORI
A. Masalah Kontekstual
Menurut Krulik dan Rudnick (1996:3), masalah adalah situasi atau keadaan yang dihadapkan kepada individu atau kelompok individu, yang membutuhkan pemecahan, di mana individu belum melihat atau belum mengerti secara jelas untuk memperoleh solusi. Dalam KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia), masalah adalah sesuatu yang harus diselesaikan.
Dari beberapa pendapat ahli tersebut, masalah matematika kontekstual merupakan situasi atau keadaan yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari yang dihadapkan pada individu atau lebih yang harus diselesaikan dan memerlukan ilmu matematika untuk menyelesaikannya.
B. Berpikir
Berpikir adalah konsep yang kabur untuk dapat disimpulkan. Berpikir merupakan proses di mana persepsi-persepsi indra muncul dan dimanipulasi. Berpikir memungkinkan kita untuk mampu meniru lingkungan sekeliling kita dan merepresentasikannya sesuai rencana-rencana dan keinginan-keinginan kita (Ling dan Catling, 2012:181).
Berpikir juga dapat dikatakan sebagai proses yang memerantarai stimulus dan respons.
Menurut Kartini Kartono (dalam Khodijah, 2014:104), ada enam pola berpikir, yaitu:
1. Berpikir konkret, yaitu berpikir dalam dimensi ruang-waktu-tempat tertentu;
2. Berpikir abstrak, yaitu berpikir dalam ketidakberhinggaan, sebab bisa dibesarkan atau disempurnakan keluasaannya;
3. Berpikir klasifikatoris, yaitu berpikir mengenai klasifikasi atau pengaturan menurut kelas-kelas tingkat tertentu;
4. Berpikir analogis, yaitu berpikir untuk mencari hubungan antar peristiwa atas dasar kemiripannya;
5. Berpikir ilmiah, yaitu berpikir dalam hubungan yang luas, dengan pengertian yang lebih kompleks disertai pembuktian-pembuktian; dan
6. Berpikir pendek, yaitu lawan berpikir ilmiah yang terjadi secara lebih cepat, lebih dangkal, dan sering kali tidak logis.
C. Tahap Operasi Formal
proposisi-proposisi dan hipotesis, dan dapat mengambil kesimpulan lepas apa yang dapat diamati saat itu.
Sifat pokok pada tahap operasi formal adalah pemikiran deduktif hipotesis, induktif saintifik, dan abstraksi reflektif. Perkembangan pemikiran pada tahap ini sudah sama dengan pemikiran orang dewasa secara kualitatif. Perbedaan dengan pemikiran orang dewasa hanya terletak pada kuantitas, yaitu banyaknya skema pada orang dewasa (Suparno, 2001:89).
1. Pemikiran Deduktif Hipotesis
Pemikiran deduktif adalah pemikiran yang menarik kesimpulan yang spesifik dari sesuatu yang umum. Kesimpulan benar hanya bila premis-premis yang dipakai dalam pengambilan keputusan benar (Wadsworth dalam Suparno, 2001:89). Alasan deduktif hipotesis adalah alasan/argumentasi yang berkaitan dengan kesimpulan yang ditarik dari premis-premis yang masih hipotesis (Brainerd dalam Suparno, 2001:89). Jadi, seseorang dapat mengambil kesimpulan dari suatu proposisi yang diasumsikan, tidak perlu berdasarkan kenyataan yang real.
remaja, bukan kenyataan remaja yang sesungguhnya. Dengan kata lain, dalam pemikiran remaja, Piaget dapat mendeteksi adanya pemikiran logis itu, meskipun para remaja sendiri pada kenyataannya tidak tahu atau belum menyadari bahwa cara berpikir mereka itu logis. Dengan kata lain, model logis itu lebih merupakan hasil kesimpulan Piaget dalam menafsirkn ungkapan remaja terlepas dari apakah para remaja sendiri tahu atau tidak.
a. Sistem Kombinatoris
Kombinasi ini sangat penting dalam perluasan dan pemajuan pemikiran remaja. Remaja yang dapat berpikir kombinatoris, akan dapat mengkombinaskan objek dengan objek, faktor dengan faktor, ide dengan ide, dan teori dengan teori. Di sini, realitas tidak dibatasi oleh segi konkret, tetapi dalam pengertian kombinasi yang mungkin. Kemampuan ini menguatkan seseorang untuk makin berpikir deduktif.
b. Kombinasi Objek-objek dan Proposisi
Sesudah umur 12 tahun, seseorang sudah dapat mengkombinasikan objek berdasarkan prinsip kombinasi tanpa dibatasi dengan kenyataan objek itu. Ia juga sudah dapat membuat permutasi dengan memperhatikan semua kemungkinan yang dapat terjadi.
Meskipun remaja pada umur 12 sampai 15 tahun belum dapat menentukan hukum-hukum logika yang relevan maupun menuliskan formula semua kombinasi gagasan dan proposisi, ia sudah dapat mengkombinasikan beberapa gagasan dan hipotesis dalam pernyataan afirmatif atau negatif yang sederhana. Misalya, ia dapat mengerti dengan baik bentuk bentuk logika: jika…maka, baik
2. Pemikiran Induktif Saintifik
Pemikiran induktif adalah pengambilan kesimpulan yang lebih umum berdasarkan kejadian-kejadian yang khusus. Pemikiran ini berkebalikan khusus dari yang umum. Pemikiran ini banyak digunakan oleh para ilmuwan dan sering disebut dengan metode ilmiah. Pada tahap pemikiran ini, anak sudah mulai dapat membuat hipotesis, menentukan ekperimen, menentukan variabel kontrol, mencatat hasil, dan menarik kesimpulan. Pada tahap pemikiran ini, seorang remaja sudah dapat memikirkan sejumlah variabel yang berbeda pada waktu yang sama. Termasuk dalam pemikiran ini adalah pengertian akan kombinasi (Wadsworth dalam Suparno, 2001:92).
3. Pemikiran Abstraksi Reflektif
Menurut Piaget, pemikiran analogi dapat juga diklasifikasikan sebagai abstraksi reflektif seperti ini karena pemikiran itu tidak dapat disimpulkan dari pengalaman. Misalnya, hubungan harimau dengan bulu, seperti manusia dengan rambut.
D. Pemecahan Masalah
Menurut Krulik dan Rudnick (1996:3), pemecahan masalah adalah sarana seorang individu yangmenggunakanpengetahuanyang diperoleh sebelumnya, kemampuan, dan pemahamanuntuk menyelesaikan masalah. Menurut Santrock (2007:368), pemecahan masalah adalah mencari cara yang tepat untuk mencapai suatu tujuan. Pemecahan masalah oleh Evans (dalam Suharnan, 2005: 289) didefinisikan sebagai suatu aktivitas yang berhubungan dengan pemilihan jalan keluar atau cara yang cocok bagi tindakan dan pengubahan kondisi sekarang (present state) menuju kepada situasi yang diharapkan (future state atau desired goal).
Menurut Ling dan Catling (2012:176), sebelum mencoba menyelesaikan masalah, perlu diciptakan representasi dari masalah tersebut ini biasanya disebut sebagai “representasi internal”. Hal ini biasa
dalam bentuk gambar, simbol, atau diagram. Setelah representasi internal diciptakan, ada sejumlah strategi untuk benar-benar menyelesaikan masalah.
menggunakankemampuan, pemahaman, dan pengetahuanyang diperoleh sebelumnya,
E. Komunikasi Matematis
NCTM (1989 : 214) menyatakan bahwa kemampuan komunikasi siswa dalam pembelajaran matematika dapat dilihat dari (1) Kemampuan mengekspresikan ide-ide matematika melalui lisan, tertulis, dan mendomonstrasikannya serta menggambarkannya secara visual; (2) Kemampuan memahami, menginterpretasikan, dan mengevaluasi ide-ide matematika baik secara lisan, tulisan, maupun dalam bentuk visual lainnya; (3) Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika dan struktur-strukturnya, untuk menyajikan ide-ide, menggambarkan hubungan-hubungan dan model-model situasi.
Komunikasi merupakan suatu tantangan bagi siswa di kelas untuk mampu berpikir dan bernalar tentang matematika yang merupakan sarana pokok dalam mengekspresikan hasil pemikiran siswa baik secara lisan maupun tertulis (NCTM, 2000:268). Selanjutnya menurut Sumarmo (dalam Elida, 2012) komunikasi matematik meliputi kemampuan siswa :
1. Menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam ide matematika;
2. Menjelaskan ide, situasi dan relasi matematik, secara lisan dan tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan aljabar;
4. Mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika; 5. Membaca dengan pemahaman suatu presentasi matematika tertulis; 6. Membuat konjengtur, menyusun argumen, merumuskan definisi dan
generalisasi;
7. Menjelaskan dan membuat pertanyaan tentang matematika yang dipelajari.
F. Representasi Matematis
Representasi adalah model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi. Sebagai contoh, suatu masalah dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-kata, atau simbol matematika (Jones dan Knuth dalam Sabirin, 2014). Menurut NCTM (2000:280), representasimerupakan sumber belajar matematika.Siswadapatmengembangkan danmemperdalam pemahaman mereka tentangkonsep-konsep matematika, membandingkan,dan menggunakan berbagairepresentasi. Representasisepertibenda-benda fisik, gambar, tabel, grafik, dan simbol-simboljugamembantu siswaberkomunikasipemikiran mereka.
Lesh, Post dan Behr (dalam Hwang, et. al., 2007) membagi representasi yang digunakan dalam pendidikan matematika dalam lima jenis, meliputi representasi objek dunia nyata, representasi konkret, representasi simbol aritmatika, representasi bahasa lisan atau verbal dan representasi gambar atau grafik. Di antara ke lima representasi tersebut, tiga yang terakhir lebih abstrak dan merupakan tingkat representasi yang lebih tinggi dalam memecahkan masalah matematika.
Beberapa cara dapat digunakan seseorang untuk merepresentasikan suatu masalah, misalnya simbol, metrik, grafik, atau gambar (Suharnan: 295).Representasi dapat digolongkan menjadi (1) representasi visual (gambar, diagram grafik, atau tabel), (2) representasi simbolik (pernyataan matematik/notasi matematik, numerik/simbol aljabar) dan (3) representasi verbal (teks tertulis/kata-kata). Penggunaan semua jenis representasi tersebut dapat dibuat secara lengkap dan terpadu dalam pengujian suatu masalah yang sama atau dengan kata lain representasi matematik dapat dibuat secara beragam (multiple representasi)(Kartini, 2009).
Tabel 2.1. Indikator Kemampuan Representasi Matematis
No. Representasi Bentuk-Bentuk Operasional 1. Representasi Visual
a. Diagram tabel, atau grafik
1) Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik, atau tabel
2) Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah b. Gambar 1) Membuat gambar pola-pola
geometri
2) Membuat gambar untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya 2. Persamaan atau ekspresi
matematis
1) Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan
2) Membuat konjektur dari suatu pola bilangan
3) Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis 3. Kata-kata atau teks tertulis 1) Membuat situasi masalah
berdasarkan data atau representasi yang diberikan
2) Menuliskan interpretasi dari suatu representasi
3) Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan kata-kata
4) Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan
5) Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis
Dari beberapa pendapat ahli dapat disimpulkan bahwa representasi matematis siswa adalah penyajian ide matematis yang ditampilkan siswa untuk menemukan solusi dari masalah yang dihadapinya.
G. Penalaran
tertentu. Suatu penarikan kesimpulan dianggap sahih (valid) kalau proses penarikan kesimpulan tersebut dilakukan menurut cara tertentu tersebut. Cara penarikan kesimpulan ini disebut logika, di mana logika secara luas dapat didefinisikan sebagai “pengkajian untuk berpikir secara sahih”
(Suriasumantri, 1985: 46).
Penalaran ialah suatu proses kognitif dalam menilai hubungan di antara premis-premis yang akhirnya menuju pada penarikan kesimpulan tertentu (Suharnan, 2005:161).Penalaran dapat dikelompokkan menjadi dua bagian besar: penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran yang menghasilkan kesimpulan lebih luas daripada premis-premisnya disebut penalaran induktif. Penalaran yang menghasilkan kesimpulan yang tidak lebih luas daripada premis-premisnya disebut penalaran deduktif.
H. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan dua variabel atau SPLDV merupakan hubungan antara dua persamaan linear dua variabel (PLDV). Penyelesaiaan SPLDV dapat dilakuakan dengan tiga metode. Berikut merupakan penjelasan tentang pengertian SPLDV dan penyelesaiaanya.
1. Pengertian sistem persamaan dua variabel (SPLDV).
sistem tersebut dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) (Marsigit, 2009:78).
Bentuk umum SPLDV adalah + =
+ =
dengan , , , , , merupakan bilangan real. 2. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Terdapat tiga metode untuk mencari himpunan penyelesaian suatu SPLDV. Ketiga metode tersebut adalah metode grafik, metode substitusi, dan metode eliminasi.
a. Metode grafik
Metode ini menggunakan grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. 1) Menggambar seluruh grafik PLDV yang terdapat pada
SPLDV tersebut pada koordinat cartesius yang sama. 2) Menentukan titik potong grafik-grafik PLDV tersebut 3) Titik potong tersebut merupakan penyelesaian SPLDV
yang dicari.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
+ = 5dan − = 1, untuk , ∈ dengan menggunakan metode grafik.
Penyelesaian: + = 5
0 5
5 0
( , ) (0,5) (5,0)
− = 1
0 1
-1 0
( , ) (0,5) (5,0)
Berdasarkan hasil di atas, grafik dapat digambarkan sebagai berikut.
Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan + = 5dan − = 1, untuk , ∈ adalah {(3, 2)}.
b. Metode substitusi
Metode substitusi menggunakan prinsip-prinsip aljabar dan tidak memerlukan gambar. Substitusi berarti penggantian. Maknanya, salah satu variabel diganti dengan variabel yang lain untuk mendapatkan PLSV.
Misalnya, diberikan SPLDV berikut. + =
+ =
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut.
1) Perhatikan persamaan + = . Jika ≠ 0 , maka nyatakanlah dalam . Diperoleh = − .
2) Substitusikan y pada persamaan kedua,
diperoleh PLSV yang berbentuk + − = . 3) PLSV tersebut diselesaikan untuk mendapatkan nilai .
c. Metode eliminasi
Eliminasi berarti penghapusan. Dengan demikian, cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi adalah penghapusan salah satu variabel dari PLDV tersebut.
Misalnya, diberikan SPLDV berikut. + =
+ =
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
1) Melakukan eliminasi variabel . + =
+ = ×× ⇒⇒ ++ ==
( − ) = − ⇒ = −− 2) Melakukan eliminasi varibael .
+ = + = ××
⇒ + =
⇒ + =
( − ) = − ⇒ = −−
I. Bangun Datar (Persegi dan Persegi Panjang) 1. PersegiPanjang
Persegi panjang adalah bangun datar yang mempunyai empat rusuk. Rusuk-rusuknya yang saling berhadapan sama panjang. Persegi panjang mempunyai empat titik sudut dan masing-masing sudutnya adalah siku-siku.Persegi panjang mempunyai 2 pasang rusuk yang sama panjang, rusuk yang lebih panjang sebut panjang, dan yang lebih pendek disebut lebar (Marsigit, 2009: 220).
Beberapa sifat yang dimiliki oleh persegi panjang anatar lain sebagai berikut.
a) Sisi yang berhadapan pada suatu persegi panjang sama panjang dan sejajar.
b) Sudut-sudut pada persegi panjang merupakan sudut siku-siku.
c) Diagonal-diagonal pada persegi panjang sama panjang. d) Diagonal-diagonal pada persegi panjang saling membagi dua
sama panjang.
Keliling persegi panjang adalah = 2( + ) Luas (L) persegi panjang tersebut adalah = × 2. Persegi
Persegi adalah suatu bangun datar yang ke empat sisinya sama panjang (Marsigit, 2009: 222). Sifat-sifat persegi sebagai berikut.
a) Semua sisi persegi sama panjang
b) Diagonal-diagonal persegi membagi sudut-sudut persegi menjadi dua sama besar, dan
c) Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan tegak lurus membentuk sudut siku-siku.
Gambar 2.3. Persegi Keliling persegi adalah = 4
Luas (L) persegi tersebut adalah = =
J. Bangun Ruang Sisi Datar (Balok dan Kubus)
1. Balok
Gambar 2.4. Balok
Balok pada gambar 2.3 berukuran = , =
, = .Rumus volume (V) balok tersebut, yaitu
= × × = .
Oleh karena × merupakan luas alas, maka volume balok dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
Volume balok = luas alas×tinggi 2. Kubus
Gambar 2.5. Kubus
Kubus merupakan balok khusu, yaitu balok yang mempunyai ukuran panjang, lebar, dan tinggi yang sama. Kubus pada gambar 2.4
berukuran = , = , = .Rumus volume
K. Peluang
Peluang dapat didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa(Tampomas, 2006:141). Beberapa istilah yang sering digunakan, seperti:
1. Ruang sampelmerupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.
2. Titik sampel merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel 3. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan rumus:
L. Kerangka Berpikir
28
METODE PENELITIAN
Bab ini memuat jenis penelitian, subjek dan objek penelitian, bentuk data dan metode pengumpulan data, instrumen pengumpulan data,dan prosedur pelaksanaan penelitian. Berikut adalah keterangannya.
A. Jenis Penelitian
Jenis penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif karena menjelaskan tentang macam-macam representasi matematis siswa serta fakror-faktor siswa dalam menentukan representasi untuk memecahkan masalah matematika kontekstual.Sukardi (2008:157) mengungkapkan bahwa penelitian deskriptif menggambarkan secara sistematis fakta dan karakteristisk objek atau subjek yang diteliti secara tepat. Penelitian kualitatif' adalah penelitian tentang riset yang bersifat deskriptifdan cenderung menggunakan analisis. Bodgan dan Taylor (dalam Basrowi dan Suwandi, 2008:21) mendefinisikan metodologi kualitatif sebagai prosedur penelitian yang menghasilkan data deskriptif berupa kata-kata tertulis atau lisan dari orang-orang dan perilaku yang dapat diamati.
B. Tempat dan Waktu Penelitian
29
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Mei 2016.
C. Subjek Penelitian
Subjek penelitian adalah 4 siswa SMP kelas VIII semester genap tahun ajaran 2015/2016. Subyek penelitian berasal dari Kabupaten Bantul tetapi 3 dari 4 subyek penelitian bersekolah di luar Kabupaten Bantul.
D. Objek Penelitian
Objek penelitian ini adalah representasi matematis siswa dalam memecahkan masalah kontekstual.
E. Bentuk Data
Bentuk data dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Hasil Tes Siswa
Hasil tes siswa berupa jawaban yang diberikan siswa pada soal-soal tentang masalah kontekstual. Dari hasil tes siswa ini akan diketahui macam-macam representasi matematis yang digunakan siswa.
2. Hasil Wawancara
Dari hasil wawancara ini akan diketahui cara berpikir siswa serta faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi yang digunkan dalam memecahkan masalah matematika.
F. Metode Pengumpulan Data
30
Menurut Suharsimi (2012: 46) tes adalah serentetan atau latihan serta alat lain yang digunakan untuk mengukur keterampilan, pengetahuan intelegensi, kemampuan atau bakat yang dimilki oleh individu atau kelompok. Pemberian soal ini bertujuan untuk mengetahui macam-macam representasi matematis yang digunakan siswa untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Soal tes berbentuk soal uraian supaya siswa dapat bebas mengungkapkan ide pemecahan masalah. Soal tes memungkinkan ada lebih dari satu cara.
2. Wawancara
Wawancara ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana siswa menentukan representasi yang digunakan dan faktor-faktornya dalam menyelesaikan masalah matematika. Jenis wawancara yang digunakan adalah wawancara tak terstruktur. Menurut Sugiyono (2014:191), wawancara tak terstruktur adalah wawancara yang bebas dimana peneliti tidak menggunakan pedoman wawancara yang telah tersusun secara sistematis dan lengkap untuk pengumpulan datanya. Pedoman wawancara yang digunakan hanya garis berupa garis-garis besar permasalahan yang akan ditanyakan.
G. Instrumen Pengumpulan Data
31
dalam penelitian ini adalah soal tes tentang masalah kontekstual dan wawancara. Soal tes memungkinkan dapat dipecahkan dengan lebih satu cara.
1. Tes
Kisi-kisi intrumen penelitian tes dalam penelitian ini adalah: Tabel 3.1 Kisi-kisi Instrumen Tes
No. Representasi Bentuk-Bentuk Operasional Nomor Soal 1. Representasi Visual 1) Menggunakan representasi
visual untuk menyelesaikan masalah
2) Membuat gambar untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi
penyelesaiannya
1,2, 3
2. Persamaan atau ekspresi matematis
1) Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan
2) Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis
1, 3
3. Kata-kata atau teks tertulis
1) Membuat situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan 2) Menuliskan interpretasi
dari suatu representasi 3) Menuliskan
langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan kata-kata
4) Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis
32
Tabel 3.2 Instrumen Tes
No. Soal
1 Di bawah ini adalah 3 tower yang memiliki tinggi berbeda dan tersusun dari dua bentuk yaitu bentuk segi enam dan persegi panjang.
Berapakah tinggi tower ketiga? (Soal PISA 2012)
2. Budi ingin membuat sebuah akuarium baru yang volumenya delapan kali dari akuarium lamanya. Akuarium lama Budi memiliki panjang rusuk 0,3 m. Berapa ukuran akuarium baru yang dapat dibuat Budi? 3. Rita memiliki sebuah foto berbentuk persegi panjang berukuran 10 x
16 cm. Rita ingin membuat bingkai untuk foto tersebut dari potongan kertas berwarna berbentuk persegi. Rita membuat dua bingkai foto dengan ukuran potongan kertas yang berbeda. Bingkai pertama dengan ukuran potongan kertas 1 cm x 1 cm dan bingkai kedua dengan ukuran 2 cm x 2 cm.
a. Berapa banyak potongan kertas yang akan dibutuhkan untuk bingkai pertama?
b. Berapa banyak potongan kertas yang akan dibutuhkan untuk bingkai kedua?
c. Apakah dapat dibuat persamaan untuk menentukan banyaknya potongan kertas dari berbagai ukuran? Jelaskan!
33
isi. Validitas isi berkenaan dengan kesanggupan alat penelitian dalam mengungkapkan isi suatu konsep atau variabel yang hendak diukur. Uji validitas dilakukan dengan pengkajian butir-butir soal tes oleh validator yang telah ahli dalam bidang matematika yaitu dosen pembimbing.
2. Pertanyaan Wawancara
Peneliti melakukan wawancara untuk mengetahui proses berpikir siswa dan faktor-faktor siswa dalam menentukan representasi yang digunakan untuk menyelesaikan masalah. Pertanyaan yang diajukan oleh peneliti dapat berkembang sesuai dengan jawaban dari siswa.
a) Apakah siswa memahami persoalan yang diberikan peneliti?
b) Apakah yang siswa pikirkan setelah membaca soal?
c) Apakah siswa memiliki kesulitan dalam menyelesaikan dalam menyelesaikan soal yang diberikan? Kesulitannya apa saja? (Kalau ada)
d) Apakah siswa pernah menghadapi soal seperti ini sebelumnya?
e) Bagaiman proses siswa dalam mengerjakan soal?
34
masalah tersebut dalam kehidupannya?
h) Apakah siswa pernah menggunakan materi matematika untuk menyelesaikan masalah sehari-hari?
i) Apakah siswa terbiasa menggunakan cara lain selain cara yang diajarkan guru?
H. Teknis Analisis Data 1. Analisis Data
Analisis data kualitatif adalah upaya yang dilakukan dengan jalan bekerja dengan data, mengorganisasikan data, emilah-milahnya menjadi satuan yang dapat dikelola, mensintesiskannya, mencari dan menemukan pola, menemukan apa yang penting dan apa yang dipelajari, dan memutuskan apa yang dapat diceritakan kepada orang lain (Bogdan dan Biklen dalam Moleong, 2009: 248). Proses analisis datanya mencakup: reduksi data, kategorisasi data, sintesisasi, dan diakhiri dengan menyusun hipotesis kerja (Moleong, 2009:288).
a. Reduksi data
35
Kategorisasi adalah upaya memilah-milah setiap satuan ke dalam bagian-bagian yang memiliki kesamaan. Setiap kategori diberi nama yang disebut “label”.
c. Sintesisasi
Mensintesiskan berarti mencari kaitan antara satu kategori dengan kategori lainnya. Kaitan satu kategori dengan kategori lainnya diberi nama/label lagi.
Untuk mengetahui macam-macam representasi matematis siswa menggunakan data hasil pekerjaan siswa dengan ketiga teknis analisis data di atas, sedangkan untuk mengetahui faktor-faktor siswa dalam memilih representasi yang digunakan akan menggunakan data hasil wawancara siswa. Dari hasil wawancara siswa ini akan direduksi bagian mana saja yang menunjukkan faktor-faktor siswa dalam memilih representasi yang digunakan kemudian dianalisis dan dibandingkan dengan dugaan kemungkinan representasi matematis yang akan muncul dari peneliti.
2. Triangulasi
36
37
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian
Sesuai dengan metode pengumpulan data yang direncanakan, siswa diberi soal tes tentang masalah matematika kontekstual. Setelah siswa selesai mengerjakan peneliti mewawancarai siswa tentang bagaimana siswa memecahkan masalah dan representasi yang digunakan. Pengambilan data dilakukan pada 1, 10, 12 Mei 2016 di rumah subyek penelitian. Siswa merupakan anak SMP kelas VIII terdiri dari 3 sekolah. Pada pukul 10.30-11.30 WIB tanggal 1 Mei 2016 mengambil data dari RNW dari SMP 2 Bantul. Pada pukul 16.00-18.00 WIB tanggal 10 Mei 2016 mengambil data dari YA dan SA dari SMP Pangudi Luhur 1 Yogyakarta.Pada pukul 16.00-17.30 WIB tanggal 12 Mei 2016 mengambil data dari SLA dari SMP 6 Yogyakarta.
B. Profil Subyek Penelitian
Subjek penelitian adalah 4 siswa SMP kelas VIII semester genap tahun ajaran 2015/2016. Subyek penelitian berasal dari Kabupaten Bantul tetapi 3 dari 4 subyek penelitian bersekolah di luar Kabupaten Bantul. Subyek penelitian terdiri dari dua laki-laki dan dua perempuan. Dua dari empat subyek penelitian mengikuti les privat dengan alasan tersendiri.
1. RNW (S1)
YA sebagai S2 merupakan siswa kelas 8 di SMP 1 Pangudi Luhur Yogyakarta. S2 mendapatkan nilai 93 di rapor semester II tahun ajaran 2015/2016. S2 tidak mengikuti les privat maupun kelompok.
3. SA (S3)
SA sebagai S3 merupakan siswa kelas 8 di SMP 1 Pangudi Luhur Yogyakarta. S3 mendapatkan nilai 87 di rapor semester II tahun ajaran. 2015/2016. S3 mengikuti les privat rutin setiap minggu. S1 mengikuti les privat karenauntuk membantu dalam belajar materi yang belum dimengerti.
4. SLA (S4)
SLA sebagai S4 merupakan siswa kelas 8 di SMP 6 Yogyakarta. S4 mendapatkan nilai 85 di rapor semester I tahun ajaran 2015/2016. S34 mengikuti les privat rutin setiap minggu. S1 mengikuti les privat karenanilai matematika pada ujian tengah semester 1 pernah mendapat nilai 55.
Keempat subyek penelitian memiliki kesamaan yaitu memiliki nilai matematika di rapor lebih dari rata-rata sehingga dapat dikatakan keempat subyek penelitian termasuk siswa yang pintar.
C. Reduksi data
a) Soal nomor 1
Tabel 4.1 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 1
Siswa Pekerjaan Deskripsi Data Deskripsi wawancara
S1 Siswa menggunakan
gambar untuk menyimbolkan kerangka tower. Siswa merepresentasikan tinggi persegi panjang dengan gambar persegi panjang dan tinggi segienam dengan gambar segienam. Siswa menggambar persegi panjang ditambah segienam sama dengan tujuh. Kemudian siswa menemukan tinggi persegi panjang sama dengan dua dan tinggi segienam samadengan lima. Sehingga tinggi tower yang terdiri dari dua persegi panjang dan satu segienam sama dengan sembilan. Namun, proses menemukan tinggi persegi panjang dan segienam, siswa tidak
Ketika wawancara, siswa mampu menjelaskan proses berpikirnya. Persegi panjang dan segienam dianggap satu pasangan. Sehingga tower I terdiri dari 3 pasang. Tinggi tower I dibagi tiga, didapatkan tinggi satu pasang 7 m. Tinggi persegi panjang dicari dari selisih tinggi tower I dan II. Tinggi segienam didapat dari tinggi satu pasang dikurangi 2. Siswa lebih senang menggunakan logika dan cara langsung daripada memisalkan dengan variabel. Menurut siswa, jika menggunakan gambar akan lebih terlihat nyata. Diakhir wawancara, peneliti juga menanyakan jika soal
menuliskannya. diubah menjadi soal cerita, apakah siswa akan menyelesaikan dengan SPLDV. Siswa menjawab akan mengerjakan dengan nalar terlebih dahulu. Tetapi jika di sekolah, siswa akan mengerjakan dengan SPLDV.
S2 Siswa menuliskan tower I
sama dengan 21 cm dibagi 3 sama dengan 7 cm. Tujuh sentimeter terdiri dari segienam dan persegi panjang. Namun, siswa masih kurang teliti dalam penulisannya. Siswa salah menulis, seharusnya pada tower I, siswa menulis tinggi tower I dibagi 3. Begitu juga pada kata dalam kurung. Siswa seharusnya tinggi segienam ditambah tinggi persegi panjang . Untuk mencari tinggi persegi panjang, siswa mencari selisih antara tinggi tower I dan tower II. Kemudian siswa
Siswa lebih senang berpikir dengan nalar daripada dengan cara SPLDV karena ketika UN nanti lebih mudah menggunakan nalar. Siswa menganggap tinggi persegi panjang dan segienam adalah satu pasang sehingga tower I terdiri dari 3 pasang kemudian siswa 21 m menjadi 3. Hasilnya akan ketemu tinggi persegi panjang dan segienam, yaitu 7 m. Ketika dikonfirmasi satuan tinggi tower, siswa baru menyadari kesalahannya. Seharusnya satuan tinggi
menemukan tinggi tower III dengan menjumlahkan tinggi persegi panjang dan tinggi persegi panjang+segienam. Sehingga ditemukan tinggi tower III adalah sembilan. Siswa kurang teliti dalam memberikan satuan. Seharusnya meter tetapi siswa menulis dengan sentimeter.
Kemudian siswa menjelaskan proses berikutnya. Tinggi persegi panjang dicari dari selisih tower I dan II, yaitu 2 m. Karena tower III terdiri dari satu pasang dan satu persegi panjang maka tinggi tower III adalah 9 m. Diakhir wawancara, peneliti juga menanyakan jika soal diubah menjadi soal cerita, apakah siswa akan menyelesaikan dengan SPLDV. Siswa menjawab akan mengerjakan dengan SPLDV karena sudah terbiasa.
S3 Siswa menuliskan
informasi yang tidak tepat. Seharusnya siswa menuliskan tinggi tower I tetapi siswa hanya menyingkat menjadi I. Siswa juga tidak tepat dalam membuat kalimat matematika. Namun, hasil akhirnya benar.
Siswa lebih senang menggunakan nalar daripada SPLDV karena SPLDV caranya panjang. Ketika wawancara, siswa dapat menjelaskan proses pekerjaannya tetapi bingung penulisannya. Maksud dari baris ketiga, tower II terdiri dari dua pasang dan satu
tinggi satu pasang dan 5 merupakan tinggi segienam. Diakhir wawancara, peneliti juga menanyakan jika soal diubah menjadi soal cerita, apakah siswa akan menyelesaikan dengan SPLDV. Siswa menjawab akan mengerjakan dengan SPLDV karena sudah terbiasa.
S4 Siswa menyelesaikan
masalah dengan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Siswa memisalkan segienam dengan x dan persegi panjang dengan y (siswa kurang teliti dalam membuat pemisalan seharusnya siswa memisalkan tinggi persegi panjang dan tinggi segienam). Selanjutnya siswa membuat persamaan tower I dan tower II. Kemudian mencari nilai x dan y dengan metode eliminasi dan substitusi.
Siswa menggunakan SPLDV karena siswa merasa kesulitan jika dinalar dan lebih mudah menggunkan SPLDV. Jika menggunakan nalar siswa kesulitan untuk menuliskan proses penalarannya.
b) Soal nomor 2
Tabel 4.2 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 2
Sis-wa
Pekerjaan Deskripsi Data Deskripsi wawancara
S1 Siswa mencari volume
akuarium lama kemudian dikali 8 untuk mencari volume akuarium baru. Dari volume akuarium baru tersebut diakar pangkat tiga untuk mencari panjang rusuk akuarium baru. Siswa hanya menemukan satu penyelesaian saja, yaitu panjang rusuk akurium yang baru 60 cm sehingga bentuk akuarium yang baru adalah kubus.
Siswa dapat memahami soal tetapi hanya menemukan satu penyelesaian saja. Ketika siswa dipancing untuk menemukan
penyelesaian lain, siswa tetap tak bisa dengan alasan tidak diketahui tinggi, lebar, dan panjang. Siswa juga diperkenankan untuk menggambar tetapi siswa tetap tidak bisa dengan alasan tidak biasa dan tidak bisa menggambar. Siswa lebih senang menggunakan kalimat matematika.
S2 Siswa menuliskan dengan langkah-langkah yang cukup jelas. Siswa menulis diketahui, ditanya, dan jawab. Namun, siswa tidak menuliskan cara ditemukan s baru dan Ketika siswa ditanya apakah bisa berbentuk balok, siswa menjawab bisa jika diketahui tinggi, lebar, dan panjang. Siswa juga diberi kesempatan mencari ukuran balok. Siswa hanya
mengawang, karena bingung
menuliskannya. Siswa mampu menemukan 2 ukuran akuarium yang baru. Yang pertama
didapatkan dari 0,3 kemudian dikali 0,3 sehingg ketemu 0,6 dan 1,2.
S3 Siswa hanya
mengerjakan hingga menemukan volume akuarium baru. Siswa mencari volume akuarium lama kemudian dikalikan delapan untuk menemukan volume akuarium baru. Pada awalnya siswa salah menuliskan satuan akuarium baru. Siswa juga beranggapan bentuk akuarium baru hanya berbentuk kubus. Siswa diberi kesempatan untuk mencari penyelesaiaan lainnya dengan cara apapun. Tetapi siswa hanya mengawang
saja. Siswa juga diberi kesempatan untuk menggambar tetapi siswa hanya
belum disusun. Setelah diberi beberapa pertanyaan pancingan, siswa mendapatkan bayangan bentuk akuarium baru adalah balok dengan menyusun kubus. Tetapi tidak tahu cara menemukan
ukurannya.
S4 Siswa menuliskan
langkah-langkah dengan jelas tetapi siswa kurang teliti dalam penulisan. Siswa mengubah satuan meter menjadi sentimeter.
Selanjutnya mencari volume akurium lama kemudian volume akurium lama dikali delapan tetapi menuliskan
samadengan dibawah volume akurium baru sehingga menjadi akuarium yang baru merupakan kubus. Menurut siswa, bentuk akuarium baru tidak ada kemungkinan bentuk lainnya karena ukurannya cuma satu. Peneliti memberikan
akuarium baru adalah 60 cm. Berarti siswa hanya menemukan satu penyelesaian.
menggambar bentuk akuairum baru dengan menyusun 8 kubus sehingga siswa dapat menemukan ukuran akuarium baru, yaitu 0,3 x 0,6 x 1,2.
c) Soal nomor 3
Tabel 4.3 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 3
Sis-wa
Pekerjaan Deskripsi Data Deskripsi wawancara
S1 Siswa tidak
memahami soal. Siswa membagi luas foto dengan luas potongan kertas untuk mencari banyaknya potongan kertas.
S2 a. Siswa
menjumlahkan panjang sisi-sisi foto kemudian ditambah 4. b. Siswa membagi
dua panjang sisi-siswa tidak merasa menggunakan konsep keliling dan tidak terpatok rumus. Menurutnya,
menggunakan nalar lebih cepat daripada menggunakan rumus dan jika digambar akan tidak sesuai karena tidak memakai ukuran yang pasti. Ketika dikonfirmasi kalimatnya ke dalam kalimat matematika. situ siswa menyadari kesalahannya.
Seharunya keliling
sisi potongan kertas. b. Siswa membagi
dua panjang sisi-sisi foto kemudian ditambah 4. awalnya siswa ingin menghitung luas tetapi tidak mungkin sehingga siswa mencoba untuk menggambar. Dari situ siswa berpikir untuk menggunakan konsep keliling. Pada bagian c, siswa kesulitan menuliskan ke kalimat matematika, siswa harus dituntun untuk membuat persamaan matematikanya.
S4 Pada bagian a dan b, siswa tidak tepat dalam menggunakan simbol matematika. Seharusnya siswa menggunakan simbol
“sama dengan” bukan simbol “maka”. Siswa
menghitung keliling foto ditambah empat kemudian dibagi dengan panjang sisi potongan kertas. Sedangkan bagian c, siswa kurang jelas dalam memberi
Seharusnya 4 tidak dibagi dengan panjang sisi potongan kertas. Ditambah 4 ketika keliling foto sudah dibagi panjang sisi potongan kertas. Sedangkan pada bagian c, siswa hanya asal menjawab. Siswa tidak memahami bagian c. Kemudian peneliti memberikan pertanyaan pancingan agar siswa dapat membuat
persamaannya dengan melihat pola pada baian a dan b. Siswa kesulitan menemukan pola dan harus
menemukan persamaannya.
d) Soal nomor 4
Tabel 4.4 Analisis Pekerjaan Siswa Soal Nomor 4
Sis-wa
Pekerjaan Deskripsi data Deskripsi wawancara
S1 Siwa langsung
menuliskan
jawabannya tanpa langkah dan alasan.
Siswa belum diajarkan peluang. Siswa memahami peluang sebagai kemungkinan. Siswa lupa alasan mengapa memilih kantong pertama yang memiliki peluang terbesar terambilnya kelereng biru.
S2 Siswa mencari peluang dengan
membandingkan jumlah kelereng biru dan merah. Kemudian siswa menuliskan alasan memilih kantong kedua. Siswa memilih kantong kedua karena kelereng merahnya paling yang paling besar, yaitu 1:3 karena menurutnya peluang adalah kesempatan dan yang ditanyakan adalah peluang terbesar. Siswa merasa menjelaskan dengan kalimat biasa lebih mudah daripada dengan kalimat matematika.
S3 Siswa mencari peluang dengan
membandingkan jumlah kelereng biru dan merah. Kemudian siswa menuliskan alasan memilih kantong kedua. Siswa memilih kantong kedua karena kelereng merahnya paling kelereng biru yang ditanyakan dan memudahkan siswa untuk mengira-ngira. Siswa memilih pecahan yang paling besar karena yang ditanyakan peluang yang paling besar. Siswa merasa menjelaskan dengan kalimat biasa lebih mudah daripada dengan kalimat matematika.
S4 Siswa langsung menjawab kantong pertama dan ketiga yang memiliki peluang paling besar terambilya kelereng biru karena jumlah kelereng biru paling banyak.
Ketika dikonfirmasi hasil pekerjaannya, siswa menyadari kesalahannya.
Kemudian peneliti memberikan
kesemptan untuk mengerjakan ulang. Siswa menggunakan perbandingan dan siswa menentukan kantong kedua yang memiliki peluang paling besar. Memilih kantong kedua karena selisih jumlah kelereng merah dan biru paling sedikit.
D. Kategorisasi data
Kategorisasi adalah upaya memilah-milah setiap satuan ke dalam bagian-bagian yang memiliki kesamaan. Setelah data pekerjaan siswa dan wawancara dideskripsikan, peneliti mengkontraskan dan membandingkan setiap data sehingga topik-topik data dapat disajikan dalam tabel. Topik-topik data dikontraskan dan dibandingkan sehingga menghasilkan kategori-kategori data.
Tabel 4.5 Kategorisasi Data
Topik data Bagian data Representasi
yang digunakan
dengan variabel
Menggunakan teks tertulis untuk menjelaskan ide atau gagasannya
P.S1.3c P.S2.3c P.S3.3c P.S4.3c P.S3.4 P.S4.4
Teks tertulis
Keterangan:
W.S1.n-m : transkrip wawancara S1 dari transkrip nomor n sampai m W.S2.n-m : transkrip wawancara S2 dari transkrip nomor n sampai m Dst.
P.S1.n : deskripsi hasil pekerjaan S1 nomor n P.S2.n : deskripsi hasil pekerjaan S2 nomor n Dst.
E. Sintesis data
Mensintesiskan berarti mencari kaitan antara satu kategori dengan kategori lainnya.Sintesis data dapat disajikan dengan diagram sebagai berikut.
Diagram 2. Sintesisasi Data
Kategori satu dengan kategori lainnya memiliki keterkaitan. Keterkaitan ini tentang penyelesaikan masalah kontekstual yang bisa menggunakan lebih dari satu representasi (multiple representasi), misal representasi visual dan aritmatika, aritmatika dan tertulis. Representasi pertama bisa direpresentasikan dengan representasi yang lainnya supaya lebih mudah dan jelas penyelesainnya.
F. Analisis data wawancara
1. Representasi visual
Peneliti menduga pada soal nomor 2 dan 3 akan ada siswa yang menggunakan representasi visual. Ternyata tidak ada siswa yang menggunakan representasi visual. Siswa beranggapan dengan menggambar justru membingungkan. Bukti
P : “Gak nyoba digambar gitu?” S2 : “Enggak nanti malah bingung”
Penyelesaian soal nomor 2 bisa lebih dari satu. Namun, semua siswa hanya bisa menemukan satu penyelesaian. Bentuk akuarium baru tidak hanya berbentuk kubus saja tetapi bisa berbentuk balok. Siswa mulai menemukan penyelesaian lainnya ketika dipancing pertanyaan oleh peneliti. Siswa diberikan kesempatan untuk mengerjakan ulang dengan representasi lain.
P : “Dicoba gambar juga boleh”
S3 : “Ehhh... biasanya sih kalau bingung banget aku gamba”r P : “Lah sekarang bingung banget gak”
S3 : “Tadikan gak kepikiran digambar soalnya yang ditanyakan ukuran jadi langusng itung aja”
P : “Coba sekarang gambar kubus 8 dengan susunan yang berbeda” S3 : (siswa menggambar)
P : “Terus 8 kubus itu digimanakan? Biar bentuk akuarium baru” S3 : “Hmmm.... digabungin”
P : “Gabungin gimana biar bentuk akuarium baru? Bentuknya jadi apa?Terus ukurannya berapa aja?”
S3 : “Oh jadi balok”
S3 : “Ukurannya kalau jadi balok, belum tahu sih.... kalau jadi balok bisa sih, hasilnya ini dibagi bagi biar jadip, l, t”
S3 menggambar kubus sebanyak delapan tetapi belum membentuk akuarium baru. Dari gambar tersebut dia mulai menemukan penyelesaian lain selain bentuk kubus. Sedangkan S4 mampu menggambarkan bentuk akuarium baru yang terdiri dari 8 kubus yang berukuran 0,3 m sehingga dia lebih mudah mendapatkan ukuran akuarium yang baru.
P : “Ini kan akuarium barunya ada 8 kali akuarium lama. Bentuk akuarium lamanya kubus. Berarti ada 8 kubus kan? Dari 8 kubus itu bisa disusun bentuk kubus atau bentuk lain gak? Bisa digambar dibawahnya”
S4 : “Bisa”
P : “Jadi bentuknya balok ya? Terus ukurannya berapa aja?” S4 :“0,30,61,2”
Dari hasil wawancara menunjukkan bahwa dengan sketsa gambar siswa dapat memecahkan masalah.
Gambar 4.1. Hasil Pekerjaan S1
Namun, S1 tidak menuliskan proses penyelesaian bagaimana menemukan tinggi persegi panjang dan segienam.
P : “Tadi kamu bilang gak suka dimisalkanx, y, gitu kan? Nah, tapi di pengerjaanmu ini ada persamaan pakai gambar, apa kamu lebih suka menyimbolkan pakai gambar?”
S1 : “Enggak juga, pake gambar karna kepikirannya gitu, enggak kepikiran pake x, ygitu”
P : “Kok bisa kepikiran pake gambar?”
S1 : “Ya biar lebih jelas aja, persegi panjang yang mana, segienam yang mana. Jadi gak harus nulis keterangan x apa, yapa”
Hal ini menunjukkan bahwa siswa menggunakan gambar sebagai simbol supaya terlihat lebih nyata daripada menggunakan variabel.
2. Aritmatika
Peneliti menduga pada soal nomor 1, ada siswa yang menggunakan bentuk aritmatika. S2 dan S3 menyelesaikan dengan melakukan perhitungan tanpa variabel tetapi siswa belum bisa menggunakan simbol matematika dengan tepat dan kurang teliti. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.2, S2 menuliskan “tower 1”, segienam, dan persegi panjang
Gambar 4.2. Hasil Pekerjaan S2
Pekerjaan S3 pada awalnya kurang jelas dalam menuliskan proses penyelesaiannya. Pada gambar 4.3, baris ke tiga, tidak jelas bagaimana bisa ditemukan tinggi segienam sama dengan 5.
Gambar 4.3. Hasil Pekerjaan S3
Gambar 4.4. Hasil Pekerjaan S3 Setelah Dibenarkan.
S3 juga kurang teliti dalam menuliskan keterangan satu pasang, segienam, I, II, dan III tanpa kata “tinggi”. Dari hal tersebut, diketahui
siswa belum dapat menuliskan proses pemecahan masalah mereka dengan jelas. Kelemahan siswa dalam memcahkan masalah dengan berpikiran aritmatika adalah siswa tidak dapat merepresentasikan pemikirannya ke dalam kalimat matematika.
Wawancara dengan S1
P : “Kalau ngerjain soalnya biasa digambar gak? Walaupun gak disuruh. Misalkan cuma buat sketsanya doang.”
S1 : “Enggak, gak bisa gambar juga soalnya. Aku lebih seneng pakai kalimat matematikanya.”
Wawancara dengan S2
P : “Gak nyoba digambar gitu?” S2 : “Enggak nanti malah bingung” P : “Loh... digambar kok malah bingung?” S2 : “Iya, gak tahu, nanti jadinya bingung”
Wawancara dengan S3
P : “Dicoba gambar juga boleh”
S3 : “Ehhh... biasanya sih kalau bingung banget aku gambar” P : “Lah sekarang bingung banget gak?”
S3 : “Tadikan gak kepikiran digambar soalnya yang ditanyakan ukuran jadi langusng itung aja”
Wawancara dengan S4
