Pokok Bahasan Matematika SMA KTSP

18. VEKTOR

A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah AB= b – a

2.

Sudut antara dua vektor adalah 

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =





















3

2

1

a

a

a

= a1i + a2j + a3k;

|a| = 2

3 2 2 2

1 a a

a  

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a  b =





















3

2

1

a

a

a























3

2

1

b

b

b

=



























3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

; ka = k





















3

2

1

a

a

a

=





















3

2

1

ka

ka

ka

C. Dot Product

INFORMASI PENDIDIKAN

Apabila diketahui a =





















3

2

1

a

a

a

dan b =





















3

2

1

b

b

b

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos  = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a · a = |a|2 _{= a1a1 + a2a2 + a3a3} 3. |a + b|2 _{= |a|}2 _{+ |b|}2 _{+ 2|a||b| cos } 4. |a – b|2 _{= |a|}2 _{+ |b|}2 _{– 2|a||b| cos }

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D.

Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| =

| a |

b a

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p = a

| a |

b a

2 



SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, – 1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

a. 

b. ₂ c. ₃ d. ₆ e. 0 Jawab : b

2. UN 2011 PAKET 46

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili ABdan v mewakili AC,

maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30

b. 45

c. 60

INFORMASI PENDIDIKAN

d. 90

e. 120 Jawab : b

3. UN 2010 PAKET A

Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …

a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c

4. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan

wakil DH adalah vektor v, maka

sudut antara vektor u dan v adalah …

a. 0

b. 30

c. 45

d. 60

e. 90

Jawab : e

SOAL PENYELESAIAN

5. UN 2011 PAKET 12

Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …

a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b

6. UN 2011 PAKET 46

Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …

a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k

INFORMASI PENDIDIKAN

d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e

7. UN 2010 PAKET A

Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v

adalah …

a. 3i – ₅6 j + 12₅ k b. 3 5i – 6₅ j + 12₅ k c. ₅9 (5i – 2j + 4k) d. ₄₅27 (5i – 2j + 4k) e. ₅₅9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d

8. UN 2010 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor ABpada AC adalah …

a. ₄1 (3i + j – 2k) b. ₁₄3 (3i + j – 2k) c.  ₇1 (3i + j – 2k) d.  ₁₄3 (3i + j – 2k) e.  ₇3(3i + j – 2k) Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN

9. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC

wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …

a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. ₃1 i + ₃2j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a

10. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7

b. –6

c. 5

INFORMASI PENDIDIKAN

d. 6

e. 7

Jawab : e

11. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …

a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a

12. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik

A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k

b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN

13. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : c

14. UN 2006

Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,

b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vector

INFORMASI PENDIDIKAN

a – c = …

a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k Jawab : b

15. UN 2005

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …

a. 10

b. 13

c. 15

d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN

16. UN 2004

Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan

q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a. ₆5 b. ₂3 c. 13₂ d. 43₆ e. 53₆ Jawab : c

17. UN 2004

Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k

INFORMASI PENDIDIKAN

d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e

18. UAN 2003

Diberikan vektor a =





















2

2

2

p

dengan p  Real

dan vektor b =





















2

1

1

. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a. 12₄ 7 b. ₂5 7 c. ₄5 7 d. ₁₄5 7 e. ₇2 7 Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN

19. UAN 2003

Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari

vektor v =























4

3

2

terhadap vektor u =

INFORMASI PENDIDIKAN

























1

2

1

, maka w = …

a.























3

1

1

d.























2

4

2

b.

























2

1

0

e.

























2

4

2

c.





















2

1

0

Jawab : d

20. EBTANAS 2002

Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14. Hasil dari a · b = … a. 4

b. 2 c. 1 d. ₂1 e. 0 Jawab : c

21. EBTANAS 2002

Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = …

INFORMASI PENDIDIKAN

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b 22. EBTANAS 2002

Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

a. – ₃4 (2 1 1) b. –(2 1 1) c. ₃4 (2 1 1) d. ( ₃4 1 1) e. (2 1 1) Jawab : c

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011 Menentukan sudut antara dua vektor.

1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …

a. 30º c. 60º e. 120º b. 45º d. 90º

2. Diketahui vektor a6i 3 j  3k, k

j i

b2 3  dan

k j i

c5 2 3 . Besar sudut antara

vektor a dan bc adalah ....

a. 300 _{c. 60}0 _{e. 150}0 b. 450 _{d. 90}0

3. Diketahui vektor ai 2 j 2k dan j

i

b   . Besar sudut antara vektor a dan b adalah ....

a. 300 _{c. 60}0 _{e. 135}0 b. 450 _{d. 120}0

4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC

wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor

v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …

a. 0 c. 45 e. 90

b. 30_ d. 60_

5. Diketahui a  2, b  9 _, 5

 b

a _{. Besar sudut antara vektor}

a

dan vektor b adalah ….

a. 450 _{c. 120}0 _{e. 150}0 b. 600 _{d. 135}0

6. Diketahui a  6, (

a

–b ).(

a

+b ) =0, dan

a

. (

a

–b ) = 3. Besar sudut antara vektor

a

dan b adalah ….

a. 6



c. 3



e. 3 2

b. 4



d. 2



7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

a.  c. ₃ e. 0

b. ₂ d. ₆

8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili

ABdan v mewakili AC, maka sudut

yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30 c. 60 e. 120

b. 45 d. 90

9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai sin  = ....

a. ₇5 c. 6

125 e. 76 6 b. ₇2 6 d. ₇6

10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut ,

maka tan  = ... .

a. ₃1 5 _c. 14

5

e. ₁₄1 5

b. ₁₄3 14 d. ₅1 14

INFORMASI PENDIDIKAN

11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k

12. Diberikan vektor a =





















2

2

2

p

dengan p 

Real dan vektor b =





















2

1

1

. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a. 12₄ 7 c. 5₄ 7 e. ₇2 7 b. ₂5 7 d. ₁₄5 7

13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …

a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau 6 b. –3 atau 4 d. –6 atau 2

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011 Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

1. Jika w adalah hasil proyeksi

orthogonal dari vektor v =























4

3

2

terhadap vektor u =

























1

2

1

, maka

w = …

INFORMASI PENDIDIKAN

a.























3

1

1

c.





















2

1

0

e.

























2

4

2

b.

























2

1

0

d.























2

4

2

2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada

u = (4 2 2) adalah …

a. –₃4 (2 1 1) c. ₃4 (2 1 1) e. (2 1 1)

b. –(2 1 1) d. ( ₃4 1 1)

3. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k

dan vector

b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b

adalah …

a. i – j + k d. 2i – j + k

b. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6k

c. i – 4j + 4k

4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k

dan vector

b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b

adalah …

a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3k

b. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2k

c. –2i + 2j – 4k

5. Diketahui vektor dan

vektor bi j k_{. Proyeksi}

ortogonal vektor a pada b adalah … a.            1 1 1 3 2 c.            1 1 1 3 1 e.             1 1 1 2 3 b.             1 1 1 3 2 d.             1 1 1 3 1

6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka

proyeksi u pada v adalah …

a. 3i –₅6 j + 12₅ k d. ₄₅27 (5i – 2j + 4k)

b. 3 5i – 6₅ j + 12₅ k e. ₅₅9 (5i – 2j

+ 4k)

c. ₅9 (5i – 2j + 4k)

7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor

u dan BC wakil vektor v, maka

proyeksi orthogonal vektor u pada

v adalah …

a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j – 27k

b. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k

c. 1₃ i + ₃2j + k

8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada

ACadalah …

a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j + 16k

b. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j + 6k

c. –4i + 4j – 2k

9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap

ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – k

b. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – k

c. 2i + 4j – 2k

INFORMASI PENDIDIKAN

10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat

A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor ABpada AC

adalah …

a. ₄1 (3i + j – 2k) d.  ₁₄3 (3i + j – 2k)

b. ₁₄3 (3i + j – 2k) e.  ₇3(3i + j – 2k)

c.  ₇1(3i + j – 2k)

11. Panjang proyeksi vektor

k j i

a2 8 4 pada vektor

k pj

b 4 adalah 8. Maka nilai p adalah ....

a. – 4 c. 3 e. 6

b. – 3 d. 4

12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector

b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7 c. 5 e. 7

b. –6 d. 6

13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q

pada p adalah 2, maka x adalah …

a. ₆5 c. 13₂ e. 53₆

b. ₂3 d. 43₆

INFORMASI PENDIDIKAN