MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
TESIS
Oleh
ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
Judul Tesis : MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
Nama Mahasiswa : Arie Candra Panjaitan Nomor Pokok : 127021020
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si ) (Dr. Marwan Ramli, M.Si )
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 05 Juni 2014
Telah diuji pada
Tanggal : 05 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si 2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dr. Mardiningsih, M.Si
PERNYATAAN
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
T E S I S
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 05 Juni 2014 Penulis,
Arie Candra Panjaitan
i
ABSTRAK
Model yang dipertimbangkan untuk penyebaran penyakit menular pada populasi adalah SIR atau SIRS dengan ekspresi kejadian standar. Diberbagai ukuran popu- lasi digambarkan dengan modifikasi persamaan diferensial yang mencakup istilah untuk kematian terkait penyakit. Model yang memiliki density-dependent per- tumbuhan terbatas dikarena tingkat kelahiran yang menurun dan meningkatnya tingkat kematian sebagai ukuran populasi terhadap daya dukungnya. Ambang batas, kesetimbangan dan stabilitas ditentukan pada sistem persamaan diferen- sial untuk setiap model. Bertahannya penyakit menular dan kematian yang terkait penyakit menular dapat menyebabkan kesetimbangan ukuran populasi baru ter- hadap daya dukung dan bahkan dapat menyebabkan populasi punah.
Kata kunci: Model epidemiologis, Density − dependent, Ambang batas.
ii
ABSTRACT
The model considered for the spread of infectious diseases in populations is the expression of SIR or SIRS standard events. Modifications described in various population size differential equations that include terms to related death. The mo- del has a finite density-dependent growth dikarena declining birth rates and rising death rates as a measure of the population carrying capacity. Threshold, deter- mined on the equilibrium and stability of the system of differential equations for each model. The persistence of infectious diseases and infectious disease-related mortality may lead to a new equilibrium population size of the carrying capacity and can even lead to population extinction.
Keyword: Epidemiological model, Density-dependent, Thresholds.
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan petunjuk yang sangat berharga sehingga tesis ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya.
Tesis ini berjudul ”Model Transmisi Penyakit Dengan Ketergantungan De- mografi” sebuah kajian yang meneliti tentang sejauh mana penyebaran penyakit menular yang terjadi dalam suatu demograrafi sebagai salah satu syarat atau tu- gas akhir yang harus diselesaikan dalam program studi magister matematika pada Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa dari awal hingga selesainya penulisan tesis ini, penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, M.Sc (CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Penge- tahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding yang telah banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Ketua Pem- bimbing 1 dan Pembimbing 2 yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan.
Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembanding yang telah banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
iv
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Mate- matika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap (Sulaiman, Ismail, Welington, Soesanto, Liza, Rini, Wilma, Tiur, Fitra, Juli, Hana, Dila, Romi, Isna, Hari, Suvriadi, Ryandi, Ugi, Sari, dan Weny) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada Ayahanda tercinta Zainal Amri Panjaitan (Alm) dan ibunda Faridah Hanum Sihombing yang mencurahkan kasih sayang dan duku- ngan kepada penulis, terlebih untuk kekasih hatiku Dhia Octariani, S.Pd., M.Si, perempuan dengan segala kerendahan hatinya untuk terus menemani penulis hing- ga penulisan tesis ini selesai. Tak lupa pula kepada adik-adikku Afriandi Panjai- tan dan Guntur Ramadhan Panjaitan yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lain- nya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih.
Medan, 05 Juni 2014 Penulis,
Arie Candra Panjaitan
v
RIWAYAT HIDUP
Arie Candra Panjaitan dilahirkan di Tanjungbalai pada tanggal 29 Septem- ber 1987 yang merupakan anak pertama dari 3 besaudara dari pasangan Bapak Zainal Amri Panjaitan (Alm) & Ibu Farida Hanum Sihombing. Penulis menye- lesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 134413 Tanjungbalai pada tahun 1999, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Tanjungbalai pada tahun 2002, Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) di SMK Negeri 5 Medan pada tahun 2005.
Pada tahun 2005 penulis melanjutkan ke Perguruan Tinggi di Universi- tas Negeri Medan (UNIMED) Jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2010. Tahun 2010 penulis menjadi guru di perguran nasional Brigjend Katamso Medan sampai de- ngan sekarang dan tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
BAB 3 MASALAH EPIDEMI DALAM DEMOGRAFI DAN MODEL TRANS-
MISI PENYAKIT 8
3.1 Pengertian Demografi 8
3.2 Epidemiologi 11
3.2.1 Pengertian epidemiologi 11
3.2.2 Model epidemiologi 12
3.3 Model Transmisi Penyakit 13
3.4 Model SIR (Susceptible - Infected - Recovered) 14 vii
3.5 Model SIRS 17 3.6 Model SIRS dengan Ketergantungan Demografi 18 BAB 4 MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTU-
NGAN DEMOGRAFI 22
4.1 Nilai Ambang Batas dan Empat Kesetimbangan 24
4.2 Perilaku yang Mendekati Model SIRS 25
4.3 Modifikasi Model SIRS Penularan Secara Vertikal 26
BAB 5 KESIMPULAN 28
DAFTAR PUSTAKA 29
viii
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Hasil stabilitas di IRN untuk model (3.2) dengan r > 0 25
ix
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Model SIR 16
3.2 Model SIRS pada populasi tertutup 17
3.3 Model SIRS pada populasi terbuka 18
3.4 Diagram untuk nilai X, Y , dan Z 19
4.1 Diagram model SIRS 22
4.2 Modifikasi model transmisi 26
x
ABSTRAK
Model yang dipertimbangkan untuk penyebaran penyakit menular pada populasi adalah SIR atau SIRS dengan ekspresi kejadian standar. Diberbagai ukuran popu- lasi digambarkan dengan modifikasi persamaan diferensial yang mencakup istilah untuk kematian terkait penyakit. Model yang memiliki density-dependent per- tumbuhan terbatas dikarena tingkat kelahiran yang menurun dan meningkatnya tingkat kematian sebagai ukuran populasi terhadap daya dukungnya. Ambang batas, kesetimbangan dan stabilitas ditentukan pada sistem persamaan diferen- sial untuk setiap model. Bertahannya penyakit menular dan kematian yang terkait penyakit menular dapat menyebabkan kesetimbangan ukuran populasi baru ter- hadap daya dukung dan bahkan dapat menyebabkan populasi punah.
Kata kunci: Model epidemiologis, Density − dependent, Ambang batas.
ii
ABSTRACT
The model considered for the spread of infectious diseases in populations is the expression of SIR or SIRS standard events. Modifications described in various population size differential equations that include terms to related death. The mo- del has a finite density-dependent growth dikarena declining birth rates and rising death rates as a measure of the population carrying capacity. Threshold, deter- mined on the equilibrium and stability of the system of differential equations for each model. The persistence of infectious diseases and infectious disease-related mortality may lead to a new equilibrium population size of the carrying capacity and can even lead to population extinction.
Keyword: Epidemiological model, Density-dependent, Thresholds.
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika ikut memberikan peran penting dalam menggambarkan penyebaran penyakit. Peran tersebut dapat di- tuangkan dalam bentuk model matematika yang dapat di analisis sifat-sifatnya.
Penyakit menular dianggap sebagai penyakit yang serius dan korbannya mencapai 2,5 milyar orang diseluruh dunia, khususnya pada daerah tropis. Rata-rata kema- tian yang terinfeksi penyakit ini berkisar antara 40%. Meskipun hampir semua penyakit menular ini terjadi pada daerah tropis. Penyakit tropis ini merupakan penyakit menular dan apabila tidak segera dilakukan penyembuhan dapat menga- kibatkan kematian bagi penderitanya (Notoatmodjo, 2003). Beberapa penelitian menunjukkan bahwa penyakit menular mungkin saja terjadi di daerah dingin.
Berbagai jenis penyakit menular perkembangannya saat ini semakin banyak.
Salah satu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang semakin tidak sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit yaitu penyakit menular dan penyakit tidak menular. Dalam kelompok penyakit menular ada yang ringan dan ada yang berat, yang ringan misalnya influenza dan diare. Sedangkan yang berat seperti HIV/AIDS, polio, demam berdarah, campak, TBC, malaria, flu burung, SARS dan sederet penyakit lainnya. Menular atau tidaknya suatu penyakit tetap harus diwaspadai dan tidak boleh dianggap remeh sebab ketika seseorang terkena suatu penyakit aktivitas kehidupannya sudah parah dan dapat mengakibatkan kematian.
Perilaku asymptotic solusi dari model penularan penyakit menular tidak hanya bergantung pada perumusan epidemiologi, tetapi juga proses demografi tergabung ke dalam sebuah model. Model epidemiologi sederhana sering me- nganggap bahwa nilai keseluruhan populasi konstan. Untuk epidemi (laju wabah jangka pendek penyakit) populasi sering diasumsikan tetap dan tertutup. Untuk pemodelan situasi endemi (ketekunan jangka panjang penyakit), kelahiran dan kematian terjadi secara seimbang sehingga ukuran total populasi tetap konstan.
1
2
Untuk hasil pada model dengan ukuran populasi tetap, survei pada pemodelan epidemiologi diberikan dalam Hethcote dan Levin (1989). Sebagian besar jumlah kematian yang disebabkan oleh infeksi penyakit mempengaruhi ukuran populasi.
Namun ukuran populasi tumbuh atau menurun secara signifikan karena lain fak- tor. Dalam kasus ini ukuran populasi diasumsikan konstan sehingga model harus menggabungkan fitur demografis yang memungkinkan ukuran populasi bervariasi.
Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi mengasum- sikan konstan imigrasi dan kematian proporsional dengan ukuran populasi se- hingga populasi mendekati ukuran keseimbangan. Model-model lain menganggap lebih alami proses demografi di mana angka kelahiran dan kematian adalah se- banding dengan ukuran populasi. Anderson dan May (1978, 1979) mengusulkan berbagai model untuk penyakit menular dengan berbagai ukuran populasi dan menerapkan beberapa data tentang penyakit di laboratorium populasi tikus. Be- berapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi dianalisis secara matematis oleh Busenberg dan Driessche (1990) dan beberapa model untuk AIDS dengan berbagai ukuran populasi dianalisis.
Kelemahan dari model dengan tingkat kelahiran dan kematian sebanding dengan ukuran populasi adalah ukuran populasi menurun atau tumbuh secara eksponensial kecuali dalam kasus khusus ketika kelahiran sebanding dengan kema- tian. Kepunahan populasi dengan kerusakan eksponensial adalah kemungkinan demografis, juga pertumbuhan eksponensial adalah tak terbatas pada populasi manusia dan hewan sejak sumber daya yang terbatas akhirnya membatasi per- tumbuhan. Model dengan pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepa- datan telah diteliti oleh Anderson, et al., (1981). Tulisan ini akan membahas model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted ).
Struktur demografi dengan populasi pertumbuhan yang terbatas pada keter- gantung kepadatan penduduk (density-dependent) diberikan dengan persamaan:
dN /dt = r(1 − N/K)N (1.1)
dalam jumlah keseluruhan populasi sebagai fungsi dari waktu t, r adalah berni- lai positif untuk tingkat pertumbuhan yang konstan dan k adalah daya dukung terhadap lingkungan (Edelstein, 1988).
3
Model epidemiologi yang digunakan adalah tipe SIRS jika individu rentan terserang terhadap penyakit menular sehingga terinfeksi, kemudian dilakukan pe- mulihan dan memiliki kekebalan setelah sembuh dari infeksi dan kemudian rentan lagi ketika kekebalan tubuh menurun. Maka jumlah individu yang rentan, infek- si dan yang pulih pada rantang waktu t dilambangkan dengan X(t), Y(t) dan Z(t). Semua individu yang berada dimasing-masing kelas, merupakan bagian dari jumlah dari populasi yang dilambangkan N(t).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, yang merupakan perumusan masalah da- lam tulisan ini adalah bagaimanakah model epidemi diformulasikan mengikuti dinamika populasi, dimana pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepa- datan penduduk kepada dua hal yaitu tingkat kelahiran dan tingkat kematian dalam hal ini dianggap angka kelahiran dan kematian bersifat stabil dengan kata lain diasumsikan bahwa kelahiran dan kematian berbanding lurus. Model epidemi yang telah dibahas pada literatur-literatur sebelumnya belum membahas tentang keterbatasan pertumbuhan. Keterbatasan pertumbuhan ini terjadi karena menu- runnya angka kelahiran dan meningkatnya angka kematian karena perpindahan penyakit. Berbagai ukuran populasi dijelaskan oleh modifikasi persamaan dife- rensial yang dipengaruhi oleh penyakit sebagai penyebab kematian. Untuk itu dibutuhkan menganalis penyebaran penyakit dengan ketergantungan demografi.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis model epidemi dengan ketergan- tungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted ), sehingga dapat dike- tahui tingkat keberhasilan model tersebut.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model trans- misi yang berhubungan dengan penyakit menular dalam suatu demografi.
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dan kepustakaan pada berbagai referensi yang relevan. Untuk memperoleh model penyebaran penyakit dengan ketergantungan disuatu demografi:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai model transmisi penyakit antara lain SIR atau SIRS dengan ketergantungan demografi.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan persoalan penyebaran penyakit.
Pertama-tama yang dilakukan adalah mengumpulkan segala informasi yang berkenaan dengan model transmisi penyakit. Dimulai dengan model SIR atau SIRS yang merupakan tipe standar tanda timbulnya penyakit menular hingga bermacam-macam ukuran populasi digambarkan dengan persamaan diferensial logistik yang termasuk sebagai hubungan penyebaran penyakit mematikan.
3. Pemahaman model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi.
Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami model transmisi penyakit de- ngan ketergantungan demografi.
4. Menganalisis model transmisi penyakit pada suatu demografi.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Diekmann dan Heesterbeek (2000) mengatakan demografis dipengaruhi oleh pergantian populasi, misalnya orang tua menghilang dengan kematian dan indivi- du baru akan muncul dengan kelahiran. Proses demografis seperti memiliki skala waktu karakteristik (untuk manusia pada urutan 1-10 tahun). Skala waktu di mana penyakit menular menjangkit melalui populasi dengan relatif singkat, mis- alnya influen hanya dalam minggu. Dalam sebuah kasus seperti itu lebih baik untuk mengabaikan tingkatan demografi dan mempertimbangkan populasi ter- tutup (dimana emigrasi dan imigrasi diabaikan).
Dalam situasi ketergantungan penduduk (dengan kata lain, ketika sebuah model linier berlaku) ukuran total populasi akhirnya akan tumbuh dengan tingkat tertentu, yang secara tradisional dinotasikan dengan r (tetapi perhatikan bahwa sekarang ini mengacu pada tingkat pertumbuhan populasi tempat tinggal untuk agen menular dan bukan saat sebelumnya, untuk sub populasi tempat tinggal untuk agen menular yang terinfeksi). Selain itu, distribusi sehubungan dengan usia akan stabil ke bentuk tetap, distribusi usia stabil dinormalisasi diberikan secara eksplisit dalam kerangka F d(a) dan r pada persamaan berikut (Diekmann dan Heesterbeek, 2000) :
N(a) = Ce−raF d(a) (2.1)
Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit menular pada manusia. Model epidemiologi adalah kerangka kerja formal untuk menyam- paikan ide-ide tentang komponen dari interaksi individu yang membawa penya- kit menular dan menularkan penyaki tersebut dengan individu lain. Dalam pro- ses ini model matematika dapat digunakan untuk memprediksi, memahami dan mengembangkan strategi untuk mengontrol penyebaran penyakit menular dengan membantu memahami perilaku sistem dengan berbagai kondisi (Aguiar, et al., 2008).
5
6
Notoatmodjo (2003) menyatakan penyakit menular dianggap sebagai penya- kit yang serius dan korbannya mencapai 2,5 milyar orang diseluruh dunia, khusus- nya pada daerah tropis. Rata-rata kematian yang terinfeksi penyakit ini berkisar antara 40%. Meskipun hampir semua penyakit menular ini terjadi pada daerah tropis. Penyakit tropis ini merupakan penyakit menular dan apabila tidak segera dilakukan penyembuhan dapat mengakibatkan kematian bagi penderitanya.
Hethcote dan Levin (1969) mengemukakan bahwa untuk pemodelan situ- asi endemi (ketekunan jangka panjang penyakit), kelahiran dan kematian terjadi secara seimbang sehingga ukuran total populasi tetap konstan untuk hasil pada model dengan ukuran populasi tetap.
Anderson dan May (1978, 1979) mengasumsikan bahwa berbagai model un- tuk penyakit menular dengan berbagai ukuran populasi dan menerapkan beberapa data tentang penyakit di laboratorium populasi tikus. Beberapa model epidemi- ologi dengan berbagai ukuran populasi dianalisis secara matematis oleh Busenberg dan Driessche (1990) dan beberapa model untuk AIDS dengan berbagai ukuran populasi dianalisis oleh Hyman dan Stanley (1988).
Anderson dan May (1979), Giesecko (1994), dan Cairns (1995) berpendapat bahwa pada populasi penyebaran penyakit menular mengikuti model dinamik SIRS (Susceptible → Infected → Recovered → Susceptible) dan proses ini telah banyak dilakukan pada manusia dan mamalia.
Model tersebut menggunakan beberapa asumsi yang dapat digunakan seba- gai acuan dalam penelitian ini, adapun asumsinya sebagai berikut:
1. Total populasi N(t) konstan.
2. Perpindahan penyakit terjadi secara langsung, dan akan menghasilkan ke- pekaan S individu per satuan waktu dan kepekaan I individu per satuan waktu.
3. Adanya kepastian proporsi populasi yaitu S dan sisanya I, persatuan waktu.
Proporsi I membuat β I secara potensial merupakan interaksi penularan.
7
4. Tingkat trasnmisi penularan penyakit (β) proporsional terhadap tingkat pertemuan individu yang terkena penyakit dengan penularan yang dimo- delkan oleh perkalian βSI, dimana β adalah koefisien transmisi penularan.
5. Persamaan dideskripsikan mengikuti model deterministik yang memasukkan nilai konstan untuk setiap parameternya. Setiap individu yang sama memili- ki kesempatan yang sama untuk berinteraksi dengan individu yang terinfeksi atau penular.
6. Individu yang sembuh dari infeksi dengan tingkat V , telah memiliki imunitas untuk infeksi selanjutnya pada periode waktu tertentu.
BAB 3
MASALAH EPIDEMI DALAM DEMOGRAFI DAN MODEL TRANSMISI PENYAKIT
3.1 Pengertian Demografi
Kependudukan atau demografi adalah ilmu yang mempelajari dinamika kepen- dudukan manusia. Meliputi di dalamnya ukuran, struktur, dan distribusi pen- duduk, serta bagaimana jumlah penduduk berubah setiap waktu akibat kelahi- ran, kematian, migrasi, serta penuaan. Analisis kependudukan dapat merujuk masyarakat secara keseluruhan atau kelompok tertentu yang didasarkan kriteria seperti pendidikan, kewarganegaraan, agama, atau etnisitas tertentu.
Menurut para ahli pengertian demografi, yaitu :
1. Menurut D.V. Glass, demografi adalah ilmu yang mempelajari penduduk dan pengaruhnya dari proses demografis itu sendiri, yakni : fertilitas, mor- talitas dan migrasi.
2. Menurut Hawthorn, demografi adalah ilmu mengenai interaksi tingkat per- kembangan dari kelahiran, kematian, dan migrasi serta dampak dari pe- rubahan tersebut dan perkembangnnya.
3. Menurut Achille Guillard, demografi adalah ilmu yang mempelajari segala sesuatu mengenai manusia, dari keadaan dan sikap yang dapat diukur.
4. Menurut George W. Barclay, demografi adalah ilmu mengenai gambaran menarik dari penduduk yang digambarkan secara statistika, berupa tingkah laku keseluruhan dan bukan tingkah laku perorangan.
5. Menurut Johan Susczmilch, demografi adalah ilmu yang mempelajari hukum Illahi dalam perubahan-perubahan pada umat manusia yang tampak dari kelahiran, kematian, dan pertumbuhannya.
6. Menurut Donald J. Boague, demografi adalah ilmu yang mempelajari se- cara statistika dan matematika tentang besar, komposisi, dan distribusi
8
9
penduduk serta perubahan-perubahan di dalamnya yang meliputi kelahi- ran, kematian, perkawinan, migrasi, dan mobilitas sosial.
7. Menurut Phillip M. Hauser dan Dudley Duncan, demografi adalah ilmu yang mempelajari mengenai jumlah, persebaran territorial, dan komposisi penduduk serta perubahan dan sebab-sebab perubahan tersebut.
Berdasarkan pengertian demografi menurut para ahli tersebut, dapat dike- tahui bahwa demografi memiliki tujuan-tujuan tertentu. Tujuan-tujuan yang di- maksud adalah sebagai berikut; pertama, mempelajari jumlah dari hasil distribusi suatu daerah. Kedua, mendeskripsikan pertumbuhan dan persebaran pada masa lampau dengan sebaik-baiknya. Ketiga, mengembangkan sebab akibat dari per- kembangan penduduk dan aspek organisasi lain. Keempat, memprediksi pertum- buhan penduduk di masa yang akan datang dari hasil telah yang sudah ada.
Demografi, secara etimology (kebahasaan) berasal bahasa Latin, kata de- mograhie terdiri dari dua kata yaitu demos dan graphien, demos artinya pen- duduk dan graphien berarti catatan, bahasan tentang sesuatu. Secara etimology makna demografi adalah catatan atau bahasan mengenai penduduk suatu daerah pada waktu tertentu.
Secara epistemology (berdasarkan ilmu pengetahuan), pengertian demografi tidak sesederhana seperti dalam perspektif etimology. Kata demorgafi diberi mak- na lebih spesifik tentang penduduk. Demografi adalah ilmu yang mempelajari jumlah, persebaran wilayah, dan komposisi penduduk, perubahan dan sebab pe- rubahan itu yang biasanya timbul karena kelahiran, perpindahan penduduk, dan mobilitas sosial.
Berdasarkan Multilingual Demographic Dictionary, demografi didefenisikan sebagai ilmu yang mempelajari tentang penduduk terutama yang terkait dengan jumlah, struktur, komposisi dan perkembangan (perubahan) penduduk. Defeni- si tersebut menunjukkan demografi sebagai sebuah ilmu yang mempelajari pen- duduk yang berkenaan dengan struktur penduduk dan prosesnya.
10
Struktur penduduk meliputi jumlah, penyebaran, dan komposisi penduduk.
Struktur penduduk di suatu wilayah selalu berubah-ubah dan perubahan terse- but disebabkan oleh karena adanya proses demografi yaitu kelahiran (natalitas = natality), kematian (mortalitas = morality) dan perpindahan penduduk (migrasi
= migration).
Demografis dipengaruhi oleh pergantian populasi, misalnya orang tua meng- hilang dengan kematian dan individu-individu baru muncul dengan kelahiran.
Proses demografis seperti memiliki skala waktu karakteristik (untuk manusia pa- da urutan 1-10 tahun). Skala waktu di mana penyakit menular menjangkit melalui populasi dengan relatif singkat, misalnya influen hanya dalam minggu. Dalam se- buah kasus seperti itu lebih baik untuk mengabaikan tingkatan demografi dan mempertimbangkan populasi tertutup (dimana emigrasi dan imigrasi diabaikan).
Berdasarkan populasi yang tertutup dan dianggap bahwa populasi itu tidak di- pengaruhi dalam arti bahwa populasi itu benar-benar bebas dari penyakit yang disebabkan organisme (Diekmann dan Heesterbeek, 2000).
Dalam konteks penyakit menular antara manusia, usia sering digunakan un- tuk mengkarakteristik individu. Ini mencerminkan sistem pada administrasi kese- hatan masyarakat, sehingga dapat memanfaatkan data tentang distribusi variabel random usia (pertama) dan infeksi berisi informasi tentang kekuatan yang berlaku infeksi dalam situasi endemik (Diekmann dan Heesterbeek, 2000).
Namun ada juga alasan yang lebih ’mekanistik’ untuk menggabungkan struk- tur usia, pola perilaku sosial manusia, dan aktivitas seksual berkorelasi dengan usia. Disamping itu, efek bahwa agen infeksi menjadi tempat terinfeksi yang ju- ga terkadang sangat bergantung pada usia agen yang terinfeksi, atau mungkin tergantung pada aspek lain dari agen yang terinfeksi, seperti kehamilan yang berkorelasi dengan usia.
Usia adalah variabel yang dinamis, tapi hal dinamis itu sangat sederhana
dx
dt = 1 terdefinisi. Dalam hal ini juga akan membahas tentang komponen- komponen endemi yang stabil dan masalah inversi dengan mempertimbangkan Ro dari data tentang rata-rata usia saat terinfeksi, seropositif sebagai fungsi, dan lain-lain. Vaksinasi sebagai salah satu isu utama yang diterapkan usia terstruktur model epidemi.
11
Fungsi Kohort survival F (a), dimana d untuk kematian, a untuk kelahiran yang menggambarkan probabilitas bahwa seorang individu yang sewenang-wenang akan bertahan setidaknya sampai usia a. Kekuatan usia tertentu terhadap kema- tian (a). Probabilitas per kapita per unit waktu sekarat, terkait dengan F d (a) dengan persamaan:
µ(a) = − d
da1nF d(a) = −F0d(a)
F d(a) ⇐⇒ F d(a) = e−R0aµ(α)dα (3.1) Dalam situasi ketergantungan penduduk (dengan kata lain, ketika sebuah mo- del linier berlaku) ukuran total populasi akhirnya akan tumbuh dengan tingkat tertentu, yang secara tradisional dinotasikan dengan r (tetapi perhatikan bahwa sekarang ini mengacu pada tingkat pertumbuhan populasi tempat tinggal untuk agen menular dan bukan saat sebelumnya, untuk sub populasi tempat tinggal un- tuk agen menular yang terinfeksi). Selain itu, distribusi sehubungan dengan usia akan stabil ke bentuk tetap, distribusi usia stabil dinormalisasi diberikan secara eksplisit dalam kerangka F d(a) dan r pada persamaan berikut (Diekmann dan Heesterbeek, 2000):
N(a) = Ce−raF d(a) (3.2)
3.2 Epidemiologi
3.2.1 Pengertian epidemiologi
Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit menular pa- da manusia. Model epidemiologi adalah kerangka kerja formal untuk menyam- paikan ide-ide tentang komponen dari interaksi individu yang membawa penya- kit menular dan menularkan penyaki tersebut dengan individu lain. Dalam pro- ses ini model matematika dapat digunakan untuk memprediksi, memahami dan mengembangkan strategi untuk mengontrol penyebaran penyakit menular dengan membantu memahami perilaku sistem dengan berbagai kondisi (Aguiar, et al., 2008).
12
Dapat juga berasumsi bahwa individu berinteraksi dengan microparasites, pada dasarnya dapat dikatakan bahwa infeksi tunggal memicu proses otonom dalam populasi yang membawa penyakit. Dapat diasumsikan bahwa proses ini pada akhirnya menghasilkan kematian atau kekebalan, sehingga tidak ada indi- vidu yang dapat terinfeksi penyakit dua kali. Penyakit dapat menular ketika dua individu yang membawa penyakit mengalami interaksi atau kontak, dimana arti dari kontak tergantung pada konteks (misalnya nyamuk menggigit manusia pada penyakit malaria, duduk dikursi yang sama pada penyakit influenza). Hal ini mengikuti prosedur berikut:
1. Model proses interaksi atau kontak model the contact 2. Model perpaduan Susceptible and Infectives
3. Menenentukan kemungkinan bahwa interaksi atau kontak antara individu Susceptible dan individu Infectives sebenarnya awal dari proses perpindahan atau penularan penyakit.
Dalam konteks penyakit menular antara manusia, usia sering digunakan untuk mengkarakteristik individu. Hal ini, mencerminkan sistem pada admin- istrasi kesehatan masyarakat, sehingga dapat dimanfaatkan untuk data tentang distribusi variabel random usia (pertama) dan infeksi berisi informasi tentang kekuatan infeksi yang berlaku dalam situasi endemi (Diekmann dan Heesterbeek, 2000).
3.2.2 Model epidemiologi
Model Epidemiologi merupakan salah satu metode untuk mempelajari pola penyebaran penyakit menular. Model SIRS (Susfected, Infected, Recovered and Susfected) adalah bagian dari model epidemiologi, dimana model jenis SIR meng- gunakan media virus dalam menyebarkan penyakit. Contoh penyakit menular jenis SIRS adalah Campak, Demam Berdarah Dengue (DBD), dan Flu Burung.
Model epidemiologi merupakan suatu model yang menggambarkan proses epidemi (wabah) yang berkembang pada suatu kawasan. Model epidemi mem- pelajari cara keterkaitan individu-individu dalam penularan wabah penyakit.
13
Beberapa asumsi yang digunakan adalah pada model epidemi adalah :
1. Populasi dianggap konstan (N), sehingga kelahiran dan kematian serta emi- grasi diabaikan
2. Populasi dianggap homogen, setiap individu mempunyai peluang yang sama terinfeksi penyakit
3. Individu dalam populasi saling berinteraksi antara individu satu dengan individu yang lainnya
4. Setiap individu tidak mendapat perlakuan khusus seperti vaksinasi atau imunisasi
5. Populasi kontinu terhadap waktu.
Epidemi merupakan kejadian atau peristiwa dalam suatu masyarakat atau wilayah dari suatu kasus penyakit tertentu (suatu kasus kejadian yang luar biasa) yang secara nyata melebihi dari jumlah yang diperkirakan. Suatu keadaan dimana suatu masalah kesehatan (umumnya penyakit) yang ditemukan pada suatu dae- rah tertentu dalam waktu yang singkat berada dalam frekuensi yang meningkat.
Beberapa hal yang harus diperhatikan pada model epidemi, yaitu:
1. Seberapa besar kemungkinan individu akan terjangkit wabah ketika dike- tahui di sekitarnya ada atau tidak ada individu yang sudah terjangkit;
2. Seberapa besar kemungkinan individu sembuh dari wabah penyaki jika in- dividu tersebut melakukan proses pemulihan;
3. Seberapa besar kemungkinan individu kebal dari wabah (immun).
3.3 Model Transmisi Penyakit
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu memper- mudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model yang didapat dicari solusinya, baik dengan
14
cara analitis maupun secara numerik. Adapun contohnya yaitu aplikasi untuk mengetahui model penyebaran penyakit menular pada suatu daerah/wilayah ter- tentu, misalnya penyebaran penyakit yang diakibatkan oleh virus. Untuk menge- tahui proses penyebaran penyakit menular, dikenal beberapa model penyebaran penyakit. Model-model tersebut antara lain SIR dan SIRS. Model-model terse- but memiliki karakteristik tersendiri, berdasarkan jenis dan bentuk penyebaran penyakit menular yang diamati.
3.4 Model SIR (Susceptible - Infected - Recovered)
SIR merupakan model epidemi dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit, kondisi ini dinotasikan dengan S (susceptibles), indivi- du yang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi dengan individu yang terinfeksi, dan akhirnya terinfeksi. Individu yang terinfeksi tersebut dinotasikan dengan I (infected). Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu yang terinfeksi mungkin akan sembuh, yang dinotasikan dengan R (recovered), (Gao dan Heth- cote, 1992).
Model SIR digunakan dalam epidemiologi untuk menghitung jumlah dari kerentanan terhadap penyakit (susceptible), terinfeksi (infected), penyembuhan (recovered) seseorang dalam populasi tertentu. Model ini adalah salah satu yang tepat digunakan berdasarkan asumsi berikut:
1. Populasi adalah tetap (fixed).
2. Individu yang rentan terhapa penyakit maka individu tersebut dapat ter- infeksi. Selanjutnya jika individu yang terinfeksi meninggalkan atau keluar dari kondisi Infeksi maka individu tersebut melakukan proses penyembuhan dengan cara pengobatan. Setelah Individu tersebut dikatakan sembuh, maka individu tersebut telah memiliki imunitas atau kekebalan terhadap penyakit.
3. Dalam hal ini usia, jenis kelamin, status sosial, dan ras tidak mempengaruhi kemungkinan individu dapat terinfeksi penyakit.
15
4. Individu tidak memiliki imunitas atau kekebalan tubuh bawaan (inherited immunity).
5. Anggota populasi campuran yang homogen (memiliki interaksi yang sama dengan satu sama lain pada tingkatan yang sama).
Misalkan:
x = Populasi koloni manusia y = Populasi virus
Dengan asumsi sebagai berikut:
dx
dt = [α − g(y)]x (3.3)
dx
dt = βxy − γy (3.4)
Dimana:
1. Laju kelahiran manusia α adalah konstan.
2. Infeksi virus penyebab peningkatan kematian terhadap penyakit, akibat g(Y)>0, dengan g adalah fungsi sembarang.
3. Perkembangbiakan partikel virus tergantung pada kehadiran manusia.
4. Dalam ketiadaan kolonia manusia, partikel virus ”mati” atau tidak mampu bertahan hidup dengan laju γ.
Dalam model ini populasi dibagi kedalam kelas-kelas yang berbeda sesuai dengan tingkat kesehatan anggotanya. Pembagian kelas-kelas tersebut terdiri dari kelas individu yang rentan terserang penyakit dikatakan S, kelas individu yang sudah terinfeksi penyakit I dan kelas individu yang rentan terserang penyakit dan kelas individu mengalami proses pengobatan maka individu ini dikatakan pulih R dari individu yang terjangkit penyakit tidak dalam jangka waktu lama, karena telah pulih dan kebal, sudah diisolasi atau sudah mati. Jika penyakit memberikan sistem kekebalan sementara untuk penderitanya atau penderita yang telah pulih
16
dapat terjangkit kembali, maka individu dapat juga bergerak dari kelas ketiga ke kelas pertama. Jangka waktu epidemi dapat bervariasi dari minggu sampai tahun. Salah satu kasus khusus yang dipelajari telah digambarkan di bawah ini:
Gambar 3.1 Model SIR
Pada gambar 3.1 menjelaskan laju perpindahan antara ketiga kelas dengan parameter β, yaitu laju penularan penyakit dan laju pemulihan v. Diasumsikan bahwa setiap pembagian kelas terdiri dari individu yang sama sehatnya atau sama sakitnya dan tidak ada kelahiran atau kematian dalam populasi (dalam beberapa terminologi, model yang digambarkan pada gambar 3.1 disebutkan model SIR tanpa dinamika yang lebih rumit, karena perpindahan hanya kelas S ke I dan kemudian ke R).
Total populasi N dibagi menjadi kelas yang rentan terserang infeksi (S), yang terinfeksi (I), dan yang pulih (sembuh) dari penyakit (R). Laju penularan penyakit, pemulihan, dan laju hilangnya sistem kekebalan masing-masing β, v dan γ konstan.
Persamaan yang diperoleh Kermack dan Mc Kendrick untuk penyakit yang diilustrasikan dalam gambar 3.1 sebagai berikut:
dS
dt = −βSI (3.5)
dI
dt = βSI − vI (3.6)
dR
dt = vI (3.7)
17
3.5 Model SIRS
Selanjutnya dalam tesis ini akan dijelaskan mengenai model penyebaran penyakit SIRS. Hasil dari penyebaran infeksi untuk model epidemi sederhana SIRS dalam kasus ini akan dijelaskan mengenai model SIRS dengan populasi tertutup dan terbuka .
Gambar 3.2 Model SIRS pada populasi tertutup
Dapat ditunjukkan bahwa total populasi N = S+I+R tidak berubah, per- samaan tersebut tak linier, S, I, dan R adalah fungsi dari waktu t. Misalkan sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga individu yang telah pulih menja- di terserang penyakit kembali pada (gambar 3.2) persamaannya dapat dituliskan sebagai berikut:
dS
dt = −βSI + γR (3.8)
dI
dt = −βSI − vI (3.9)
dR
dt = −vI − γR (3.10)
Model diatas disebut model SIRS pada populasi tertutup. Sedangkan per- samaan pada (gambar 3.3) yang merupakan model SIRS pada populasi terbuka sebagai berikut:
dS
dt = δNS + βSI − δS + γR (3.11)
dI
dt = βSI − δI − δS − vI (3.12)
dR
dt = vI − γR − δR (3.13)
18
Gambar 3.3 Model SIRS pada populasi terbuka
Ro merupakan rata-rata jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh da- tangnya individu terinfeksi tunggal kedalam populasi N yang rentan terserang penyakit, atau bisa juga dikatakan Ro merupakan reproduksi dasar virus. Berikut merupakan analisis terhadap nilai Ro:
1. Ro<1 : Virus tidak dapat bertahan hidup didalam populasi.
2. Ro>1 : Virus dapat bertahan hidup di dalam populasi.
Analisis lebih lanjut mengenai model ini dapat diperoleh kedalam suatu perhitungan, faktanya adalah bahwa total populasi:
N = S + I + R, tidak pernah berubah, hal tersebut menjelaskan untuk satu variabel, misalkan R dapat dihilangkan, sehingga model tersebut menjadi dua persamaan.
3.6 Model SIRS dengan Ketergantungan Demografi
Model epidemiologi dirumuskan yang memiliki populasi corresponding per- samaan di mana pertumbuhan dibatasi karena ketergantungan kepadatan baik da- lam tingkat kelahiran dan maupun pada tingkat kematian. Penurunan angka ke- lahiran dan angka kematian meningkat seiring dengan ukuran populasi meningkat terhadap daya dukungnya. Penularan vertikal dari perempuan yang terinfeksi pada keturunan sebelum, selama atau hanya setelah lahir tidak disertakan di si- ni. Hal ini diasumsikan bahwa infeksi tidak mempengaruhi kesuburan, sehingga tingkat kelahiran adalah sama bagi perempuan di semua tiga komponen epidemi- ologi.
19
Gambar 3.4 Diagram untuk nilai X, Y , dan Z
Dengan persamaan antara lain adalah:
a = Convex kombinasi konstan;
b = Laju kelahiran kosntan;
d = Laju kematian konstan;
r = b − d = Laju pertumbuhan konstan;
K= Lingkungan yang mendukung;
λ = Tingkat kontak harian;
α = Penyakit yang berhubungan dengan tingkat kematian yang konstan;
γ = Laju pemulihan konstan;
δ = Laju hilangnya tingkat kekebalan yang konstan.
Dengan mengacu konvensi dengan menggunakan huruf Roman untuk para- meter demografis dan huruf Yunani untuk parameter epidemiologi. Diasumsikan bahwa b, d, K, λ dan γ adalah positif, a berada dalam interval [0, 1], serta α dan δ adalah tidak negatif. Persamaan diferensial otonom sesuai dengan diagram transfer, yaitu:
X0(t) = [b − arN/K]N − λXY/N − [d + (1 − a)rN/K]X + δZ
Y0(t) = λXY/N − [γ + α + d + (1 − a)rN/K]Y (3.14) Z0(t) = γY − [δ + d + (1 − a)rN/K]Z
N0(t) = r[1 − N/K]N − αY
Dimana salah salah satu persamaan yang berlebihan karena N = X + Y + Z.
Dengan tidak adanya penyakit persamaan diferensial untuk N adalah persamaan
20
awal pada persamaan (1.1); kedua istilah dalam persamaan diferensial ini untuk N dengan kematian yang disebabkan oleh penyakit. Tingkat kelahiran menurun untuk 0< a < 1 dan angka kematian meningkat seperti N meningkat menjadi kapasitas pembawa daya dukung terhadap K, hal ini konsisten dengan sumber daya yang terbatas terkait dengan kepadatan ketergantungan. Tingkat kelahiran adalah kepadatan independen ketika a = 0 dan tingkat kematian adalah kepadatan independen ketika a = 1.
Kasus awal dengan mempertimbangkan r > 0 sehingga persamaan logistik (1.1) benar-benar tidak menggambarkan pertumbuhan terbatas. Tingkat kelahi- ran dalam model tidak membuat arah jika itu adalah negatif sehingga memper- timbangkan subset invarian positif yang pertama oktan di ruang XYZ di mana N
< bK / ar. Karena N0(t) < 0 untuk N > K, semua solusi lintasan dalam subset atas pendekatan, masuk atau tinggal dalam subet dimana N = X + Y + Z ≤ K.
Lintasan solusi dengan N0 > K yang tidak masuk wilayahN ≤ K dalam waktu yang terbatas harus memiliki himpunan batas omega dalam suatu bidang N = K. Begitu juga untuk r > 0 sudah cukup untuk menganalisis lintasan solusi dan himpunan batas omega di subset dari oktan pertama di mana N ≤ K. Jika r
< 0, dan tidak ada penyakit, maka ukuran populasi berkurang menuju nol jika N0 < K dan meningkat menjadi angka tak terbatas (infinity) jika N0 > K. Pada tesis ini, hanya mempertimbangkan subspace pada oktan pertama dimana N < K pada saat r < 0.
Hal ini mudah untuk merumuskan model (3.1) dalam pembagian I = Y / N dan R = Z / N pada populasi, yang masing-masing adalah infectious dan removed.
Dalam hal ini pembagian susceptible S = X/N memenuhi S = 1 - I - R.
Tiga persamaan diferensial terakhir (3.1) menjadi
I0(t) = [λ − (γ + α + b) − (λ − α)I − λR + arN/K]I,
R0(t) = γI − (δ + b)R + arNR/K + αIR (3.15) N0(t) = [r(1 − N/K) − αI]N
21
Dalam ruang IRN subset invarian yang bernilai positif sehingga sesuai pada subset X + Y + Z ≤ K didalam oktan pertama dari XY Z dalam ruang:
D = (I, R, N) | I ≥), I + R ≤ 1, 0 ≤ N ≤ K (3.16)
Kelangsungan dari sisi kanan (3.2) dan turunannya menunjukkan bahwa untuk solusi yang terdapat pada interval waktu maksimal. Dimana nilai untuk r
> 0 merupakan jalur solusi, masukkan atau tinggal di D, jalur ini selalu dibatasi dan berlanjut sehingga ada untuk semua waktu yang positif (Hale, 1989). Dengan demikian nilai awal masalah bagi sistem (3.2) secara matematis baik berpose dan epidemiologis wajar karena fraksi I dan R tetap antara 0 dan 1. Hal ini juga baik yang diajukan dalam oktan pertama ketika r = 0 dan di bagian tersebut terdapat N < K jika r < 0.
BAB 4
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
Pada awalnya model ini dideskripsikan oleh Waltman (1974). Dalam model ini total populasi N(t) yang merupakan fungsi dari waktu t dibagi menjadi tiga kelas yaitu kelas individu yang rentan terhadap terserang penyakit dinotasikan dengan S, kelas individu yang mampu menularkan penyakit ke individu lain dinotasikan dengan I, dan kelas yang sembuh yaitu individu yang terserang penyakit dan mati, atau terserang penyakit dan sembuh, atau individu yang diisolasi dari rentan sampai sembuh dan imunisasi permanen diperoleh dan dinotasikan sebagai R atau dapat ditulis juga:
N (t) = S (t) + I (t) + R(t) (4.1)
Pada populasi, penyebaran penyakit menular mengikuti model dinamik SIRS (Susceptible → Infected → Recovered → Susceptible) dan proses ini telah banyak dilakukan pada manusia dan mamalia (Anderson dan May (1979), Giesecko (1994), dan Cairns (1995). Proses tersebut dapat dilihat pada diagram berikut:
Gambar 4.1 Diagram model SIRS
22
23
Model tersebut menggunakan beberapa asumsi yang dapat digunakan seba- gai acuan dalam penelitian ini, adapun asumsinya sebagai berikut:
1. Total populasi N(t) konstan.
2. Perpindahan penyakit terjadi secara langsung, dan akan menghasilkan ke- pekaan S individu per satuan waktu dan kepekaan I individu per satuan waktu.
3. Adanya kepastian proporsi populasi yaitu S dan sisanya I, persatuan waktu.
Proporsi I membuat β I secara potensial merupakan interaksi penularan.
4. Tingkat trasnmisi penularan penyakit (β) proporsional terhadap tingkat pertemuan individu yang terkena penyakit dengan penularan yang dimo- delkan oleh perkalian βSI, dimana β adalah koefisien transmisi penularan.
5. Persamaan dideskripsikan mengikuti model deterministik yang memasukkan nilai konstan untuk setiap parameternya. Setiap individu yang sama memili- ki kesempatan yang sama untuk berinteraksi dengan individu yang terinfeksi atau penular.
6. Individu yang sembuh dari infeksi dengan tingkat V , telah memiliki imunitas untuk infeksi selanjutnya pada periode waktu tertentu.
Banyaknya individu pada waktu t untuk setiap kelas dinyatakan sebagai S, I, dan R yang mana ketiganya merupakan fungsi dari t. Pada saat t diobservasi akan mengikuti persamaan:
dS
dt = So + (−bS − βSI + vR) (4.2)
dI
dt = βSI − (α + b + v)I (4.3)
dR
dt = vI − bR (4.4)
24
4.1 Nilai Ambang Batas dan Empat Kesetimbangan
Dengan tidak adanya penyakit maka ukuran populasi yang mendekati ling- kungan yang mendukung K, jika nila r > 0 dan No > 0. Jika penyakit ini pada awalnya ada, maka ukuran populasi dapat bernilai nol, mendekati ukuran kesetimbangan yang mendekati lingkungan yang mendukung atau pendekatan ter- hadap lingkungan, dan penyakit ini dapat mengakibatkan kematian atau berta- han (merupakan endemik) tergantung pada nilai-nilai beberapa jumlah nilai am- bang batas. Number contact adalah rata-rata jumlah individu yang mengalami hubungan dengan individu lain yang terinfeksi yang juga memadai dari infektif selama periode menular. Dalam populasi ini benar bahwa individu yang rentan dengan number contact adalah rata-rata jumlah individu baru yang terinfeksi (ka- sus sekunder) yang dihasilkan per infektif, sehingga sering juga dikatakan individu yang reproduksi (Anderson dan May, 1979).
Disini tingkatan individu yang mengalami hubungan dengan individu lain yang terinfeksi λ dan periode infeksi rata-rata ketika populasi berada pada titik lingkungan yang mendukung terinfeksinya penyakit. 1(γ + α + d + (1 - a)r) dimana r = b - d merupakan individu yang mengalami hubungan dengan individu lain yang terinfeksi:
δ = λ/(γ + α + b − ar) (4.5)
Sebuah jumlah ambang batas yang berhubungan erat adalah modifikasi number contact θ yang diberikan oleh
θ = λ/(γ + α + b) (4.6)
Perhatikan bahwa δ dan θ bertepatan ketika a = 0. Bila r > 0 dan penyakit terus berlanjut, ambang pertumbuhan bersih:
φ = rλ
(α[λ − (γ + α + d)](1 + γ
δ + d) (4.7)
25
Menetapkan apakah ukuran populasi menurun ke nol atau mendekati ukuran konstan. Nilai ambang batas pertumbuhan dikatakan bersih φ terutama mencer- minkan dampak relatif dari tingkat penyakit yang berhubungan dengan kematian konstan α dan tingkat pertumbuhan konstan r. Sistem (3.2) dapat memiliki hing- ga empat kesetimbangan dalam sub regional D dari ruang IRN yang didefinisikan oleh (3.3). Keempat kesetimbangan ini ditemukan dengan menetapkan sisi kanan (3.2) sama dengan nol. Sistem persamaan (3.2) yang memiliki kesetimbangan P1 = (0, 0, 0) dan P2 = (0, 0, K) sesuai dengan memudarnya penyakit dengan ukuran populasi nol atau dengan mendekati lingkungan yang mendukung K.
4.2 Perilaku yang Mendekati Model SIRS
Dalam membuktikan hasil stabilitas diringkas dalam Tabel 4.1, bahwa untuk me- nganalisis stabilitas di kawasan D. Untuk r > 0 kesetimbangan P 1 = (0, 0, 0) selalu sadel yang berjenis stabil termasuk N sumbu.
Tabel 4.1 Hasil stabilitas di IRN untuk model (3.2) dengan r > 0 P1 = (0, 0, 0) P2= (0, 0, K) P3 = (I3, R3,0) P4= (I4, R4, N4)
θ≤ 1 δ≤ 1 Sadel GAS1 NID2 NID2
δ > 1 Sadel Sadel NID2 LAS3
θ >1 ϕ≤ 1 Sadel Sadel LAS3 NID2
θ= 1 Sadel Sadel NAS4 NID2
θ > 1 Sadel Sadel Sadel LAS3
Semua hasil stabilitas global terus jika a = 0 atau α = 0 GAS : berarti stabil asimtotik global
NID : berarti tidak D atau tidak keseimbangan yang berbeda di D LAS : berarti lokal stabil asimtotik
NAS : berarti perhitungan numerik menunjukkan stabilitas asimtotik.
Kesetimbangan P2 = (0, 0, K) adalah stabil asimtotik lokal (LAS) jika nilai σ < 1 dan pelana jika σ > 1 dengan bermacam-macam yang tidak stabil dalam arah I dan I = 0 pesawat sebagai manifold yang stabil.
26
4.3 Modifikasi Model SIRS Penularan Secara Vertikal
Untuk beberapa penyakit seperti penularan penyakit infeksi secara vertikal dari beberapa contoh kasus seperti ibu yang telah terinfeksi penyakit kepada keturunan sebelumnya, selama atau sesudah lahir. Namun penularan secara vertikal biasanya dianggap kurang penting dibandingkan transmisi horisontal karena menular dan nifas biasanya terjadi pada waktu yang berbeda. Dalam hal ini difokuskan pada efek interaktif dari penularan penyakit horisontal dan kepada yang independen demografi tanpa komplikasi seperti transmisi secara vertikal. Namun, model de- ngan transmisi penyakit secara vertikal dapat dengan mudah dirumuskan dan dianalisa. Misalkan % fraksi bayi baru lahir yang tidak terinfeksi oleh infeksi Ibu jadi 1- % adalah fraksi yang terinfeksi oleh transmisi secara vertikal. Selanjutnya dapat dilihat modifikasinya. Persamaan diferensial yang sesuai dengan diagram
Gambar 4.2 Modifikasi model transmisi
transfer ini mirip dengan persamaan sebelumnya. Nomor kontak σ, modifikasi kontak bernomor θ dan pertumbuhan ambang batas ψ adalah sebagai berikut:
σ = [λ + (1 − %)(b − ar)](γ + α + b − ar),
θ = [λ + (1 − %)b]/(γ + α + b), (4.8)
φ = rλ
α[λ + (1 − %)b − (γ + α + d)]
Persamaan (4.8) memiliki interpretasi berbeda mengenai epidemiologi. Se- bagai contoh, periode menular rata-rata pada daya dukung K adalah 1 / (γ + α + b - ar), yang tingkat kontak transmisi horizontal adalah λ dan tingkat transmisi vertikal konstan ketika N = K adalah (1 - %) (b-ar), sehingga jumlah kontak σ adalah rata-rata jumlah kontak yang memadai horizontal dan vertikal dari suatu
27
infeksi. Rincian analisis model SIRS ini tidak diberikan sejak ide-ide dan bukti- bukti dapat dilihat untuk model yang lebih sederhana dengan hanya horisontal transmisi. Memang, setiap ambang batas, keseimbangan dapat dibuktikan dengan modifikasi yang jelas untuk model SIRS ini dengan transmisi baik horisontal dan vertikal.
BAB 5 KESIMPULAN
Dalam karya tulis ini dianalisis model kestabilan SIRS pada proses penularan penyakit terhadap demografi:
a. Didalam pengelompokan model SIRS akan ditemukan beberapa permasala- han/kasus. Adapun kasus yang dihadapi antara lain : kasus penularan pe- nyakit, kasus penularan penyakit kembali,dan kasus penulran penyakit dan tidak tertular kembali.
b. Setelah menyelesaikan kasus/masalah yang terelaksasi, prosedur solusi dari permasalahan terbsebut harus mempertimbangankan dampaknya terhadap demografi.
c. Dengan menyelesaikan masalah/kasus tentang penyebaran penyakit meng- gunakan model SIRS terhadap demografi, diharapkan akan menemukan so- lusi penyelesaian yang paling effektif, berupa penyelesaian yang lebih menge- fisienkan dengan mempertimbangkan kelancaran dan kendala yang dihadapi dalam proses penyebaran penyakit.
d. Model SISR digunakan agar lebih dapat mengkondisikan dampak yang akan terjadi pada penularan penyakit yang terhubung dengan demografi.
28
DAFTAR PUSTAKA
Aguiar, M., Kooi, B.W. dan Stollenwerk, N. (2008). Epidemiology of dengue fever:
A Model with temporary cross-immunity and possible secondary infection shows bifurcations and chaotic behaviour in wide parameter regions, Math.
Model. Nat. Phenom., 4, 48-70, ISSN 0973-5348.
Anderson, R.M., Jackson H.C, May R.M dan Smith, A.D.M. (1981). The Popula- tion Dynamics of Fox Rabies in Europe, Nature, 289:765-777.
Anderson, R.M. dan May R.M. (1979). Population Biology of Infectious Diseases Part I., Nature, 280:361-367.
Anderson, R.M. dan May R.M. (1978). Possible demographic consequences of AIDS in developing countries, Nature, 332, 228-234.
Busenberg, S. N. dan Driessche, P.v.d. (1990). Analysis of a disease transmission model in a population with varying size. J. Math. Biol. 28, 257-270.
Cairns, A. (1995). Primary Component of Epidemiological Model. D. Millison (Ed), Epidemic Models : Their Structure and Retation to Data, Newton Inst.
Public. 350-371.
Diekmann, O. dan Heesterbeek, J.A. (2000) Mathematical Efidemiology of Infec- tious Diseases: Model building, analysis and interpretation. ISBN 0 471 98682 9.
Edelstein, K.L. (1988). Mathematical models in biology. New York. Random House.
Gao, L.Q. dan Hethcote H.W. (1992). Disease transmission models with density- dependent demographics: J. Math. Biol. 30, 717-731.
Giesecko, J. (1994). Mathematical Models For Epidemics Modern Infections Dis- ease Epidemilogy, Edward Arnold, London, 109-123.
Hale, J.K. (1989). Ordinary differential equations. Springer pp 193-211, Berlin Heidelberg New York. London.
Hethcote, H.W. dan Levin S.A. (1989). Periodicity in epidemiological models, In : Gross, L, Hallam, TG. Lavin, SA. Applied Mathematical Ecology, pp 119- 144. Berlin Herdelberg, New York: Springer. London.
Hyman, J.M. dan Stanley E.A. (1988). Using mathematical model to understand the AIDS epidemic. Math. Biosci. 90, 415-473.
Notoatmodjo, S. (2003). Ilmu Kesehatan Masyrakat, Prinsip-prinsip Dasar. Rineka Cipta : Jakarta.
Waltman, P. (1974). Lecture Notes in Biomathematics, Deterministic Threshold Models in the Theory of Epidemics. Springer. Verlag. New York.
29
