RENCANA SAMPLING PENERIMAAN
DALAM KETERANDALAN SISTEM BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT
(Skripsi)
Oleh ANGGRYANI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
Lucia Dewanti Maharani
ii ABSTRACT
RELIABILITY ACCEPTANCE SAMPLING PLANS FOR WEIBULL DISTRIBUTION
IN ACCELERATING LIFE TIME
By
ANGGRYANI
Reliability Acceptance Sampling Plans (RASP) is a set of life test procedure with rules for either rejecting or accepting a collection of items (a.k.a lot) based on the sampled lifetime data. Lifetime data are censored data and uncensored data (completed data). In generally, censored data consist of censored data Type I and Type II. In this research uses uncensored data (completed data) which follow Weibull Distribution. Lifetime testing when gives the acceleration factor (AF known) faster the failure of system or item than at normal conditions. In life testing needs a sample size (n) and acceptance constant (k), it can conclude to accept or to reject the lot. Determining sample size (n) and acceptance constant (k) must consider the value of producer ( ) and consumer ( ) risk and mean lifetime ( . The result of simulation shows that the ideal n and k are 20 adn 15,122 (in hour) with the value of and specified. After test for n and k, it can conclude that lot rejects.
Kata kunci: Reliability acceptance sampling plans (RASP), complete data, Af (Acceleration factor), producer risk, consumer risk.
Lucia Dewanti Maharani
ii ABSTRAK
RENCANA SAMPLING PENERIMAAN
DALAM KETERANDALAN SISTEM BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT
Oleh
ANGGRYANI
Rencana sampling penerimaan dalam keterandalan sistem atau Reliability Acceptance Sampling Plans (RASP) adalah suatu prosedur pengujian hidup dengan aturan menerima atau menolak lot berdasarkan data masa hidup. Data masa hidup dapat berbentuk data tidak tersensor dan tersensor. Secara umum, data tersensor terdiri dari data tersensor tipe I dan tipe II. Pada Penelitian ini digunakan data tidak tersensor yang mengikuti distribusi Weibull. Pengujian masa hidup saat diberikan faktor percepatan (AF diketahui) akan mempercepat kegagalan suatu sistem atau item daripada saat kondisi normal. Dalam pengujian masa hidup diperlukan ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k), sehingga disimpulkan terima atau tolak lot. Penentuan n dan k melibatkan rata-rata masa hidup ( dan nilai risiko produsen ( ) serta risiko konsumen ( ) tertentu.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa n dan k yang ideal dengan nilai dan yang ditentukan yaitu 20 dan 15,122. Setelah dilakukan pengujian untuk n dan k, disimpulkan bahwa lot ditolak.
Kata kunci: Rencana sampling penerimaan dalam keterandalan sistem, data tidak tersensor, Af (faktor percepatan), risiko produsen, risiko konsumen.
RENCANA SAMPLING PENERIMAAN DALAM KETERANDALAN SISTEM BERIDTRIBUSI WEIBULL
PADA MASA HIDUP YANG DIPERCEPAT
Oleh
Anggryani
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 08 November 1994, sebagai anak ke- dua dari empat bersaudara, putri dari Bapak Hotben Sinaga dan Ibu Laura Sitinjak.
Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Pertiwi Bekasi Timur diselesaikan tahun 2000, Sekolah Dasar ditempuh di SD Santa Lucia Bekasi Timur hingga lulus pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama di SMP Santa Lucia Bekasi Timur diselesaikan pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas di SMA Santo Antonius Jakarta Timur diselesaikan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN Tulis. Selama menjadi mahasiswa penulis bergabung dengan beberapa organisasi sebagai anggota Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen dan anggota Bidang Keilmuan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014.
Pada bulan Januari – Maret 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Negri Ratu Ngaras, Kecamatan Bengkunat, Kabupaten Pesisir Barat dan pada bulan Agustus 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di PT. Telekomunikasi Seluler (TELKOMSEL) selama 1 bulan.
MOTTO
“Diberkatilah orang yang mengandalkan TUHAN, yang menaruh harapannya pada TUHAN.”
(Yeremia 17:7)
“Jangan pernah menyerah dan jangan pernah berputus asa, TUHAN pasti memberikan waktu yang tepat dan rancangan damai sejahtera untuk setiap
anak-anakNya”
(Anonym)
“Serahkanlah segala kekuatiranmu kepada-Nya, sebab Ia yang memelihara kamu”
(1 Petrus 5:7 )
“Tetapi carilah terlebih dahulu Kerajaan Allah dan kebenaranNya, maka semuanya itu akan ditambahkan kepadamu”
(Matius 6 :33)
PERSEMBAHAN
Dengan segenap rasa syukur kepada Bapa Yang Maha Kuasa, penulis persembahkan karya sederhana ini untuk:
Kedua Orang Tua Tercinta
Sebagai tanda bakti, hormat dan rasa terima kasih yang tiada terhingga penulis persembahkan karya kecil ini kepada Bapak dan Mama yang selalu mendukung penulis dalam segala hal. Terima kasih atas curahan kasih yang tak berkesudahan,
semangat yang selalu kau berikan , serta doamu yang selalu menyertai penulis.
Saudara-saudara penulis terkasih, Erny Lamtiur Sinaga, Etha Maria Paulina Sinaga, Simon Tobi Erasmus Sinaga
yang menanti keberhasilan penulis dan terima kasih atas doa serta dukungannya.
Kelak kita bersama akan menjadi orang sukses.
Untuk saudara dan teman–teman terkasih
yang telah memberikan dukungan semangat juga doa dan terima kasih sudah hadir dalam hidup penulis dan terima kasih telah mengizinkan penulis hadir
dalam hidup kalian.
xi
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan kasih-Nya dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Rencana Sampling Penerimaan dalam Keterandalan Sistem Berdistribusi Weibull pada Masa Hidup yang Dipercepat” tepat pada waktunya.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. selaku pembimbing pertama, terimakasih untuk ilmu, kesabaran, semangat dan arahan di dalam setiap bimbingan serta dukungan dalam penyusunan skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, M.Si. selaku pembimbing kedua, terimakasih atas segala bantuan yang telah diberikan dalam menyelesaikan skripsi ini, serta selalu menjadi penyemangat, pengingat, penasihat di dalam setiap proses penyelesaian skripsi.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku penguji yang telah memberikan penulis kritik, saran dan masukan yang membangun juga semangat yang diberikan.
4. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku pembimbing akademik yang selalu nasihat dan juga bimbingannya dalam menjalani masa perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
xii
7. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah memberikan ilmu dan bantuan kepada penulis.
8. Untuk kedua orang tua yang selalu menjadi semangat “Among dan Uma”, Ka Erny, Etha juga Tobi terimakasih selalu mendukung penulis dengan memberikan semangat dan doa. Terimakasih telah menjadi penasihat dan pendengar terbaik untuk setiap keluh kesah penulis.
9. Untuk teman-teman sepelayanan “Alter Singer” Mas Atho, Ka Ina, Ka Tata, Bang Nico, Yanna, Rico, Pido, Yuli, Yusan, Ka Yessy, Jeniffer, Cia, Roma, Tulus serta teman-teman yang lainnya terimakasih untuk dukungan dan doa yang selalu diberikan kepada penulis.
10. Untuk sahabat-sahabat penulis, penyemangat, tempat berkeluh kesah serta pembawa keceriaan Gerry, Yefta, Dyta, Ruth, Dwi, Elva, Mput, Yanti, Ernia, Mba Desti, Talytha Alethea, Yudit (Dibul), Imah, Yama, Anisa, Eva Monica, Rendy, Candra, Danar, Taufik, Jorgi, Angger, Hana.
11. Untuk teman-teman Asrama Pondok Indah Rani, Nadia, Susi, Jenifer, Etta, Videl, Vinna, Cia, Linda, Ka Dessy dan seluruhnya atas dukungan, motivasi dan kebersamaannya.
12. Untuk keluarga Matematika 2012 dan HIMATIKA FMIPA UNILA.
13. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Semoga Allah Bapa Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan berkat-Nya kepada kita semua
Bandar Lampung,September 2016 Penulis
Anggryani
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... xv
DAFTAR GAMBAR ... xvi
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Manfaat Penelitian ... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Masa Hidup Sistem ... 5
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Masa Hidup ... 5
2.3 Konsep Fungsi Tahan Hidup (Reliability) ... 6
2.3.1 Fungsi Keandalan ... 6
2.3.2 Rata-Rata Waktu Kegagalan (Mean Time to- Failure/MTTF) 7 2.3.3 Fungsi Hazard ... 7
2.4 Distribusi Weibull ... 8
2.5 Jenis Data ... 11
2.6 Model Pengujian Masa Hidup yang Dipercepat (Accelerated Life Testing) ... 12
2.7 Metode Maximum Likelihood ... 12
2.8 Acceptance Sampling Plans (ASP) ... 14 III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16 3.2 Metode Penelitian ... 17 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 RASPs untuk Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ... 20 4.2 Model Data Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ... 22 4.3 Masa Hidup Sistem pada Kondisi Dipercepat untuk
Distribusi Weibull ... 23 4.4 RASPs Data Masa Hidup yang Dipercepat Berdistribusi Weibull
dengan Pengujian Hipotesis ... 25 4.5 Penentuan Ukuran Sampel (n) dan Angka Penerimaan (k) menggunakan Reliability Acceptance Sampling Plans (RASPs) ... 28 4.5.1 Simulasi untuk α Tetap β Meningkat ... 31 4.5.2 Simulasi untuk α Meningkat β Tetap ... 32 4.6 Membangkitkan Data Masa Hidup Sistem Berdistribusi Weibull pada
Kondisi Dipercepat ... 35 4.7 Pengujian Hipotesis ... 36 V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 4.1. Pengujian Masa Hidup Sistem saat Kondisi Dipercepat ... 21 Gambar 4.2. Kurva OC untuk Nilai α Meningkat dan β Tetap ... 34
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 4.5.1. Simulasi untuk α Tetap dan β Meningkat ... 32 Tabel 4.5.2. Simulasi untuk α Meningkat dan β Tetap ... 33 Tabel 4.6 Data Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi Weibull
saat Kondisi Dipercepat ... 35
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masa hidup suatu sistem merupakan interval waktu dari suatu sistem saat mulai masuk ke dalam penelitian sampai mengalami kegagalan atau mati. Unit yang digunakan dalam hal ini adalah komponen suatu sistem. Sistem adalah suatu kesatuan yang terdiri dari komponen atau elemen yang saling berhubungan untuk mencapai suatu fungsi tujuan kinerjanya. Misalkan T adalah suatu peubah acak masa hidup sistem yang akan membentuk suatu distribusi peluang. Salah satu distribusi peluang yang dapat digunakan adalah distribusi Weibull. Distribusi Weibull banyak digunakan dalam pengujian masa hidup dan teori reliabilitas dengan kelebihan yang utama yaitu menyajikan keakuratan kegagalan pada suatu sampel.
Pengujian masa hidup sistem merupakan kajian daya tahan hidup atau keandalan suatu sistem pada keadaan tertentu. Analisis yang digunakan untuk melihat keandalan masa hidup sistem yaitu analisis keterandalan sistem. Keterandalan sistem atau reliabilitas adalah peluang tidak terjadinya kegagalan atau kerusakan pada suatu produk atau sistem dalam melakukan fungsinya dengan baik selama periode operasi yang telah ditentukan. Sehingga dapat juga diketahui fungsi reliabilitas, fungsi hazard dan MTTF (Mean Time to- Failure).
2
Data masa hidup diperoleh dari pengujian masa hidup sistem yang dapat berupa data tidak tersensor dan tersensor. Berbentuk data tersensor jika ketepatan informasi mengenai waktu tahan hidupnya tidak diketahui secara pasti, sehingga pengamatannya perlu dibatasi oleh waktu atau sebab lainnya. Secara umum, data tersensor terdiri dari data tersensor tipe I dan tersensor tipe II. Sedangkan data tidak tersensor artinya datanya lengkap (full data), yaitu jika semua objek penelitian diuji sampai semuanya mengalami kegagalan. Kelebihan dari full data yaitu dapat diketahui dan diurutkan waktu kegagalan dari masing-masing objek penelitiannya (Lawless, 1982).
Pengukuran karakteristik daya tahan hidup suatu sistem biasanya dilakukan dengan mengoperasikan sistem dibawah kondisi normal. Seperti halnya dalam kehidupan sehari – hari, kemungkinan suatu sistem diberikan faktor percepatan secara tidak langsung sangat besar. Faktor percepatan (AF) dapat dilakukan dengan cara memberikan percepatan pada tingkat penggunaan seperti mengoperasikannya secara terus menerus, menaikkan tegangan dan lain-lainnya.
Hal tersebut memaksa sistem supaya gagal lebih cepat dibandingkan saat kondisinya normal.
Umumnya dalam pengujian masa hidup sistem tidak mungkin dilakukan pada semua komponen sistem sehingga diperlukan suatu sampel yang ideal untuk dapat mengetahui rata-rata masa hidup komponen suatu sistem. Penentuan ukuran sampel yang ideal dapat diketahui menggunakan prinsip rencana sampling dalam keterandalan sistem (Reliability Acceptance Sampling Plans). RASPs merupakan suatu prosedur pengujian hidup dengan aturan menerima atau menolak
3
berdasarkan data masa hidup. Prinsip kerja RASPs mengikuti prinsip Acceptance Sampling Plans (ASP), yaitu sampel dikemas dalam suatu lot kemudian dilakukan
pemeriksaan mutu sampel tersebut secara sampling dari lot, selanjutnya diambil keputusan apakah sampel dalam lot diterima atau ditolak. Selain itu, diperlukan juga suatu angka penerimaan (k) untuk menerima atau menolak suatu lot.
Penentuan ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) menggunakan prinsip RASPs dengan mempertimbangkan nilai dari risiko konsumen (β), risiko produsen (α) dan rata-rata masa hidupnya . Dimana sebelumnya nilai dari risiko konsumen, risiko prosuden dan rata-rata masa hidup sistemnya ditentukan sesuai kesepakatan antara produsen dan konsumen.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada sub-bab sebelumnya, maka permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana menentukan ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) dari RASPs pada kondisi dipercepat yang mengikuti distribusi Weibull dengan data tidak tersensor (full data) dengan melibatkan risiko konsumen (β) dan risiko produsen (α).
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian dari skripsi ini adalah mengetahui ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) dari RASPs pada kondisi dipercepat yang mengikuti distribusi Weibull dengan data tidak tersensor (full data).
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah menambah referensi tentang rencana penerimaan sampling dalam keterandalan sistem untuk data masa hidup tidak tersensor (full data) yang mengikuti distribusi Weibull pada saat kondisi yang dipercepat.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Masa Hidup Sistem
Masa hidup suatu sistem merupakan interval waktu saat suatu sistem masuk ke dalam penelitian sampai mengalami kegagalan. Fungsi-fungsi pada distribusi masa hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random masa hidup. Variabel random masa hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi peluang. Distribusi masa hidup sistem dapat dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi kepekatan peluang f(t), fungsi tahan hidup R(t), dan fungsi kegagalan atau fungsi hazard h(t).
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Masa Hidup
Masa hidup T mempunyai fungsi kepekatan peluang yang didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval ) per satuan waktu dan dinotasikan dengan f(t). Fungsi kepekatan peluang dari masa hidup sistem dinyatakan sebagai berikut :
)
[ ))
]
)
[ )
]
6
yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 1. )
2. ∫ )
Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu T jika luas daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-t sama dengan 1, dan jika luas daerah dibawah kurva antara dan menyatakan peluang T terletak antara dan . Sedemikian sehingga :
) ∫ ) , dengan [ )
2.3 Konsep Fungsi Tahan Hidup (Reliability)
Menurut B.K, Kale dan S.K. Sinha (1979), keandalan (reliability) dapat didefinisikan sebagai suatu peluang sistem akan memiliki kinerja sesuai fungsi yang dibutuhkan dalam periode waktu tertentu. Keandalan (reliability) juga merupakan peluang suatu produk akan beroperasi dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan dibawah kondisi yang ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan.
2.3.1 Fungsi Keandalan
Keandalan dapat didefinsikan sebagai suatu peluang sebuah sistem akan berfungsi sampai dengan periode waktu ke –t. Untuk melihat hubungan ini, secara matematik ditetapkan peubah acak T adalah waktu hingga suatu sistem mengalami kegagalan atau kerusakan.
7
Fungsi keandalannya dapat dituliskan sebagai berikut : R(t) = P (objek hidup lebih dari waktu t)
= )
= (objek gagal sebelum waktu t)
= )
= 1- F (t) (2.1)
2.3.2 Rata-Rata Waktu Kegagalan (Mean Time to- Failure/MTTF)
Mean Time to- Failure (MTTF) adalah rata-rata waktu suatu sistem atau
komponen akan beroperasi sampai terjadi kegagalan untuk pertama kali. Sehingga persamaan dari MTTF yaitu sebagai berikut :
MTTF = ) ∫ ) (2.2)
2.3.3 Fungsi Hazard
Fungsi hazard atau laju kegagalan atau kerusakan adalah banyaknya kegagalan sistem per satuan waktu. Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan didefinisikan sebagai peluang suatu sistem atau komponen gagal didalam interval waktu (t, t+∆t) dengan diketahui bahwa objek tersebut telah hidup selama waktu t. Fungsi kegagalan dinyatakan sebagai berikut :
)
[ | )
]
jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka diperoleh:
8
)
[ | )
]
)
[ [ )) )
) ]
)
[ [ )) ) ]
karena ) ) ) ), maka : )
[ ) ) )) ]
)
[ ) )
)]
) (
))
[ ) )
]
Berdasarkan definsi turunan, sedemikian sehingga : ) ) )
) ) ) (2.3)
2.4 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah- masalah yang berhubungan dengan lama waktu (umur) suatu objek yang mampu
9
bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi lagi sebagaimana mestinya (rusak atau mati). Distribusi Weibul memiliki 2 parameter, yaitu :
= parameter bentuk (shape) yaitu menggambarkan tingkat kegagalan pada distribusi Weibull
= parameter skala (scale) yaitu menggambarkan bentuk keragaman data pada distribusi Weibull
Jika T adalah peubah acak menyebar menurut distribusi Weibull dengan 2 parameter maka fungsi kepekatan peluang (fkp) dapat diuraikan dalam bentuk:
) = {( ) ) ( )
(2.4)
Dengan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull yaitu :
) = ) (2.5)
Rata-rata (mean) dari distribusi Weibull :
E(t) = ∫ )
[ ( ) (2.6)
Parameter yang digunakan dalam distribusi ini yaitu dan , maka dapat dituliskan fungsi-fungsi dari distribusi Weibull yaitu :
1. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp) ) ( ) ) ( )
10
2. Fungsi Distribusi Kumulatif ) = )
3. Fungsi Keandalan (Reliability Function) R(t) = 1 – F(t)
= 1 –( )) = )
4. Fungsi Laju Kerusakan (Hazard Rate Function) ) ) )
) ( ) )
( ) ( ) ) ( ) )
Menurut Ebeling (1997), pengaruh nilai parameter bentuk distribusi Weibull yaitu terhadap distribusi ini adalah bentuk kurva laju kegagalan (hazard rate) : 1. Untuk beberapa nilai yang berbeda < 1, berarti fungsi kepekatan peluang
(fkp) sama dengan distribusi Eksponensial.
2. Untuk nilai yang besar dengan ≥ 3, berarti fungsi kepekatan peluang (fkp) berbentuk simetris seperti distribusi Normal.
3. Untuk 1 < < 3, berarti fungsi kepekatan peluang (fkp) berbentuk miring atau tidak simetris.
4. Untuk = 1, berarti fungsi hazard konstan dan distribusinya identik dengan distribusi Eksponensial.
Sedangkan nilai parameter adalah parameter skala yang mempengaruhi nilai rata-rata dan sebaran data dari distribusi Weibull.
11
2.5 Jenis Data
Pengujian masa hidup menghasilkan suatu data masa hidup. Terdapat beberapa jenis data masa hidup yang sering digunakan yaitu :
1. Sampel lengkap, jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal, maka percobaan akan dihentikan atau juga berarti bahwa waktu kegagalan dari semua unit yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2. Sensor kanan, semua objek yang diteliti (n) masuk ke dalam penelitian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujiannya akan dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan. Sensor kanan ini terdiri dari dua yaitu :
2.1 Sensor tipe 1, yaitu semua objek akan tetap hidup sampai waktu yang telah ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I yaitu bisa terjadi sampai batas waktu yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diuji.
2.2 Sensor tipe 2, yaitu semua objek yang diteliti (n) masuk ke dalam pengujian dalam waktu yang bersamaan dan pengujian dihentikan jika terjadi r kegagalan dengan . Kelemahan dari sensor tipe II, waktu yang diperlukan untuk memperoleh r kegagalan bisa jadi sangat panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari r kegagalan tersebut.
3. Sensor kiri, jika sebelum dilakukan penelitian objek tersebut sudah mengalami hal yang dimaksudkan dalam penelitian. Sehingga setelah dilakukan penelitian, objek tersebut sudah mengalami sebelumnya yang
12
dimaksudkan dalam penelitian. Tetapi sensor kiri, biasanya ada pada analisis survival suatu individu bukan sistem.
4. Terpancung, jika individu atau sistem mengalami kematian atau kerusakan dikarenakan sebab lain di luar dari tujuan utama penelitian. Sehingga tidak teramati tujuan utama penelitiannya.
2.6 Model Pengujian Masa Hidup yang Dipercepat (Accelerated Life Testing)
Pengukuran karakteristik masa hidup suatu sistem biasanya dilakukan dengan mengoperasikan dibawah kondisi normal. Jika masa hidup suatu sistem telah melewati batas pengamatan saat kondisinya normal, maka masa hidup sistemnya akan diberikan suatu faktor percepatan (AF atau Acceleration Factor). Tujuan diberikan suatu faktor percepatan adalah untuk memperpendek masa hidup suatu sistem atau mempercepat degradasi kinerja sistem, juga menghemat waktu dan biaya yang dikeluarkan dalam pengamatan masa hidup sistem ini. Masa hidup saat kondisinya diperpecat dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2.7)
dimana : : masa hidup saat kondisi normal
AF : konstanta yang disebut sebagai acceleration factor (AF) : masa hidup saat kondisi dipercepat
2.7 Metode Maximum Likelihood
Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga satu sebaran dengan memilih dugaan-dugaan yang dimana nilai-nilai parameternya diduga
13
dengan memaksimalkan fungsi kemungkinannya. Metode ini juga merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari taksiran nilai parameter distribusi dari data.
Menurut Hogg and Craig (1995:262), misalkan merupakan suatu sampel acak yang berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang ) dengan . Fungsi kepekatan peluang bersama dari adalah ) ) ). Fungsi kepekatan peluang bersama ini juga dapat dinyatakan sebagai fungsi dari dan disebut sebagai fungsi likelihood (L) dari sampel acak yang dinotasikan dengan kemungkinan maksimum dari sampel acak tersebut adalah :
) ) ) ) (2.8)
Misalkan dapat ditemukan suatu fungsi nontrivial dari yaitu ), sedemikian sehingga jika diganti dengan ) maka fungsi likelihood (L) akan bernilai maksimum, yaitu [ ) sedikitnya sebesar ) untuk setiap . Statistik ) disebut penaksir maksimum likelihood (m.l.e : maximum likelihood estimator ) dari dan dinotasikan dengan simbol sebagai berikut :
̂ ).
Misalkan terdapat k parameter yang tidak diketahui, maka penaksir maksimum likelihood untuk diperoleh dengan menyelesaikan
)
(2.9)
14
Atau melalui bentuk logaritma natural
)
(2.10)
untuk .
2.8 Acceptance Sampling Plans (ASP)
Acceptance Sampling Plans (ASP) adalah suatu keputusan untuk menerima atau
menolak lot atau populasi berdasarkan hasil dari pemeriksaan sebagian lot atau populasi saja (sampel). Prinsip yang ada dalam ASP adalah item hasil produk biasanya dikemas dalam suatu lot yang dimana berisi banyak barang, kemudian pemeriksaan dari mutu item akan dilakukan secara sampling dari lot tersebut.
Selanjutnya dibuat suatu keputusan apakah item dalam lot diterima atau ditolak.
Jika banyaknya yang gagal atau cacat kurang dari angka penerimaan (k) maka terima lot. Dengan angka penerimaan (k) merupakan suatu batas penerimaan untuk menerima suatu lot.
Beberapa alasan yang mendukung mengapa harus menggunakan sampling di dalam pengambilan sampel yaitu populasi/lot yang akan diuji berukuran besar, waktu pengujiannya singkat, jumlah tenaga kerja sedikit, biaya untuk melakukan pengujian terbatas (mahal), pengujian bersifat merusak (deskrutif) pada inspeksi secara manual. Tetapi dalam menggunakan sampling ini terdapat kelebihan dan kekurangan.
Kelebihan saat menggunakan sampling dalam pengambilan sampel yaitu mempersingkat waktu pemeriksaan sampel item (kualitas mutunya).
15
Kekurangannya adalah adanya resiko menerima produk yang buruk dan menolak produk yang baik, memerlukan waktu dan tenaga untuk kegiatan perencanaan dan dokumentasi, dan tidak memberi jaminan bahwa semua lot telah memenuhi spesifikasi yang diinginkan.
Acceptance Sampling Plans (ASP) dapat dilakukan untuk jenis data atribut dan
variabel.
1. Acceptance Sampling untuk data atribut dilakukan jika inspeksi mengklasifikasikan sebagai item produk baik dan item produk cacat tanpa ada pengklasifikasian tingkat kesalahan atau cacat produk. Dengan kriteria pengujiannya yaitu jika jumlah item produk yang cacat kurang dari atau sama dengan angka penerimaan maka terima lot.
2. Acceptance Sampling untuk data variabel, karakteristik kualitas ditunjukkan dalam setiap sampel sehingga dapat dilakukan perhitungan untuk rata-rata sampel, simpangan baku. Dengan kriteria pengujiannya yaitu menghitung nilai statistiknya kemudian dibandingkan dengan angka penerimaan.
Dalam fungsi risiko, kedua tipe kesalahan dalam pengujian hipotesis dapat dinyatakan sebagai :
1. Risiko produsen, risiko yang diterima produsen karena menolak produk yang baik dalam inspeksinya. Atau menolak suatu produk dalam lot yang bermutu baik (kesalahan tipe 1), dengan peluang kesalahannya disebut alpha (α) atau risiko produsen.
2. Risiko konsumen, risiko yang diterima konsumen karena menerima produk yang tidak baik mutunya (cacat). Atau menerima suatu produk dalam lot yang
16
bermutu tidak baik atau cacat (kesalahan tipe 2), dengan peluang kesalahannya disebut betha (β) atau risiko produsen.
Ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) baik berdasarkan risiko konsumen maupun produsen atau pula yang disepakati oleh produsen dan konsumen (Grant, E.L. dan Leavenworth,R.S. 1994).
17
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Ajaran 2015/2016 di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan secara studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku, jurnal-jurnal, atau media lain yang dapat menunjang proses penulisan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan di dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan model data masa hidup saat kondisi dipercepat untuk full data yang berdistribusi Weibull
a. Fungsi distribusi kumulatif b. Fungsi densitas peluang c. Fungsi Keandalan (Reliability) d. MTTF (Mean Time to Failure)
18
2. Melakukan pengujian hipotesis pada rata-rata waktu kegagalan (MTTF) a. H0 : MTTF =
H1.: MTTF =
dengan dan merupakan rata-rata masa hidup suatu sistem yang mengikuti distribusi Weibull. Nilai dari keduanya ditentukan berdasarkan produsen dan konsumen, dimana nilainya kurang dari ( ).
b. Menarik keputusan berdasarkan kriteria pengujian pada langkah sebelumnya. Jika rata-rata waktu kegagalannya lebih besar atau sama dengan maka tolak lot atau juga dapat menggunakan kriteria pengujian sebagai berikut :
̂ , terima lot.
̂ , tolak lot.
3. Menduga parameter dengan menggunakan metode maksimum likelihood dari fungsi kepekatan peluang (fkp) masa hidup sistem berdistribusi Weibull pada kondisi dipercepat.
4. Menentukan ukuran sampel (n) yang ideal dan angka penerimaan (k) melibatkan peluang penerimaan (1-α) serta risiko konsumen (β) berdasarkan pada langkah sebelumnya.
a. Melakukan simulasi untuk α tetap β meningkat.
b. Melakukan simulasi untuk α meningkat β tetap.
5. Membangkitkan data sampel masa hidup yang berdistribusi Weibull saat kondisi dipercepat dengan dan dengan faktor percepatan (AF) yang diketahui.
19
6. Menguji n ukuran sampel dengan waktu pengamatan kondisi dipercepat ( , AF diketahui). Jika rata-rata waktu kegagalan (MTTF) lebih besar atau paling tidak sama dengan maka tolak lot. Atau dengan kriteria pengujian ̂ , tolak lot. Dengan ̂ merupakan hasil penduga maksimum dari parameter Weibull dan merupakan rata-rata masa hidup sistem yang nilainya ditentukan sebelumnya.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dijelaskan dan simulasi yang telah dilakukan pada beberapa nilai α dan β, diperoleh ukuran sampel (n) dan angka penerimaan (k) yang ideal yaitu 20 dan (dalam satuan jam). Dari ukuran sampel (n) yang diambil, diperoleh keandalan yang tidak baik sehingga tolak lot. Dengan demikian disimpulkan bahwa rata-rata waktu kegagalan masa hidup sistem sama dengan 20 jam (MTTF = 20 jam).
DAFTAR PUSTAKA
B.K. Kale and S.K. Sinha. 1979. Life Testing and Reliabiliy Estimation. New Delhi: Wiley Eastern Limited.
Ebeling, C.E. 1997. An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering. Mc. Graw Hill Book Co. Singapore.
Grant, E.L. Dan Leavenworth, R.S. 1994. Pengendalian Mutu Statistik. Edisi Keenam. Erlangga, Jakarta.
Hoog, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. New Jersey: Precentice-Hall.
Hisada, K. and Arizino, I. 2002. Reliabilty Tests for Weibull Distribution With Varying Shape-Parameter, Based on Complete Data. IEEE TRANSACTIONS ON RELIABILITY, vol. 51, no. 3
Kim, M and Yum, B. J. 2008. Reliability Acceptance Sampling Plans for Weibull Distribution Under Accelerated Type-I censoring. Journal of Applied Statistics. Republic of Korea.
Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada:
John Wiley and Sons, Inc.
