PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih seder-hana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai eksponen dari suatu matrikstak negatif A. Matriks tak negatifAadalah sebuah ma-triks orde n yang setiap entriaij = 0 atau entri aij >0. MatriksA disebut primitif jika untuk sembarang bilangan bulat positif k, Ak adalah positif, yaitu semua entri dari matriksAkbernilai positif. Bilangan bulat positif terkecilkyang demikian adalah eksponen dari matriksA dan dinotasikan dengan exp(A).
Persoalan mengenai eksponen dari sebuah digraph D biasanya diselesaikan menggunakan matriks D(A), yakni sebuah matriks tak negatif A yang bersesuaian dengan digraphD. MatriksD(A) adalah sebuah matriks orde ndengan entriaij akan bernilai 1 jika terdapat arc dari titik vi ke titikvj pada digraph D, dan entriaij akan bernilai 0 jika tidak terdapat arc dari titikvike titikvj pada digraphD. Eksponendari digraph D sama dengan eksponen dari matrik tak negatif A yang bersesuaian den-gan digraph tersebut. Matriks yang bersesuaian denden-gan digraph D kemudian disebut dengan matriks adjacency.
Sebuah digraph D disebut primitif jika terdapat bilangan bulat positif k se-hingga untuk setiap pasang titikudanvdiDterdapat walk dariukevdengan panjang
k, nilai terkecilk yang demikian disebut denganeksponendigraphD, dinotasikan oleh exp(D) (Brualdi dan Ryser, 1991). Wielandt kemudian menyatakan bahwa eksponen digraph primitifDatas n titik adalah exp(D) =n2−2n+ 2. Studi tentang eksponen digraph primitif yang memuatlooppertama sekali dilakukan oleh Holladay dan Varga
(1958). Holladay dan Varga memperlihatkan jika D digraph primitif atas n titik dan memuat q loop maka exp(D)≤2n−q−1.
Berdasarkan gagasan yang dikemukakan oleh wielandt mengenai eksponen di-graph, Brualdi dan Liu (1990) kemudian mendefinisikan konsepeksponen lokaldigraph primitif sebagai berikut. Misalkan D adalah digraph primitif dan v adalah titik di
D. Eksponen dari sebuah titikv merupakan bilangan bulat positif terkecilt sehingga terdapat walk dengan panjang t dari titikv ke semua titik yang ada diD. Eksponen dari suatu titikv dinotasikan dengan expD(v). Misalkanv1, v2, ..., vnadalah titik di D yang diurutkan sehingga expD(v1) ≤ expD(v2)≤ · · · ≤ expD(vn). Untuk 1 ≤ k ≤ n, expD(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph primitifD.
Pada tahun 1997 Fonarsini dan Valcher mendefinisikan suatu digraph dwiwarna
D(2) sebagai digraph yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru. Sebuah digraph dwiwarna D(2) disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Sebuah di-graph dwiwarna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g danh sehingga untuk setiap pasang titikudan v diD(2) terdapat suatu (g, h)-walk dariukev. Bilangan bulat positifg+hterkecil atas semua bilangan bulat tak negatifg dan hyang demikian disebuteksponendariD(2) dan dinotasikan dengan exp(D(2)) (Shader dan Suwilo, 2003).
Konsep eksponen dari digraph dwiwarna primitifD(2) yang dikemukakan oleh Shader dan Suwilo (2003) didasari karena digraph dwiwarna D(2) atas n titik dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacencyR dan matriks adjacency B orde n. Ma-triks AdjacencyR adalah sebuah matriks yang setiap entririj bernilai 1 jika terdapat arc merah dari titik vi ke titik vj pada D(2), dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc merah dari titik vi ke titik vj pada D(2). Hal yang demikian berlaku juga terhadap matriks adjacency B, entri bij bernilai 1 jika terdapat arc biru dari titik vi ke titik
D(2). Sehingga permasalahan mengenai eksponen dari sebuah digraph dwiwarna sama saja dengan permasalahan memangkatkan matriks tak negatif (R, B) orden sejumlah (g, h) kali hingga matriks tersebut menjadi matriks positif. Memangkatkan matriks (R, B) sejumlah (g, h) kali adalah permasalahan kombinatorial, dimana memilihg dan
h agar (R, B)(g,h) positif. Hal tersebut dapat dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks
Hurwitz P roduct RdanB yang dapat didefinisikan secara rekurensif seperti berikut. (R, B)(g,h)=R(R, B)(g−1,h)+B(R, B)(g,h−1)
bilangan positif terkecil dari g+h yang demikian sehingga entri-entri matriks (R, B) positif, adalah eksponendari digraph dwiwarna D(2).
Gao and Shao (2009) mendefinisikan konsep eksponen lokal dari digraph dwi-warna primitifD(2) sebagai berikut. Untuk sembarang titikv
k diD(2), k = 1,2, ..., n, eksponen titikvk, dinotasikan dengan expD(2)(vk), adalah bilangan bulat positif terke-cil p1 +p2 sehingga untuk setiap titik v di D(2) terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari vk ke v. Untuk kemudahan, titik v1,v2,...,vn dilabel sehingga expD2(v1) ≤ expD2(v2) ≤
· · · ≤expD2(vn). Untuk 1≤k≤n, expD2(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D(2).
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan S2(2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan sebuah loop di titik v1. Untuk setiap titik vk,
k = 1,2, ..., n diS2(2), berapakah besaran nilai dari expS(2) 2 (vk) ?
1.3 Tinjaun Pustaka
Penelitian tentang eksponen digraph dwiwarna pertama sekali dilakukan oleh Shader dan Suwilo (2003). Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa eksponen terbesar digraph dwiwarna primitif D(2) atas n titik terletak pada interval [(n3 − 5n2)/2,
(3n3+ 2n2−2n)/2]. Kemudian pada tahun 2009 Gao dan Shao mendiskusikan ekspo-nen titik digraph dwiwarna tipe Wielandt, yakni suatu digraph Hamiltonian atas cycle
v1 →vn→ · · · →v2 →v1 dan arc v1 →vn−1 dengan panjang cyclen dan n−1. Gao
dan Shao memperlihatkan jika digraph dwiwarna Wielandt W(2) hanya memuat satu arc biru di va →va−1,a= 2,3, ..., n−1, maka expW(2)(vk) =n2−2n+k−a+ 1. Jika
W(2) memuat dua arc biru di v
1 →vn−1 danv1 →vn maka expW(2)(vk) =n2−2n+k atau expW(2)(vk) =n2−2n+k+ 1.
Berdasarkan generalisasi eksponen digraph dwiwarna yang dikemukakan oleh Shader dan Suwilo (2003) serta konsep eksponen lokal digraph dwiwarna yang dike-mukakan oleh Gao dan Shao (2009), banyak peneliti membicarakan eksponen titik dari beberapa kelas digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Seperti Suwilo (2011) yang mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna primitif ekstremal min-istrong D(2) atas n titik dengan panjang cycle n−1 dan n−2. Jika D(2) memuat tepat satu arc biru, maka eksponen titik D(2) berada pada [n2−5n+ 8, n2−3n+ 1] dan jika D(2) memuat tepat dua arc biru, maka eksponen titik D(2) berada pada [n2−4n+ 4, n2−n]. Suwilo dan Syafrianty (2012) mendiskusikan eksponen titik di-graph dwiwarna primitifD(2) atasn = 2mtitik,m≥5 yang memuat dua cycle dengan panjangn−1 dann−3 berada pada interval [(n3−5n2+4n+4)/4,(n3−5n2+10n+4)/4]. Syahmarani dan Suwilo (2012) juga mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna Hamiltonian L2
n yang terdiri dari cycle v1 → vn → · · · → v2 →v1 dan arc v1 → vn−2
atas n titik ganjil dengan panjang cycle n−2 dan n. Syahmarani dan Suwilo mem-perlihatkan jika exp(L(2)n ) = (n3−2n2 + 1)/2 maka eksponen titik digraph tersebut berada pada interval [(n3−2n2−3n+ 4)/4,(n3−2n2+ 3n+ 6)/4] dan jika exp(L(2)
n ) = 2n2−6n+ 2, maka eksponen titikL(2)
n berada pada interval [n2−4n+ 5, n2−2n−1].
Semua hasil yang dikemukan oleh periset diatas adalah digraph dwiwarna prim-itif dengan panjang cycle lebih besar dari satu. Dengan demikian penelitian ini akan menentukan generalisasi eksponen titik dari sebuah digraph dwiwarna primitif S2(2), yakni sebuah digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan cycle
lain-nya dengan panjang satu atau dikenal dengan istilah loop.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh generalisasi eksponen titik dari sebuah kelas digraph dwiwarna primitif S2(2) atas n≥3 titik dengan satu loop di titik v1.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang eksponen titik di-graph dwiwarna primitif yang memuat loop.
