BAB 2 PEMODELAN SISTEM

BAB 2

PEMODELAN SISTEM

Bab 2 berisi pemodelan sistem sebagai dasar dalam analisis dan sintesis sistem kendali. Uraiannya meliputi pengertian sistem, model sistem, perbedaaan model dan simulasi, pengertian model matematis, dan model matematis untuk rangkaian listrik, sistem mekanis, sistem fluida, dan sistem termal.

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk :

• memahami pengertian sistem dan keuntungan melakukan pemodelan sistem.

• mendefinisikan model dan menguraikan beberapa tipe model.

• mendefinisikan model matematis dan menguraikan beberapa tipe model matematis.

• Menerapkan konsep pemodelan matematis dalam rangkaian listrik, elektromekanis, sistem termal, sistem fluida.

1.

Sistem dan Eksperimen

Konsep “sistem” dapat didefinisikan dengan berbagai cara. Salahsatunya adalah sistem merupakan sekumpulan objek yang sifat-sifatnya ingin dipelajari. Dengan definisi tersebut, banyak hal di sekitar kita yang dapat dikategorikan sebagai sistem, misalnya sistem matahari, hutan tropis, kapasitor dengan resistor, jaringan komputer, dan lain-lain. Adalah sifat manusia yang selalu ingin tahu untuk mengetahui sifat-sifat sistem tersebut, misalnya bagaimana tumbuh-tumbuhan bisa tumbuh sepanjang tahun di hutan tropis, atau apa yang terjadi apabila kapasitor dan resistor disambung kemudian dihubungkan dengan sebuah sumber tegangan, atau bagaimana menggabungkan dua komputer atau lebih supaya terbentuk jaringan komputer, dan sebagainya. Beberapa pertanyaan dapat dijawab melalui eksperimentasi (percobaan), misalnya hubungkan dua komputer kemudian instalasi kebutuhan perangkat lunaknya dan amati komunikasi yang terjadi. Pekerjaan utama dalam ilmu pengetahuan selama beberapa abad adalah membuat pertanyaan tentang sifat sistem dan menjawabnya melalui serangkaian percobaan.

Metode eksperimen berdasarkan prinsip ilmiah, tetapi memiliki keterbatasan. Kadang-kadang tidak mungkin dilakukan eksperimen dengan beberapa alasan berikut :

a) terlalu mahal

Contoh : mempelajari mantap atau tidaknya cara berjalan robot humanoid. Untuk membeli atau membuat robot dibutuhkan biaya yang mahal.

b) berbahaya

Contoh : mahasiswa yang ingin mengetahui efek radiasi dalam reaktor nuklir. Terlalu riskan apabila dia mencoba langsung dengan reaktor nuklir sebenarnya.

c) sistemnya belum ada

Contoh : Untuk pesawat udara baru, seseorang ingin menguji efek sayap dengan bentuk yang berbeda-beda terhadap sifat aerodinamis pesawat.

Dengan demikian dalam situasi tersebut dibutuhkan cara untuk memecahkan persoalan tanpa melakukan eksperimentasi, yaitu dengan membuat model suatu sistem.

2. Apa yang disebut dengan Model ?

Secara sederhana, model suatu sistem adalah sarana atau alat (tools) yang digunakan untuk menjawab pertanyaan tentang sistem tanpa melakukan eksperimen. Ada beberapa tipe model, yaitu :

a) model mental

Pemodelannya dilakukan dengan proses “membayangkan” sistem dalam pikiran. Sebagai contoh seorang instruktur menjelaskan tentang mengemudikan mobil, maka dia akan meminta peserta untuk “membayangkan” sistem kemudi, posisi pedal gas, rem, setir, dan sebagainya.

b) model verbal

Perilaku atau sifat sistemnya diuraikan dalam bentuk kata-kata, misalnya jika sistem manajemen sumber daya dan pengelolaan aset di perusahaan tidak benar maka angka PHK semakin tinggi.

c) model fisis

Model ini mencoba meniru sistem sebenarnya dalam bentuk miniatur atau prototipe.

d) model matematis

Pada model ini, hubungan antar besaran dalam sistem dinyatakan dalam bentuk hubungan (persamaan) matematis. Kebanyakan hukum alam adalah model matematis. Hukum alam berkaitan dengan sistem sederhana dan seringkali ideal. Untuk sistem nyata, hubungan antar variabelnya mungkin lebih rumit.

3. Model dan Simulasi

Anggap bahwa eksperimen tidak bisa dilakukan, tetapi model sistemnya tersedia. Model tersebut dapat digunakan untuk menghitung atau menyimpulkan bagaimana sistem bekerja. Hal ini dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan memecahkan persamaan matematika yang muncul dan mempelajari solusinya, misalnya pada saat mempelajari dan ingin mengetahui arus dan tegangan pada suatu cabang dalam rangkaian listrik menggunakan hukum Ohm atau Kirchhoff.

Dengan perkembangan komputer, baik perangkat lunak maupun perangkat kerasnya, eksperimen numerik dapat dilakukan dengan mudah, cepat, dan efektif terhadap suatu model. Langkah tersebut dikenal dengan istilah simulasi. Simulasi dengan demikian adalah suatu cara yang tidak mahal dan aman dalam bereksperimen dengan sistem. Kualitas hasil simulasi bergantung kepada kualitas model sistemnya.

4. Model Matematis Sistem

Model matematis suatu sistem diartikan sebagai kumpulan persamaan matematika atau pernyataan matematis yang menggambarkan sifat atau perilaku sistem dengan cukup baik. Ada beberapa tipe model matematis yang digunakan yang bergantung kepada sifat sistem dan tools yang digunakan, yaitu :

a) Deterministik atau Stokastik

Model disebut deterministik apabila model tersebut menggambarkan hubungan yang pasti (eksak) antara variabel pengukuran dan variabel turunan serta dalam persamaannya tidak muncul ketidakpastian. Sementara itu, model stokastik mencakup ketidakpastian atau mengandung konsep probabilitas.

b) Dinamis atau statis

Sistem biasanya dicirikan oleh sejumlah variabel yang berubah terhadap waktu. Jika hubungan antara variabelnya bersifat langsung maka sistemnya disebut statis. Resistor adalah contoh sistem statis, karena arus yang melaluinya dan tegangan antar kaki-kakinya memiliki hubungan langsung melalui Hukum Ohm. Arus yang mengalir hanya bergantung kepada tegangan saat itu dan tidak bergantung kepada nilai-nilai lainnya atau sebelumnya. Sementara itu, sistem dinamis adalah sistem yang nilai variabelnya bergantung kepada sinyal atau kondisi sebelumnya. Sebagai contoh, sistem ekonomi suatu negara adalah sistem dinamis, karena situasi ekonomi sekarang bergantung kepada kondisi sosioekonomi sebelumnya. Secara lebih sederhana, sistem dinamis didefinisikan sebagai sistem yang dinyatakan dengan persamaan diferensial atau persamaan difference.

c) Kontinyu atau diskrit

Sebuah model matematis yang menggambarkan hubungan antara sinyal kontinyu disebut model kontinyu, sedangkan model diskrit

menyatakan hubungan antara sinyal diskrit. Model kontiyu biasanya dinyatakan dengan persamaan diferensial, sedangkan model diskrit dituliskan dalam bentuk persamaan difference.

d) Tergumpal (Lumped) atau terdistribusi (distributed)

Banyak gejala fisis yang dilukiskan secara matematis dengan persamaan diferensial parsial. Proses atau kejadian dalam sistem tersebut berlangsung dalam suatu ruang tertentu, misalnya suhu kawat yang dipanaskan akan berada di seluruh titik pada kawat tersebut. Model seperti itu disebut model berparameter terdistribusi. Jika kejadian diwakili oleh sejumlah variabel atau satu titik maka modelnya disebut model berparameter tergumpal, yang dinyatakan dengan persamaan diferensial biasa.

e) Linear atau non linear

Suatu sistem dikatakan linear apabila memenuhi prinsip superposisi. Prinsip tersebut menyatakan bahwa respon sistem terhadap dua input berbeda yang diberikan secara bersamaan adalah jumlah respon dari masing-masing input tersebut. Dengan demikian, untuk sistem linier, responnya terhadap beberapa input dapat dihitung dengan cara menentukan respon masing-masing input kemudian menjumlahkannya. Dari sudut pandang eksperimental, apabila sebab dan akibat dalam sistem berlaku secara proporsional, maka sistem dapat dimodelkan secara linear. Sedangkan sistem nonlinear tidak memenuhi prinsip superposisi, sehingga dalam analisis biasanya dilakukan linierisasi untuk daerah operasi tertentu.

f) Time-invariant atau time-varying

Sistem time-invariant memiliki parameter yang konstan (tidak bergantung waktu). Responnya tidak bergantung kepada kapan input diberikan. Sementara itu, sistem time-varying mengandung parameter yang bergantung waktu, contoh sistem kendali pesawat terbang. Salah satu parameter dalam pesawat yang time-varying adalah bobot (massa) pesawat berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

g) Fungsi transfer atau state space (ruang keadaan)

Pemodelan melalui fungsi transfer dapat dilakukan untuk bentuk SISO (single input single output) dengan sifat sistem deterministik, kontinyu, tergumpal, linier, dan time-invariant. Sementara pemodelan state space dilakukan apabila bentuknya MIMO (multi input multi output). 5. Model matematis dalam Rangkaian Listrik

Model matematis dalam rangkaian listrik diturunkan dengan memanfaatkan hukum-hukum yang berlaku yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff.

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan pada rangkaian tersebut didapat persamaan : i e dt i c Ri dt di L + +1

∫

= dan 0 1 e dt i c

∫

=

Pada rangkaian di atas berlaku hubungan besaran sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dt t de C t i t i dt t de C t i t i t i t i t e dt t di L t e t e dt t di L t Ri c c i 0 2 1 0 2 1 0 2 2 0 1 1 = −     = − = = = + +

Dengan teknik Transformasi Laplace, kita dapat menyatakan hubungan antara input dan output rangkaian di atas secara langsung dengan mudah.

6. Model matematis Sistem Mekanis

Untuk sistem mekanis, model matematisnya diturunkan melalui hukum Newton

∑

F =mauntuk gerak translasi dan

∑

τ=Iαuntuk gerak rotasi.

Perhatikan gambar berikut :

Sistem tersebut dapat menyatakan sistem suspensi kendaran bermotor (shock absorber) atau gedung selama dilanda gempa, dll. Variabel-variabelnya adalah sebagai berikut :

• u(t) adalah perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa • gaya pegas bernilai k(u-y), gaya peredam berharga b(u-y)’

• Persamaan Newton yang berlaku berbentuk my′′=b

(

u− y

)

′+k

(

u− y

)

Persamaan diferensial untuk sistem tersebut berbentuk

ku u b ky y b y m ′′+ ′+ = ′+

Untuk gerak rotasi, perhatikan gambar berikut

Variabel-variabel dan parameternya adalah sebagai berikut :

• T menyatakan torsi motor • J adalah momen inersia • w adalah kecepatan putar

dalam satuan rad/s

• b menyatakan koefisien gesekan

•θ adalah sudut putaran dalam radian

Persamaan diferensial untuk model gerak rotasi tersebut adalah

T bw dt dw J + = atau T dt d b dt d J θ+ θ = 2 2

7. Model matematis untuk Sistem elektromekanis

Pada sistem ini terjadi kombinasi rangkaian listrik dan mekanis. Perhatikan contoh berikut :

Gambar diatas adalah model skematik generator arus searah (DC). Sebuah generator berfungsi menghasilkan besaran listrik dari gerak mekanik di sisi inputnya. Besaran listrik yang dihasilkan adalah tegangan generator ea dan

arus ia akibat mekanisme putaran motor listrik dengan kecepatan n.

Misalnya tegangan akibat putaran motor eg berbanding lurus dengan

motor diatur oleh arus dari bagian medan if dan nilainya berbanding lurus

dengan arus ini, yaitu n=k2 if , sehingga didapat f

g f

g k k i k i

e = _{1 2} =

dengan kg = k1k2 disebut konstanta generator. Dengan menerapkan Hukum

Kirchhoff pada sisi input (bagian medan) dihasilkan

dt di L i R e_f = _{f f} + _f f

Substitusi tegangan generator menghasilkan bentuk

dt de k L k e R e g g f g g f f = +

Sementara itu, Hukum Kirchhoff di bagian output berbentuk

L a a a g a g g a Z i e dt di L i R e e = + + − = − atau dt de Z L Z e R e e a L g L a g a g = + +

Analisis terhadap model tersebut dapat dilakukan dengan mencari hubungan antara tegangan masukan (input) dengan tegangan yang dihasilkan.

8. Model matematis untuk sistem aliran fluida (cairan) Perhatikan gambar skematik berikut

Tangki memiliki luas penampang A dan saluran keluaran (outflow) a. Tinggi permukaan cairan dalam tangki adalah h, debit aliran masuk (inflow) u, dan debit keluaran q. Menurut hukum Bernoulli, laju aliran pada saluran keluaran dinyatakan oleh persamaan

( )

t gh v = 2

dengan g menyatakan percepatan gravitasi. Hubungan antara debit keluaran dan laju aliran pada saluran keluaran didefinisikan oleh

( )

t av

( )

t q =

Volume cairan dalam tangki adalah A h, yang berubah nilainya sesuai dengan selisih antara debit masuk dan keluaran, sehingga dapat dinyatakan

h

q u

( )

t u

( )

t q

( )

t h A dt d − =

Persamaan-persamaan di atas membentuk model sistem tangki fluida. Dari ketiga persamaan tersebut didapat model matematis sistem aliran fluida dalam bentuk persamaan diferensial non linier berikut

( )

( )

u

( )

t A t h A g a t h dt d 2 1 + − =

Dari bentuk terakhir, kita dapat menentukan tinggi permukaan cairan jika debit aliran masuknya diketahui. Setelah data tinggi permukaannya dihitung, debit keluarannya dapat dihitung dengan cara berikut

( )

t a g h

( )

t q = 2

9. Model matematis sistem termal Perhatikan skema berikut

Misalkan tangki diisolasi sehingga tidak ada kalor yang hilang ke udara luar. Asumsi lainnya adalah tidak ada panas yang tersimpan di dalam tangki serta pemanasan dilakukan secara sempurna, sehingga suhu cairan merata. Definisikan, Si = suhu mantap cairan dingin, So = suhu mantap cairan panas,

G = laju aliran cairan, M = massa cairan dalam tangki, c = kalor jenis cairan, R = resistansi termal, C = kapasitansi termal, dan H = laju kalor input. Anggap bahwa suhu cairan dingin yang masuk dijaga konstan dan laju kalor input tiba-tiba berubah (akibat pemanasan) dari H ke H + hi sehingga laju kalor

cairan panas berubah dari H ke H + ho. Suhu cairan panas berubah dari So ke

So + s. Untuk kasus ini, berlaku hubunganho =Gcs, C =Mc, dan

Gc h s R o 1 =

= . Persamaan diferensial untuk sistem ini adalah :

o i h h dt ds C = − yang dapat dituliskan menjadi

i Rh s dt ds RC + =

Selanjutnya, jika suhu cairan dingin berubah tiba-tiba dari Si ke Si + si dan

laju panas cairan dan laju aliran cairan dijaga konstan maka didapat persamaan diferensial i s s dt ds RC + = cairan dingin cairan panas pemanas

Jika sistem termal dihadapkan pada perubahan suhu cairan dingin dan laju kalor input, sementara laju aliran cairan dijaga konstan maka perubahan suhu cairan mengikuti persamaan diferensial

i i Rh s s dt ds RC + = + Soal latihan :

1. Buat model matematisnya dari rangkaian listrik berikut

2. Dengan memanfaatkan hukum Newton, turunkan model matematis sistem mekanik berikut. Berikan penjelasan secukupnya tentang fenomena yang terjadi.