PENGGUNAAN TURUNAN
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Fungsi yang berbentuk
f
(-
x
)=
f
(
x
)
disebut
fungsi
genap
yang
grafiknya
simetri
terhadap
sumbu
y
Fungsi yang berbentuk
f
(-
x
)=-
f
(
x
)
disebut
fungsi
ganjil
yang
grafiknya
simetri terhadap titik
asal
y = x2 – 2
Fungsi genap
y = x3 – 2x
1
• Simetris terhadap sumbu y bila (x,y) maupun (-x,y) terletak pada grafik tersebut fungsi genap.
2
• Simetris terhadap sumbu x bila (x,y) maupun (x,-y) terletak pada grafik tersebut.
3
• Simetris terhadap titik asal [(0,0)] bila (x,y) maupun (-x,-y) terletak pada grafik tersebut fungsi ganjil.
x y x x 2 2 (x, y) (-x, y) (2, 1) (-2, 1) (i) y = x2 - 3 x y (x, y) (x, -y) (ii) x = y2 + 1 (x, y) (-x, -y) x y (iii) x = y3
Garis x=c adalah asimtot tegak/vertikal
dari grafik y=f(x) jika salah satu pernyataan berikut berlaku
)
(
lim
4.
)
(
lim
3.
)
(
lim
2.
)
(
lim
.
1
x
f
x
f
x
f
x
f
c x c x c x c x(1) x = c (1) x = c (2) x = c
Garis y=b adalah asimtot datar/horisontal dari grafik y=f(x) jika salah satu pernyataan berikut berlaku
N x b x f b x f N x b x f b x f x x jika ) ( N, bil. utk & ) ( lim . 2 jika ) ( N, bil. utk & ) ( lim . 1
y = b (1) y = b (1) (2) (2) y = b y = b
Tentukan
asimtot-asimtot
untuk
grafik dengan persamaan
xy
2-2
y
2-4
x
=0
2 2 2 4 4 2 0 4 2 2 2 2 2 x x y x x y x x y x y xyContoh 1
Ada dua fungsi
2
2
)
(
.
2
2
2
)
(
.
1
2 2 1 1
x
x
x
f
y
x
x
x
f
y
DA
f
1dan
f
2adalah (-
,0)
(2,+
)
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1
datar
asimtot
2
Jadi
2
2
lim
)
(
lim
2
2
lim
)
(
lim
gak
asimtot te
2
Jadi
2
lim
)
(
lim
fungsi
f
y
x
f
x
f
f
x
x
f
f
x x x x x x x x x x
2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
datar
asimtot
2
Jadi
2
2
lim
)
(
lim
2
2
lim
)
(
lim
gak
asimtot te
2
Jadi
2
lim
)
(
lim
fungsi
f
y
x
f
x
f
f
x
x
f
f
x x x x x x x x x x
x y2 2 y2 4 x 0 1 y 2 y
1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Pada materi turunan dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung merupakan tafsiran geometris dari TURUNAN
fungsi, sehingga turunan dapat digunakan sebagai alat bantu menggambar grafik fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan titik-titik garis singgung atau penentuan interval dimana grafik terletak di atas garis singgung atau dibawahnya dst.
Tentukan daerah asal f
Tentukan perpotongan dng sb x & sb y
Uji kesimetrian thd sb x, y & titik asal (fungsi genap atau fungsi ganjil)
Hitung f’(x) dan f”(x)
Tentukan bilangan kritis untuk f
Terapkan uji turunan I dan uji turunan II untuk mencari ekstrim relatif
M
E
T
O
D
E
M
E
T
O
D
E
Tentukan interval
f
naik /turun
Cari
titik
belok,
yaitu
f”
(
x
)
berganti tanda & grafik punya
garis singgung
Tentukan interval
f
cekung keatas
atau cekung kebawah
Cari asimtot tegak ataupun asimtot
datar
Diberikan fungsi f(x)=x3-3x2+3. Sketsa grafik f.
Contoh 2
Daerah asal f adalah (-,)
Perpotongan dengan sumbu y (0,3)
f(-x)=(-x)3–3(-x)2+3=-x3–3x2+3
f(x)≠-f(x)
f
(
x
)=
x
3-3
x
2+3
f ’
(
x
)=3
x
2-6
x,
titik kritis
f’
(
x
) = 0
3
x
2-6
x
=0
3
x
(
x
-2)=0
x
=0 &
x
=2
f”
(
x
)=6
x
-6
,
dicari
f”
(
x
)=0
6
x
-6=0
6(
x
-1)=0
x
=1
Naik,cekung keatas + + x > 2 Min,cekung keatas 6 0 -1 x = 2 Turun,cekung keatas + -1 < x < 2 Turun,titik belok 0 -3 1 x = 1 Turun,cekung kebawah -0 < x < 1 Max,cekung kebawah -6 0 3 x = 0 Naik,cekung kebawah -+ x < 0 Keterangan x f (x) f '(x) f"(x)
Contoh 3
Sketsa grafik berikut
4
)
(
2 2
x
x
x
f
Daerah asal f adalah (-,) dng x-2 & x2 Perpotongan dgn sb y (x=0)(0,-¼)
Perpotongan dgn sb x (y=0)(0,0) Merupakan fungsi genap
) ( 4 4 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 x f x x x x x f
2 dan 2 0 ) 4 ( 128 64 24 0 ) ( " ) 4 ( 128 64 24 ) ( " 0 0 ) ( ' kritis titik , ) 4 ( 8 ) ( ' 4 ) ( 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f
turun,cekung keatas + -x > 2 -x = 2 Turun,cekung kebawah -0 < x < 2 Turun,titik belok 0 0 -¼ x = 0 naik,cekung kebawah -+ -2< x <0 -x = -2 Naik,cekung keatas + + x < -2 Keterangan x f (x) f '(x) f"(x)
2. PENCARIAN NILAI OPTIMUM
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Disamping untuk menggambar grafik fungsi, turunan juga dapat digunakan untuk membantu mencari nilai optimum dari suatu permasalahan nyata yang dimodelkan kedalam model matematika.
Bantuan tersebut dalam hal menentukan titik-titik optimal sehingga keputusan yang diambil dalam menyelesaikan suatu permasalahan tersebut dapat optimal pula, diluar asumsi-asumsi tertentu.
M
E
T
O
D
E
Buat sketsa gambar (jika memungkinkan)
Berikan variabel yang sesuai pada sketsa tsb.
Tulis rumus besaran yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) dalam bentuk variabel.
Nyatakan besaran yang dicari sebagai fungsi dari satu variabel.
M
E
T
O
D
E
Tentukan himpunan nilai yang mungkin (daerah asal biasanya berupa interval). Tentukan titik kritis (titik-titik
optimum)
Gunakan teorema turunan yang ada untuk menentukan nilai optimumnya (maksimum dan minimum).
Sebuah surat selebaran memuat
50 cm persegi bahan cetak. Jalur
bebas cetak diatas dan dibawah
selebar 4 cm dan disamping kiri
dan kanan selebar 2 cm. Berapa
ukuran surat selebaran tersebut
yang
memerlukan
kertas
sesedikit mungkin
Misalkan
x
lebar surat edaran
y
tinggi surat edaran
x
y
2cm 2cm
4cm 4cm
Luas surat selebaran yang akan diminimumkan A = xy
Sedang ukuran bahan cetakan adalah
8 4 50 50 ) 8 )( 4 ( x y y x
) (4, 1 dan 9 diperoleh 0 ) 4 ( ) 9 )( 1 ( 8 ) 4 ( 72 64 8 0 ) 4 ( ) 18 8 ( ) 4 )( 18 16 ( A 0 ) ( kritis ik syarat tit ) (4, atau 4 0 4 dengan 4 18 8 8 4 50 A A 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x dx d x A' x x x x x x x x x xy
Menurut teorema uji turunan I, diperoleh
Sehingga
A
mencapai
nilai
minimum pada
x
= 9 dan
y
= 18.
Jadi ukuran surat edaran dengan
pemakaian kertas paling sedikit
(minimum) adalah 9
18 cm
) , 9 ( untuk 0 A dan ) 9 , 4 ( untuk 0 A dx d dx dCari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak.
Andaikan
a tinggi kerucut (konstanta)
b jari-jari kerucut (konstanta)
h tinggi tabung r jari-jari tabung V volume tabung a-h b h r a
Contoh 5
b
r
r
b
a
ar
r
b
a
a
r
V
r
b
a
a
h
b
a
r
a-h
h
r
π
V
0
dengan
diperoleh
serupa
segitiga
setiga
dari
adalah
tabung
Volume
3 2 2 2
3 dan 3 2 adalah ukuran jadi 0 ) ( maksimum 3 2 3 3 2 0 ) 0 ( , , 0 kritis titik diperoleh 3 2 0 3 2 0 ) ( ' kritis ik syarat tit 2 3 2 2 a h b r b V b a b V V b b r r b a ar dr dV r V b
Lapangan berbentuk empat persegi panjang, yang terbentang ditepi sungai, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi sungai tidak ikut dipagari. Jika harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar
dengan sungai adalah Rp. 120.000
permeter dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya Rp. 80.000 permeter. Tentukan ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar keseluruhan seharga Rp. 36.000.000
Andaikan
x sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai
y sisi lapangan yang sejajar dengan sungai. x y 3600 12 8 8 atau 36000000 120000 80000 80000 biaya dengan adalah lapangan luas y x x y x x xy L
Jadi luas lapangan terbesar yang ditutupi pagar jika panjang sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai adalah 112,5 m dan sisi lapangan yang sejajar sungai adalah 150 m dengan luas16875 m2. 5 , 112 0 00 3 0 ) ( ' kritis ik syarat tit 300 ) 300 ( ) ( sehingga 3 4 300 3600 12 16 3600 12 8 8 3 8 2 3 4 3 4 x x x L x x x x x L x y y x y x x
